第一章随机过程的一般理论

第一章 随机过程的一般理论
§1.1 随机过程的基本概念
定义1.1 设(, , )P ΩF 是概率空间，是可测空间，是指标集. 若对任何，有，且(, )E E T t T ∈:t X E Ω→t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于中的随机过程，在无混淆的情况下简称(, )E E {}(), t X t T ω∈为随机过程，称为状态空间或相空间，称中的元素为状态，称为时间域. 对每个固定的(, )E E E T ω∈Ω，称()t X ω为{}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为值随机元. 有时E ()t X ω也记为
()()(, )t t X X X t X t ωω===.
设，T ⊂R {}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即
① ，且t t T ∀∈⇒⊂F F t F 是σ代数；② , ,
s t s t T s t ∀∈<⇒⊂F F . 若()t t X t T ∈∀∈F E ，则称{}, t X t T ∈是{}t F 适应的随机过程，或适应于{}t F 的随机过程. 特别地，若令
1
(, , )(())t s s
s t s T
X s t s T X σσ−≤∈≤∈ ∪E F 是由{}, , s X s t s T ≤∈所生成的σ代数，则{}, t X t T ∈是{}t F 适应的随机过程.
当1(, )(, )E =R E B 时，称{}, t X t T ∈为实值随机过程；
当时，称(,
)(, )E =C C E B {}, t X t T ∈为复值随机过程； 当时，称(, )(, )n
n E =R E B {}, t X t T ∈为维随机过程； n 当是可列集（有限集）时，称E {}, t X t T ∈为可列（有限）随机过程；
当, T =+
R R 或时，称[], a b {}, t X t T ∈为连续参数的随机过程； 当T =Z 或时，称+
Z {}, t X t T ∈为离散参数的随机过程（随机序列）； 当, (), n n n T =+R R Z 或时，称()
(2)n
n ≥+Z {}, t X t T ∈为随机场. 随机过程的四种类型: （1）指标集离散，状态空间离散的随机过程；
T E （2）指标集离散，状态空间连续的随机过程；
T E （3）指标集连续，状态空间离散的随机过程；
T E （4）指标集连续，状态空间连续的随机过程.
T E 然而，以上分类是表面的，更深刻的是按随机过程的概率结构而分类. 例如：马尔可夫（Markov ）过程、平稳过程、独立增量过程、二阶矩过程、
正态过程、泊松（Poisson ）过程、生灭过程、分枝过程、更新过程、鞅等.
对于随机过程{}, t X t T ∈而言，可以这样设想，有一个作随机游动的质点M ，以表示在时刻质点t X t M 的位置，于是{}, t X t T ∈描绘了质点M 所作的随机运动的变化过程，一般把“t X x =”形象地说成“在时刻质点t M 处于状态x ”.
定义1.2 设{}, t X t T ∈是概率空间(, , )P ΩF 上的、以为状态空间的随机过程，（或或直线上的任一区间）.如果(, )E E T =+R R A ∀∈E ，有
{}(,):(,), (,)()t t T X t A T ωωω∈×Ω∈∈×B F ，
则称{}, t X t T ∈是可测的.
设{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果, ,
t T A ∀∈∈E 有
[]{}[]()(,):(,)0, , (,)0, t
u u t X t A t ωωω∈×Ω∈∈×B F ， 则称{}, t X t T ∈关于{}, t t T ∈F 循序可测.
命题1.1 设:t X E Ω→，()t t X t T ∈∀∈F E ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果{}, t X t T ∈关于{}, t t T ∈F 循序可测，则{}, t X t T ∈是可测的.
定义1.3 设{}, t X t T ∈是随机过程，称
{}{}():(), , t t t F x P X x P X x x t T ωω≤=≤∈∀∈
R 为随机过程{}, t X t T ∈的一维分布函数；称
{}
1212,12121212(,),, ,, ,t t t t F x x P X x X x x x t t T ≤≤∈∀∈R 为随机过程{}, t X t T ∈的二维分布函数；一般地，称
{}
1212,,,1212(,,,),,,,n n t t t n t t t n F x x x P X x X x X x ≤≤≤ 1212,,,, ,,,n n x x x t t t T ∈∀∈R
为随机过程{}, t X t T ∈的维分布函数；而称
n {}
12,,,1212(,,,):,,,,1n t t t n n F x x x t t t T n ∈≥ F 为随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族.
随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族具有下列性质：
F 1. 对1n ∀≥，，及的任意排列i ，有
12,,,n t t t T ∀∈ 12,,,n t t t 12,,,n i i t t t 121212,,,,,,12(,,,)(,,,)i i i n n n t t t i i i t t t n F x x x F x x x = ； （对称性）
2. 对1m n ∀≤≤，有
12121,,,12,,,,,,12(,,,)(,,,,,,)m m m n t t t m t t t t t m F x x x F x x x +=+∞+∞ .（相容性）
注：若知道了随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族,便知道了这一随机过程中任意有限个随机变量的联合分布，也就可以完全确定它们之间的相互关系。

可见，随机过程的有限维分布函数族能够完整地描述随机过程的统计特征。

但是在实际问题中，要知道随机过程的有限维分布函数族是不可能的，因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过程。

F 定义1.4 设{}, t X t T ∈是随机过程，称
()d ()()(d ), t t t m t EX x F x X P t T ωω+∞
−∞Ω
==∈∫∫ 为{}, t X t T ∈的均值函数；称
2()(()), t t D t DX E X m t t T =−∈
为{}, t X t T ∈的方差函数；称
(,)Cov(,)(())(()), ,s t s t C s t X X E X m s X m t s t T =−−∈
为{}, t X t T ∈的协方差函数；称
(,)(),,s t R s t E X X s t T =∈
为{}, t X t T ∈的相关函数.
注：若{}, t X t T ∈是复值随机过程，则方差函数的定义为
2()(), t D t E X m t t T =−∈； 协方差函数的定义为
(,)(())(()), ,s t C s t E X m s X m t s t T =−−∈；
相关函数的定义为
(,)(), ,s t R s t E X X s t T =∈.
性质（1）(,)(),
=∈；
C t t
D t t T
（2）；
=−∈
C s t R s t m s m t s t T
(,)(,)()(),,
（3）若，则
=∈.
C s t R s t s t T
()0
m t≡(,)(,),,。