命题,定理,证明 习题

真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．在下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平方根与立方根相
等的数有 和 ；③在同一平面内，如果
，
，则
；④直线 外一点 与
直线 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是 ，则点 到直线 的距离是 ； ⑤无理数包括正无理数、零和负无理数.其中真命题的个数是（ ）
同，那么排名情况有（ ）种可能．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同有 4 种可能，分别列举，
【详解】
解：他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同有 4 种可能，第二位同学的排名
有 2 种可能，第三位与第四位的排名是确定的．
（如：甲的排名没有变，仍为第一，则乙到了第三或第四．假设乙到了第四，则丙就是
2019 年 4 月 16 日初中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．下列选项中，可以用来说明命题“若
，则 ”是假命题的反例是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
C、∠A 是锐角是命题，故不符合题意；
D、中国是世界上人口最多的国家是命题，故不符合题意，
故选 A．
【点睛】
本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．
10．在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名．在期末
考试中，他们又是班上的前四名．如果他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
正确的个数有
A．4 个
B．3 个
Байду номын сангаас
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【解析】
【分析】
（1）分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出
答案；
（2）根据等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三
角形的性质求解即可求得答案
B．12
C．13
D．14
【答案】A
【解析】
【分析】
首先把楼层看作点，大楼中任意的两层，有一部电梯都可停靠，则两层所代表的点之间
可以连一条线段，进而得出四部电梯最多可以连 15×4=60 条线段，再求出楼层与线段
条数关系，进而得出答案．
【详解】
解：首先把楼层看作点，
大楼中任意的两层，有一部电梯都可停靠，则两层所代表的点之间可以连一条线段，
④直线 c 外一点 A 与直线 c 上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长是 5cm,则点 A
到直线 c 的距离是 5cm，故④是真命题；
⑤无理数包括正无理数和负无理数，故⑤是假命题；
故选 A.
【点睛】
本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握平行公理、平方根与立方根的定义、两直
线的位置关系等知识.
C、
是最简二次根式，故本选项正确；
D、空间内与直线 AB 距离等于 1 厘米的点的轨迹是平行于直线 AB 且和 AB 距离为 1cm 的 无数条直线，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查命题与定理，解题的关键是根据相关知识点判断每个命题的真假. 14．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°”时应假设 （） A．三角形中有一个内角小于或等于 60° B．三角形中有两个内角小于或等于 60° C．三角形中有三个内角小于或等于 60° D．三角形中没有一个内角小于或等于 60° 【答案】D 【解析】 【分析】 熟记反证法的步骤，直接选择即可． 【详解】 根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设三角形中没有一个内角小于或等于 60°． 故选：D. 【点睛】 此题主要考查了反证法的步骤，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 15．下列命题正确的是（ ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【详解】
解：①有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故③错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确；
故选：B．
【点睛】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的
13．下列命题中，真命题是（ ）
A．当路程一定时，时间与速度成正比例
B．“全等三角形的面积相等”的逆命题是真命题
C．
是最简二次根式
D．到直线 AB 的距离等于 1 厘米的点的轨迹是平行于直线 AB 且和 AB 距离为 1cm 的一条
直线 【答案】C 【解析】 【分析】 利用路程、速度、时间的关系、全等三角形的性质、最简二次根式的定义及轨迹的定义 分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 A、当路程一定时，时间与速度成反比例，故本选项错误； B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等，是假命题，故本选 项错误；
10 层楼需要：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 条线段，
11 层楼需要：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55 条线段，
12 层楼需要：11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66 条线段，
∴这个大楼的层数不超过 11 层．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了推理与论证，将楼层看作点数进而求出线段条数进而求出是解题关键．
B．对角线相互垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案． 【详解】 解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，此 选项错误；
第二，丁第三．）
所以有 2×4=8 种．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了枚举法的应用，根据已知得出所有的结果，以及分类讨论得出是解题关
键．
11．一座大楼有 4 部电梯，每部电梯可停靠六层（不一定是连续六层，也不一定停最底
层）．对大楼中任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，则这座大楼最多有（ ）
层．
A．11
位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据绝对值、有理数乘法符号规律以及平行线性质分析得出即可．
【详解】
解：A、若|a|=|b|，那么 a=b，或 a=-b，故此选项 A 错误；
B、如果 ab>0，那么 a，b 都是同号，此选项 B 错误；
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项 C 正确；
【详解】
用来证明命题“若
，则 ”是假命题的反例可以是：
，
∵
，但是 =−2<1，∴A 正确；
故选：A.
【点睛】
考查反证法，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题叫
做反证法.
2．下列命题：①内错角相等；②同旁内角互补；③直角都相等；④若 n＜1，则 n2﹣1
＜0．其中真命题的个数有（ ）
故选 A． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命 题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．下列说法中，正确的是 A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互逆命题的定义对 A 进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对 B、C、D 进 行判断． 【详解】 选项 A，每个命题都有逆命题，所以 A 选项正确； 选项 B，每个定理不一定有逆定理，所以 B 选项错误； 选项 C，真命题的逆命题不一定是真命题，所以 C 选项错误； 选项 D，假命题的逆命题不一定是假命题，所以 D 选项错误． 故选 A． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题 许多命题都是由题设和结论 两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如 果 那么 ”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 9．下列语句不是命题的是（ ） A．明天有可能下雨 B．同位角相等 C．∠A 是锐角 D．中国是世界上人口最多的国家 【答案】A 【解析】 【分析】 根据命题的概念逐一进行分析即可得到答案. 【详解】 A、明天有可能下雨，不是判断语句，故不是命题，符合题意； B、同位角相等是命题，故不符合题意；
B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形，此选项错误； C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形，此选项错误； D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，此选项正确； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形 以及矩形的性质，此题难度不大．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据内错角、同旁内角和直角以及平方进行判断即可．
【详解】
①内错角相等，是假命题；②同旁内角互补，是假命题；③直角都相等，是真命题；④
若 n＜1，则 n2-1＜0，是假命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题是由题设和结论两部分