6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套学案(人教A版2019必修第二册)
【教案】向量的数乘运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.3向量的数乘运算一、内容和内容解析内容：向量的数乘运算．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节第三课时的内容．实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义.（2）了解平面向量的线性运算的运算律和运算性质．目标解析：（1）学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义．学生能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的.（2）学生能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意义.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的数乘运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：与物理中的矢量对比，从大小和方向两个角度分析.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：数形结合，借助图象加强理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量数乘运算的法则，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过问题串的形式引导学生分析问题，解决问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境.通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容.通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情景引入新知[问题1]实数运算,x+x+x=3x,思考→→→+ +aaa能否写成→a3呢?1.创设情境，生成问题夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．2.探索交流，解决问题教师1：提出问题1．学生1：学生思考．可以,即3a a a a++=.问题引入：通过设计的问题，让学生开始认识数乘运算及其运算律，和共线向量的定[问题2]→a3与→a的方向有什么关系?→a3-与→a的方向呢?[问题3]按照向量加法的三角形法则,若→a为非零向量,那么→a3的长度与→a的长度有何关系.[问题4]实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a ,若把实数a,b换成向量→a,→b,上式是否仍成立?教师2：提出问题2．学生2：→a3与→a的方向相同,→a3-与→a的方向相反.教师3：提出问题3．学生3：→a3的长度是→a的长度的3倍,即若|→a|=λ,则|→a3|=3λ.教师4：提出问题4．学生4：成立,向量同样满足分配律、结合律.理.明确概念，理解定理[问题5]阅读课本，回答以下问题：（1）向量的数乘运算定义；（2）它的大小和方向如何确定？（3）数乘的运算律有哪些？教师5：提出问题5．学生5：定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.学生6：规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.学生7：运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.教师6：我们把向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从【练习1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则( ) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反【练习2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2b B．aC．a－6b D．a－8b[问题6] a＝λb⇒a与b共线，对吗？[问题7]若a与b共线，一定有a＝λb吗？[问题8]若两个非零向量→a,→b共线,是否一定存在实数λ使得→b=→aλ?教师6：完成【练习】学生8：第一题答案：C∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．学生9：第二题答案D教师6：提出问题6．学生10：对．教师7：提出问题7．学生11：不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.教师8：提出问题8．学生12：一定存在,且是唯一的.教师9：向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．通过探究让学生理解向量共线定理，培养数学抽象的核心素养.典例探究落实巩固1.向量的线性运算例1.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．2.向量共线定理及其应用例2.已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1+e2，BC→＝2e1+8e2，CD→＝3(e1-e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．教师10：完成例1．学生13：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]＝12(3a－23a＋2b－b)－76(12a＋12a＋37b)＝12(73a＋b)－76(a＋37b)＝76a＋12b－76a－12b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.教师11：小结：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.教师12：完成例2．学生14：(1)证明：因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k－λ＝0，λk－1＝0，所以k＝±1.教师13：完成例3．学生15：因为AB→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，所以AB→例1：巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．例3.如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知 AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量AC →,MN →.[课堂练习1]已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________． [课堂练习2]如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC =.（1）用AB ，AD 表示DC ； （2）若2AE EB =，34DP DE =，用AB ，AD 表示AP .＝2DC →，DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.教师18：布置课堂练习1、2．学生16：完成课堂练习，并核对答案．1. 答案：－13由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.2.（1）因为DC DA AB BC =++，所以1122DC DA AB AD AB AD =++=-；（2）因为14AP AE EP AE DE =+=- ()14AE AE AD=--， 所以3132144434AP AE AD AB AD =+=⋅+ 1124AB AD =+.课堂练习1： 让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．课堂练习2： 利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2b B．－2bC．0D．b－a2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB→＝a，AC→＝b，则AM→等于教师19：提出问题9．学生17：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.C 3.D 4.－2师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深( )A.12(a －b ) B.－12(a －b )C.12(a ＋b ) D.－12(a ＋b )3.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →＝( ) A ．12AB →＋12AD →B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD →4.已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.3向量的数乘运算(共31张ppt)
相反向量： − = −；
零向量： = 或 = ⇔ =
例题剖析
例1.把下列小题中的向量表示为向量的数乘形式。
Ԧ
՜
՜
՜
() = , = ՜
;
՜
= ՜
՜
՜
՜
() = , = − ՜
方向：当 > 0时，的方向与的方向相同；
当 < 0时， 的方向与的方向相反；
当 = 0时， =
概念讲解
注意
①向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和λ以及 有关；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减， + ， − 无意义；
||
③ 表示和向量 方向相同的单位 向量
概念讲解
例2：计算（）(−) ×
（）( + ) − ( − ) −
（）( + − ) − ( − + )
解：（1）原式= − × ՜
= − ՜
՜
՜ ՜
՜
՜
՜
（2）原式= + − + − =
情境导入
夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,这说明声速与
光速的大小不同,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速是声速的88万倍.
思考：若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于实数,则v1与v2有何
关系?
PART.02
向量的数乘运算
概念讲解
探究1：已知非零向量，请同学们作出 + + 和 − + − + − ，并请同学们
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
人教A版必修第二册 第6章 6.2.3 向量的数乘运算 学案
6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点) 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养.2.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养.1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 思考：定理中把“a ≠0”去掉可以吗？[提示] 定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa .1．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2bD ．a ＝－2bA [因a ，b 方向相同，故b ＝2a .]2．点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是( ) A.AB →＝3BC → B.AC →＝2BC →C.AC →＝12BC →D.AC →＝2CB → D [由题意可知：AB →＝－3BC →；AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确．] 3．化简：2(3a ＋4b )－8a ＝________. －2a ＋8b [原式＝6a ＋8b －8a ＝－2a ＋8b .]4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.2 [由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2.]向量的线性运算【例1】 (2)化简下列各式： ①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .(1)4b －3a [由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a .](2)[解] ①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . ②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .[解] (1)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b .(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以y ＝4a ＋3b .所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .向量共线定理[探究问题]1．如何证明向量a 与b 共线？[提示] 要证明向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可，一般地，把a 和b 用相同的两个向量m ，n 表示出来，观察a 与b 具有倍数关系即可．2．如何证明A ，B ，C 三点在同一直线上？[提示] 要证三点A ，B ，C 共线，只需证明AB →与BC →或AB →与AC →共线即可． 【例2】 (1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x＋y 的值．[思路探究] (1)表示出AB →与AD →→证明AB →＝λAD →→ A ，B ，D 三点共线(2)A ，B ，P 三点线→AP →＝λAB →→用OA →，OB →表示OP →→观察x ＋y 的值 [解] (1)证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有交点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1.1．本例(1)中把条件改为“AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2”，则A ，B ，C ，D 中哪三点共线？[解] ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2．本例(1)中条件“AB →＝2e 1－8e 2”改为“AB →＝2e 1＋k e 2”且A ，B ，D 三点共线，如何求k 的值？[解] 因为A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线．设AB →＝λBD →(λ∈R )， ∵BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∴2e 1＋k e 2＝λe 1－4λe 2.由e 1与e 2不共线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2e 1＝λe 1，k e 2＝－4λe 2，∴λ＝2，k ＝－8. 3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线. ①OP →＝13OA →＋23OB →； ②OP →＝－2OA →＋3OB →； ③OP →＝45OA →－15OB →.[解] ①中∵13＋23＝1，∴P ，A ，B 三点共线；②中∵－2＋3＝1，∴P ，A ，B 三点共线； ③中∵45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝35≠1，∴P ，A ，B 三点不共线．1．证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB →＝λAC →(或BC →＝λAB →等)即可．(2)利用结论：若A ，B ，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →且x ＋y ＝1.2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a ＝λb (b ≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】 (1)如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b(2)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.[思路探究] 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．(1)D [DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD →＝AB →－12AD →＝a －12b .](2)由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a . CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .1．本例(1)中，设AC 与BD 相交于点O ，F 是线段OD 的中点，AF 的延长线交DC 于点G ，试用a ，b 表示AG →.[解] 因为DG ∥AB ， 所以△DFG ∽△BF A ，又因为DF ＝12OD ＝12×12BD ＝14BD ， 所以DG AB ＝DF BF ＝13，所以AG →＝AD →＋DG →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .2．本例(1)中，若点F 为边AB 的中点，设a ＝DE →，b ＝DF →，用a ，b 表示DB →.[解] 由题意⎩⎨⎧a ＝AB →－12AD →，b＝12AB →－AD →，解得⎩⎨⎧AB →＝43a －23b ，AD →＝23a －43b ，所以DB →＝AB →－AD →＝23a ＋23b.用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．2.如图所示，四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →.[解] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12c －b ＋12a ＝12a －b －12c .1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b ＝λa .若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．4．共线向量定理的应用①证明向量共线：对于向量a 与b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线(平行)．②证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A 、B 、C 三点共线． ③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．②若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0. 5．注意记住以下结论并能运用(1)若A ，B ，P 三点共线，则OP →＝xOA →＋yOB →且x ＋y ＝1. (2)在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)． (3)在△ABC 中，若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.1．判断正误(1)若b ＝λa ，则a 与b 共线．( )(2)若λa ＝0，则a ＝0.( )(3)(－7)·6a ＝－42a .( )(4)若AB →＝λCD →(λ≠0)，则A ，B ，C ，D 四点共线．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ A [对于①，b ＝－a ，有a ∥b ；对于②，b ＝－2a ，有a ∥b ；对于③，a ＝4b ，有a ∥b ；对于④，a 与b 不共线．]3．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________.－4 [因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ，k ＝8λ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．] 4．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.[解] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.。
向量的数乘运算(两课时) 导学案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.3 向量的数乘运算第一课时【学习目标】理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；【自主学习】1.向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向: 当0>λ时，与a 的方向相同；当0<λ时，与a 的方向相同；特别地，当λ＝0时，λa ＝0.，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a . 2.向量数乘的运算律(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb . 3. 向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .【合作探究】【探究一】 已知向量a 和向量b ，求作向量－2.5a 和向量2a －3b .【探究二】 计算：（1）3(a －b )－(a ＋2b )；（2）(2a ＋6b －3c )－2(－3a ＋4b －2c ).【探究三】 如图，在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：b aEF DC AB 2=+。
【探究四】 如图，解答下列各题．（1）用a d e ，，表示DB ；（2）用b c ，表示DB ；（3）用a b e ，，表示EC ；（4）用d c ，表示EC ．【当堂检测】1.计算：（1）3(－4a ＋5b )； （2）6(2a －4b )－(3a －2b ).2.如图，已知向量a ，b ，求作向量：（1）－2a ； （2）－a ＋b ； （3）2a －b.3.（1）已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－5e 2，求4a －3b （用e 1，e 2表示）.（2）已知向量为,a b ，未知向量为y x ,向量,a b ，y x ,满足关系式32,43x y a x y b -=-+=，求向量y x ,．ab4.已知OA 和OB 是不共线的向量，()R AP t ABt =∈,试用OA 和OB 表示OP .5．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC =. （1）用AB ，AD 表示DC ；（2）若2AE EB =，34DP DE =，用AB ，AD 表示AP .6．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使13DB OB =，DC 与OA 交点为E ，设,OA a OB b ==，用a ，b 表示向量OC ，DC .6.2.3 向量的数乘运算第二课时 向量共线定理【学习目标】1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.【自主学习】向量共线定理：如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.【合作探究】例1 判断下列各小题中的向量a ,b 是否共线（其中12,e e 是两个非零不共线向量）． （1）115,10a e b e ==-；（2）121211,3223a e eb e e =-=-； （3）1212,33a e e b e e =+=-．例2 设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线； （2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值.例3 如图2－2－11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC .思考：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？例4 已知ABC 的三个顶点A ､B ､C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则ABP △与ABC 的面积比为 .【当堂检测】1.已知→→b a ,是起点相同的不共线向量，当t 取多少时，)(31,,→→→→+b a b t a 三个向量的终点在一条直线上．2.如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若→→=AM m AB ,→→=AN n AC ,求n m +的值．3.若点M 是ABC 所在平面内的一点，点D 是边AC 靠近A 的三等分点，且满足5AM AB AC =+，则ABM 与ABD △的面积比为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．9254．已知D 是ABC 的边AB 的中点，点M 在DC 上，且满足53AM AB AC =+，则ABM 与ABC 的面积之比为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．455.如图，在ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =． （1）用a ，b 表示AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．。
人教A版(新教材)必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 学案(含答案)
人教A版（新教材）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案（含答案）6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.特别地，当0时，a0.当1时，1aa.知识点二向量数乘的运算律1.1aa.2aaa.3abab.特别地，aaa，abab.2.向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.知识点三向量共线定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.3.若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.4.|a||a|.提示|a||||a|.一.向量的线性运算例11若a2bc，化简3a2b23bc2ab等于A.aB.bC.cD.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.2若3xa2x2a4xab0，则x________.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.二.用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC 的中点，若ABa，ADb，则DE等于A.12abB.12abC.a12bD.a12b答案D解析因为E是BC的中点，所以CE12CB12AD12b，所以DEDCCEABCEa12b.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法1直接法2方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.三.向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.1若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证A，B，C三点共线；2若8akb与ka2b共线，求实数k的值.1证明ABOBOA3ab2aba2b，而BCOCOBa3b3ab2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.2解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akbka2b，即8kak2b0，a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.反思感悟1证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC或BCAB 等即可.2利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC 中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为A.1B.2C.3D.4答案B解析连接AO图略，O是BC的中点，AO12ABAC.又ABmAM，ACnAN，AOm2AMn2AN.又M，O，N三点共线，m2n21，则mn2.素养提升1本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC，且xy1.2应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.1.下列运算正确的个数是32a6a；2ab2ba3a；a2b2ba0.A.0B.1C.2D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；a2b2baa2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若ABa，ACb，则AM等于A.12abB.12abC.12abD.12ab答案C解析因为M是BC的中点，所以AM12ab.3.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP，则A.PAPB0B.PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC0答案B解析因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4a3b62ba________.答案10a解析4a3b62ba4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k________.答案94解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得ABBD，又AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，所以BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，所以3e12e23ke12k1e2，所以33k，22k1，解得k94.1.知识清单1向量的数乘及运算律.2向量共线定理.2.方法归纳数形结合.分类讨论.3.常见误区忽视零向量这一个特殊向量.。
6.2.3 向量的数乘运算 教案-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.3 向量的数乘运算教案第一课时向量数乘运算及其性质（一）课时教学内容向量数乘运算及其性质．（二）课时教学目标借助实例分析，掌握向量的数乘运算及其性质．（三）教学重点与难点重点：向量的数乘运算、运算规则．难点：对向量数乘运算的理解．（四）教学过程设计引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？1．创设问题，引入新知问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的长度和方向是怎样的？师生活动：教师组织学生画图尝试计算，并从形与数两个角度表达自己的计算结果．教师还可以组织学生举一些类似的例子，并探究结论．如可以借助几何画板等信息技术手段作出4a等向量，与向量a进行比较，发现它们之间的关系．让学生初步体会对的不同值，向量与a之间的关系，体会这种向量运算所蕴含的数与形的含义．最后教师引导学生类比数的乘法，给出向量数乘运算的概念．设计意图：类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a（或-a）的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展学生的运算素养．2．巩固向量数乘运算的概念问题2如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？师生活动：教师组织学生自己画图，分析、表达结果：b=3.5a，b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍．设计意图：通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘运算的概念．3．探究向量数乘运算的运算律问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？请你写出来并加以验证．师生活动：学生类比数的运算律提出向量数乘运算的运算律，再借助向量数乘运算的定义，自主验证向量数乘运算的三个运算律．对于有困难的学生可以组间交流，教师指导．另外，在教师引导下，将向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运算，即定义线性运算．要给学生说明，有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这就为向量法解决几何问题奠定了基础．关于向量的线性运算的运算性质，也要让学生加以了解．设计意图：学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．4．巩固新知例1 计算：（1）(-3)×4a；（2）3(a+b)-2(a-b)-a；（3）(2a+3b-c)- (3a-2b+c)．师生活动：教师引导学生步步有据地展开运算，给出运算过程和结果．教师必要时可以提醒学生，虽然向量的数乘运算及运算律与数的运算及运算律非常类似，但也要注意区别，运算的结果是向量而不是数量．设计意图：帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2 如图1，,师生活动：（1）让学生自主尝试本问题的解决，体会化归的思想方法；（2）教师适时渗透“给定平面内任意两个不共线的向量a，b，能否用它们表示该平面内的其他向量”的问题，培养问题意识，为平面向量基本定理的教学埋下伏笔．设计意图：巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定基础．5．课堂练习教科书第15页的练习．设计意图：考查学生向量数乘运算及其几何意义的理解情况．6．布置作业习题6.2的第8题．（五）目标检测1．设a，b为向量，计算下列各式：（1）．设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．2．把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：（1）设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．第二课时共线向量与向量数乘运算的关系教案（一）课时教学内容共线向量与向量数乘运算的关系．（二）课时教学目标掌握共线向量与向量数乘运算的关系．（三）教学重点与难点重点：共线向量与向量数乘运算的关系．难点：对共线向量与向量数乘运算的关系的理解．（四）教学过程设计1．创设情境，探讨共线向量定理问题1向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量与a （a ≠0，是实数）之间的位置关系吗？对于向量a，b及实数，（1）如果b=a（a≠0），向量a与b是否共线？（2）如果向量b与非零向量a共线，b=a成立吗？师生活动：学生独立思考的基础上，小组交流．从正反两个方面讨论共线向量的数乘运算表达．引导学生概括共线向量定理，并关注学生对定理中有关充要条件以及对的唯一性的理解．这里可以借助信息技术手段加以演示，让学生直观感知共线向量定理．最后师生共同概括出共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa．追问1：如图1，若P为AB的中点，则的关系如何？学生独立思考的基础上得到：设计意图：让学生通过探讨共线向量与向量数乘运算的关系得出共线向量定理．2．例题引领，综合运用知识例1如图2，已知任意两个非零向量a，b，试作．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．师生活动：学生自主尝试，作图、观察，得到猜想：A，B，C三点共线．教师可以运用多媒体手段辅助，让学生充分直观感知猜想的合理性．然后，教师引导学生转换命题，体会判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线．由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线．本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即考虑是否存在λ，使成立．最后，师生共同给出证明．追问2：已知不共线向量a，b，作向量终点轨迹有什么规律吗？（呢？）追问3：已知不共线向量a，b你能解释的几何意义吗？向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数．设计意图：通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养．例2已知a，b是两个不共线的向量，向量共线，求实数t 的值．师生活动：教师引导学生阅读题意，明晰题目的条件和要求的结论．学生先自主探究，然后交流解题思路，在学生充分讨论的基础上，教师适时介入，并概要地说明解决问题的关键：判断两个向量共线，首先要考虑其中一个向量不为零向量，可以采取反证法说明向量a－b不为零向量（否则a，b共线），就可以运用共线向量定理建立两个向量之间的关系，进而把这个关系转化成方程或方程组，使问题获得解决．教学中应引导学生体会：（1）数学解题的过程本来就是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的过程；（2）方程（组）思想是求解未知量的极好武器．设计意图：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．3．课堂小结提升问题2通过本节课的学习，我们知道了向量的数乘运算及其几何意义，那么实数与向量还能有其他运算吗？比如相加、相减、相除．你认为共线向量定理与证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系之间有什么关系？师生活动：学生思考、回答，教师总结：实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减，实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量．向量共线定理是用向量方法证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系的理论依据．设计意图：通过问题2对本节课内容进行小结，进一步加深学生对向量数乘运算的理解．4．课堂练习教科书第16页的练习．设计意图：考查学生对共线向量定理的理解情况．5．布置作业习题6.2的第9，14题．（五）目标检测设计1．已知共线，求实数t的值．设计意图：考查学生将向量共线问题转化为方程组问题求解的能力．2．已知，求证：A，B，C三点共线．设计意图：考查学生运用数乘向量运算和共线向量定理进行推理的能力．3．如图，成立，则=（）．设计意图：考查学生结合图形性质运用向量线性运算求解的能力．（六）单元小结问题（1）概述本单元平面向量加法、减法、向量数乘运算（向量的线性运算）是如何定义的．（2）结合实例分别说明向量加法、减法和向量数乘运算的几何意义，共线向量与向量数乘运算的关系．（3）说明为什么要研究平面向量加法、向量数乘运算的运算律，这些运算律的几何意义是什么．（4）概述平面向量线性运算有哪些简单应用．师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，师生辨析完善．在这个过程中，教师不仅要关注学生对基本知识的表达，更要关注学生是否善于借助举例表达对相关知识的理解，是否能察觉知识发生发展的过程中重要的数学思想方法，是否善于概括总结自己的学习收获，发展学生的数学素养．设计意图：（1）让学生回顾借助物理背景，类比数的运算定义向量加法、减法和向量数乘运算的过程．（2）让学生体会向量集几何、代数于一身的两重性，给我们研究数学问题带来极大的方便，如向量数乘运算直接刻画了一类平行向量的关系．（3）让学生体会运算律为我们进行向量的综合运算，进而解决一些相关的问题带来很大方便．（4）明确向量线性运算的背景、法则、几何意义、运算律的基础上，让学生梳理向量线性运算在解决简单的几何问题、物理问题等方面的运用，初步体会向量运算的作用．。
人教A版高中数学必修第二册6.2.3 向量的数乘运算 【教学设计】
6.2.3向量的数乘运算本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
课程目标学科素养A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
1.数学抽象：实数与向量的积的定义；2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平行；3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；4.直观想象：共线向量定理。
1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标特点:同一起点,对角线。
设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）aa )()(λμμλ=（2）aa a μλμλ+=+)(（3）ba b a λλλ+=+)(特别地，有)()()(a a a -=-=-λλλba b a λλλ-=-)(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
注：向量的线性运算的结果仍为向量。
对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±。
[来源:学科网ZXXK]例1：计算(1)a4)3(⨯-(2)ab a b a ---+)(2)(3(3))23()32(c b a c b a +---+注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。
6.2.3 向量的数乘运算(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
b a
15
向量的数乘运算 例练结合
例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与 1 a- 3 b共线，求实数t.
22
解：由a,b 是两个不共线的向量，易知向量 1 a- 3 b 为非零向量. 22
由向量b ta，1 a- 3 b 共线,可知存在实数,使得
22
b ta ( 1 a- 3 b)， 即(t 1 )a ( 3 1)b，
(4)若向量 a 和 b 不共线，且λa=μb,则必有λ=μ=0.( ) (5)若向量 AB ,CD 共线，则 A,B,C,D 四点共线( ) (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 【牛刀小试 2】判断下列各小题的向量 a与b 是否共线。
（1） a 2e,b 2e;
（2） a e1 e2,b 2e1 2e2;
13
向量的数乘运算 例练结合
例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB a, AD b, 试用 a, b 表示向量 MA, MB, MC 和MD.
解：在□ABCD中， AC AB AD a b; DB AB AD a b.
D
C
b
M
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
A
a
B
19
向量的数乘运算 方法小结
(1)直接法．
(2)方程法． 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关 于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
20
3:6
课堂小结
(1)通过这节课，你学到了什 么知识？
(2)在解决问题时，用到了哪 些数学思想？
作业：第15页 练习第1，2，3 题，第16页练习第1,2,3题第23 页习题6.2 第8,9,14,15题。
6.2.3向量的数乘运算+教学案2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.3向量的数乘运算教学目标：1.掌握实数与向量积的定义2.掌握实数与向量积的三条运算律3.会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算教学重点：掌握实数与向量积的三条运算律教学难点：会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算教学过程：一、导入新课，板书课题我们学习了向量的加减法，那么3a(a为非零向量），如何计算呢？【板书：向量的数乘运算】二、出示目标，明确任务1.掌握实数与向量积的定义2.掌握实数与向量积的三条运算律3.会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（4min）下面，阅读课本P13-P15页练习以上内容，思考如下问题：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材1.自学指导（5min）阅读课本13-15页的内容，思考并完成如下问题（1）已知非零向量a，作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a），他们的长度和方向分别是怎样的？（2）什么叫向量的数乘？符号语言记作（）？你对零向量和相反向量有什么新的认识？（3）回答14页的思考题？（4）根据实数和向量积的定义，向量积的运算律有哪些？试着证明?（5) 通过学习向量的线性运算，独立完成例五（做完再对答案）（6）学习例6，首先审题回顾本题中用到了平行四边形的什么性质？用向量把需要的线段表示出来？说出本题中用了哪些向量的线性运算？审题：关键词：知识点：关联知识点：作答：五、自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT）精讲点拨：自学指导1：点拨1.准确掌握向量积的运算律λ点拨2.实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a六、课堂小结，构建思维导图我们一起来回顾一下本节课所学的知识点七、整理知识，背诵记忆λ向量的数乘定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a 向量的线性运算：包括向量的加、减、数乘运算八、当堂训练，巩固运用P15练习3九、课后作业1.巩固本节课所学内容2.完成当堂训练作业，将错题改到错题本上。
向量的数乘运算(第二课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
b b a ( R )
l
根据这一定理，设非零向量 a 位于直线l上，那对于直线l
b a
上的任意一个向量 b ，都存在唯一的一个实数λ，使________.
也就是说，位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的
一个非零向量表示.
a
b
小试牛刀
如图，
2
2
1
3
解：由a ,b 是两个不共线的向量，易知向量 a - b 为非零向量.
2
2
1
3
由向量b ta， a - b 共线,可知存在实数 ,使得
2
2
1
3
1
3
b ta ( a - b )， 即( t )a ( 1)b，
2
2
2
2
1
t 0
2
，
1
由a ,b 不共线,可得
追问 当 = 0 时，结论1成立吗？
新知探究
问题2 反过来，如果 ( ≠ )与共线，是否存在实数使 = ？
已知向量 与共线，且向量的长度是向量 的长度的||倍，即||=||
那么：当 与 同方向时，有 > ；
当 与 反方向时，有 < ；
结论2：反过来，如果 （ ≠ ）与共线，存在唯一实数， 使 =
3 1 0 解得t 3 .
2
1
3
1
因此,当向量b ta， a - b 共线时,t .
2
2
3
巩固练习
课本P16
1. 判断下列各小题中的向量a ,b是否共线.
(1) a 2e ,b 2e；
6.2.3 向量的数乘运算(第二课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
练习巩固
变式1-1：已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有(
Ԧ
① a 5e1, b 7e1;
.①②
B.①③
1
1
a
e
e2 , b 3e1 2e2 ;
②
1
2
3
C.②③
)
③ a e1 e2 , b 3e1 3e2 .
D.①②③
有且只有一个
探索新知
向量共线定理：
向量a(a ≠ 0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 = λa.
根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向
量都存在唯一的一个实数λ，使 = λa
a
位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
探索新知
思考：a为什么要是非零向量？
复习导入
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做
向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa| = |λ||a|；
(2)当λ > 0时，方向相同；当λ < 0时，方向相反.
结合律
第一分配律
第二分配律
特别地，有
探索新知
思考1：向量数乘运算后，实数与向量的积λa与原向量a之间有怎样的位
=
= +
= +
+ =1
练习巩固
练习2：设，是不共线的两个向量.
Ԧ
(1)若OA = 2Ԧ − ，OB = 3Ԧ + ，OC = Ԧ − 3，求证：A，B，C三点共线；
解：(1)证明：∵ = − = (3 + ) − (2 − ) = + 2，
数学新教材高一下人教A版(2019)必修 第二册向量的数乘运算
点睛
(1)若 λa＝0，则 λ＝0 或 a＝0； (2)当 a≠0 时，向量|aa|是与向量 a 同向的单位向量.
(2)设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝___λ_μ_a___； ②(λ＋μ)a＝___λ_a_＋__μ_a____； ③λ(a＋b)＝___λ_a_＋__λ_b____. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb.
2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则( C )
A.|a|＝|b|
B.4|a|＝|b|
C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反
解析 ∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|.
∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同.
3.在▱ABCD 中，A→B＝2a，A→D＝3b，则A→C等于( C )
A.a＋b
第六章
6.2.3 向量的数乘运算
课标要求
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义， 理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
素养要求
通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产 生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养.
2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使___b_＝__λ_a___.
点睛
规定0向量与任意向量共线.
3.向量的线性运算 向量的_加__、__减__、__数__乘___运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝______λ_μ_1_a_±__λ_μ_2_b_____.
∴A→B，B→D共线，且有公共点 B，
高一数学必修第二册-2019(A版)-6.2.3-向量的数乘运算-导学案(2)
1 / 76.2.3 向量的数乘运算1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.一、 预习导入阅读课本13-16页，填写。
1、定义实数与向量的积是一个_________，记作_________. 它的长度和方向规定如下： （1）.（2）时，的方向与的方向_________；当时，的方向与的方向_________；λa ||||||λa λa 0λλa a 0λλa a2 / 7特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是___________________________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a 的方向与a 的方向一致．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( )(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若m a ＝mb ，则a ＝b .( )2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( )A ．b ＝2aB ．b ＝－2aC ．a ＝2bD ．a ＝－2b3．在四边形ABCD 中，若AB ―→＝－12CD ―→，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______.题型一 向量的线性运算 例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；0λ0a 0λa a b λμ()λμa λaμa ()()λμa λμa ()λab λaλb b a3 / 7(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y . 题型二 向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.题型三 共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．4 / 71.13⎣⎡⎦⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )二、 ①m (a －b )＝m a －mb ；②(m －n )a ＝m a －；③若m a ＝mb ，则a ＝b ；④若m a ＝na ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③ D ．③④3.如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →＝( )A ．－13a ＋34b B.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b 4．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④5．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．6．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE＝23AD ，＝a ，＝b .5 / 7(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．答案小试牛刀 1. (1)×(2) ×(3)× 2．A. 3．C. 4. －a ＋8b. 自主探究例1 【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b .(2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .跟踪训练一【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎨⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .6 / 72、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .例2 【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c .∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .跟踪训练二1、【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .例3 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ．∴A ，B ，D 三点共线．7 / 7(2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(K λ－1)e 2.∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.跟踪训练三【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)，∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 当堂检测1-4.BBDA 5. －2或136．【答案】见解析. 【解析】。
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6.2.3 向量的数乘运算【学习目标】一．向量的数乘运算 1．向量的数乘运算的概念一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝ ．(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ＝ ．注意：λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa )＝ ． (2)(λ＋μ)a ＝ ． (3)λ(a ＋b )＝ ． 3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ ． 二．共线向量定理1.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ． 注意：(1)定理中，向量a 为非零向量(2)要证明向量a ，b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa 即可．(3)由定理知，若向量AB→＝λAC →，则AB →，AC →共线．又AB →，AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 2.三点共线的性质定理若平面内三点A ，B ，C 共线，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量．( ) (2) 若m a ＝m b ，则a ＝b .( ) (3) (m －n )a ＝m a －n a.( )(4)若向量a 和b 不共线，且λa ＝μb ，则必有λ＝μ＝0.( ) (5)若向量AB→，CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线．( )【经典例题】题型一 向量的的线性运算点拨：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 例1 计算(1) (－3)×4a ； (2) 3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3) (2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c ).【跟踪训练】1 （1）化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________． （2）若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，求未知向量x .题型二 用已知向量表示其他向量 (1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．例2 如图，平行四边形OADB 中，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，试用a ，b 表示OM→，ON →，MN →.【跟踪训练】2 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则AD →＝ , EB →＝ .题型三 向量共线定理及其应用(1) 若AB→＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．(2) 设OC→＝λOA →＋μOB →，若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1，则A 、B 、C 三点共线。
例3设两个非零向量a 与b 不共线，若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；【跟踪训练】3 (1)已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________． （2）已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【当堂达标】1.已知λ、μ∈R ，下面式子正确的是( ) A ．λa 与a 同向 B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |2.在□ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a ＋3bD ．2a －3b3.在△ABC 中，若AB →＋AC →＝2AP →，则PB →等于( )A ．－12AB →＋32AC → B.12AB →－32AC →C.12AB →－12AC →D ．－12AB →＋12AC →4.已知点P 在线段AB 上，且|AB→|＝4|AP →|，设AP →＝λ PB →，则实数λ＝________．5. 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）＝ .6.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE→＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示AD→，AE →，AF →，BE →，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．【课堂小结】1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2.若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB →＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．3. 设OC→＝λOA →＋μOB →，若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1，则A 、B 、C 三点共线。
【参考答案】【自主学习】一．1. 向量 λa |λ||a | 相同 相反 0 2. (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3. 线性运算 λμ1a ±λμ2b 二． b ＝λa 【小试牛刀】(1) √ (2) × (3) √ (4) √ (5)× 【经典例题】例1 解 (1)原式＝(－3)×4)a ＝－12a ； (2) 原式＝3a ＋3b ＋2a －b －a ＝5 b ；(3) 原式＝ 2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c.【跟踪训练】1 （1） 0 解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.（2）解：因为2x －23a －12b －12c ＋32x ＋b ＝0，所以72x －23a ＋12b －12c ＝0，所以72x ＝23a －12b ＋12c ，所以x ＝421a －17b ＋17c .例2 解：∵BA→＝OA →－OB →＝a －b ，∴BM →＝13BC →＝16BA →＝16(a －b )，∴OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16(a －b )＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . 由OD→＝OA →＋OB →＝a ＋b ，得ON →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b . MN→＝ON →－OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋23b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＋56b ＝12a －16b . 【跟踪训练】2 12AB →＋12AC → 34AB →－14AC → 解析：如图所示，AD →＝12AB →＋12AC →,EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →．例3 证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→、BD →共线， 又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．【跟踪训练】3 (1) －13 解析：由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.(2)[解析] 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB→，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP→＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 【当堂达标】1.C 解析: 对A ，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a 是向量而非数0；对D ，若b ＝λa ，则|b |＝|λa |.2.C 解析: AC→＝AB →＋AD →＝2a ＋3b .3.C 解析：由AB →＋AC →＝2AP →得AP →＝12(AB →＋AC →)，所以PB →＝P A →＋AB→＝－12(AB →＋AC →)＋AB →＝12AB →－12AC →. 4. 13 解析：因为|AB →|＝4|AP →|，则AP →的长度是PB →的长度的13，二者的方向相同，所以AP →＝13PB →.5. －a ＋2b 解析：原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b .6.解：(1)如图，延长AD 到点G ，使AG→＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC .则AG→＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ， BE→＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF→＝AF →－AB →＝12b －a . (2)证明：由(1)，知BE→＝23BF →，∴BE →，BF →共线．又BE→，BF →有公共点，∴B ，E ，F 三点共线．。