(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷).doc

...
1
n
A
（P296）
1
3
A
3
A
3
幻灯片6
二、 选择题（每小题2分，共10分）
4、（C）设1(0, 1,1),2(2,1, 2),k12
f ( x ),则A的值域
A P[x]n=
, A的核A1(0)=
1
0
0
4．已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为
0
0
，则A（λ）的不变
0
0
2
因子________________________；3阶行列式因子D3
=_______________.
5.若4阶方阵A的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A的若当标准形
2,3的
3
2
4
过渡矩阵为
1
0
0
,求关于基
1,
2,
3的坐标. (8
分)
2
1
0
2.
设V是数域P上一个二维线性空间,
1,
2和1,
2是V的两组基, V
的线性
变换Α在基1,
2
1
1,2到基
1,
2的过渡矩阵为
2下的矩阵为
,又从基
1
0
1
1
1,
2下的矩阵. (8
分)
,求Α在基
12
3.用正交线性替换X TY化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T:
4．（
）在线性空间R2中定义变换σ：
( x , y)
(1
x , y)，则σ是R2的一个
线性变换.
5.（
）设V是一个欧氏空间，,
V
，并且
，则
与
正交。
6.(）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是A( ) 0.
四.计算题（3小题，共30分）
1．已知关于基1,
2,3的坐标为（1，0，2），由基
1,2,
3
到基1,
(,1)1(,2)2,nn
3.设,都是数域P上线性空间V的线性变换,且,证明Im()和
Ker ()都是的不变子空间.
答案
幻灯片1
2006高等代数（下）试题解答
一、 填空题（每小题3分，共21分）
1、在P[ x]3中，x2
2x
3在基1, ( x 1), ( x 1)2
下的坐标为
(- 4, 0, 1)
。
1
则A的若当标准形J=
1 1
2
3
6、在n维欧氏空间V中，向量
在标准正交基
1,2,L
,
n下的坐标是( x1, x2, L
, xn)
那么(
,
i)
xi
x1
1
...
xi i
...
xn
n
,i
x1
1,i
...
xi
i,
i... xn n,i
幻灯片4
一、填空题（每小题
3分，共21分）
7、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是
4.( )设1(0, 1,1),2(2,1, 2),k12，若与2正交，则
(A) k=1;(B) k=4;(C) k= 3;(D) k=2
5．()下列子集哪个不是R3的子空间
(A)w1{( x1, x2, x3)R3| x21}(B)w2{( x1, x2, x3)R3| x30}
(C)w3{( x1, x2, x3)R3| x1x2x3}(D)w4{( x1, x2, x3)R3| x1x2x3}
(C) A的不变因子都没有重根；(D) A有n个不同的特征根。
幻灯片5
5
二、 选择题（
每小题
2
分，共
10分）
3、 （D） 设三阶方阵
A的特征多项式为
f ( )
3
2
2
2
，则
| A |
3
（A）1；（B）2；（C）3；（D）-3
f (
)
1
1
13
1
13
2
2
2
2
A
1
1
13
1
13
3
2
2
2
2
或由：
E
A
n
tr A
n 1
J=
6.在n维欧 氏空 间V中， 向量在标 准正 交基1,2,L ,n下的坐 标是
( x1, x2,L , xn)，那么(,i)＝
7.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．
二.选择题(每小题2分，共10分)
1.()已知V {( a bi ,c di ) a, b,c, d R}为R上的线性空间，
则dim(V)为
三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共12分)
1.( )
设V
Pn n，则W
{ A A
Pn
n, A 0}是V的子空间.
2.(
）1,
2, L ,n是n
维欧氏空间的一组基，矩阵
A
aij
， 其中
n n
aij
(i,
j)，则A是正定矩阵.
3．(
)若n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．
2
f ( x)x122 x222 x324x1x24 x1x38 x2x3(14分)
五.证明题(每题9分，共27分)
1.设V为数域P上的n维线性空间，1,2,L ,n为V的一组基,证明
V= L(1,12, L ,12Ln) .
2．设1,2,,n为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充
分必要条件是，对V中任意向量都有
=
P[x]n-1,
A的核A1(0)=P
1
0
0
4、已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为
0
0
0
0
2
则A（λ）的不变因子
1，λ，λ(λ+1)
；
3阶行列式因子D3
λ2(λ+1)
=_______________.
4
幻灯片3
一、填空题（每小题
3分，共21分）
5、若4阶方阵A的初等因子是
(λ-1)2, (λ-2), (λ-3)，
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B卷）
一．填空题（每小题3分，共21分）
1.在P[ x]3中, x2- 2x -3在基1, ( x -1), (x -1)2下的坐标为
2.
设n阶矩阵A的全体特征值为1,2,L
,n
，f ( x)为任一多项式， 则f ( A)的
全体特征值为
.
3.
在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换A: A( f ( x ))
这两个欧氏空间有相同的维数
二、 选择题（ 每小题2分，共10分）
1、( )
已知
V {( a bi, c di) a, b, c, d R}
D
为
R上的线性空间，则dim(V)
为
（A）1;（B）2;（C）3;（D）4
2、（D） 下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A
可对角化的充要条件：
(A) A有n个线性无关的特征向量；(B) A的初等因子全是1次的；
(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) 4
2.( )下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件
(A)
A有n个线性无关的特征向量；
(B)
A的初等因子全是1次的；
(C)
A的不变因子都没有重根；
(D)
A有n个不同的特征根；
3．(
)设三阶方阵Байду номын сангаас的特征多项式为
f ( )
3
22
2 3，则| A|
1
(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) -3
x2
2x
3
4
( x 1)2
2、设n阶矩阵A的全体特征值为
1,2,L ,n.
f (x)为任一多项式，则
f (A)
的全体特征值为
f (1),..., f (
n)
幻灯片2
3
一、 填空题（每小题3分，共21分）
3、在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换
A: A( f ( x )) f ( x ),则A的值域A P[x]n