抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)

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利用二级结论秒杀抛物线(解析版)

利用二级结论秒杀抛物线考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则①|AF|=p1−cosθ,|BF|=P1+cosθ，1|FA|+1|FB|=2p.②|AB|=2psin2θ，SΔOAB=p22sinθ，|AB|=2p1+1k2.③|AF|=x A+p2，|BF|=x B+p2,|AB|=x A+x B+p.【精选例题】1倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=()A.43B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据已知条件，先求出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程可得，x2-6x+1=0，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解.【详解】∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，∵抛物线y2=4x，∴焦点F(1,0)，∴直线l的方程为y=x-1，设A x1,y1,B x2,y2，联立直线与抛物线方程y2=4xy=x-1，化简整理可得，x2-6x+1=0，Δ=62-4=32>0，由韦达定理可得，x1+x2=6，故|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选：D.2已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :x 2=8y 上的两点，且直线AB 经过C 的焦点，若y 1+y 2=12，则AB =()A.12 B.14C.16D.18【答案】C【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.【详解】AB =y 1+p 2+y 2+p 2=y 1+y 2+p =12+82=16.故选：C .3已知抛物线y 2=6x ，弦AB 过抛物线的焦点F 且满足AF =3FB，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A.32B.3C.52D.4【答案】C【分析】根据AF =3FB可得y 1=-3y 2，再根据韦达定理即可求出A ,B 的坐标，进而可求解.【详解】抛物线的焦点F 32,0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，假设y 2>0，显然弦AB 所在的直线的斜率存在且不等于零，设弦AB 所在的直线方程为y =k x -32，联立y =k x -32 y 2=6x，消去x 可得，ky 2-6y -9k =0，所以y 1y 2=-9，因为AF =3FB ，所以32-x 1,-y 1 =3x 2-32,y 2 ，则y 1=-3y 2，所以y 1y 2=-3y 22=-9，解得y 2=3，所以y 1=-33，所以x 2=y 226=12,x 1=y 216=92，所以弦AB 的中点的坐标为52,-3 ，所以弦AB 的中点y 轴的距离为52，故选:C .4已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐标原点，若AF =2BF =6，则()A.p =4B.直线l 的斜率是±22C.线段AB 的中点到y 轴的距离是52D.△OAB 的面积是62【答案】ACD【分析】设直线l :x =my +p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，与抛物线方程联立，根据、韦达定理得出m 2=18，再由AB =m 2+1⋅y 1-y 2 =9求出p 可判断A ；求出m 可得直线l 的斜率，再由点A 在第一象限可判断B ；设线段AB 的中点为M x 0,y 0 ，根据x 0=x 1+x 22=52求出线段AB 的中点到y 轴的距离可判断C ；利用S =12OF ⋅y 1-y 2 求出△OAB 的面积可判断D .【详解】由题意可得直线l 的斜率不为0，则可设直线l :x =my +p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立y 2=2px ,x =my +p 2, 整理得y 2-2pmy -p 2=0，则y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，因为AF =2BF ，所以AF =2FB，所以y 1=-2y 2，所以-2y 2+y 2=2pm ，所以y 2=-2pm ，则y 1y 2=-2y 22=-p 2，即-2×(-2pm )2=-p 2，解得m 2=18，因为AF =2BF =6，所以AB =m 2+1⋅y 1-y 2 =2p m 2+1 =94p =9，解得p =4，则A 正确；对于B ，因为m 2=18，所以m =±24，则直线l 的斜率是±22，因为点A 在第一象限，所以直线l 的斜率大于0，所以直线l 的斜率是22，则B 错误；对于C ，设线段AB 的中点为M x 0,y 0 ，则x 0=x 1+x 22=52，即线段AB 的中点到y 轴的距离是52，则C 正确；对于D ，因为p =4,m 2=18，所以OF =2,y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=2p ⋅m 2+1=62，则△OAB 的面积S =12OF ⋅y 1-y 2 =62，故D 正确.故选：ACD .【跟踪训练】1已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于两点A ，B ．若弦长|AB |=4p ，则直线l 的斜率为．【答案】±1【分析】设直线l 的方程为x =my +p 2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立方程，利用韦达定理求出y 1+y 2,y 1y 2，再根据抛物线的弦长公式即可得解.【详解】由题意，直线l 的斜率不等于零，F p2,0，设直线l 的方程为x =my +p 2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +p2y 2=2px，消x 得y 2-2mpy -p 2=0，Δ=4m 2p 2+4p 2>0恒成立，则y 1+y 2=2mp ,y 1y 2=-p 2，所以|AB |=1+m 2⋅y 1+y 22-4y 1y 2=1+m 2⋅4m 2p 2+4p 2=2p 1+m 2 =4p ，解得m =±1，所以直线l 的斜率为±1.故答案为：±1.2在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的倾斜角为π4的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且点A 在第一象限，△OAB 的面积是82，则()A.AB =8B.p =4C.1AF +1BF=12 D.AF =8+42【答案】BCD【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合△OAB 的面积求解p ，从而利用焦半径公式求解AF ,BF ，逐项判断即可.【详解】抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F p 2,0 ，准线为x =-p2，设过焦点的直线方程为设直线l ：y =x -p 2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程得y 2=2pxy =x -p 2消元得x 2-3px +p 24=0，由韦达定理可得x 1x 2=p 24，x 1+x 2=3p ，所以AB =x 1+x 2+p =4p ，又点O 到直线AB 的距离是-p212+-1 2=24p，所以S △OAB =12×4p ×24p =82，得p =4，所以AB =16，故选项A 错误，B 正确；由p =4知x 2-12x +4=0，解得x 1=6+42,x 2=6-42，所以1AF+1BF=1x1+p2+1x2+p2=18+42+18-42=12，故选项C正确；AF=x1+P2=8+42，故选项D正确；故选：BCD.3已知直线l：y=x+m过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则() A.m=1 B.AB=8C.AF=2BFD.抛物线C上的动点到直线y=x+2距离的最小值为2 2【答案】BD【分析】求得抛物线C的焦点代入直线l的方程，求得m=-1，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得AB=8，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得AF,BF的值，可判定C 错误；设设M(x1,y1)是抛物线C上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D 正确.【详解】由抛物线C:y2=4x，可得焦点为F(1,0)，因为l:y=x+m过抛物线C的焦点F，可得m+1=0，解得m=-1，所以A错误；联立方程组y=x-1y2=4x，整理得x2-6x+1=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=36-4=32>0，x1+x2=6,x1x2=1，由抛物线的焦点弦的性质，可得AB=x1+x2+p=6+2=8，所以B正确；又由x2-6x+1=0，解得x1=3+22,x2=3-22，根据抛物线的定义，可得AF=x1+p2=4+22,2BF=2x2+p2=8-42，所以AF≠2BF，所以C错误；设M(x1,y1)是抛物线C上的任意一点，可得y21=4x1，则点M到直线y=x+2的距离为d=x1-y1+22=14y21-y1+22=(y1-2)2+442，当y1=2时，d min=22，所以D正确.故选：BD.4已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于A x1,y1,B x2,y2两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是()A.若x1+x2=5，则AB=7B.过C的焦点的最短弦长为4C.当AF =2FB 时，直线l 的倾斜角为π3D.存在2条直线l ，使得AF ⋅BM =BF ⋅AM 成立【答案】AB【分析】由拋物线的定义,可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可判定B 正确；设直线l 的方程为x =my+1，联立方程组，得到y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4，结合AF =2FB时，求得k =±22，可判定C 错误；分别求得AF ,BF ,AM ,BM ，结合AF ⋅BM =BF ⋅AM ，化简代入，得到-4m +4m =0恒成立，可判定D 错误.【详解】由拋物线的定义可得AB =AF +BF =x 1+x 2+p =5+2=7，所以A 正确；当过抛物线C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B 正确；设直线l 的方程为x =my +1，联立方程组x =my +1y 2=4x，整理得y 2-4my -4=0，可得y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4，当AF =2FB时，y 1=-2y 2，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，解得y 2=±2,B 12,±2,k =±22，所以倾斜角不是π3，所以C 错误；由F 1,0 ,M -1,0 ，则AF =x 1-12+y 21=my 1+1-12+y 21=1+m 2 y 21，BF =x 2-12+y 22=my 2+1-1 2+y 22=1+m 2 y 22，AM =x 1+1 2+y 21=my 1+1+1 2+y 21=1+m 2y 21+4my 1+4，BM =x 2+12+y 22=my 2+1+12+y 22=1+m 2y 22+4my 2+4，由AF ⋅BM =BF ⋅AM ，则AF BF 2=AMBM2，可得y 21y 22=1+m 2 y 21+4my 1+41+m 2 y 22+4my 2+4，化简可得(my 1y 2+y 1+y 2)(y 1-y 2)=0，由y 1≠y 2，则my 1y 2+y 1+y 2=0，将y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4代入，则-4m +4m =0恒成立，所以D 错误.故选：AB .考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.②一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .③若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).【精选例题】1已知抛物线C ：y =2x 2的的焦点为F ，M x 1,y 1 、N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点F 的坐标为18,0B.若直线MN 过点F ，则x 1⋅x 2=-116C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为14D.若|MF |+|NF |=32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A 错误；直线MN 与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B 正确；根据MN 过焦点可知最小值为通径长，知C 错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得P 点纵坐标，知D 正确.【详解】抛物线y =2x 2，即x 2=12y ，对于A ，由抛物线方程知其焦点在y 轴上，焦点为F 0,18 ，故A 错误；对于B ，依题意，直线MN 斜率存在，设其方程为y =kx +18，由x 2=12yy =kx +18，消去y 整理得x 2-12kx -116=0，则Δ=14k 2+14>0，x 1+x 2=12k ，x 1x 2=-116，故B 正确；对于C ，若MF =λNF，则直线MN 过焦点，所以MN =MF +NF =y 1+18+y 2+18=kx 1+18+kx 2+18+14=12k 2+12，所以当k =0时，MN min =12，所以MN 的最小值为12，故C 正确；对于D ，因为MF +NF =y 1+18+y 2+18=32，则y 1+y 2=54，即P 点纵坐标为y 1+y 22=58，所以P 到x 轴的距离为58，故D 正确.故选：BCD .2已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点()A.直线l 的方程为x -y -2=0B.原点到直线l 的距离为2C.AB =16D.y 1y 2=-8【答案】ABC【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据点斜式、点到直线的距离公式、弦长公式、根与系数关系等知识确定正确答案.【详解】抛物线y 2=8x 的焦点为F 2,0 ，所以过F且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y-0=1×x-2,x-y-2=0，A选项正确，原点到直线l的距离为0-0-22=2，B选项正确.由y2=8xx-y-2=0消去y并化简得x2-12x+4=0,Δ=144-4×4=128>0，设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=12,x1x2=4，所以AB=x1+x2+p=12+4=16，C选项正确.y1y2=x1-2x2-2=x1x2-2x1+x2+4=4-24+4=-16，所以D选项错误.故选：ABC3已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是()A.若AB中点M的横坐标为3，则AB的最大值为8B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为π4C.设N4,0，则AN的最小值为42D.若OA⊥OB，则直线AB过定点4,0【答案】ABD【分析】对于A：利用A，B，F三点的位置与AF,BF,AB的关系及抛物线的定义求AB的最大值；对于B：利用点A，B在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B两点纵坐标间的关系；对于C：利用点A在抛物线上及两点间的距离公式，将AN转化为点A纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求AN的最小值；对于D：设直线AB的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B纵坐标的一元二次方程，结合OA⊥OB及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB方程中的参数，确定直线AB所过的定点【详解】设A x A,y A,B x B,y B．对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则x A+x B=6，可得AB≤AF+BF=x A+x B+2=8，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，所以AB的最大值为8，故A正确；对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则y A+y B=4，由题意可知直线AB的斜率存在，则k AB=y A-y Bx A-x B=y A-y By2A4-y2B4=4y A+y B=1，所以直线AB的倾斜角为π4，故B正确；对于选项C：设At24,t ，则AN =t 24-4 2+t 2=t 416-t 2+16=t 24-22+12≥23，当且仅当t =±22时，等号成立，所以AN 的最小值为23，故C 错误；对于选项D ：设直线AB 的方程x =my +n n ≠0 ，代入抛物线y 2=4x ，得y 2-4my -4n =0，则Δ=16m 2+16n >0，可得y A +y B =4my A y B =-4n，因为OA ⊥OB ，所以OA ⋅OB=x A x B +y A y B =my A +n my B +n +y A y B =m 2+1 y A y B +mn y A +y B +n 2=-4n m 2+1 +4m 2n +n 2=n 2-4n =0，因为n ≠0，解得n =4，满足Δ>0，则直线AB 的方程为x =my +4，所以直线AB 过定点4,0 ，故D 正确．故选：ABD ．【跟踪训练】1过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则说法正确的是()A.AB =x 1+x 2+pB.y 1+y 2=p 2C.1AF +1BF=2p D.OA ⋅OB =-34p 2【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义求解判断A ；当直线AB 垂直于x 轴时可判断B ；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算判断CD .【详解】抛物线y 2=2px 的焦点F p 2,0 ，准线为x =-p 2，根据抛物线的定义，点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 到焦点的距离分别等于其到准线的距离，∴|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p 2,所以AB =|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ，故A 正确；当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A p 2,p,B p2,-p ，故y 1+y 2=p -p =0，故B 错误；当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A p 2,p,B p 2,-p ，故AF =BF =p ，所以1|AF |+1|BF |=1p +1p =2p .当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB :y =k x -p2，k ≠0，联立方程y =k x -p2 y 2=2px，可得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0，所以Δ=p 2(k 2+2)2-4k 2⋅k 2p 24=4p 2(k 2+1)>0恒成立，x 1+x 2=p (k 2+2)k 2,x 1x 2=p 24，1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+p 2+x 2+p2x 1+p 2 x 2+p 2 =-x 1+x 2+p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p (k 2+2)k 2+p p 24+p 2⋅p (k 2+2)k 2+p 24=2p (2k 2+2)p 2(2k 2+2)=2p .综上，1|AF |+1|BF |=2p ，故C 正确；当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A p 2,p,B p2,-p ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=p 2⋅p 2-p 2=-3p 24，当直线AB 不垂直于x 轴时，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2x 1-p 2 x 2-p 2 =(1+k 2)x 1x 2-pk 22(x 1+x 2)+p 2k 24=(1+k 2)⋅p 24-pk 22⋅p (k 2+2)k 2+p 2k 24=-3p 24，综上，OA ⋅OB =-3p 24，故D 正确.故选：ACD .2已知点M (-1,0)在抛物线C :y 2=2px p >0 的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，则()A.抛物线C 的方程是y 2=4xB.x 1x 2=1C.当AF =3FB 时，AB =323 D.∠AMF =∠BMF【答案】ABD【分析】求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，可判断A 选项；设直线l 的方程为x =my +2，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出m 2的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项；计算出直线AM 、BM 的斜率之和，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为x =-p2，因为点M -1,0 在抛物线C :y 2=2px p >0 的准线上，则-p2=-1，可得p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，A 对；对于B 选项，抛物线C 的焦点为F 1,0 ，若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x =my +1，联立x =my +1y 2=4x，可得y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+16>0，则y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 224=-4 216=1，B 对；对于C 选项，因为AF =3FB，即1-x 1,-y 1 =3x 2-1,y 2 ，则-y 1=3y 2，因为y 1+y 2=-2y 2=4m ，可得y 2=-2m ，则y 1y 2=-3y 22=-3×-2m 2=-12m 2=-4，则m 2=13，此时，AB =x 1+x 2+2=my 1+1+my 2+1+2=m y 1+y 2 +4=4m 2+1=4×13+1 =163，C 错；对于D 选项，k AM =y 1x 1+1=y 1my 1+2，同理可得k BM =y 2my 2+2，所以k AM +k BM =y 1my 1+2+y 2my 2+2=y 1my 2+2 +y 2my 1+2 my 1+2 my 2+2=2my 1y 2+2y 1+y 2 my 1+2 my 2+2 =-8m +8mmy 1+4 my 2+4=0，所以∠AMF =∠BMF ，D 对.故选：ABD .3已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=x 上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是()A.点F 的坐标为14,0,B.AB =x 1+x 2+12C.若OA ⊥OB ，则直线AB 经过定点1,0D.若点P -2,1 ,PA ､PB 为抛物线C 的两条切线，则直线AB 的方程为x -2y -2=0【答案】ACD【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A ，根据焦点弦的性质可判断B ，根据垂直关系得y 1y 2=-1，由两点坐标求解直线方程即可判断C ，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D .【详解】因为拋物线C :y 2=x ，故F 的坐标为14,0,故A 正确；由于当直线AB 过焦点时，由抛物线定义可得AB =x 1+x 2+12，但直线AB 不一定过焦点，故B 错误；若OA ⊥OB ，故x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2 2+y 1y 2=0，即y 1y 2=-1或y 1y 2=0(舍去)，因为直线AB:y=y1-y2x1-x2x-x1+y1，即y=y1-y2y12-y22x-y21+y1=1y1+y2x+y1y2y1+y2，得y=1 y1+y2x-1，故直线AB经过定点1,0，故C正确；设过点P-2,1的切线方程为x=m y-1-2，联立x=m y-1-2y2=x⇒y2-my+m+2=0，所以Δ=m2-4m-8=0，故m=2+23或m=2-23，所以方程的根为y=m 2，故切线PA,PB方程中m分别为m1=2+23和m2=2-23，故y1+y2=m1+m22=2，y1y2=m1m24=-2，可得直线AB:y=y1-y2y21-y22x-y21+y1=1y1+y2x+y1y2y1+y2=12x-1，即x-2y-2=0，故D正确.故选：ACD.考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式①已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，AB+CD存在最小值，且最小值为8p.②已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD的面积的最小值为8p2.【精选例题】1过抛物线C：y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.12【答案】AB【分析】由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0，所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y=k x-1，l2：y=-1kx-1，然后将两直线方程分别代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出AB,DE，再利用基本不等式可求得结果.【详解】由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0．因为抛物线C的焦点为F1,0，所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y=k x-1，l2：y=-1kx-1．由y2=4x,y=k x-1,消去y得k2x2-2k2+4x+k2=0．设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2．由抛物线的定义，知AB=x1+x2+2=4+4k2．同理可得DE=4+4k2，所以AB +DE =8+41k2+k 2≥8+8=16，当且仅当1k2=k 2，即k =±1时，等号成立，所以AB +DE ∈16,+∞ ，故选：AB ．2在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 与圆x 2+y 2-2x =0内切，且与直线x =-2相切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点F 1,0 作两条互相垂直的直线与曲线E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值.【答案】(1)y 2=4x ；(2)32【分析】(1)利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.(2)设直线AB 的方程为x =my +1，m ≠0,联立方程组得y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4, ，再利用抛物线的的性质求AB ，同理求CD ，最后利用基本不等式求解即可.【详解】(1)设圆M 的半径为r ，圆x 2+y 2-2x =0的圆心F 1,0，半径为1，因为圆M 与圆F 内切，且与直线x =-2相切，所以圆心M 到直线x =-2的距离为r ，因此圆心M 到直线x =-1的距离为r -1，且MF =r -1，故圆心M 到点F 的距离与到直线x =-1的距离相等，据抛物线的定义，曲线E 是以F 1,0 为焦点，直线x =-1为准线的抛物线，所以曲线E 的方程为y 2=4x .(2)设直线AB 的方程为x =my +1，m ≠0，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .联立方程组x =my +1,y 2=4x ,整理得y 2-4my -4=0，故y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以AB =AF +BF =x 1+1+x 2+1=my 1+1+1+my 2+1+1=m y 1+y 2 +4=4m 2+4.因为AB ⊥CD ，直线CD 的方程为x =-1my +1，同理可得CD =4m2+4.所以S =12AB ⋅CD =124m 2+4 ⋅4m 2+4 =82+m 2+1m 2≥82+2m 2⋅1m2=32，当且仅当m 2=1m 2，即m =±1时，取等号.所以四边形ABCD 面积S 的最小值为32. 【跟踪训练】1已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则AB +DE 的最小值为【答案】16【分析】设直线l 1方程，由两直线垂直可得l 2方程，联立l 1与抛物线方程可得根与系数关系式，利用弦长公式可得AB 表达式，同理可得DE 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0)，焦准距p =2，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则l 1，l 2的斜率都存在且不为0，故设l 1:y =k x -1 ，则直线l 2:y =-1kx -1 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 3,y 3 ,E x 4,y 4 ，联立y 2=4x y =k x -1 ，则k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，Δ=16(k 2+1)>0，则x 1+x 2=2k 2+4k 2，同理x 3+x 4=2k 2+41k 2，故|AB |=x 1+x 2+p =2k 2+4k 2+2=4+4k 2，同理可得|CD |=x 3+x 4+p =2k 2+41k 2+2=4+4k 2,故AB +DE =8+4k 2+1k2≥8+4×2k 2×1k 2=16，当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时等号成立，故AB +DE 的最小值为16.2已知抛物线y 2=4x .其焦点为F ，若互相垂直的直线m ，n 都经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点和C ，D 两点，则四边形ABCD 面积的最小值为．【答案】32【详解】依题意知,直线m ,n 的斜率存在且不为0,设直线m 的方程为y =k (x -1),与抛物线方程联立,得y =k (x -1)y 2=4x，消去y ,整理得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0,设其两根为x 3,x 4,则x 3+x 4=4k 2+2.由抛物线的定义可知，|AB |=2+x 3+x 4=4k 2+4,同理可得|CD |=4k 2+4,∴四边形ABCD 的面积S =124k 2+4 ⋅4k 2+4 =82+k 2+1k 2≥32.当且仅当k =±1时等号成立,此时所求四边形ABCD 面积的最小值为32.考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式设直线l 与抛物线y 2=2px 相交所得的弦AB 的中点坐标为x 0,y 0 ，则k AB =py 0【精选例题】1已知抛物线y 2=2px 的一条弦AB 恰好以点P (1,1)为中点，弦AB 的长为15，则抛物线的准线方程为()A.x =-12B.x =-1C.x =-32D.x =-2【答案】B【分析】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，得到x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，结合“点差法”求得k =p ，得到直线AB 的方程为y =p (x -1)+1，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得p =2，进而求得抛物线的准线方程．【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，弦AB 所在直线方程为y =k (x -1)+1，则x1+x 2=2，y 1+y 2=2，也点A ，B 在抛物线y 2=2px 上，可得y 21=2px 1y 22=2px 2 ，两式相减可得y 1+y 2 y 1-y 2 =2p x 1-x 2 ，所以y 1-y 2x 1-x 2=p ，即k =p ，所以弦AB 所在直线的方程为y =p (x -1)+1，联立方程组y =p x -1 +1y 2=2px，整理得p 2x 2-2p 2x +(1-p )2=0，可得x 1+x 2=2，x 1x 2=(1-p )2p 2，所以AB =1+p 2x 1+x 22-4x 1x 2=1+p 2⋅22-4×(1-p )2p 2=15，所以4p21+p 2 (2p -1)=15，即8p 3-19p 2+8p -4=0，可得(p -2)8p 2-3p +2 =0，解得p =2，所以抛物线的准线方程为x =-1．故选：B ．2直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，则k为()A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是【答案】B【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，得到x1+x2=4，求得y1+y y=4k-4，再由y21=8x1y22=8x2，两式相减，得到y2-y1x2-x1=8y1+y2，得出方程k=84k-4，即可求解.【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为AB中点的横坐标为2，则x1+x2=4，可得y1+y y=k(x1+x2)-4=4k-4，又由y21=8x1y22=8x2，两式相减得到(y2-y1)(y1+y2)=8(x2-x1)，可得y2-y1x2-x1=8y1+y2，可得k=84k-4，解得k=-1或k=2，联立方程组y=kx-2y2=8x，整理得k2x2-(4k+8)x+4=0，由Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>0，解得k>-1，所以k=2.故选：B.3直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()A.255B.355C.5D.25【答案】A【分析】设A x1,y1，B x2,y2，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB中点的纵坐标得出k AB，再结合焦点F的坐标得出直线AB的方程，由点到直线距离公式计算即可．【详解】由抛物线y2=4x得焦点F(1,0)，设A x1,y1，B x2,y2，则y21=4x1 y22=4x2 ，两式相减得y21-y22=4(x1-x2)，即y1-y2x1-x2=4y1+y2，因为线段AB中点的纵坐标为1，即y1+y2=2，所以y1-y2x1-x2=2，即k AB=2，所以直线AB的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0，显然此时直线与抛物线有两交点，所以O到直线AB的距离d=-25=255，故选：A．【跟踪训练】1已知直线l 与抛物线C :y =2x 2相交于A ,B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,4 ，则直线l 的方程为()A.4x -y =0B.2x -y =0C.8x -y -6=0D.x -2y +3=0【答案】A【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由y 1=2x 21y 2=2x 22 得：y 1-y 2=2x 21-x 22 =2x 1+x 2 x 1-x 2 ，∵线段AB 的中点为1,4 ，∴x 1-x 2≠0，x 1+x 2=2，∴y 1-y 2x 1-x 2=2x 1+x 2 =4，即直线l 的斜率为4，∴直线l 的方程为：y -4=4x -1 ，即4x -y =0.故选：A .2已知抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，第一象限的A 、B 两点在抛物线上，且满足BF -AF =4，AB =4 2.若线段AB 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.【答案】y 2=8x【分析】先根据焦半径公式得到x 1,x 2的关系，然后根据弦长公式求解出k AB ，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出p 的值，则抛物线方程可求.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为BF -AF =4，所以x 2+p 2 -x 1+p2=4，所以x 2-x 1=4，又因为AB =1+k 2AB ×x 1-x 2 =42，所以k 2AB =1，因为A ,B 都在第一象限，所以k AB =1，又因为k AB =y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 222p-y 212p =2py 1+y 2=1且y 1+y 2=4×2=8，所以2p =8，所以p =4，所以抛物线方程为y 2=8x ，故答案为：y 2=8x .3已知抛物线C :y 2=4x ，过点P 1,1 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为.【答案】y =2x -1【分析】设出A ，B 的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由题意x 1≠x 2，因为A ，B 在抛物线上，所以y 12=4x 1，y 22=4x 2，两式相减得，y 12-y 22=4x 1-x 2 ，整理得，y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2，即直线AB 的斜率k =4y 1+y 2，∵直线AB 的中点为P 1,1 ，∴y 1+y 22=1，∴k =2，所以直线AB 的方程为y -1=2x -1 ，化简得y =2x -1.故答案为：y =2x -1.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.【精选例题】1已知A ,B 是抛物线C :y 2=6x 上的两动点，F 是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线AB 过焦点F 时，以AB 为直径的圆与C 的准线相切B.直线AB 过焦点F 时，AB 的最小值为6C.若坐标原点为O ，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点3,0D.与抛物线C 分别相切于A ,B 两点的两条切线交于点N ，若直线AB 过定点32,0，则点N 在抛物线C 的准线上【答案】ABD【分析】对于A ：根据抛物线的定义分析判断；对于B ：设AB 方程为x =my +32，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于C ：设AB 方程为x =my +a ，设A y 216,y 1 ，B y 226,y 2，联立方程，根据垂直关系可得y 1y 2=-36，结合韦达定理分析求解；对于D ：可知抛物线C 在点y 206,y 0处的切线方程为x=y 03y -y 206，根据切线方程求交点坐标，结合选项B 分析判断.【详解】对于选项A ：如图1，设AB 中点为M ，分别过点A ,B ,M 向准线作垂线，垂足为A 1,B 1,M 1，则由抛物线的定义可得，AF =AA 1 ，BF =BB 1 .因为AB 中点为M ，所以有MM 1 =AA 1 +BB 12=AF +BF2=AB2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，故A 正确；对于选项B ：由抛物线C :y 2=6x ，可得F 32,0，由题意可知直线AB 斜率不为0，设AB 方程为x =my +32，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线的方程x =my +32y 2=6x，消去x 可得y 2-6my -9=0，则Δ=-6m 2+36=36m 2+36>0恒成立。

抛物线焦点弦

抛物线焦点弦的性质及应用平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。

设抛物线的方程为y 2=2px(P ＞0),过焦点F(p 2,0)作倾斜角为?的直线，交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质:4221p x x =性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2. 证明：①当?=90?时，PQ 方程为x=p2代入y 2=2px中有y 2=p 2,即y 1=p,y 2=-p,∴y 1y 2=-p 2.②当?≠90?时，设直线PQ 斜率为k,则PQ 方程为y=k(x ﹣p2)与y 2=2px 联立，消x 后得到：ky 2-2py-kp 2=0,∴y 1y 2=-p 2.因为1212px y =，2222px y =，所以21222214x x p y y =∙，所以==∙=24222212144pp p y y x x 42p 例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证：直线MQ 平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将P 点横坐标及Q 点纵坐标均用P 点的纵坐标y 1表示.∴P(y 212p ,y 1),Q(x 2,y 2),但y 1y 2=-p 2，∴y 2=﹣p 2y 1,PM 方程是：y=2p y 1x,当x=﹣p 2时,y=﹣p 2y 1即为M 点的纵坐标，这样M 点与Q 点的纵坐标相同，故MQ ∥Ox.[例2]设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA ∙OB ＝ .A 、43B 、-43C 、3D 、-3解析：设弦的两个端点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），x 1 x 2=42P ， 221P y y -=，∴OA ∙OB ＝2121y y x x + ＝42P -2p ＝43432-=-p ，故答案选B 。

有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

抛物线的焦点弦问题

抛物线的焦点弦问题作者：王野来源：《课程教育研究·中》2014年第06期【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路，而且能够节省很多时间。

例如：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦（过焦点F的弦），且A(x1，y1)，B(x2,y2),则：结论一：x1x2=■，y1y2=-p2。

结论二：■+■=■。

结论三：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB=■结论四：焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论五：以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。

结论六：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。

结论七：以AF，BF为直径的圆与y轴相切。

我在做13年高考题中，发现了一个新的结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。

【关键词】焦点弦抛物线问题高考【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0148-01全国大纲卷（11）已知抛物线C：y2=8x与点M(-2，2)，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若■·■=0，则k=（）（A）■ （B）■ （C）■ （D）2标准答案：【解析】设直线AB方程为y=k(x-2)，代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=■，x1x2=4（?鄢）∵■·■=0∴(x1+2，y1-2)·(x2+2，y2-2)=0即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③由（?鄢）及①②③得k=2，故选D标准答案的计算量非常的大，主要考察学生的计算能力。

抛物线焦点弦性质

4. '90AC B ∠=;5. ''90A FB ∠=;6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=; 7.112AF BF P+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线； 10. 22sin AOBp S α∆=； 11. 23()2AOB S p AB ∆=（定值）；12. 1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ；15. 'C F AB ⊥；16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 18. 3=AB p K y ； 19. 2p 2y tan =x -α; 20. 2A'B'4AF BF =⋅; 21. 1C'F A'B'2=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上．证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6 PA ⊥PB ．结论7 PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB平分∠B 1BA ．结论10 2PF = 结论11 P A B S ∆2m i n p = 二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12 ①py y x p 221=，221y y y p +=结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论16 2PF =二、经典问题：（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.例1、P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定解如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =，且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以 PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.注：相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.例2、过抛物线()022 p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 证明（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ，122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程：2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p pp p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有pBF AF 211=+成立. （3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.例3、证明：过抛物线22y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）证明对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点（）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-以下再举一例例4、设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点分析：假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.证明：如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，YAA 11M那么：22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.例5、已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（）A.3B.4C.32D.42 分析：直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.解 ∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由()223013y x mx x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得： 2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.AB ∴=，选C. （2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.例6、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（）A ．4B ．C ．D ．8XOYABMl x y +=ÿ解如图直线AFAFX=60°.△AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==且∠KFM=60°，∴24,44AKFKF S ∆===选C. 注：（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式2S ∆=计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单. （3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.例7、双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12分析：这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上， 1112222,MF MF r MH MF r e MHMF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到： XY O F(1,0)AK60°Y2=2px L:x=-1M()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.例8、如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

抛物线性质归纳与推广

抛物线性质归纳与推广作者：周小芬来源：《中学课程辅导·教学研究》2014年第16期摘要：在圆锥曲线教学中，抛物线是重要的教学环节，它具有很多、很美、很重要的性质。

本文拟对此类特点进行探究并对其性质进行归纳与推广。

关键词：抛物线；焦点；直线；圆中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0154在圆锥曲线教学中，我们发现抛物线有很多、很美、很重要的性质。

而很好地掌握这些性质对于圆锥曲线特别是抛物线的学习很有帮助。

性质1：过y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积为定值，且xAxB＝■，yAyB=-P 2。

证明：当直线的斜率不存在时，如图(1)，此时直线的方程为x＝■，所以A，B两点的坐标为A(■，-P)，B(■，P)，所以 yAyB=-P 2，xAxB＝■。

当直线的斜率存在时，如图(2)，假设斜率为k，则直线的方程为y=k(x-■)，y=k(x-■)和y2=2px联立消去x得：ky2-2py-kp2=0，所以，yAyB=-P 2，y=k(x-■)和y2=2px联立消去y得：k2x2-p(k2+2)x+■=0所以xAxB＝■。

性质2：过y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则■+■为定值，且■+■=■。

证明：当直线的斜率不存在时，如图(1)，此时直线的方程为x=■，所以A，B两点的坐标为A(■，-p)、B(■，p)，所以■+■=■成立。

当斜率存在时，如图(2)，假设直线AB的倾斜角为θ，则直线AB的参数方程为x=■+tcosθy=tsinθ(θ为参数），与y2=2px联立得sin2θt2-2pcosθt-p2=0∴■+■=■=■=■=■=■性质3(焦点弦长公式)：过y2=2px(p＞0)的焦点的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则AB=tA-tB=■=■证明：当直线斜率不存在时，如图(1)，此时θ＝■时，AB=2p=■当直线斜率存在时，如图(2)，由性质2可知，AB=tA-tB=■=■=■注意：过抛物线的焦点的弦长存在最小值，不存在最大值：当时θ=■，ABmin=2p，此时称弦AB为抛物线的通径。

抛物线切点弦的性质以及和中点弦焦点弦的关系

抛物线切点弦的性质，中点弦，焦点弦的关系
过抛物线外任意一点P做抛物线的两条切线PA和PB，切点为点A和点B
称弦AB为点P对抛物线的切点弦。

性质一
如果点P在准线x=-p/2上，则切点弦AB恒过定点M（P/2,0），也就是恒过焦点F。

性质二
设弦AB的中点是Q，则直线PQ平行于抛物线的对称轴。

性质三
三角形PAB面积取最小值时，定点M是弦AB的中点。

推论，点P在准线上时，三角形PAB的面积的最小值为p^2
(1/2)*(p/2-(-p/2))*(2p)=p^2
第一步求切点弦所在直线AB的方程(x0+3)y=x+x0
第二步求恒过定点M的坐标
(x0+3)y+3=x+x0+3
(x0+3)(y−1)=x−3
恒过定点M（3,1）
第三步，因为三角形PAB面积取最小值时M点是切点弦的中点，
而切点弦的中点和P的连线又平行于抛物线的对称轴。

所以P点纵坐标为1，P点坐标为(-2,1)
第四步求三角形PAB的面积取最小值时，直线AB的方程。

(x0+3)(y−1)=x−3
也就是
(−2+3)(y−1)=x−3
也就是y=x-2
第五步求三角形PAB的面积
此时弦AB的弦长为2√10，P点到AB的距离为5√2/2，三角形PAB的面积为5√5。

抛物线中焦点弦与原点围成的三角形面积

抛物线中焦点弦与原点围成的三角形面积要计算抛物线中焦点弦与原点围成的三角形的面积，需要先找到抛物线的焦点坐标。

抛物线的方程可以表示为：y=ax^2，其中a为常数。

焦距的定义为p=2a，焦点的坐标为(F,0)。

根据焦点的性质，可以得到焦点的横坐标F=p/2a=1/(4a)。

现在，我们需要找到焦点弦的方程。

由于焦点弦与原点围成的三角形，我们可以将焦点弦表示为y=kx，其中k为斜率。

将弦的方程y=kx和抛物线的方程y=ax^2联立，得到方程ax^2kx=0。

为了找到焦点弦的两个交点，需要将方程ax^2kx=0转化成二次方程，并求解其根。

对方程ax^2kx=0使用求根公式，可以得到两个解x1和x2：x1=0，x2=k/a。

因此，焦点弦与抛物线的交点坐标为(0,0)和(k/a,k)，其中k 为任意非零实数。

现在，我们可以计算焦点弦与原点围成的三角形的面积。

三角形的底边长为原点到焦点弦的距离，即x轴上的坐标差值：D=|F0|=F=1/(4a)。

三角形的高为点到直线的距离，即点(0,0)到焦点弦的距离，使用点到直线的公式：d=|ax+by|/√(a^2+b^2)，其中直线的一般式方程为ax+by=0。

将焦点弦的方程y=kx代入直线的一般式方程，可以得到bkx=0，即b=kx。

将坐标点(0,0)代入点到直线的公式，可以得到d=|by|/√(a^2+b^2)=|kxy|/√(a^2+k^2)。

此时，我们可以计算出三角形的面积S为底边乘以高的一半：S=1/2*D*d=1/2*(1/(4a))*(|kxy|/√(a^2+k^2))。

最后，我们得到了抛物线中焦点弦与原点围成的三角形的面积公式：S=1/(8a√(a^2+k^2))*|kxy|。

注意：这个公式对于所有非零实数k和常数a都成立，其中k为焦点弦的斜率。

抛物线焦点三角形的面积公式

抛物线焦点三角形的面积公式
1、有一边在坐标轴上：S=1/2xa-xb×yc，有一边与坐标轴（x轴）平行：S=1/2xa-xb×yc-ya。

（得出结论）
2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

（原因解释）
3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

（内容延伸）抛物线焦点三角形面积公式
P²／2Sina。

任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点。

那么△PAB称作阿基米德三角形。

该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角形，且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性
抛物线焦点三角形面积公式
焦点三角形面积=b*b*tan(r/2)(其中b为短半轴长，r表示椭圆周角)设焦点为f1，f2，椭圆上任意点为a，设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a，af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b^2/(1-cosa)(0度可以不考虑)面积就是1/2mnsina，把上面带入即得。

{注：m，n为af1和af2的长}。

专题01 抛物线中的三角形面积问题-高中数学破题致胜微方法(抛物线中的面积、角度及参数范围问题)

专题01 抛物线中的三角形面积问题本内容主要研究抛物线中的面积问题.直线和抛物线相交，围成的平面图形种类很多，尤其以三角形最为常见，三角形面积的计算是重点，其他平面图形的面积可以转化为三角形面积的计算.直线和抛物线相交时联立方程，利用弦长公式，或者点线距公式，结合韦达定理解决问题.先看例题：例：已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C的准线上一点,则△ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48解：由题意可知,|AB |是该抛物线的通径,即|AB |=2p =12,且准线上的点到AB 的距离即为焦准距,即为p =6,所以△ABP 的面积为1126362⨯⨯=. 所以本题选C整理：三角形面积（1）过x 轴上一定点H 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- （2）过y 轴上一定点H 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- （3）弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注意：要着正确的画出图形，进而求解.再看两个例题，加深印象例：在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________. 解：据题意可知直线AB 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立消元得243403y y --=, 解得23A y =,故11||123322AOF A S OF y =⨯=⨯⨯=△.再看一个例题：例：已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________.解；本小题主要考查抛物线的方程及有关性质.由题意知a＞0,C(0,－1),原方程变形为21 (1)x ya=+,所以1||4OCa=,即14a=,则||4ABa==,所以14122ABCS=⨯⨯=△.总结：1.根据直线和抛物线的位置关系，如果弦任意，选择公式12S∆=弦长×点线距.2.根据直线和抛物线的位置关系，如果直线过x轴上一定点H，设直线方程x my t=+，代入抛物线方程计算弦长.3.根据直线和抛物线的位置关系，如果直线过y轴上一定点H，设直线方程y kx m=+，代入抛物线方程计算弦长.练习：1. O 为坐标原点,F 为抛物线C :2y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =则△POF的面积为( )A.2B.C.D.42. 连接抛物线x 2=4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ,设点O 为坐标原点,则三角形OAM 的面积为( )A.1-B.32-C.1D.32+3. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8xC.y 2=4xD.y 2=8x。

浅析与抛物线的弦有关的问题

浅析与抛物线的弦有关的问题当直线与抛物线相交时，两个交点之间的线段，称为抛物线的弦。

围绕抛物线的弦，有许多值得探究的问题及结论。

下面作简要归纳。

一、抛物线的弦长求法设抛物线y 2=2px （p ＞0）与直线l ∶y=kx+b 相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，则可用焦半径求弦长，AB =x 1+x 2+p 。

（3）若抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的倾斜角为α，则焦点弦长|AB|=22sin pα。

且通径是最短的焦点弦。

例1、过抛物线214y x =-的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且8AB =，求倾斜角α。

解：∵抛物线方程为x 2=-4y ，∴焦点为(0，-1)．设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入x 2=-4y 中得：x 2+4kx-4=0． ∴x 1+x 2=-4k ，x 1x 2=-4。

由8AB =k=±1，∴4πα=或34π。

点评：抛物线的弦长问题一般的方法是联立组成方程组，特殊的焦点弦，可运用抛物线的定义。

练习1：在抛物线x 2＝4y 上有两点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)且满足|AB|=y 1+y 2+2，求证：A 、B 和这抛物线的焦点三点共线；证明：∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．∴A 、B 到准线的距离分别d 1＝y 1+1，d 2=y 2+1由抛物线的定义：|AF|=d 1=y 1+1，|BF|=d 2=y 2+1． ∴|AF|+|BF|=y 1+y 2+2=|AB|．即A 、B 、F 三点共线．二、探求存在的条件例2、是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线28y x =有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.解：假定在抛物线28y x =上存在这样的两点()()1122.A x y B x y ，，，则有()()()211121212222888y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩()()()1212128AB y y k x x y y -⇒==-+ ∵线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分，且1155l AB k k =-∴=，，即()1285y y =+1285y y ⇒+=.设线段AB 的中点为()12000425y y M x y y +==，，则.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB 中点为415M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故存在符合题设条件的直线，其方程为：()4515y x -=-，即 255210x y --=，此时判别式大于0。

抛物线焦点弦三角形面积

抛物线焦点弦三角形面积
在解析几何中,抛物线是一种重要的二次曲线。

它有许多有趣的性质,其中之一就是关于焦点弦三角形的面积。

所谓焦点弦三角形,是指以抛物线上任意两点所确定的弦为底边,过抛物线焦点作垂线与该弦相交于两点,以这两点为顶点所构成的三角形。

对于标准抛物线y^2=2px(其中p为焦距),我们可以推导出焦点弦三角形的面积公式为:
S = (x_2 - x_1)^2 / 8p
其中x_1和x_2是确定弦的两个x坐标值。

证明过程较为复杂,主要利用了几何和微积分的知识。

这一性质在研究抛物线的各种应用中都有重要作用,比如计算抛物线旋转体的体积等。

需要指出的是,对于不同形式的抛物线方程,焦点弦三角形面积公式也会有所不同,但其本质思想是一致的。

通过研究抛物线的这些几何性质,可以加深我们对这一基本曲线的理解。