静电场-2

1
0
qi内
0
q1
高斯面 S上的 P 点的电场强度为 q1 ˆ q2 ˆ EP i i 0 2 2 40 r 40 r
S
q + 1
P
q+ 2
26

高斯定理提供了求场强的新方法。但利用高斯定理求场强要求 电荷的分布具有一定的对称性。解题步骤如下： 电场对称性分析，确定电场强度的分布特征 根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面（关健） 高斯面应选取规则形状，且经过所研究的场点； 高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向 一致；或者，高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法 线方向垂直使该部分的通量为零，而另一部分各点的场强大 小相等，方向与高斯面法线方向一致，简化积分运算。 确定面内电荷代数和，利用高斯定理求解场强。
S S1 S侧
1 2 ES1 0 S1 0 E
S1
2 0
E
E

30

例5：求半径为 R，无限长均匀带电圆柱面内外的电场。已知 面电荷密度为 σ 。 解：电场具有轴对称性，取圆柱型高斯面，当 r <R 时有
E dS
S
上底
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E dS
S S S S
qn q1 q2 1 2 n 0 0 0
1 E dS
S
0
q
i内
注意：只对高斯面内 部电荷取和，外部电 荷对电通量无贡献。
24
1 E dS
S

0
q
i内

1
0
普通物理
1
第十章 电荷与静电场
——电通量、高斯定理 （2课时）
课前讨论

2
教材 10-9 题：根据点电荷的场强公式 q E 4 0 r 2 当所考察的场点和点电荷间的距离 r→0 时，则场强 E→∞， 这是没有意义的，对这一问题应如何解释?

当所考察的场点和点电荷的距离 r→0 时，距离 r 与点电荷的 大小具有可比性，此情况下不能将带电体视为点电荷，点电 荷的场强公式不再适用。

与电荷 q 全部集中在球心的点电荷电场相同。
高斯面
28
（2）球体内部，高斯面半径 r < R，面内电荷代数和为
q 4 R 3 3 4 3 r3 r 3 q 3 R
q
q
高斯面
球面上各点的场强 E 大小相等，方 向与法向相同，根据高斯定理得 q 2 E d S E dS E 4 r S S 0 qr E r 3 40 R
四、高斯定理的应用

25
例2：如图所示，真空中两个点电荷 q1、q2，相距为2r， 以半 径 r 作高斯面， q1 位于球心，若 q1 q2，求：通过高斯面 S 的 电通量和高斯面 S上的 P 点的电场强度。 解：请注意，高斯面是一个假象曲面，曲面上各点的电场由曲 面内外所有电荷决定。根据高斯定理有
E dS
S



2
E
显然：将一个闭合曲面置于 电场中，由于穿入的电场线 与穿出的电场线数目相同， 故该闭合曲面的电通量为 0。
ˆ n

2
E
20

例1：求均匀电场中通过半球面的电通量。 解：假设我们在半球面的下边添加一个圆形平面 S2，显然通过 半球面 S1 的电通量与通过圆形平面 S2 的电通量是相等的，故
16

电场线与电场强度的关系 电场强度的方向沿电场线的切线方向，数值上等于该点的电 场线密度（通过该点垂直于场强的单位面积上的电场线条 数）。
EB
EA
EB
E
d dS
B
d
B
dS
A
方向
大小
二、 电通量

17
电通量定义 定义：垂直通过任一曲面的电场线的数量称为通过这一曲面 的电通量。用 Φ 表示。 均匀电场 S 法线与 电场强度方向垂直
dq
内
高斯定理的物理意义 E 是闭合面上各面元处的电场强度，是由面内、面外全部电 荷共同激发的电场强度的矢量和，而过曲面的电通量仅由高 斯面内的电荷决定。 高斯定理反映了静电场的一个基本性质：静电场是有源场， 正电荷是静电场的源，负电荷是静电场的尾。 = 0，不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。 = 0，不一定高斯面上各点的场强为 0。
下底
E dS
侧面
E dS
R
0 0 E 2 rl q i 0 q i 0 E 0
r
l
高斯面
31
当 r >R 时有 E dS
S
上底
E dS
下底
E dS
S1 E dS S1 E dS
S2
n n
E
n n
E S2 E R 2
S1
S2 O
R
三、高斯定理

21
高斯定理的表述 在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面（称为高斯面） S 的电通量 ，等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除 以 0 ，与闭合曲面外的电荷无关，即 1 E dS q i 内 S 0 证明1：高斯面内无电荷，面外点电荷激发电场，因为有几条 电场线进面内必然有同样数目 的电场线从面内出来，所以 + E E d S 0
本单元教学目标
理解电场线及其物理意义。 理解电通量的基本概念及计算方法。 掌握高斯定理并可以利用它解决相关的物理问题。

5
本讲主要问题
电场线及其性质 电通量 高斯定理 高斯定理的应用

6
一、电场线

7
电场是一种看不见、摸不着的物质，电场矢量表示法比较抽象， 怎样才能直观、形象的呈现出来呢？ 法拉第采取“电场线”的方法形象、直观的表示电场. 电场线是为了形象描述电场而假想的线，是一种表述问题的 方法，实际不存在。 将蓖麻油和小颗粒（例如头发屑、塑料粒等）置于玻璃皿内 拌匀，将电极置于其中并连接起电机通电，即可得到电场的 模拟图形。
8

电场的图示法 电场线：为形象描绘静电场 而引入的一组空间曲线。 方向：电场线上某点的切线 方向为该点的场强方向。 电场线密度：通过垂直于电 场线的无限小面元 dS 的电 场线数目 d 与 dS 的比值 称为电场线密度。
d dS
EA
dS
A
B
EB
dS
d
9

一个点电荷的电场线分布
+
-
正电荷
负电荷
性质1：电场线起于正点荷，终止于负电荷或无穷远 性质2：某区域电场线的疏密程度体现该区域电场的强弱
10

两个点电荷间的电场线分布
+
+
一对等量同号电荷的电力线
性质3：电场线不闭合，在无
电荷处不中断 性质4：同一电场中无电荷处 任意两条电场线不相交
+
-
一对等量异号电荷的电力线
11
0
23

证明3：高斯面内的场源为点电荷系（或电荷连续分布的带电 体）， 高斯面为任意闭合曲面的情况： E E1 E 2 E n E dS E1 dS E 2 dS E n dS
S
均匀电场，S 法线方向 与电场强度方向成 角
n S

n
E
E

ˆ ES cos E S E S n
ES
18

电场不均匀，S 为任意曲面时电通量的计算
d E dS S S E ndS S 面矢量 dS 沿面法向 n ˆ 的方
S
22

证明2：场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
E dS
S
q 4 0 r q
2
S
ˆ dSn ˆ r 4r 2
+
E
ˆ n
dS

q 4 0 r 2 q
dS
S
4 0 r 2
r
结果表明： 通过以点电荷 q 为中心的任意球面的电通量都相等，与球面 半径大小无关。 可证明：若 q 不位于球面中心，积分值不变。 可证明：对任意类型的封闭曲面积分值不变。
27
例3：半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体，计算球体内、外 的电场强度。 解: 电场分布具有与场源同心的球对称性，故选同心球面为高 斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。 （1）球体外部 r > R，依高斯定理得 q 2 E dS E 4r q S 0 E R o ˆ n q 1 E 2 r 2 40 r r

点电荷和带异性电荷平板间的电场线分布

+

性质5：电场线上某点的电场方向沿该点电场线的切线方向
12

两个带异性电荷的铜质平行板间的电场线分布


性质6：匀强电场中各点电场强度大小、方向都相同，电场
侧面
E dS
0 0 E 2 rl qi 2 Rl R E r 0 对于无限长带电直导线，处理方法 相同，设电荷线面度为 λ，则
r
l
E
E 2 0 r
3

在真空中只有一个带电体时，这个带电体就处在它本身所产生 的电场中，试根据能量守恒定律说明，整个带电体受到它本身 的电场力等于零。

如果带电体受到本身的电场力不等于零，则整个带电体就必 定沿力的方向作加速度运动，动能不断增加，而其它能量又 不发生改变，这是违背能量守恒定律的。
4

在真空中，A、B 两板相隔很小的距离 d，板面积为 S，带电量 分别为 +q 和 -q。用下述两种公式求两板间的相互作用力F， 是否正确？为什么？ q q
q q2 1) F , 2) F Eq q 2 40d 0S 0S q2
E
E
E
E
E
E
两种求法都不正确 d （1）两带电板不能看成点电荷。 （2）作用于 B 板的电场应该只是 A 板所产生的，不能用 A、 B 两板产生的总电场 q F 0S





性质8：平衡时带电导体的外表面电荷分布跟外表面的曲
率有关。
15

电场线的性质总结 电场线起于正点荷，终止于负电荷或无穷远； 某区域电场线的疏密程度体现该区域电场的强弱； 电场线不闭合，在无电荷处不中断； 同意电场中无电荷处任意两条电场线不相交； 电场线上某点的电场方向沿该点电场线的切线方向； 匀强电场中各点电场强度大小、方向都相同，电场线为等距 的平行直线。 平衡时，带电封闭导体的电荷分布在外表面，电荷分布跟外 表面的曲率有关；导体内部电场强度为零。
d
ˆ n
E
S 向（注意，面法向指向曲面 凸起的一侧，它是位置的函 数)，所以 d 可正可负。 电通量的正负并不表示沿着或逆着坐标轴的指向，它是标量， 正负与坐标轴无关！
dS
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穿过闭合曲面的电通量 规定：闭合曲面法线的正方向指向闭合曲面的外侧。 电场线穿出闭合面为正通量， 电场线穿入闭合面为负通量。 ˆ n
线为等距的平行直线。
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金属圆环的电场分布。环内小颗粒仍保持散乱分布，这表明电 荷分布在导体环的外表面，它们决定着外面的电场，而环内的 电场为零。




性质7：平衡时，带电封闭导体的电荷分布在外表面，导体
内部电场强度为零。
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桃形开口金属环的电场分布，可以看出 环内场强为零，电荷分布在导体外表面； 导体尖端部分场强最强，其它部分场强较小； 虽然金属环是断开的，但开口处的线度较环本身小得多，环 内小颗粒呈散乱状态，表明导体内场强为零。
r
R
o
E
ˆ n
E
q 4 0 R 2
均匀带电球体电场强度分布曲线如右图。
o
R
r
29

例4：求均匀带电无限大平面所激发的的电场，已知面电荷密 度为 σ。 解：电场分布具有面对称性，取如图所示柱面为高斯面，根据 高斯定理得
E dS 2 E dS E dS