波动方程和行波法
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第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
数学物理方法课件第七章-----行波法
能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）； • 掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义; • 掌握行波法解题的要领，并且能够使用 行波法求解定解问题；
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
波动方程和行波法
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
波动方程的特征线法
作变换 1 ( x, y ), 2 ( x, y ),
在区域Ω上作此变换下,可化简方程(1),甚至可求得其解. 此变换称为特征变换.
例１ 一端固定的半无界弦的自由振动问题
2u 2u a2 0 ( t 0,0 x ), 2 2 x t u t 0 : u ( x ), ( x ) ( 0 x ), t 0 t t 0 x 0 : u 0.
举例
2u 2u a 2 2 , x R, t 0 t 2 x u ( x, 0) 1, xR 2 ut ( x, 0) x ,
例4：
例5：
2u 2u a2 2 , 2 x t u ( x,1) cos x, ut ( x,1) 0,
例2：
2u 2u 2 a2 2 0 t x u t 0 cos x, ut t 0 x
解：由达朗贝尔公式
( x at) ( x at) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a xat
cos(x at) cos(x at) 1 x at d 2 2a x at
此公式的意义在于把定解问 题的解表示为左、右行进波 相叠加，这种方法称为“行 波法”。
D’Alembert公式
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
注 : 当 ( x ) C 2 ( R ), ( x ) C 1 ( R )时, 初值问题( I )存在唯一的解 u( x , t ),由d ' Alembert 公式给出.
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。
波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数(也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli)，是描述各向同性固体弹性性质的参数;•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
数学物理方程——6 行波法
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x) = =
=
1 2
1 2
1 2
[e
− ( x + at ) 2
+e +e
+e
− ( x − at ) 2
]+
1 2
1 2
1 2a
[e
[e
− ( x + at ) 2
− ( x + at ) 2
− ( x − at ) 2
− ( x − at ) 2
]+
பைடு நூலகம்]+
∫
x − at x + at
ξ = y − 3x ∂ 2u =0 η = y+x ∂ξ∂η u = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( y − 3 x) + f 2 ( y + x)
u ( x,0) = e
− x2
= f1 (−3x) + f 2 ( x)
∂u ( x,0) 1 ′(−3x) + f 2′ ( x) = 0 = f1 − f 1 (−3x) + f 2 ( x) = C ∂y 3 3 − x2 / 9 3 3 − x2 3 3 − x2 3 f1 ( x) = e − C f 2 ( x) = e + C f1 (−3 x) = e − C 4 4 4 4 4 4 3 −( y −3 x )2 3 3 −( y + x )2 3 3 −( y −3 x )2 3 −( y + x )2 u= e − C+ e + C = e + e 4 4 4 4 4 4
下午9时27分
数学物理方法
u ( x) = =
=
1 2
1 2
1 2
[e
− ( x + at ) 2
+e +e
+e
− ( x − at ) 2
]+
1 2
1 2
1 2a
[e
[e
− ( x + at ) 2
− ( x + at ) 2
− ( x − at ) 2
− ( x − at ) 2
]+
பைடு நூலகம்]+
∫
x − at x + at
ξ = y − 3x ∂ 2u =0 η = y+x ∂ξ∂η u = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( y − 3 x) + f 2 ( y + x)
u ( x,0) = e
− x2
= f1 (−3x) + f 2 ( x)
∂u ( x,0) 1 ′(−3x) + f 2′ ( x) = 0 = f1 − f 1 (−3x) + f 2 ( x) = C ∂y 3 3 − x2 / 9 3 3 − x2 3 3 − x2 3 f1 ( x) = e − C f 2 ( x) = e + C f1 (−3 x) = e − C 4 4 4 4 4 4 3 −( y −3 x )2 3 3 −( y + x )2 3 3 −( y −3 x )2 3 −( y + x )2 u= e − C+ e + C = e + e 4 4 4 4 4 4
下午9时27分
数学物理方法
行波法
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
15波动(横波、纵波、行波、简谐波、波长、波速、波动方程)
密度。
•液体和气体中 纵波 u B / B 容变弹性模量。
六、注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
9
4.振动与波动的区别 •振动是表示一个质点的运动。 •波动是表示一系列质点所作的运动。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 , 代入
T
y
A cos 2 Tt
x Tu
Tu 代入
y
A
cos 2 Tt
x
1 代入
T
y
A
cos2
t
x
t
显然质点振动速度与波速 u = 20m/s 不同。
上例中条件是已知 t = 0 时刻的波动方程。
如果t = 0时,波源 x = 0 点的振动方程为：
y 4102 cos(100t 2)m
波速不变。波动方程应该如何写？
y 4102 cos(100t 5x 2)m x>0
o
t
y x /4
o
t
y x /2
o
t
y x 3 / 4
o
t
15
3.当 t c
（常数）时 ，y f (x)
为某一时刻各质点 的振动位移，波形 的“拍照”
y t 0
o
x
y t T /4
o
x
y t T /2
•液体和气体中 纵波 u B / B 容变弹性模量。
六、注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
9
4.振动与波动的区别 •振动是表示一个质点的运动。 •波动是表示一系列质点所作的运动。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 , 代入
T
y
A cos 2 Tt
x Tu
Tu 代入
y
A
cos 2 Tt
x
1 代入
T
y
A
cos2
t
x
t
显然质点振动速度与波速 u = 20m/s 不同。
上例中条件是已知 t = 0 时刻的波动方程。
如果t = 0时,波源 x = 0 点的振动方程为：
y 4102 cos(100t 2)m
波速不变。波动方程应该如何写？
y 4102 cos(100t 5x 2)m x>0
o
t
y x /4
o
t
y x /2
o
t
y x 3 / 4
o
t
15
3.当 t c
（常数）时 ，y f (x)
为某一时刻各质点 的振动位移，波形 的“拍照”
y t 0
o
x
y t T /4
o
x
y t T /2
14 波动方程的行波解
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
]
1 2a
( x at ) 1 [ e 2
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
右行波解：
u( x, t ) ( x at)
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习
求左行波解？
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习 答案：
求左行波解？
u ( x, t ) ( x at)
左行波解
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
例 特征边值问题（Goursat问题） 2 2u u 2 t 2 a x 2 , t x t , t 0 u ( x), x 0 x at 0 其中 (0)＝ (0) u x at 0 ( x), x 0 解：将定解条件代入通解 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ),
第二讲行波法刘
a = B 2A,b =
4 AC − B
2
2 A.
用这个变换立即能把方程化为标准形式
uαα + uββ = D3uα + E3uβ + F3u + G3 (α , β ),
见P40-42例题2.3.1-2.3.1
例如：
∂ 2u ∂ 2u 2 2 2 2 2 2 2 −a = 0 (dy ) − a (dx) = 0 ∆=0 −4×1×(−a ) =4a > 2 2 ∂x ∂y
前面方程对应的特征方程为
dy = (B + dx dy = (B − dx B B
2
− 4 AC ) 2 A , − 4 AC ) 2 A ,
2
特征线族为
B + y = B − y = B 2 − 4 AC 2 A B 2 − 4 AC 2 A x + C , 1 x + C 2
x − at = c2
ξ = x + at , η = x − at
利用复合函数求导法则得
∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η
∂ 2u ∂ ∂u ∂u ∂ξ ∂ ∂u ∂u ∂η = ( + ) + ( + ) 2 ∂x ∂ξ ∂ξ ∂η ∂x ∂η ∂ξ ∂η ∂x
]+Βιβλιοθήκη 1 2a==
1 [ e − ( x + at ) 2
1 2
+e
− ( x − at ) 2
]+
2
1 2
∫
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
数学物理方法16.1 行波法1-波动方程
x at
( )d xat
a[ f1(x at) f1(x at)] a[ f2 (x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
a xat
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
确定待定函数（法二）
待求的？
1
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
能消去吗？
f2
(
x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
待求的解为
u f1 (x at) f2 (x at)
确定待定函数（法一）
f1
(x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
(x) 1
那么，可得原问题的解为
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
(v)dv
2
2a xat
确定待定函数（法二）
(x) (x)
f1(x) f2 (x) af1(x) af 2(x)
有何关联？
观察第一个方程，和待求解 u f1(x at) f2 (x at)
上述方程组中：4个待定函数，3个方程， 因此，不能直接求解各个待定函数。
u f1(x at) f2 (x at) 整体思想
确定待定函数（法二）
(x at) (x at)
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
行波法：算例1
2u u(tx2 ,0)
( )d xat
a[ f1(x at) f1(x at)] a[ f2 (x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
a xat
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
确定待定函数（法二）
待求的？
1
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
能消去吗？
f2
(
x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
待求的解为
u f1 (x at) f2 (x at)
确定待定函数（法一）
f1
(x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
(x) 1
那么，可得原问题的解为
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
(v)dv
2
2a xat
确定待定函数（法二）
(x) (x)
f1(x) f2 (x) af1(x) af 2(x)
有何关联？
观察第一个方程，和待求解 u f1(x at) f2 (x at)
上述方程组中：4个待定函数，3个方程， 因此，不能直接求解各个待定函数。
u f1(x at) f2 (x at) 整体思想
确定待定函数（法二）
(x at) (x at)
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
行波法：算例1
2u u(tx2 ,0)
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
第四讲行波法dhh
二阶线性微分方程的特征方程
定义２ 考虑下面二阶线性微分方程 （３） （４）
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f 0 xy x y x y
方程 即
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
数学物理方程
utt a2uxx 4a2u
2 2u u 2 a u 0 2 2 t x
u 0 d f ( )
u f ( )d f 2 ( ) F ( ) G ( )
u( x, t ) F ( x at ) G( x at )
解：齐次方程直接利用达朗贝尔公式：
1 1 x at 2 u sin( x at ) sin( x at ) d 2 2a x at t 2 2 2 sin x cos at (3 x a t ) 3
数学物理方程
x x utt 9u xx e e 例2 求定解问题： u ( x, 0) x, ut ( x, 0) sin x
式中 ( x), ( x) 均为已知函数，表示初始位移和初始速度。 特征线族
dx dx dx 2 a 0, a 0 a 0 dt dt dt 1 1 t x c1 , t x c2 a a
2
x at c1 , x at c2
解：一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchoff公式
a 3, f ( x, t ) ex e x , ( x) x, ( x) sin x
关于x奇函数
u关于x奇函数
数学物理方程
3-2 延拓法求解半无限长振动问题 • （一）半无限长弦的自由振动问题
大学物理第二章行波,波动方程
横波 从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变， 外形有波峰波谷之分
横波只能在弹性固体中传播
纵波
在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。
纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播
4. 波的特征
(1) 不管是横波还是纵波，在波传播的过程中， (2) 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振
二．描述波的物理量
1. 周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。
虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
2.3 物体的弹性变形
物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变
当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。
在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式： 线变 切变 体变
什么是物质的弹性？
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8
1. 物理模型
实际问题：设有一根细长而柔软的弦,
紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振
幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同
一平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且
与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求
弦上各点的运动规律。
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9
2. 分析 弦是柔软的，即在放松的条件下，
把弦弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧 后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦 中的张力，张力沿线的切线方向。
u f
n
u ， n(x0,y0,z0) f (x0, y0,z0)
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36
第三类边界条件（混合边界条件 也 叫Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及 其外法向导数的线性组合在边界上的值
uH un(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0,t)
uu fH :常系数
n
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37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
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38
4、其它条件 ⑴ 衔接条件 由于一些原因，在所研究的区
域里出现跃变点，泛定方程在该点失去意
义。如波动方程（弦），如果有F横( t向)集力中地
作用于 x 0 点，这就成了弦的折点。在点 x 0
斜率 u x 的左极限 ux(x0 0,t)不同于右极限
ux(x0 0,t)，因而 u x x不存在,
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5
3.寻找（猜测）物理过程所遵守 的物理定律或物理公理;
4.写出物理定律的表达式，即数 学模型。
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6
1.1 弦振动方程
一、弦的横振动方程 二、定解条件的提出 三、三类定解问题
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7
一、 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动） 演奏弦乐（二胡，提琴）的人用弓在弦
上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎 只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到 整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？
物理学专业必修课程
数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
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1
第一章 波动方程和行波法
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2
引言 1.1 弦振动方程 1.2 行波法
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3
基本步骤：
物理模型
定量化
数学模型
1.建立坐标系（时间，空间）
2.选择表征所研究过程的物理量 u 表征物理量的选择常常是建立一个新 方程的起点。 （一个或几个）。
utt a2uxx, x
u t0
(x), ut
t0
(x)
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49
（2）边值问题： 定解条件为边界条件
u 0
如
u f (u )
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50
（3）混合问题:即有初始条件又有边界条件。 如有界弦的自由振动
u tt a 2u xx
u 0,u 0
x0
x0
u t0 (x),ut t0 (x)
位移矢量分别为
D1,D2
,
则
D1n s D2n s
D E u
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45
⑵ 自然边界条件
某些情况下，出于物理上的合理性等原
因，要求解为单值、有限，就提出自然边界条
件，这些条件通常都不是要研究的问题直接给
出，而是根据解的特性要求自然加上去，故称
为自然边界条件，如：
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46
x2y2xyl(l 1 )y0
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13
3. 研究建立方程
① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴 u
F
T2
2
1 s
T1
0 A x x x B x
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14
② 弦离开平衡位置的位移记为u ( x , t ),
为表征物理量。
③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 Fma
对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许
通解为： yAlxBx(l1)
在区间 0, a 上要求解有限，故
y x0 有限，从而在 0, a 中的解为:
y Axl
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47
三、三类定解问题
泛定方程 定解问题
定解条件
初始条件 边界条件+衔接条件
但并非所有的定解问题中，都一
定同时具有初始条件和边界条件。
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48
（1）初值问题(Cauchy问题）：定解问 题中仅初始条件而无边界条件 ,如无界弦 的振动:
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51
（4）无界半无界问题： 物理系统总是有限的，必须有界，要
求边界条件，如：弦总是有限长的，有两个端
点，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在
令
T2 T1 T
则上式为:
T [ u x ( x d x ,t ) T 1 u x ( x ,t ) ] F d x d x u t t
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22
应用微积分中值定理:
u x (x d x ,t) T 1 u x (x ,t) u x x d x
dy f '(x)dx
u x (x d x ,t) T 1 u x (x ,t) u x x d x
T u x ( x 0 0 ,t) T u x ( x 0 0 ,t) F ( t) ②
①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。
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42
再如，不同材料组成的杆的振动
，在衔接处的位移和能量相等，即：
u u 1 xx0
2 xx0
E 1u1x xx0 E 1u2x xx0
u1(x,t)u ,2(x,t) ：杆的两部分位移.
横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，
管道中小振动的传播，理想传输线的电报方程
等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，
即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大）
可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导
三维波动方程，这里不再一一推导。
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27
二、定解条件的提出
1、必要性。导出方程后，就得对方程进
于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小
段弦有:
T 2cos2T 1cos10
①
T 2 s in2 T 1 s in 1 F d s (d s ) u tt②
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18
其中: 是弦的线密度，即单位长度的
质量，d s 为 d x 对应弧长，u 为弦的横向
位移， u t t 为弦的横向加速度。 近似：考虑小的振动， 1 ， 2 为小量。
向位移之差 u(xdx,t)u(x,t)与 d x 相比是一
个小量，即
u 1 x
于是①、②化简为：
T 2 u xx d x T 1 u xx F d xd x u tt
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21
即
T 2 u x ( x d x ,t ) T 1 u x ( x ,t ) F d x d x u t t
② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一
根直线，取为 x 轴。
③ 将弦上个点的横向位移记为 u u(x,t)
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12
④ 已知：线密度 (x,t)(t),重量不计，
张力 T ( x, t ) 沿切线方向，不随x变化，弦中 各点的张力相等（小振动下T 与t 也无关）.
⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想， 任意性。
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39
utt a2uxx 0在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x 0 ，x x 0 两段分别考虑， 在各段上,弦振动方程有意义，但它是一
根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的
振动是相互关联的。
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40
u
F（0,t）
E1, E2 ：两部分的杨氏模量.
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43
静电场中，两种电介质的交界面 s 上
电势应相等（连续），电位移矢量的法向 分量也应相等（连续）,其衔接条件是:
u1 s u1 s
1
u1 n
s
2
u2 n
s
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44
其中 u1 , u 2 代表两种电介质的电势，
1, 2 代表两种电介质的介电常数，（设电
xFdxdxutt
T u x xd x F d xd x u tt
utt TuxxF
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23
即
utt a2uxx f
—— 弦的强迫横振动方程
其中: a 2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
精品课件
24
∴
T MLT2
:
ML1
L2T2
即 a2 :L2T2
a ：振动的传播速度 a
注意：( a）初始条件应是整个系统的
初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。
精品课件
31
如：一根长为 l 的两端固定的弦，用手把它的 中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（
初始时该就为放手的时刻），则初始条件应为：
u
t0
(
2h l
)
x
x
l 2
2h l
(l
x) l 2
x
l
ut t 0 0
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16
④ 对弦的每一小段dx,沿x方向（纵
向）
没有运动，沿 x方向所受合外力为零。任一
小段弦在振动过程中只受到相邻段对它的张 力和施加在弦上的外力。
F (x,t).
设单位长度上受到的横向外力为
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