表上作业法解决运输问题演示教学
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运筹学运输问题表上作业法详述
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54
3. 得到调整后的调运方案：
B1
B2
B3
B4
A1
5
2
A2
3
1
A3
6
3
4.计算新方案的检验数，重复上述步骤，直至所 有检验数都 ≥0，即得到最优方案。
55
最优调运方案
B1 B2 B3 B4
A1
52
A2 3
1
A3
6
3
相应的最小总运费为：
34
Z
cij xij 3 5 10 2 1 3 81 4 6 5 3 85
θ=miinj {该闭回路中奇数次顶点调运量xij}
若有多个检验数小于零，则取其中最小的负数
52
继续上例，因σ24= -1 ，画出以x24为起始变量的闭回路
53
计算调整量： θ =Min（3，1）=1
2. 按照下面的方法调整调运量：
闭回路上，奇数次顶点的调运量减去θ ，偶数 次顶点（包括起始顶点）的调运量加上θ ；闭回 路之外的变量调运量不变。
列差额 2 5 1 3
2-13
2-12
--12
34
34 Z
cij xij 3 5 10 2 1 3 81 4 6 5 3 85
i1 j1
伏格尔法的优劣？
离最优解貌 似很近了哦
求解过程有点 麻烦呢！
用Vogel法求出的初始解叫做“近似最优解”
35
课堂练习：用最小元素法求初始解
A1 A2 A3 销量
1
1
1
1
n
行
15
产销平衡运输问题模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
第二节运输问题求解表上作业法-PPT精品
规则来选取 xij ，则得到不同的方
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
7
1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
27
由于有m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），
故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
28
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始, 任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj 从 c14 = 10 开始
19
可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
7
1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
27
由于有m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），
故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
28
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始, 任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj 从 c14 = 10 开始
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可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
表上作业法演示课件
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季 度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设cij是第i季度生 产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位 成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：
运输问题的应用
Page 19
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那 么应满足：
运输问题的应用
Page 17
3. 生产与储存问题
例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、 20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台 柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台 每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同 的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
3
11
3 5 10
1
9
2
8
7
4
10
5
表上作业法
B1 B2 B3 B4
A1
5
A2
×
A3
×
2
5
1
3
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7 1 1
表上作业法
B1 B2 B3 B4
A1
×
5
A2
3
×
A3
×
×
2
5
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7 7 1
表上作业法
Page 11
B1 B2 B3 B4
A1
×
×
5
2
1
A2
3
×
×
1
1
A3
×
6
×
3
1
5
运输问题表上作业法
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以 一个非基变量作为起始顶点，寻求闭回路。 该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变 量外，其他顶点均为基变量（对应着填上数值 的格）。
可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对 于每一个非基变量而言，以其为起点的闭回路 存在且唯一。
约定作为起始顶点的非基变量为偶数次顶点， 其它顶点从1开始顺次排列，那麽，该非基变 量xij的检验数：
（3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明 所有的产量均已运到各个销地，需求全部满足， xij 的取值构成初始方案。否则，在作业表剩余 的格子中选择下一个决策变量，返回步骤（2）。
按照上述步骤产生的一组变量必定不构成 闭回路，其取值非负，且总数是m+n-1个， 因此构成运输问题的基本可行解。 对xij的选择采用不同的规则就形成各种不 同的方法，比如每次总是在作业表剩余的格 子中选择运价（或运距）最小者对应的xij ， 则构成最小元素法，若每次都选择左上角格 子 对应的xij 就形 成西北 角法（ 也称左 上角 法）。
产量 200 100 250 100
100 90 A1
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
最小元素法实施步骤口诀 《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销；
分别使用最小元素法和西北角法求出初 始方案。 & 最小元素法的基本思想是“就近供 应” ； & 西北角法则不考虑运距（或运价），每 次都选剩余表格的左上角（即西北角）元 素作为基变量，其它过程与最小元素法相 同；
运输问题的表上作业法
表八
B1
B2
B3
B4
行差额
A1
3
1
3
10
0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10
5
1
列差额 2
5
1
3
（2）在行差额和列差额中选出最大者，并选择其所对应的行或列中的最小元素来 安排调运方案。本例中，差额最大为“5”，是列差，该列中最小运价为“4”，即 A3首先供应B2，观察产销平衡表，A3仓库储存9吨，零售店B2需求6吨，则运往6吨， B2的需求全部被满足，在单位运价表中划去B2列，如表十一所示。
产地 销地 A1 A2 A3 销量
产地 销地 A1 A2 A3
表三 产销平衡表
B1
B2
B3
B4
3
1
3
6
5
6
表四 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
3
1
9
2
7
4
10
产量 7 4 9
B4 10 8 5
（3）在单位运价表中未划去的元素中找到最小运价“3”（A1到B3的运价），A1存储 量为7吨，B3还缺少4吨，故从A1配送给B34吨，B3的需求全部被满足，A1剩余7-4=3吨， 在单位运价表中划去B3所在列。结果如表五和表六所示。
表五 产销平衡表
产地
B1
销地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
4 1
6
5
6
表六 单位运价表
产量
7 4 9
产地
B1
B2
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
在此添加您的文本16字
步骤
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1. 建立初始运输方案；
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2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
运输问题模型和表上作业法步骤 PPT课件
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x21 x 22 x 23 x24
27 地
约
x 31 x 32 x 33 x 34 19 束
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
x14
x24
x34
22 需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x31 x32 x33 x34
表2—2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连
Transportation Problem 运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法 确定进基变量，调整运量，确定离基 变量
运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进 行物资调运工作。如某时期内将生产基 地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别 运到需要这些物资的地区，根据各地的 生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案，使总的运输费 用最小。这样的问题称为运输问题。
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
5-2运输问题表上作业法
ij
以负检验数绝对值最大的空格出发，寻找一 其他顶点均为数字格的闭回路（此闭回路存在 且唯一） 。在此闭回路上，已空格出发，沿 顺时针或逆时针方向给顶点编号，寻找偶数顶 点的最小运量θ （其对应的基变量为出基变 量）。在闭回路上，让奇数顶点的运量增加θ ， 偶数顶点的运量减少θ ，则得到另一调运方案 （另一基可行解）。 注：若偶数顶点由两个以上的最小运量θ ， 则调整后只有一个顶点不填数，其余顶点填0 （表示数字格）
X12
B3 c13
X13
产量
产地
A1 A2
销 量
X11
a1 a2
c21
X21 X22
c22
c23
X23
2
b1
b2
b3
a b
i 1 i j 1
3
j
其中xij是决策变量，表示待确定的从第i个产 地到第j个销地的调运量，cij为从第i个产地到 第j个销地的单位运价或运距。
2、确定初始方案的步骤：
假设已得到一个基可行解，其基变量为：
基变量检验数为0；
则有：
方程组有m+n-1个方程，有m+n个变量。
故解不唯一，其解称为位势。
若上述方程的某组解满足对偶问题的所有条件，即：
此时，原问题与对偶问题均可行，故达到最优。
位势法 的基本步骤
位势法（对偶变量法），利用对偶原理求空格 （非基变量的检验数） 对运输表的每行、每列赋予一个ui和vj，称 之为位势， ui和vj由基变量的检验数确定： σij=cij(ui+vj)=0 然后再求非基变量的检验数σij=cij-(ui+vj)
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
以负检验数绝对值最大的空格出发，寻找一 其他顶点均为数字格的闭回路（此闭回路存在 且唯一） 。在此闭回路上，已空格出发，沿 顺时针或逆时针方向给顶点编号，寻找偶数顶 点的最小运量θ （其对应的基变量为出基变 量）。在闭回路上，让奇数顶点的运量增加θ ， 偶数顶点的运量减少θ ，则得到另一调运方案 （另一基可行解）。 注：若偶数顶点由两个以上的最小运量θ ， 则调整后只有一个顶点不填数，其余顶点填0 （表示数字格）
X12
B3 c13
X13
产量
产地
A1 A2
销 量
X11
a1 a2
c21
X21 X22
c22
c23
X23
2
b1
b2
b3
a b
i 1 i j 1
3
j
其中xij是决策变量，表示待确定的从第i个产 地到第j个销地的调运量，cij为从第i个产地到 第j个销地的单位运价或运距。
2、确定初始方案的步骤：
假设已得到一个基可行解，其基变量为：
基变量检验数为0；
则有：
方程组有m+n-1个方程，有m+n个变量。
故解不唯一，其解称为位势。
若上述方程的某组解满足对偶问题的所有条件，即：
此时，原问题与对偶问题均可行，故达到最优。
位势法 的基本步骤
位势法（对偶变量法），利用对偶原理求空格 （非基变量的检验数） 对运输表的每行、每列赋予一个ui和vj，称 之为位势， ui和vj由基变量的检验数确定： σij=cij(ui+vj)=0 然后再求非基变量的检验数σij=cij-(ui+vj)
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
运输问题表上作业法公开课获奖课件省赛课一等奖课件
-（闭回路上偶多次顶点运距或运价之和）
位势法计算非基变量xij检验数旳公式 σij=cij-（ui+vj）
思索：试解释位势变量旳含义（提醒：写出运送问 题旳对偶问题）
四、解旳改善
如检验出初始解不是最优解，即某非基 变量检验数为负，阐明将这个非基变量 变为基变量时运费会下降。根据表上作 业法旳第三步，需对初始方案进行改善。
闭回路：在给出旳调运方案旳运送表上， 从一种空格（非基变量）出发，沿水平或 垂直方向迈进，只有遇到代表基变量旳数 字格才干向左或向右转90°继续迈进，直 至最终回到初始空格而形成旳一条回路。
从每一空格出发，一定能够找到一条且只 存在唯一一条闭回路 。
以xij空格为第一种奇数顶点，沿闭回路旳顺 （或逆）时针方向迈进，对闭回路上旳每个 折点依次编号；
拟定初始方案 (初始
基本可行解)
鉴定是否 最 优？
否
是 结束
改善调整 （换基迭代）
最优方案
图 1运送问题求解思绪图
二、初始基本可行解旳拟定
例2：甲、乙两个煤矿供给A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市旳运送 单价见表所示，求使总运送费用至 少旳调运方案。
例题有关信息表
经济含义：在保持产销平衡旳条件下，该非 基变量增长一种单位运量而成为基变量时目 旳函数值旳变化量。
2、对偶变量法（位势法）
检验数公式：
ij cij ui v j
ui (i 1,2,m) 分别表达前m个约束等式相应旳对偶变量；
v j ( j 1,2,n) 分别表达后n个约束等式相应旳对偶变量。
x22
x23
250
日产量约束
s.t.
x11 x12
位势法计算非基变量xij检验数旳公式 σij=cij-（ui+vj）
思索：试解释位势变量旳含义（提醒：写出运送问 题旳对偶问题）
四、解旳改善
如检验出初始解不是最优解，即某非基 变量检验数为负，阐明将这个非基变量 变为基变量时运费会下降。根据表上作 业法旳第三步，需对初始方案进行改善。
闭回路：在给出旳调运方案旳运送表上， 从一种空格（非基变量）出发，沿水平或 垂直方向迈进，只有遇到代表基变量旳数 字格才干向左或向右转90°继续迈进，直 至最终回到初始空格而形成旳一条回路。
从每一空格出发，一定能够找到一条且只 存在唯一一条闭回路 。
以xij空格为第一种奇数顶点，沿闭回路旳顺 （或逆）时针方向迈进，对闭回路上旳每个 折点依次编号；
拟定初始方案 (初始
基本可行解)
鉴定是否 最 优？
否
是 结束
改善调整 （换基迭代）
最优方案
图 1运送问题求解思绪图
二、初始基本可行解旳拟定
例2：甲、乙两个煤矿供给A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市旳运送 单价见表所示，求使总运送费用至 少旳调运方案。
例题有关信息表
经济含义：在保持产销平衡旳条件下，该非 基变量增长一种单位运量而成为基变量时目 旳函数值旳变化量。
2、对偶变量法（位势法）
检验数公式：
ij cij ui v j
ui (i 1,2,m) 分别表达前m个约束等式相应旳对偶变量；
v j ( j 1,2,n) 分别表达后n个约束等式相应旳对偶变量。
x22
x23
250
日产量约束
s.t.
x11 x12
4-02运输问题表上作业法
相同, j1,j2, ,js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x1,1x1,3x3,3x3,4x2,4x2}1 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
B1
B2
B3
B4
A1
X11
X12
A2
X21
X22
A3
X31
X32
X13
运输问题的计算机求解
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90 100 70
100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 50 65 200 75 250 200
4-02运输问题表上作业法
单击此处添加副标题内容
运输问题的表上作业法
1、单纯形法（为什麽？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用的更简洁、更方 便的方法
一、表上作业法的基本思想
先设法给出一个初始方案,然后根据确定 的判别准则对初始方案进行检查、调整、改 进，直至求出最优方案，如图3-1所示。
的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
在 式 （ 3-7 ） 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100，u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x1,1x1,3x3,3x3,4x2,4x2}1 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
B1
B2
B3
B4
A1
X11
X12
A2
X21
X22
A3
X31
X32
X13
运输问题的计算机求解
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90 100 70
100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 50 65 200 75 250 200
4-02运输问题表上作业法
单击此处添加副标题内容
运输问题的表上作业法
1、单纯形法（为什麽？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用的更简洁、更方 便的方法
一、表上作业法的基本思想
先设法给出一个初始方案,然后根据确定 的判别准则对初始方案进行检查、调整、改 进，直至求出最优方案，如图3-1所示。
的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
在 式 （ 3-7 ） 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100，u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
第七章 运输问题之表上作业法
B1 A1 A2 B2 B3 B4 5 产量 3 8 3 3 6
3
1
11 3
3 9
3
2 6 6
10
8
0
5
A3
销量
7
4
10
5
9
20
二、确定初始基本可行解
B1 A1 A2 B2 B3 B4 4 产量 0 4 4 3 3
3
1
11 3
3 9
3
2 6 6
10
8
1
5
A3
销量
7
4
10
5
9
17
三、最优性检验
检验数的意义：非基变量增加一个单位，
10
3
销量
3
6 原则，确定 6 5
进基变量
四、方案调整
得到新的基变量：x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3。重新计算检验数。
B1
A1 3
B2
B3
B4
产量ai
7 4
A2
A3 销量bj
1
7
11 3 10 （0） （2） 5 2 9 2 8 3 1 （2） （1） 4 10 5 （9） 6 （12） 3 3 6 5 6
一、运输问题模型及其求解思路
B1 A1 A2 销量 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
一、运输问题模型及其求解思路
2、产销平衡运输问题模型的特点 从模型的建立可知：
列数为2（产地数）×3（销地数）＝6；
行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
二、确定初始基本可行解
3
1
11 3
3 9
3
2 6 6
10
8
0
5
A3
销量
7
4
10
5
9
20
二、确定初始基本可行解
B1 A1 A2 B2 B3 B4 4 产量 0 4 4 3 3
3
1
11 3
3 9
3
2 6 6
10
8
1
5
A3
销量
7
4
10
5
9
17
三、最优性检验
检验数的意义：非基变量增加一个单位，
10
3
销量
3
6 原则，确定 6 5
进基变量
四、方案调整
得到新的基变量：x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3。重新计算检验数。
B1
A1 3
B2
B3
B4
产量ai
7 4
A2
A3 销量bj
1
7
11 3 10 （0） （2） 5 2 9 2 8 3 1 （2） （1） 4 10 5 （9） 6 （12） 3 3 6 5 6
一、运输问题模型及其求解思路
B1 A1 A2 销量 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
一、运输问题模型及其求解思路
2、产销平衡运输问题模型的特点 从模型的建立可知：
列数为2（产地数）×3（销地数）＝6；
行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
二、确定初始基本可行解
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表上作业法解决运输
问题
表上作业法解决运输问题
谢荣华、林建、岳钱华、叶俊君
【摘要】在物资调运问题中,希望运输费用最少总是人们最为关心的一个目标。
在各种设定条件的约束下,如何寻找使得总运输费用最少的最优的运输方案是运输问题的核心。
为给社会生产(生活)提供既便捷又经济实惠的物资调运方案,运输问题模型的求解方法可以产生最优的决策方案。
因此对运输问题的深入研究具有极其重要的理论意义和实际应用价值。
表上作业法是解决运输问题的重要方法本文讨论了产销平衡运输问题的表上作业法，利用伏格尔法求初始方案，位势法求检验数，闭合回路发对可行解进行调整和改进，直至求出最优解。
【关键词】运筹学、运输问题、改善优化、表上作业法
一、理论依据
运输问题的表上作业法步骤
1、制作初始平衡表
用“西北最大运量，然后，每增加角方法”：即在左上角先给予最大运量，然后，每增加一个运量都使一个发量或手里饱。
如果所有运量的数字少于
（m+n-1），则补0使之正好（m+n-1）个。
（注:补零时不能使这些书构成圈。
）
2、判断初始方案是否最优
（1）求位势表：对运价表加一行一列，圈出运价表中相应于有运量的项，在增加的行列上分别添上数，使这些元素之和等于圈内的元素。
这些元素称为位势数。
（2）求检验数，从而得到检验数表。
结论：若对任意检验数小于等于0，则该方案最优，否则进入3进行调整.
3、调整
（1）找回路：在检验数大于0对应的应量表上对应元素为起点，沿横向或纵向前进，如遇到有运量的点即转向，直至起点，可得到一个回路。
（2）找调整量：沿上述找到的回路，从起点开始，在该回路上奇数步数字的最小者作为调整量ε。
（3）调整方式：在该回路上奇数步-ε，偶数步+ε，得到新回路。
重复上述步骤，使所有检验数小于0，即得到最优方案。
二、背景
鉴于市场竞争日益激烈，消费者需求渐趋多样，工厂作为市场消费品的产出源头，唯有对这种趋势深刻理解、深入分析，同事具体的应用于实际中，才能使自身手艺，断发展壮大，不被新新行业所淘汰。
对于今天的重点研究对象食品工厂而言，由于在不同产品在原料使用、物料损耗、市场价格等方面均存在各种差异，如何确定各产品的生产配比，以及在最优的生产配比方案之下工厂能够达到最大的产值，都是值得进行探讨研究的现实问题。
三、实例
甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为：320、250、350万吨，由A、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量分别为：A—400万吨，B—450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)见表1。
由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0～30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
表1：
分析：甲、乙、丙三个城市每年的煤炭总需求量为：320+250+350=920万吨，A、B两处煤矿年煤炭总供应量为：400+450=850万吨。
虚拟一个C煤矿，其供应量为70万吨，其单位运价如表2所示。
表2:
利用伏格尔法求出初始解如表3所示。
表3：
用位势法求各非基变量的检验数，如表4所示。
表4：
由于表4中的所有非基变量检验数均为非负，所以表3中的解即为最优解。
按表3中的方案可得运费最少为14650万元。
四、结论
对于运筹学在运输问题的研究，首先运筹学在寻求物流运输成本最低的运输组合中起着重要的作用，在企业拥有资源有限的情况下，比如运输工具有限。
运输人员有限，运输时间的限制等，利用管理运筹学把现实中的抽象问题转化成具体的数学问题，再建立相应的数学模型并求解，使问题得到解决，因而使运输成本最小化。
其次，我们在算法中引进这样的运算机制：将场地、销地、运输工具、运输数量等进行综合评估后得找到最优运输方案和运输路线及运量，运用管理运筹学表上作业法算法找出最优运输方案。
第三，随着企业在运输过程中提出的目标不断增加，并且决定运输成本的因素也不断增加，问题会越来越复杂，如果不借助科学的方法，很难找到成本最低的最优组合。
正是因为这样，运筹学在物流运输成本控制中的作用越来越重要。
参考文献：[1]钱颂迪.运筹学。