08092高数B期末试卷A卷及答案

浙江理工大学
2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（A 卷）
考生姓名： 班级： 学号：
一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）
1、下列方程中，是一阶线性微分方程有（ C ）
（A ） xy y x dx dy 22+= （B ） 022
=+'y y （C ）x x y y x
cos sin 1=+' （D ） 02=+'+''y y y 2、下列级数中，属于条件收敛的是 ( D )
（A ）
()()∑
∞
=+-1
11n n
n
n （B ）
()∑
∞
=-1
sin 1n n
n n
n π
（C ）
()∑
∞
=-1
2
1n n n （D ）
()∑∞
=+-1
1
31n n n
3、微分方程2'''0y y y +-=的通解是（ D ）
（A ）x x e c e c y 221--= （B ）x x e c e c y 221+=- （C ）2/21x x e c e c y -+= （D ）2/21x x e c e c y +=-
4、若数项级数1
n
n a
∞
=∑收敛，n S 是此级数的部分和，则必有（ C ）
（A ）
1
lim n
n n n a
a ∞
→∞
==∑ （B ） lim 0
n n S →∞
=
（C ） n S 有极限 （D ）n S 是单调的 5、设D ：412
2≤+≤y x ，则=+⎰⎰
dxdy y x D 22（ A ）
（A ）
dr r d ⎰⎰
21
220
π
θ （B ）dr r d ⎰⎰4
1
220
πθ （C ）dr r d ⎰⎰1
220
π
θ（D ）dr r d ⎰⎰2
1
20πθ
6、若1
lim 4n n n
a a +→∞=，则幂级数20n n n a x ∞
=∑的收敛半径R =（ B ）．
（A ）2 （B ） 1/2 （C ） 4 （D ） 1/4
二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1、 设()()xy xy z 2
cos sin +=，则
=∂∂y
z。

2、 微分方程22,x
y y e '=满足初始条件(0)2y =-的特解为 。

3、 交换累次积分的顺序2
10
(,)x
x dx
f x y dy =⎰⎰ 。

4、
要使级数
1
p
n n
∞=∑
收敛，实数p 必须满足条件 。

5、幂级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为 (0,4) 。

三 计算题（本题共5小题, 每小题7分，满分35分）
1、 设函数),(y x z z =由方程z
e z y x =-+所确定，求x z
∂∂及2z x y
∂∂∂。

2、求⎰⎰D
dxdy x x sin ，其中D 是由x y =和2
x y =所围成。

3、 求方程x
e y y y -=+'+''23的通解。

4、求级数n
x n
n n ∑∞
=--1
1
)
1(的收敛域及和函数。

5、 将函数2
ln(12)x x --展开成x 的幂函数，并指出其收敛域。

四、应用题（本题共2小题, 每小题8分，满分16分）
1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为
xy y x y x c -+=222),
( （万元）
若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？
2、利用二重积分的几何意义计算球面2
2
2
2
3x y z a ++=与抛物面2
2
2(0)x y az a +=>所围公共部分立体的体积。

五、证明题（本题满分5分）设1
n
n b
∞
=∑是收敛的正项级数，
11
()n
n n a
a ∞
+=-∑收敛， 试证1
n n n a b ∞
=∑绝对收敛。

2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（A 卷）答案
一．CDDCAB
二．1. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos - 2. ()⎰⎰
1
,y
y
dx y x f dy
． 3. 53
p >
4． 22x
y e -=- 5．(4,4)- 三．,),,(.1z
e z y x z y x F --+=则：z z y x e F F F --===1,1,1………1分.
,11z z x e F F x z +=-=∂∂z z y e F F y z +=-=∂∂11
………………3分. y z e e y x z z z ∂∂⋅⋅+-=∂∂∂22)
1(1…………………………….5分. .)
1(3
z z
e e +-=…………………………………..7分. 2. 解：dy x x dx dxdy x x
x x D
⎰⎰⎰⎰=2sin sin 10----------------------------------------3分 dx x
x
y x x 21
0sin ⎰=dx x x x ⎰-=10)sin (sin -----------4分 ⎰--=1
sin 01cos xdx x x 1sin1=----------------------7分
3．1,2,023212
-=-==++r r r r ……………………………………1分 对应齐次方程通解：.221x x
e C e
C Y --+=…………………………..3分
1,*==-b bxe y x ………………………………………………………5分
所求通解：.221x x x
xe e C e C y ---++=……………………………….7分.
4. 11
lim ==
+∞→n n
n a a R ………………………………………………..1分 ;1)
1(,11
1
收敛n x n n ∑∞
=--=.1
,11发散n
x n ∑∞=--=收敛域（-1，1]………3分 dx x
n x x S n n n x n
n n 1
1
10
1
1
)1()
1()(--∞=∞
=-∑⎰∑-=-=⎰∑∞
=---=x
n n n dx x
1
1
1
})
1({)1ln(11
0x dx x
x
+=+=⎰
……….7分. 21
1
1
1
12
ln(12)ln(1)(12)ln(1)ln(12),1ln(1)(1),3(1,1]4(2)211
ln(12)(1)
,[,)622ln(1--2)(1)
n
n n n n n n n n n x x x x x x x x n x x x x x n n
x x ∞
-=∞
∞
-==--=+-=++----------+=-------------∈------------------=-=-∈-----=-∑∑∑5.由分且 分
分
分所以11
1
11
2(1)211
,[,)722n n n n n n n n n x x x x n n n -∞
∞∞-===---=∈-----∑∑∑分=
四、 1. 解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值
构造辅助函数 ())8(2,
22-++-+=y x xy y x y x F λ（2分）
解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λ
λλ 解得 3,5,7==-=y x λ （6分）
这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： 2835325)3,
5(22=⨯-⨯+=c （万）（8分）
2、利用二重积分的几何意义计算球面2
2
2
2
3x y z a ++=与抛物面2
2
2(0)x y az a +=>所围公共部分立体的体积
解：222222
32x y z a z a x y az
⎧++=⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所求立体在xoy 面上的投影区域为：222
:2D x y a +≤---------------------------2分 由二重积分的几何意义所求立体的体积为
22)2D
x y V d a σ+=⎰⎰ ----------------------------------5分
用极坐标计算得
2
20
)2a
r V d rdr a
πθ=⎰⎰
--------------------------------------------7分
3
52)6
a π=-------------------------------------------------------------8分 五、证明： 因为
11
()n
n n a
a ∞
+=-∑收敛,所以部分和1111
()m
m n n m n s a a a a ++==-=-∑有界,从而数列{}n a 有界
即存在常数0M >，使||(1,2,3,)n a M n <=，故||(1,2,3,)n n n a b Mb n <=
由于1
n
n b
∞
=∑是收敛的正项级数，由比较审敛法知，
1
n n
n a b
∞
=∑绝对收敛.。