(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版

1.两点之间，线段最短．2.点到直线的距离，垂线段最短．3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号．古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若A B 、在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．“将军饮马”系列最值问题知识回顾知识讲解海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ∆是轴对称图形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。

考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

构建“对称模型”实现转化MMMMMMM MCCCCCCPP PPPPPPBBBBBBAAAA AAPA PB BC +…常见模型： （1）PA PB +最小同侧图1P BAlABP图2异侧（2）①PA PB -最小ABP 图4同侧异侧图5P BAA'ABP 图6异侧②PA PB -最大BAl同侧异侧lA'BAP【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB ∠的角平分线 （3）周长最短类型一 类型二 类型三ABPA'C BA''A'ANMB'A'BA（4）“过河”最短距离类型一 类型二N MA'BMNlB''B'NMBA（5）线段和最小l 2l 1l 2l 1QQPPEEBABA（6）在直角坐标系里的运用A''A'B'A'NMFEP BABABA∠APE=∠BPEEEF=1A''A'B'A'B'A'NMFEPBABABA同步练习同步课程˙“将军饮马”系列最值问题 【例1】尺规作图，作线段AB 的垂直平分线，作COD ∠的角平分线．【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．【变式练习】已知：如图，ABC ∠及两点M 、N ．求作：点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两边所在的直线的距离相等．AMN【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．因为是两边所在的直线，所以有两个答案：ABC ∠内角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点1P ； ABC ∠外角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点2P ．P 2P 1DECNMBA【例2】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．lBAP【解析】作A 点关于直线l 的对称点，即为B 点．【例3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【解析】作A 点关于直线a 的对称点'A ，在连接'A B 于直线a 的交点即为M 点．【变式练习】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．A B MNPABMNE【解析】如图，作对称再连接．这题实质还是“将军饮马”问题，在AB 上找一点P ，使得PM PN +之和最小．【巩固】若此题改成，在a 上找到M 、N 两点，且10MN =，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短．a BA NMA''A'aBA【解析】作A点''10AA a AA MN==∥，，作'A点关于直线a的对称点''A，连接''BA与直线a的交点即为所求N点，再向左平移10个单位即为所求M点．【例4】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB∠=︒，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR∆的周长的最小．【解析】如图，作对称再连接．【例5】已知：如图，C、D分别是AOB∠内两点，OC OD=，（1）分别在角两边各取两点E F、，使得CEF△周长1l（2）分别在角两边各取两点M N、，使得DMN△周长2l最小（3）12l l、是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．A BC DOH GQPNMODC BA F E【解析】如图,分别做对称再连接．CEF △周长1l 最小PQ ，DMN △周长2l 最小GH12l l =，GOH POQ △≌△，PQ GH =【例6】如图，在POQ ∠内部有M 点和N 点，同时能使MOP NOQ ∠=∠，这时在直线OP 上再取A 点，使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线OQ 上也取B 点，使从B 点到M 点和N 点的距离和也最小．证明：AM AN BM BN +=+．QONMB AM 1N 1AB PMNOQ【解析】如图，1M 点与M 点关于射线OP 成对称，而1N 点与N 点关于射线OQ 对称，这是A 点和B 点分别位于线段1NM 和线段1N M 上，1OM OM =，1ON ON =，12N OM NOQ NOM ∠=∠+∠，12NOM MOP NOM ∠=∠+∠，∵MOP NOQ ∠=∠，∴11N OM NOM ∠=∠，易证11N OM NOM ≌△△，∴11N M NM =，∴11N B BM NA AM +=+，即BN BM AN AM +=+.【例7】已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．B OMPBONM【解析】如图，作M 点关于OB 的对称点N ，再过N 点作OA 的垂线OA 于H ．【例8】(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．B P AMCM'B P AMCN【解析】作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ． 由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM =． 故''PA PM PA PM AM +=+≥当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7t AM == 另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，23PA PM AC CM +=+= 当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=． 故22(23)743s =+=+，2243s t -=【例9】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小值和最大值．lBAlMBAlPMBA【解析】作AB 的垂直平分线于直线l 的交点处可取得最小值，0MA MB MA MB =-=，； 连接BA 并延长BA 于直线l 的交点处处可取得最大值，||=AM BM AB - 0||AM BM AB -剟【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点．求（1）DN MN +的最小值与最大值． （2）DN MN -的最小值与最大值．D C NMB AD CN MB AD CPNMBAD CNME BA【解析】（1）找点D 关于AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点， 连接BN 、BM ，由DN MN BN MN BM +=+≥可知，当且仅当B 、N 、M 三点共线时，DN MN +226810+． 当点N 在AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM 与AC 的交点，即DN MN +取最小值时； 当点N 位于点A 时，8217DN MN AD AM +=+=+当点N 位于点C 时，8614DN MN CD CM +=+=+=．故DN MN +的最大值为8217+ 10DN MN +剟8217+（2）N 位于DM 的垂直平分线于AC 的交点处，DN MN -可取的最小值为0；当且仅当D M N 、、三点共线时，位于C 点时，DN MN -可取的最大值为2DM =； 02DN MN-剟【例10】如图1，已知等边ABC △的边长为1，D E F 、、分别是AB BC AC 、、边上的点（均不与点A B C 、、重合），记DEF △的周长为p .（1）若D E F 、、分别是AB BC AC 、、边上的中点，则p =_______； （2）若D E F 、、分别是AB BC AC 、、边上任意点，则p 的取值范围是_______. 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥. 老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案．【解析】（1）3=2p（2）332p 剟【例11】如图ABC △，D E F 、、分别是AB BC AC 、、边上的点（均不与点A B C 、、重合），记DEF△的周长为p ，请作出周长最小的DEF △．A BD FC E 1图AB DFCE 1F 1A 1B 2D 1D 1E 2图CNDCBF【解析】如图，过A 作AE BC ⊥于E ，在分别作E 点关于AB AC 、的对称点M N 、，连接MN 分别交 AB AC 、于D F 、，连接DE EF 、，所得DEF △即为周长最小．【例12】如图，当点A 与123l l l 、、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A 向点B 运动时的最短路程．32l 1BA3l 2l 1B'A''A'BA【解析】利用三条对称轴作出对称点，然后根据两点之间线段最短【例13】如图，矩形台球桌ABCD 上有两个球P Q 、，求作一击球路线，使P 球顺次撞击球桌四边后再撞击Q 球（球撞击桌边的入射角等于反射角）C AQPDCBAQ''Q'P''P'QP【解析】四个对称轴，作出对称点，连线【例14】点M 是四边形ABCD 的边BC 的中点，120AMD ∠=︒，证明：12AB BC CD AD ++≥．MDCBAFEABCDM【解析】本题是典型轴对称变换，条件非常少，不过结论“12AB BC CD AD ++≥”非常有特点，即为什么会出现12BC ，同时还是证明不等关系，只有我们在接触最短路程，已经三角形三边关系的时候做过类似的问题．【答案】作点B 关于AM 的对称点E ，连接AE 、EM ，作点C 关于MD 的对称点F ，连接DF 、MF 、EF∴AB AE =，BM ME =，CD DF =，MC MF =易证ABM AEM ∆∆≌，MCD MFD ∆∆≌ ∴BMA EMA ∠=∠,CMD FMD ∠=∠ ∴60EMF AMD AMB DMC ∠=∠-∠-∠=︒ ∴EMF ∆是等边三角形∴12EF EM BC ==，∵AE EF FD AD ++≥ ∴12AB BC CD AD ++≥【变式练习】点M 是四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，证明：2AB CD AD +≥． 当150AMD ∠=︒时，他们又有什么关系呢？DCBAACDMB【解析】（1）当135AMD ∠=︒时作点B 关于AM 的对称点E ，连接AE 、EM ，作点C 关于MD 的对称点F ， 连接DF 、MF 、EF∴AB AE =，BM ME =，CD DF =，MC MF =易证ABM AEM ∆∆≌，MCD MFD ∆∆≌ ∴BMA EMA ∠=∠,CMD FMD ∠=∠ ∴90EMF AMD AMB DMC ∠=∠-∠-∠=︒ ∴EMF ∆是等腰直角三角形．∴2EF ，∵AE EF FD AD ++≥ ∴2AB CD AD +≥（2）当150AMD ∠=︒时，同理可推出EMF ∆是一个顶角为120︒等腰三角形． ∴3=3EF EM ， ∵AE EF FD AD ++≥ ∴3AB CD AD +≥ DCFEBAACEDMBF【例15】已知：如图，在直角坐标系中，点A 在x 轴上，点D 在y 轴上，等腰ABD △，BA BD =．（1）作出ABD △关于y 轴的对称图形CMD △． （2）若2BAC ACB ∠=∠，求证3ABC CBD ∠=∠yxDBA【解析】（1）根据轴对称的性质，作出对称图形CMD △．（2）依题可知，BA BD MD MD ===，MB AC ∥，2BAC MCA ACB ∠=∠=∠ =MCB ACB MBC ∠=∠∠，MC MB MD BD === MBD △为等边三角形 2BAC ACB ∠=∠设°CBD x ∠=，则(60)MBD BCA x ∠=∠=-1202BAC x ∠=-，3ABC x ∠=∴3ABC CBD ∠=∠MABCD【习题1】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．E PB C AFME PBC A【习题2】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC 的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PM PN +的值最小．PNMDCBAF EPNMD CBA【习题3】如图，在锐角ABC △中，42AB =45?BAC ∠=°，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是____．AB CDMNFEPN MDCBA课后练习【答案】4【习题4】已知⊙O 的直径CD 为4，AOD ∠的度数为60°，点B 是的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP AP +的值最小，并求BP AP +的最小值．ODCAEODCA【答案】42【习题5】如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C D 、，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若18CD cm =，则PMN △的周长为________．MPC DB AN O【答案】18【习题6】如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A ．23B ．6C ．3D 6PEBADCPEBADCF【答案】A【习题7】如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点'A 的坐标为()20，，请在图中分别标()()5325B C -，、，关于直线l 的对称点''B C 、的位置，并写出它们的坐标：'B _____'C ____； 归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为_____ （不必证明）； 运用与拓广：（3）已知两点()()1314D E ---，、，，试在直线l 上找一点Q ，使点Q 到D E 、两点的距离之和最小．【答案】（1）()'35B ， ()'52C -， （2）()'P b a ，（3）作对称在连接【习题8】在平面直角坐标系中，点()()2332P Q ，、，，请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点， （1）请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点使四边形PQMN 周长最小，作出M 点和N 点． （2）请在x 轴上找到一点E ，使得PE PQ -最大，作出E 点．【答案】（1）作对称再连接．（2）连接PQ 与x 的交点即为E ．【习题9】已知：如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=°，∠C ＝60°，2CD AD =，4AB =．（1）在AB 边上求作点P ，使PC PD +最小； （2）求出（1）中PC PD +的最小值BACDPB A EHCD【答案】（1）作对称再连接，如图所示． （2）PC PD +的最小值为DE ，依题可知BCD △为等边三角形，43BE BC BD CD ====， 在t R DEH △中，4DH =，43EH =，8DE =．。