高中数学第三章概率1.1-1.2频率与概率生活中的概率教学案北师大版必修3

1．1 & 1.2 频率与概率 生活中的概率

预习课本P119～126，思考并完成以下问题

(1)随机事件、必然事件、不可能事件是如何定义的？

(2)概率的定义是什么？

(3)频率与概率有什么区别和联系？

[新知初探]

1．概率

附近常数发生的频率会在某个A 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件的概

A 性．这时，我们把这个常数叫作随机事件稳定发生的频率具有A 摆动，即随机事件率，记为P (A )．我们有0≤P (A )≤1.

2．概率与频率的关系

，但频率是随机的，而概率是一个确定的频繁程度频率反映了一个随机事件出现的的大小．在实际问题中，某些随机事可能性值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的作为它

频率件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的的概率的估计值．

[点睛] (1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件

的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关． (2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．

[小试身手]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机事件没有结果．( )

(2)随机事件的频率与概率一定不相等．( )

(3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变．( ) (4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法中，正确的是( )

A．频率就是概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率

D．概率是随机的，在试验前不能确定

解析：选C 频率不是概率，所以A不正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，

所以B不正确；概率不是随机的，所以D不正确；很明显，随着试验次数的增多，频率越

来越接近概率，故选C.

3．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( ) A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈

C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%

D．以上说法都不对

解析：选C 治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能

性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较

大．

事件类型的判断

[典例]

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；

②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；

③“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件；

④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．

其中正确的个数是( )

A．4 B．3

C．2 D．1

[解析] ①正确，因为无论怎么放，其中一个盒子的球的个数都不小于2；

②正确，因为无论x为何实数，x2＜0均不可能发生；

③错误，三角形中大边对大角，所以③是不可能事件；

④正确，因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”这件事有可能发生，也有可能不发生，确实是随机事件．

[答案] B

判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，关键看它在一定的条件下是否一定发生．若可能发生也可能不发生，则是随机事件；若一定会发生，则是必然事件；若一定不会发生，则是不可能事件．要注意的是：这里的条件对事件发生与否的判断很关键．

[活学活用]

指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：

(1)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的签； (2)函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)为增函数； (3)平行于同一条直线的两条直线平行； (4)随机选取一个实数x ，得2x

＜0.

解：(1)是随机事件，5张标签都可能被取到．

(2)是随机事件，当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数．

(3)是必然事件，实质是平行公理．

(4)为不可能事件，根据指数函数y ＝2x

的图像可得，对任意实数x,2x

＞0.

频率与概率的关系

[典例] 情况：

表一

抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45

92

194

470

954

1 90

2 优等品频率m

n

抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000 优等品数m 60

116

282

637

1 339

1 806 优等品频率m

n

(1))； (2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？

(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？

[解] (1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为

0.86,0.89,0.91,0.91，0.89，0.90.

(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.

(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．

(1)虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．

(2)此类题目的解题方法是：先利用频率的定义依次计算出各个频率值，然后确定概率(即频率的稳定值)．

[活学活用]

某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：

分组[500，

900)

[900，

1 100)

[1

100，1

300)

[1

300，1

500)

[1

500，1

700)

[1

700，1

900)

[1

900，＋

∞)

频数4812120822319316542

频率

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．

解：(1)频率依次是：

0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.

(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管

使用寿命不足1 500小时的频率是600

1 000

＝0.6，

所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.

概率的应用

[典例] 3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?

[解] 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，