(2020年编辑)初一数学竞赛试题及答案
2020年七年级数学竞赛试卷及答案解析
第 1 页 共 11 页2020年七年级数学竞赛试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）已知a 是两位数，b 是一位数，把a 接写在b 的后面，就成为一个三位数．这个三位数可表示成（ ） A ．10b +aB ．baC ．100b +aD ．b +10a2．（3分）设x 为有理数，若|x |＝x ，则（ ） A ．x 为正数B ．x 为负数C ．x 为非正数D ．x 为非负数3．（3分）某地区一天三次测量气温如下，早上是﹣8℃，中午上升了4℃，半夜下降了14℃，则半夜的气温是（ ） A ．﹣15℃B ．2℃C ．﹣18℃D ．﹣26℃4．（3分）关于x 的方程2x ﹣4＝3m 和x +2＝m 有相同的解，则m 的值是（ ） A ．10B ．﹣8C ．﹣10D ．85．（3分）当3≤m ＜5时，化简|2m ﹣10|﹣|m ﹣3|得（ ） A ．13+mB ．13﹣3mC ．m ﹣3D ．m ﹣136．（3分）计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ） A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣57．（3分）观察图中的数轴：用字母a ，b ，c 依次表示点A ，B ，C 对应的数，则1ab，1b−a，1c的大小关系是（ ）A ．1ab＜1b−a＜1cB ．1b−a＜1ab＜1cC ．1c＜1b−a＜1abD ．1c＜1ab＜1b−a8．（3分）平面内3条直线最多可以把平面分成（ ） A ．4部分B ．5部分C ．6部分D ．7部分9．（3分）一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A ．20m m−20小时 B ．20mm+20小时 C ．m−2020m小时 D ．m+2020m小时10．（3分）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是（ ）。
七年级数学竞赛试题及答案
七年级数学竞赛试题一、选择题(每小题4分，共40分)1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ）A 、相反数B 、倒数C 、绝对值D 、平方2、当ｘ＝－2时，37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是（ ）A 、－23B 、－17C 、23D 、17 3、255，344，533，622这四个数中最小的数是………………………（ ）A. 255B. 344C. 533D. 6224、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 …………………………….. （ ）．A 、21B 、24C 、33D 、375、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子中一定成立的是……（ ）A 、c b a ++＞0B 、c b a <+C 、c a c a +=-D 、a c c b ->-6、某商场国庆期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于打 （ ）A 、９折B 、8.5折C 、８折D 、7.5折7、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是……………………………………………………………… （ ）图1 图2A 、1B 、2C 、3D 、48、方程 |x|=ax+1有一负根而无正根, 则a 的取值范围…………（ ）A. a>－1B. a>1C. a ≥－1D. a ≥19、122-+-++x x x 的最小值是…………………………………（ ）A. 5B.4C.3D. 210、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案
保证原创精品 已受版权保护2020年全国初中数学竞赛试题（多份）及答案一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则b a ba 的值为【 】A 、3B 、6C 、2D 、32．已知a ＝2020x ＋2020，b ＝2020x ＋2020，c ＝2020x ＋2020，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于【 】A 、65B 、54C 、43D 、32ABC DEF G保证原创精品 已受版权保护4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3，y ＝b 2－2c ＋3，z ＝c 2－2a ＋3，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于05．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72 D 、112＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】A 、22b a B 、22b ab a C 、b a 21D 、a ＋b二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则bc c a 的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
河南淮滨县第一中学2020年12月七年级数学竞赛试题(含答案)
淮滨县第一中学2020年12月七年级数学竞赛试题考试时间：2020年12月30日一、选择题（本题共计12 小题，每题3 分，共计36分，）1. 下列说法：①−5πR2的系数是−5；②两个数互为倒数，则它们的乘积为1；③若a，b互为相反数，则ba=−1；④用四舍五入法将数3.14159精确到千分位是3.1416；⑤两个有理数比较，绝对值大的反而小；⑥若a为任意有理数，则a≤|a|，其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2. 李白出生于公元701年，我们记作+701，那么杨雄出生于公元前53年，可记作（）A.53B.−754C.−53D.6483. 下列计算：①(−1)×(−2)×(−3)=6；②(−36)÷(−9)=−4；③23×(−94)÷(−1)=32；④(−4)÷12×(−2)=16．其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.14. 若单项式13a m+1b3与−2a3b n的和仍是单项式，则方程x−7n−1+xm=1的解为( )A.x=−23B.x=23C.x=−29D.x=295. 小文在计算某多项式减去2a2+3a−5的差时，误认为是加上2a2+3a−5，求得答案是a2+a−4（其他运算无误），那么正确的结果是( )A.−a2−2a+1B.−3a2−5a+6C.a2+a−4D.−3a2+a−46. 已知x=(14−15)×(−20)，A=2x2−x+1，B=x2+x，则2A−5B的值为( )A.5B.6C.7D.87. 3≤m≤5，化简|m−5|+|2m−6|的结果是( )A.m−1B.1−mC.3m−11D.11−3m要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，那么树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，那么树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则下列方程正确的是（ ） A.5(x +21−1)=6(x −1) B.5(x +21)=6(x −1) C.5(x +21−1)=6xD.5(x +21)=6x9. 某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为( ) A.30元B.31元C.32元D.33元10. 下列说法正确的个数 （ ）①线段有两个端点，直线有一个端点；②点A 到点B 的距离就是线段AB ；③两点之间线段最短；④ 若AB =BC ，则点B 为线段AC 的中点；⑤同角（或等角）的余角相等． A.4个B.3个C.2个D.1个11. 若(m +3)x |m|−2−8=2是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ） A.3B.−3C.±3D.不能确定12. 关于式子−2a n b 3（n 为正整数）的结论，不正确的是（ ）A.它的系数是−23B.若a =b =−12，n =3时，它的值为−124 C.若它是七次单项式，则n =6 D.它不是整式二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ， ） 13. 若a +b +c <0，abc >0，则a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|的值为________. 14. 一组单项式：a ，−2a 2，3a 3，−4a 4，⋯，按此规律排列下去，第2020 个单项式为________.15. 小李在解关于x 的方程5a −x =13时，误将−x 看作+x ，得方程的解为x =−2，则原方程的解为________.16. 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，设用x 立方米木料做桌面，那么桌腿用木料(5−x)立方米，这里x 应满足的方程是________. 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计52分 ， ）(1)7x−2x=8+2；(2)4x−3(5−2x)=7x；(3)2x−13=x4；(4)1−x2=4x−13−1.18. （8分）化简求值：5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]，其中3x2−2x=5.19.(8分) 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．(1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）；(2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？(3)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF如图2所示．求当t为何值时，两个正方形的重20.(8分) 在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式5a+3b的值为−4，那么代数式2(a+b)+4(2a+b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式= 2a+2b+8a+4b=10a+6b，把式子5a+3b=−4两边同乘以2，得10a+ 6b=−8，仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2+a=0，则a2+a+2020=________；(2)已知a−b=−2，求3(a−b)−5a+5b+6的值；(3)已知a2+2ab=3，ab−b2=−4，求a2+32ab+12b2的值．21.(8分) 某车间接到一批限期（可以提前）完成的零件加工任务．如果每天加工150个，则恰好按期完成；如果每天加工200个，则可比原计划提前5天完成．(1)求这批零件的个数；(2)车间按每天加工200个零件的速度加工了m个零件后，将加工速度提高到每天加工250个零件，结果比原计划提前6天完成了生产任务，求m的值．22.(8分) 已知x=−3是关于x的方程(k+3)x+2=3x−2k的解．(1)求k的值；(2)在(1)的条件下，已知线段AB=6cm，点C是线段AB上一点，且BC=kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，已知点A所表示的数为−2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD=2QD？参考答案与试题解析淮滨县第一中学2020年12月七年级数学竞赛试题一、选择题（本题共计12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】A【解析】根据题目中各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①−5πR2的系数是−5π，故①错误；②两个数互为倒数，则它们的乘积为1，故②正确；③当a，b都不等于0时，若a，b互为相反数，则ba =−1；若a=b=0，则ba无意义，故③错误；④用四舍五入法将数3.14159精确到千分位是3.142，故④错误；⑤两个负有理数比较，绝对值大的反而小，两个正有理数比较，绝对值大的这个数就大，故⑤错误；⑥当a≥0时，a−|a|=a−a=0，当a<0时，a−|a|=a−(−a)=a+a=2a<0，故若a为任意有理数，则a≤|a|，故⑥正确.故选A.2.【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】解：公元701年用+701表示，则公元前用负数表示，则公元前53年表示为−53．故选C．3.【答案】C根据有理数的乘法和除法法则分别进行计算即可．【解答】解：①(−1)×(−2)×(−3)=2×(−3)=−6，故①计算错误；②(−36)÷(−9)=4，故②计算错误；③23×(−94)÷(−1)=(−32)÷(−1)=32，故③计算正确；④(−4)÷12×(−2)=(−8)×(−2)=16，故④计算正确.综上，正确的个数是2个.故选C．4.【答案】A【解析】由题意得到两单项式为同类项，利用同类项定义确定出m与n的值，代入方程计算即可求出解．【解答】解：∵单项式13a m+1b3与−2a3b n的和仍是单项式，∴单项式13a m+1b3与−2a3b n为同类项，即m=2，n=3，代入方程得：x−73−1+x2=1，去分母得：2(x−7)−3(1+x)=6，去括号得：2x−14−3−3x=6，移项合并得：−x=23，解得：x=−23.故选A．5.【答案】B【解析】【解答】=a2+a−4−2a2−3a+5=−a2−2a+1，则正确的结果为(−a2−2a+1)−(2a2+3a−5)=−a2−2a+1−2a2−3a+5=−3a2−5a+6.故选B．6.【答案】D【解析】根据有理数混合运算计算出x的值，再利用整式加减法对化简2A−5B，再将x的值代入求解.【解答】解：∵x=(14−15)×(−20)，∴x=120×(−20)=−1.∵A=2x2−x+1，B=x2+x，∴2A−5B=2(2x2−x+1)−5(x2+x)=4x2−2x+2−5x2−5x=−x2−7x+2=−(−1)2−7×(−1)+2=8.故选D.7.【答案】A【解析】利用绝对值的意义得到|m−5|+|2m−6|=−(m−5)+2m−6，然后去括号后合并即可．解：由3≤m≤5得m−5≤0，2m−6≥0，∴|m−5|+|2m−6|=−(m−5)+2m−6=−m+5+2m−6=m−1.故选A．8.【答案】A【解析】此题暂无解析【解答】解：因为设原有树苗x棵，则路的长度为5(x+21−1)米，由题意，得5(x+21−1)=6(x−1)，故选A．9.【答案】D【解析】设这本新书的标价为x元，依题意得：0.8x−24=24×10%，求解即可. 【解答】解：设这本新书的标价为x元，依题意得：0.8x−24=24×10%，解得：x=33.故选D．10.【答案】C【解析】此题暂无解析①线段有两个端点，直线没有端点，故①错误； ②点A 到点B 的距离就是线段AB 的长度，故②错误； ③两点之间线段最短，正确；④若AB =BC ，点B 在线段AC 上时，则点B 为线段AC 的中点，故④错误； ⑤同角（或等角）的余角相等，正确． 故选C. 11.【答案】A 【解析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax +b =0(a ，b 是常数且a ≠0)． 【解答】解：由(m +3)x |m|−2−8=2是关于x 的一元一次方程，得 |m|−2=1，且m +3≠0． 解得m =3， 故选：A ． 12.【答案】D 【解析】根据单项式的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数对各小题分析判断即可． 【解答】 解：A ，−2a n b 3系数为−23，故A 正确；B ，当a =b =−12，n =3时，−2a n b 3=−2×(−12)3×123=−124，故B 正确；C ，由于−2a n b 3的次数为n +1，所以若它是七次单项式，即n +1=7，则n =6，故C 正确； D ，−2a n b 3是整式，故D 错误.二、填空题（本题共计4 小题，每题3 分，共计12分）13.【答案】4或0或2【解析】由a＋b+c＜0，abc＞0，得到a，b，c三个数必定是一正两负，分析a，b，c的符号，去掉绝对值进行求解即可.【解答】解：∵a+b+c<0，abc>0，∴a，b，c三个数必定是一正两负，∴当a<0，b<0，c>0时，ab>0，此时a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|=−1+2+3=4；当a<0，b>0，c<0时，ab<0，此时a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|=−1−2+3=0；当a>0，b<0，c<0时，ab<0，此时a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|=1−2+3=2.故答案为：4或0或2.14.【答案】−2020a2020【解析】利用已知单项式得出其次数与其所在个数的关系，系数偶数个为负数，奇数个为正，进而得出答案．【解答】解：由题中式子可得规律，第n个单项式的系数为n×(−1)n+1，a的指数为n，所以第2020个单项式为：−2020a2020.故答案为：−2020a2020.15.【答案】x=2【解析】根据题意，方程5a+x=13的解是x=−2，可先得出a=3，然后，代入原方程，解出即可；【解答】解：由题意得，5a−2=13，解得，a=3，∴原方程为15−x=13，解得：x=2.故答案为：x=2．16.【答案】4×50x＝300(5−x)【解析】此题暂无解析【解答】设用x立方米木料做桌面，那么桌腿用木料(5−x)立方米,所以4×50x＝300(5−x).三、解答题（本题共计6 小题，共计52分）17.【答案】解：(1)合并同类项，得5x=10，系数化为1,得x=2.(2)去括号，得4x−15+6x=7x，移项，得4x+6x−7x=15，合并同类项，得3x=15.系数化为1，得x=5.(3)去分母，得8x−4=3x，移项，得8x−3x=4，合并同类项，得5x=4，.系数化为1，得x=45(4)去分母，得3(1−x)=2(4x−1)−6，去括号，得3−3x=8x−2−6，移项，得−3x−8x=−2−6−3，合并同类项，得−11x=−11，系数化为1，得x=1.【解析】合并同类项，得5x=10系数化为1,得x=2去括号，得4x−156x=7移项，得4x+6x−7=11合并同类项，得3x=1.系数化为1，得x=5去分母，得8x−4=3x移项，得8x−3x=4合并同类项，得5x=系数化为1，得x=45去分母，得3(1−x)=2(4x−1)−6去括号，得3−3t=8x−2−6.移项，得−3x−8x=−2−6−3合并同类项，得−11=−11.系数化为1，得x=1【解答】解：(1)合并同类项，得5x=10，系数化为1,得x=2.(2)去括号，得4x−15+6x=7x，移项，得4x+6x−7x=15，合并同类项，得3x=15.系数化为1，得x=5.(3)去分母，得8x−4=3x，移项，得8x−3x=4，合并同类项，得5x=4，.系数化为1，得x=45(4)去分母，得3(1−x)=2(4x−1)−6，去括号，得3−3x=8x−2−6，移项，得−3x−8x=−2−6−3，合并同类项，得−11x=−11，系数化为1，得x=1.18.【答案】解：5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]=5x2−(x2−2x−2x2+6x−2)=5x2−(−x2+4x−2)=5x2+x2−4x+2=6x2−4x+2，∵3x2−2x=5，∴原式=2(3x2−2x)+2=2×5+2=12．【解析】原式去括号合并得到最简结果，再用整体代入法求出式子的值.【解答】解：5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]=5x2−(x2−2x−2x2+6x−2)=5x2−(−x2+4x−2)=5x2+x2−4x+2=6x2−4x+2，∵3x2−2x=5，∴原式=2(3x2−2x)+2=2×5+2=12．19.【答案】−8,4−t(2)依题意得，点P表示的数为4−t，点Q表示的数为−8+2t，①若点P在点Q右侧时：(4−t)−(−8+2t)=3，解得：t=3，②若点P在点Q左侧时：(−8+2t)−(4−t)=3，解得：t=5综上所述，点P运动3秒或5秒时与Q相距3个单位长度.4.8或24【解析】(1)根据题目中给出的条件及P的运动规律可直接得出．(2)分别根据P、Q两点的运动规律，用变量t表示这两点所表示的数．求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得．(3)由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得．【解答】解：(1)因为点B在点A的左边，AB=12，点A表示4，则点B表示的数为4−12=−8;动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点P表示的数为4−t.故答案为：−8；4−t.(2)依题意得，点P表示的数为4−t，点Q表示的数为−8+2t，①若点P在点Q右侧时：(4−t)−(−8+2t)=3，解得：t=3，②若点P在点Q左侧时：(−8+2t)−(4−t)=3，解得：t=5综上所述，点P运动3秒或5秒时与Q相距3个单位长度.(3)①如图1，P，Q均在线段AB上，因为两正方形有重叠部分，所以点P在点Q的左侧，PQ=(−8+2t)−(4−t)=3t−12，又因为AP=4−(4−t)=t，重叠部分的面积为正方形APEF面积的一半，t，所以3t−12=12解得：t=4.8.②如图2，P，Q均在线段AB外，∴AB=12，AP=t，t，∴12=12解得：t=24.故答案为：4.8或24.20.【答案】2020 (2)∵a−b=−2，∴原式=3(a−b)−5(a−b)+6=−2(a−b)+6 =10.(3)∵a2+2ab=3，ab−b2=−4，(ab−b2)∴原式=(a2+2ab)−12×(−4)=5 .=3−12【解答】解：（1）∵a2+a=0，∴原式=0+2020=2020.故答案为：2020.(2)∵a−b=−2，∴原式=3(a−b)−5(a−b)+6=−2(a−b)+6 =10.(3)∵a2+2ab=3，ab−b2=−4，(ab−b2)∴原式=(a2+2ab)−12=3−1×(−4)=5 .221.【答案】解：(1)设这批零件有x个，则由题意得x150−x200=5，解得x=3000．答：这批零件有3000个.(2)由题意得m200+3000−m250=3000150−6，解得m=2000．答：m的值是2000．【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：(1)设这批零件有x个，则由题意得x150−x200=5，解得x=3000．答：这批零件有3000个.(2)由题意得m200+3000−m250=3000150−6，解得m=2000．答：m的值是2000．22.【答案】解：(1)把x=−3代入方程(k+3)x+2=3x−2k得：−3(k+3)+2=−9−2k.解得：k=2.(2)当k=2时，BC=2AC，AB=6cm，∴AC=2cm，BC=4cm.当C 在线段AB 上时，如图：∵ D 为AC 的中点，CD =12AC =1cm ，∴ 线段CD 的长为1cm .(3)在(2)的条件下，∵ 点A 所表示的数为−2 ，AD =CD =1，AB =6，∴ D 点表示的数为−1，B 点表示的数为4.设经过x 秒时，有PD =2QD ，∴ 此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是−2−2x ，4−4x 分两种情况： ①当点D 在PQ 之间时，∵PD =2QD ，∴ −1−(−2−2x )=2[4−4x −(−1)]，解得x =910； ②当点Q 在PD 之间时，∵ PD =2QD ，∴ −1−(−2−2x )=2[−1−(4−4x )]，解得x =116.答：当时间为910或116秒时，有PD =2QD.【解答】解：(1)把x =−3代入方程(k +3)x +2=3x −2k 得：−3(k +3)+2=−9−2k. 解得：k =2.(2)当k =2时，BC =2AC ，AB =6cm ，∴ AC =2cm ，BC =4cm .当C 在线段AB 上时，如图：∵ D 为AC 的中点，CD =12AC =1cm ， ∴ 线段CD 的长为1cm .(3)在(2)的条件下，∵ 点A 所表示的数为−2 ，AD =CD =1，AB =6，∴ D 点表示的数为−1，B 点表示的数为4.设经过x 秒时，有PD =2QD ，∴ 此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是−2−2x ，4−4x 分两种情况： ①当点D 在PQ 之间时，∵PD =2QD ，∴ −1−(−2−2x )=2[4−4x −(−1)]，解得x =910； ②当点Q 在PD 之间时，∵ PD =2QD ，∴ −1−(−2−2x )=2[−1−(4−4x )]，解得x =116.答：当时间为910或116秒时，有PD =2QD.。
2020-2021学年湖南省七年级下学期数学竞赛卷1(解析版)
2020-2021学年湖南省七年级下学期数学竞赛卷1 一，单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）1．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（）A．25B．30C．35D．40【答案】C【分析】最大数出现的条件就是前面10个数的和尽可能小，而它们的和是110，中间的是9，则其它的越小，剩下的就越大，但是8的个数要多于其它的，可分8的个数分别是2，3，4，5时，讨论写出符合条件的数据即得答案．【详解】解：∵有11个正整数，平均数是10，∵这11个数的和为110，由于中位数是9，众数只有一个8，如有两个8，则其他数至多1个，符合条件的数据可以是：1，2，3，8，8，9，10，11，12，13，x；如有3个8，9是中位数，则其他数至多2个，符合条件的数据可以是：1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，x；如有4个8，则其他数至多3个，符合条件的数据可以是：1，8，8，8，8，9，9，9，10，10，x；如有5个8，则其他数至多4个，符合条件的数据可以是：8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，x；再根据其和为110，比较上面各组数据中哪个x更大即可，通过计算x分别为33，35，30，24，故最大的正整数为35．故选：C．本题主要考查了众数、平均数以及中位数的运用，解题时注意：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则处于中间位置的数（或中间位置的两个数的平均数）就是这组数据的中位数．2．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a※b ＝am －bn ，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（ ） A ．－2B ．－4C ．－7D ．－11【答案】A【分析】按照定义新运算的法则，先求出m 和n 的值，再把算式转化为有理数运算即可．【详解】解：根据题意，3∵2＝5，1∵（－2）＝－1，得， 32521m n m n -=⎧⎨+=-⎩， 解得，11m n =⎧⎨=-⎩， 则（－3）∵1=（-3）×1-1×（-1）=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m 、n 的值．3．已知x y 、、z 满足12x z -=，236xz y +=-，则2x y z ++的值为（ ） A ．4B ．1C ．0D ．-8【答案】C根据题目条件可用x 来表示z ，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得()226x y -=-，再根据平方数的非负性可分别求出x ，z 的值，最后运算即可．【详解】 解：12x z -=，∴12z x =-， 又236xz y +=-，∴()21236x x y -+=-，∴2212+36=-y x x -，()226x y -=-， ()22600x y -≥-≤，，600x y ∴-==，，606x y z ∴===-，，，代入2x y z ++得，2x y z ++=0．故选：C ．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．4．已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系．解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，<<，又∵125243256<<．∵c a b故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（）A．50°、130°B．都是10°C．50°、130°或10°、10°D．以上都不对【答案】C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：∵两个角的两边分别平行，∵这两个角相等或互补．设其中一角为x°，若这两个角相等，则x＝3x﹣20，解得：x＝10，∵这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x ＝3x ﹣20，解得：x ＝50，∵这两个角的度数是50°和130°．∵这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用． 6．如图，在锐角三角形ABC 中，4AB =，ABC 的面积为10，BD 平分ABC ∠，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM MN +的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．4.5D ．6【答案】B【分析】 作N 关于BD 的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即为C 点到AB 的垂线段，因此根据面积公式可以得解．【详解】解：如图，作N 关于BD 的对称点N '，连结N N '，与BD 交于点O ，过C 作CE∵AB 于E ，则∵BD 平分 ∵ABC ，∵N '在AB 上，且MN=M N '，∵CM+MN=CM MN +'，∵根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为CN '，即C 点到线段AB 某点的连线，∵根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C 点到AB 的垂线段CE 的长度，∵∵ABC 的面积为 10 ， ∵14102CE ⨯⨯=， ∵CE=5，故选B ．【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．7．若220x x +-=，则3222016x x x +-+等于（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．－2020【答案】C【分析】将220x x +-=变形为22x x =-+，22x x +=，代入3222016x x x +-+即可求解．【详解】解：∵220x x +-=，∵22x x =-+，22x x +=，∵3222016x x x +-+2222016x x x x =+-+()2222016x x x x =-++-+22016x x =++22016=+=2018．故选：C【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．8．如图，直线6y x =+与两坐标轴分别交于AB 、两点，13OC OB =，D 、E 分别是直线AB y 、轴上的动点，则CDE △周长的最小值是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】作点C 关于AB 的对称点F ，关于AO 的对称点G ，连接DF 、EG ，根据轴对称的性质得到CDE △周长的最小值就是FG 的长，求出点F 和点G 坐标算出FG 的长．【详解】解：如图，作点C 关于AB 的对称点F ，关于AO 的对称点G ，连接DF 、EG ，∵直线6y x =+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，∵()0,6A ，()6,0B -， ∵13OC OB =， ∵()2,0C -，∵AO=BO ，∵45ABO ∠=︒，∵90FBC ，∵FBC 是等腰直角三角形，∵()6,4F -，∵C 、G 关于OA 对称，∵()2,0G ，由对称的性质，DF=DC ，EC=EG ，∵CDE C CD CE DE DF EG DE FG =++=++=，此时周长最小，在Rt BFG 中，FG ==，故选：A ．【点睛】 本题考查轴对称最短路线问题，解题的关键是利用对称性找到CDE △周长最小时点D 和点E 的位置，再结合平面直角坐标系中点坐标对称的关系进行求解．二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形，按如图2摆放时可摆成2n 个正方形．（1）用含n 的代数式表示m =___________；（2）当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，a 的最小值为_______． 【答案】513n + 52 【分析】（1）根据图1和图2的火柴棒的总数相同，列出等式，从而得到关系式；（2）可设图3中有3p 个正方形，可得等式a =3m +1=5n +2=7p +3，求出最小正整数解，从而得到a 的最小值．【详解】解：（1）图1中火柴棒的总数是（3m +1）根，图2中火柴棒的总数是（5n +2）根， ∵图1和图2的火柴棒的总数相同，∵3m +1=5n +2，∵m =513n +； （2）设图3中有3p 个正方形，那么火柴棒的总数是（7p +3）根，由题意得 a =3m +1=5n +2=7p +3，∵p =325177m n --=， ∵m ，n ，p 均是正整数，∵m =17，n =10，p =7时a 的值最小，a =3×17+1=5×10+2=7×7+3=52．故答案为：（1）513n +；（2）52． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是由火柴棒的总数相同列出等式，本题有一定的难度．10．2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______． 【答案】20014000 【分析】先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．【详解】 解：2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =1341998200019992001 (223319991999200022000)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1200122000⨯ =20014000【点睛】本题考查了实数的运算以及运用平方差公式因式分解，因式分解后观察发现数字间的规律是解答本题的关键．11．若22(3)(3)x nx x x m ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，则m n +=_____________．【答案】9．【分析】根据展开式中不含2x 和3x 项，即2x 和3x 项的系数为0即可求解．【详解】解：22(3)(3)x nx x x m ++-+，=43232233393x x mx nx nx mnx x x m -++-++-+，=432(3)(33)(9)3x n x m n x mn x m +-+-++-+，根据展开式中不含2x 和3x 项，列方程组得，30330n m n -=⎧⎨-+=⎩， 解得，36n m =⎧⎨=⎩， 9m n +=，故答案为：9．【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．12．已知直线AB※CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′※QC′．【答案】PB′∵QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∵BPB′和∵CQC′的度数，过E作EF∵AB，根据平行线的性质求得∵PEF和∵QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：∵当0s＜t≤45时，∵当45s＜t≤67.5s时，∵当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∵BPB′＝4°×30＝120°，∵CQC′＝30°，过E作EF∵AB，则EF∵CD，∵∵PEF＝180°﹣∵BPB′＝60°，∵QEF＝∵CQC′＝30°，∵∵PEQ＝90°，∵PB′∵QC′，故答案为：PB′∵QC′；（2）∵当0s＜t≤45时，如图2，则∵BPB′＝4t°，∵CQC′＝45°+t°，∵AB∵CD，PB′∵QC′，∵∵BPB′＝∵PEC＝∵CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；∵当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∵APB′＝4t﹣180°，∵CQC'＝t+45°，∵AB∵CD，PB′∵QC′，∵∵APB′＝∵PED＝180°﹣∵CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；∵当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∵BPB′＝4t﹣360°，∵CQC′＝t+45°，∵AB∵CD，PB′∵QC′，∵∵BPB′＝∵PEC＝∵CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∵QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．13．如果812222n++为完全平方数，则正整数n为______．【答案】2或14或11【分析】分情况讨论，分别设2n为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可．【详解】设2n为首项的平方，则末项为62，中间项为乘积两倍为82=2×72，∵首项为2，首项平方为2n，∵n=2；设2n为末项的平方，则首项为42，乘积两倍为122=2×42×72，∵末项为72，末项平方为142，∵n=14；设2n 为中间项，则2n =2×42×62=112，∵n=11，综上所述，正整数n 的值为2或14或11，故答案为：2或14或11．【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．14．图1是一张足够长的纸条，其中//PN QM ，点A 、B 分别在PN ，QM 上，记()090ABM αα∠=︒<≤︒．如图2，将纸条折叠，使BM 与BA 重合，得折痕1BR ；如图3，将纸条展开后再折叠，使BM 与1BR 重合，得折痕2BR ：将纸条展开后继续折叠，使BM 与2BR 重合，得折痕3BR ；．．．依此类推，第n 次折叠后，n AR N ∠= _______（用含α和n 的代数式表示）．【答案】180°-112n α-． 【分析】设纸条QM 所在直线为QC ，第一次将纸条折叠，使BM 与BA 重合，得折痕1BR ，由PR 1∵QB ，可得∵MAR 1=∵ABM =α.∵AR 1B =∵R 1BC =12α，由AM ∵R 1N ，∵MAR 1+∵AR 1N =180°，可求∵AR 1N =180°-α；第二次将纸条折叠，使BM 与1BR 重合，得折痕2BR ；求出∵MR 1R 2=∵R 1BC =12α.∵R 1R 2B =∵R 2BC =14α，可得∵AR 2N =180°-∵MR 1R 2 =180°-12α；第三次将纸条折叠，使BM 与2BR 重合，得折痕3BR ；可求∵MR 2R 3=∵R 2BC =14α.∵R 2R 3B =∵R 3BC =18α，可得∵AR 3N =180°-∵MR 2R 3 =180°-14α；……第n 次将纸条折叠，使BM 与1n BR -重合，得折痕n BR ；∵MR n -1R n =∵R n -1BC =112n α-.∵R n -1R n B =∵R n BC =12n α，∵AR n N =180°-∵MR n -1R n =180°-112n α-即可． 【详解】解：设纸条QM 所在直线为QC ，第一次将纸条折叠，使BM 与BA 重合，得折痕1BR ；∵PR 1∵QB ，∵∵MAR 1=∵ABM =α.∵AR 1B =∵R 1BC =12α，∵AM ∵R 1N ，∵∵MAR 1+∵AR 1N =180°，∵∵AR 1N =180°-∵MAR 1=180°-α；第二次将纸条折叠，使BM 与1BR 重合，得折痕2BR ；∵PR 2∵QB ，∵∵MR 1R 2=∵R 1BC =12α.∵R 1R 2B =∵R 2BC =14α， ∵R 1M ∵R 2N ，∵∵MR 1R 2+∵AR 2N =180°，∵∵AR 2N =180°-∵MR 1R 2 =180°-12α； 第三次将纸条折叠，使BM 与2BR 重合，得折痕3BR ；∵PR 3∵QB ，∵∵MR 2R 3=∵R 2BC =14α.∵R 2R 3B =∵R 3BC =18α， ∵R 2M ∵R 3N ， ∵∵MR 2R 3+∵AR 3N =180°，∵∵AR 3N =180°-∵MR 2R 3 =180°-14α； ……第n 次将纸条折叠，使BM 与1n BR -重合，得折痕n BR ；∵PR n ∵QB ， ∵∵MR n -1R n =∵R n -1BC =112n α-.∵R n -1R n B =∵R n BC =12n α， ∵R n -1M ∵R n N ，∵∵MR n -1R n +∵AR n N =180°，∵∵AR n N =180°-∵MR n -1R n =180°-112n α-． 故答案为：180°-112n α-．【点睛】本题考查轴对称性质，与角平分线有关计算，平行线性质，掌握轴对称性质，与角平分线有关计算，平行线性质，仔细观察图形，找出∵MR n -1R n =112n α-是解题关键． 三、解答题（本大题共4小题,15题，16题7分，17,18题8分，共30分。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(含答案)
2020年全国初中数学竞赛试题（含答案）考试时间 2020年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21 m ，21 n ，且)763)(147(22 n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y 上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2（D ）h >24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2020 （B ）2020 （C ）2020 （D ）20205．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QA QC的值为（ ）（A ）132 （B ）32（C ）23 （D ）23 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2020，c －a =2020．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．7．如图，面积为c b a 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则b ca 的值等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2020米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A !’B !’C !’D !’E !’A !’…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301 a a a ，则 a 10的值等于 ．( x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312 x ．试写出一个满足条件的x ；（1）（第7题图）ABCDGFE求所有满足条件的x ．（2）12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222 a a c b ①542 a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·KB ．A14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
“数学周报杯”2020-2021学年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2（C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y于是6y y ，显然不可能．若0x ，则 12,6,x y x y于是18y y ，解得9y ，进而求得3x ．所以，原方程组的解为,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）．解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 44 3，4，5，6 3，2，1，0 43 4，5，6，7 3，2，1，0 42 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ，ABE 均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ．于是，2BEC BAC ABE BAC．若△ABC 的外心为1O ，则12BO C BAC ，所以，⊙O 一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02 c bx ax ，02 a cx bx ，02 b ax cx 恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab 的值为（ ）．（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3答：（D ）．解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020 c bx ax ，0020 a cx bx ，0020 b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ．因为22000131()024x x x ，所以0a b c ．于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc3()3ab a b abc．故选（D ）．5．方程323652x x x y y 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多答：（A ）．解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y （），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C都在函数0)y x 的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为．答：（，0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋bb ），所以2(2)a a b解得a b 因此，点D的坐标为（0）．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数233y x a x 的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1 ≤12a ，或者3a 解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数 233y x a x 的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以032)3(231)3(122 a a ，得112a ．由031)3(12 a ，得1a ，此时11 x ，32 x ，符合题意；由032)3(22 a ，得12a ，此时21 x ，232 x ，不符合题意．（Ⅱ）令 2330x a x ，由判别式0，得3a ．当3a时，12x x，不合题意；当3a12x x ，符合题意．综上所述，a 的取值范围是1 ≤12a，或者3a9．如图，90A B C D E F G n ，则n ＝ ． 答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ，于是A B C D E F GB C E F AQGB C E F BQF540690 ．所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n L ，则 23100111111a a aL ．答：33100．解：当n ≥2时，有3121n a a a a n n ，3121(1)n a a a n L ，两式相减，得 2331n a n n ，所以 ),111(31)1(3111n n n n a n,4,3,2 n 因此 23100111111a a a L 11111111(1)(()32323399100 L 1133(1)3100100 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x 上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线214y x 的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ．解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则PM20114x ;又因为点P 到直线1y 的距离为220011(1)144x x ，所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y 相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y 的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y ，所以，PH ∥MNQM MP RN NH ，所以QR PH RN HN ，因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ，从而PNM QNM ．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b 所以 12121122x x x x a b ab ，124(1)(1)(21)(21)5x x a b .…………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，11x ≥0,21x ≥0，21a ≥1,21b ≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b 或.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （ （1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b 时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x ，它的两个根为11x ，22x ．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b 时，可得a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x ，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x ，22x ． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ，22PB BD BF AB ．……………5分两式相减可得22PA PB AB AE BF ，又22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB ，于是有 AE BF PA PB ，即 PA AE PB BF ，所以PE PF ，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n ？（2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n ？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n ，则22(1)1m n n ，显然1n ，于是2221(1)n n n n ，所以，21n n 不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当3k 时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n ，则2241244m m n n ，22(23)(21)8m n ，(2321)(2321)8m n m n ，(1)(2)2m n m n ，而22m n ，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t （t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t ，则 2242()()()m m k t t t t t t ，2242(1)(1)n n t t t t ，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t ＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n ，则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t ， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t ，因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k 时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x 和抛物线2C ：234y x x 相交于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间.（1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x 得 112,6,x y 222,6,x y 所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．于是AB ．…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2 t t t ， )43,(2 t t t ， 22t ，因此 PQ22(4)t ≤8，当0t 时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．……………15分12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b≥k c恒成立．解：当a b，c 时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分下面证明：不等式a b ≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立．由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c ．因为2110,0ab a b c c ，所以a ≤b 0 ．由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程22110x x c c的两个实数根，于是414c c ≥0，所以 3c ≤14．……………10分因此21()a b a b c ≥44c c ． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE AD CF BC ．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PD BC PC ；（2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG，所以PDC PEF ．又因为PCG PFG ，所以△PDC ∽△PEF ，于是有 ,PD PE CPD FPE PC PF ，从而 △PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF ．又已知DE AD CF BC ，所以，AD PD BC PC ． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PD PB PC DPA CPB ，所以APB DPC ，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（Bu ，v 满足1≤u v．证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c．若结论不成立，则必有a b，b c ．………………5分记,b c s a b t c s t ，显然,0s t ，代入得cs t c s，11s t c c s c，令,s t x y c c ，则11x y x．由a b c ，得c s t c s c ，即t c ，于是1t y c ．由得1b c s x c c，由，得y≥1(1)x1 ，此式与1 y 矛盾．从而命题得证．………………15分。
2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案：八
2020年全国初中数学竞赛试题八答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）。
七年级(初一)数学竞赛试题及答案
1．若四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=1：3：5：6，则∠A，∠D的度数分别为（）24°，144°2．已知a=255，b=344，c=533，d=622，那么a、b、c、d从小到大的顺序是解：∵a=255=（25）11，b=344=（34）11，c=533=（53）11，53＞34＞62＞25，∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11，即a＜d＜b＜c，3.7.．对于有理数x，y，定义一种新的运算“*”：x*y=ax+by+c，其中a，b，c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值．9．已知|a|=3，|b|=2，且|a-b|=b-a，则a+b= -1或-5解：∵|a-b|=b-a，∴知b＞a，∵|a|=3，|b|=2，∴a=-3，b=2或-2，当a=-3，b=2时，a+b=-1，当a=-3，b=-2时，a+b=-5，∴a+b=-1或-5，故答案为-1或-5．10．设m2+m-1=0，则m3+2m2+2010=2011∵m2+m-1=0，①∴①×m得，m3+m2-m=0，②∴①+②得，m3+2m2-1=0，即m3+2m2=1，则m3+2m2+2010=1+2010=2011．15．把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三角形内如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，解：设瓶的底面积为Scm，则左图V水=12Scm3，右图V空=10Scm3，∵V瓶=V水+V空=22Scm3，∴V水：V瓶=6：11．如图，长方形ABCD 被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为。
(2020年整理)全国初中数学竞赛试题及答案.doc
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c22||()||a abc a b c-++-+可以化简为（）．（A）2c a-（B）22a b-（C）a-（D）a1（乙）．如果22a=-11123a+++的值为（）．（A）2-（B2（C）2 （D）22（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b<<，那么1121a ab a b++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）214a-（C）12（D）143（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．30ADC∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（A）23（B）4（C）52（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．OAB CED（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100L ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）XXXX （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
(名师整理)数学七年级竞赛试题及答案解析
1七年级第 二学期数学竞赛试题选择题（每题3分，满分30分）1. 若01-<<a ，则2,1,a aa a ，2a ,a1从小到大排列正确的是 （ ）A ．aa a 12<< B ．21a a a <<C ．21a a a <<D ．aa a 12<< 2.下列运用等式的性质变形正确的是( )．A ．若y x =，则55+=-y xB ．若b a =，则bc ac =C ．若a b cc=，则b a 32= D ．若y x = ，则x y aa= 3.已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B.请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b - 4.若A 和B 都是3次多项式，则A+B 一定是（ ） A 、6次多项式 B 、3次多项式C 、次数不高于3次的多项式D 、次数不低于3次的多项式 5.一个多项式与2x －2x ＋1的和是3x －2，则这个多项式为（ ）A ．2x －5x ＋3B ．－2x ＋x －1C ．－2x ＋5x －3D ．2x －5x －1326．若2237y y ++的值为8，则2469y y +-的值是( )． A ．2 B ．-17 C ．-7 D ．77.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）20138.六个整数的积36=⋅⋅⋅⋅⋅f e d c b a ，f e d c b a 、、、、、 互不相等，则f e d c b a +++++ 的和可能是( ).A ．0B ．10C ．6D ．89.把100个苹果分给若干个小朋友，每个人至少分得一个，且每个人分得的数目不同，那么最多有( )人. A.11 B. 12 C. 13 D.14 10.方程120072005 (35153)=⨯++++x x x x的解是x 等于（ ） A.20072006 B.20062007 C. 10032007 D.20071003二、填空题（每题3分，满分24分）11.如果b a ⋅＜0，那么=++ababb b a a． … …红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫312.如果3()480a a x +++=是关于x 的一元一次方程，那么21a a +-= ．13.在图中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、2、3、4、5.那么右下角的小方格内填入的数是 .(1)451(2)321(3)53?14.如上图，一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图•中该正方体三种状态所显示的数据，可推出“？”处的数字是 . 15.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折10次可以得到 条折痕。
2020年七年级数学竞赛初赛试卷及答案解析
第 1 页 共 8 页2020年七年级数学竞赛初赛试卷一．填空题（共11小题）1．我们知道：1+2+3=3×(3+1)2=6，1+2+3+4=4×(4+1)2=10，那么1+2+3+…+100＝ ． 2．计算：(−2007)5×(−3.25)5×(−23)5×(−1446)5×(−413)5= ．3．设四位数abcd 满足a 3+b 3+c 3+d 3+1＝10c +d ，则这样的四位数的个数为 ．4．一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损8元，则a 的值为 ．5．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．6．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a 有个．7．如图，在一个4×4的方格棋盘的A 格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后 到达B 处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）8．观察下列各等式：第一个等式：22−12−12=1，第二个等式：32−22−12=2，第三个等式：42−32−12=3…根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为 ；猜想第n 个等式（用含n 的代数式表示）为 ．9．观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，−12，36，−512，720，……，第7个数是 ．10．满足25{x }+[x ]＝25的所有实数x 的和是 （其中[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }＝x ﹣[x ]表示x 的小数部分）．11．两个多位正整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为调和数”例如：49与76，因为4+9＝7+6＝13，所以49与76互为“调和数”；又如：225与18，因。
2020年第六届鹏程杯数学邀请赛七年级参赛题目(有参考答案)
h.
所以 MN：PQ=12 h：14 h=2.
4.
方程7 −1
0.024
=
1−0.2 0.018
− 5 +1的解为（
0.012
）.
1
第七届鹏程杯数学邀请赛
A.
=
2 259
答案：D.
B．
=
3 259
C．
=
4 259
D．
=
5 259
提示：原方程式可化为7
−1 4
=
1−0.2 3
−
5
+1 ， 去 分 母 得
13.
计算： 1×2×3+2×4×6+3×6×9+⋯+100×200×300
2×3×4+4×6×8+6×9×12+⋯+200×300×400
原式=246××113+3+264××2233++624××333+3+⋯⋯++62×41×00103 03 6 × 13 + 23 + 33 + ⋯ + 1003
（）
D．14
A． 100°
B．120°
C． 135°
D．150°
二、填空题（满分 48 分，每小题 8 分，将你的答案写在题后的划横线处）
7．在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角的差，且有一个内角是另一个
内角的2倍. 则与这个三角形的最小内角相邻的外角等于
.
8. 方程 − 1 − 2 − 2 + 3 − 3 = 4 的解为
一、选择题（满分 36 分，每小题 6 分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）
2020-2021学年初一数学竞赛选拔试题(含答案)
初一数学竞赛选拔试题班级： 姓名： 得分：一、选择题 1．已知1999199920002000a =，2000200020012001b =，2001200120022002c =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a 2．如图直线a ，b 被直线c 所截，共得12个角，则图中内错角角有 ( )A ．5 对B ．6对C ．11对D ．12对3．已知对于任意有理数b a ,，关于y x ,的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(都有一组公共解，则公共解为（ ）A ．00x y =⎧⎨=⎩B ．01x y =⎧⎨=-⎩C ．10x y =-⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩4．已知一个直角∠AOB 以O 为端点在∠AOB 的内部画10条射线，以OA 、OB 以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个． A ．110 B ．132C ．66D ．655．若数n=20×30×40×50×60×70×80×90×100×110×120×130，则不是n 的因数的最小质数是（ ）．A ．19B ．17C ．13D ．非上述答案6．方程x2－y2=105的正整数解有( )．A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组二、填空题7．3个有理数a 、b 、c 两两不等，则ba ac a c c b c b b a ------，，中有 个是负数． 8．a 、b 是整数，且满足2=+-ab b a ，则ab= ．9．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是_________．10．设x 、y 、z 是整数数位上的不同数字．那么算式所能得到的尽可能大的三位数的和数是 ．b a c? ? ? x x x yx x+11．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了 米．（精确到个位）12．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，则abcde 的最小值是 ．三、解答题13．x ，y 是满足条件23x y a +=的整数（a 是整数），证明必存在一整数b ，使x ，y 能表示为3x a b =-+，2y a b =-的形式．14．一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．15．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远．初一数学竞赛选拔试题参考答案一、选择题1．由于1999199919991001199911200020002000100120002000a ⋅====-⋅；2000200020001001200011200120012001100120012001b ⋅====-⋅；2001200120011001200111200220022002100120022002c ⋅====-⋅；因为111200020012002>>，所以a<b<c ，即c>b>a ，选D ． 2．选 B ．3．原方程整理成(1)(1)0a x y b x y --+---=，对于b a ,的每一组值，上述方程都有公共解，∴ 1010x y x y --=⎧⎨---=⎩；解得01x y =⎧⎨=-⎩；∴选B ．4．在直角AOB ∠中，10条射线连同OB OA ,共有12条射线，每两条射线组成一个角，共形成1(1211)66,2⋅=这66个角中，只有90AOB ∠=°，其余65个均为锐角，∴选D ．5．B ． 6．D ． 二、填空题７．因为b a a c a c c b c b b a --⋅--⋅--=1，所以b a ac a c c b c b b a ------，，中必有一个是正数，不妨设0>--cb ba ；有两种情况：①a>b>c ；②a<b<c ． ① 当a>b>c 时，b a ac a c c b ----，均为负数；②当a<b<c 时，ba ac a c c b ----，也均为负数； 所以ba ac a c c b c b b a ------，，中恰有两个是负数． 8．∵ a 、b 是整数，所以为与ab b a -非负整数，由2a b ab -+=得：=-b a 0，=ab 2 ①； 或=-b a 1，=ab 1②； 或=-b a 2，=ab 0③；若①，由=ab 2，只能a 、b 中有一个为 ±2，另一个为 ±1，此时b a -是奇数与=-b a 0矛盾，故①不成立．若②，由=ab 1，只能a 、b 同为±1，此时b a -是偶数与=-b a 1矛盾，故②也不成立．因此只能是③，此时=ab 0，有ab=0．9．2710．由于和数是三位数，则x 不可能取9，否则和数会是四位数，因此x 的最大值是8，为了得到最大和，y 应当取9，这样，题设的算式就变成： 所以所能得到的尽可能大的三位数的和数是994．888988 9 9 4+11．设乙跑了x 米，则在7x 秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了1340x 秒，两段时间之和等于5，所以57340x x +=， 米．12．要abcde 最小，必须abcd 也最小，且被4整除，所以abcd 是1000．补上末位数字e 变为五位数，又要是9的倍数，所以这个五位数数字和应是9的倍数，则补上末位数字e是8，所以abcde 的最小值是10008．三、解答题13．∵2x+3y=a ， ∴322a y a yx y --==-， ∵ x ，y 是整数．∴ 2a y-也是整数．令32a y b -=，则2y a b =-．这时，33(2)322a y a ab x b a ---===-， 232(3)3(2)6236x y b a a b b a a b a +=-+-=-+-=； 这说明整数b 能使x=-a+3b ，y=a －2b 满足方程2x+3y=a ．14．设此自然数为x ，依题意可得：224544x m x n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②(m ，n 为自然数)； ②－①可得2289n m -=，222444544n x m m =+=++>，∴n>m ；()()89n m n m -+=．但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是1n m -=，89n m +=． 解之，得n=45．代入(2)得245441981x =-=．故所求的自然数是1981．15．甲划船的全部时间为2小时45分钟，他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，所以甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟休息．如果甲开始向下游划，那么他只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则将无法返回，这时他离开码头的距离为：(3 1.4)0.5 1.40.25 2.55+⨯+⨯=（千米）． 而返回用3个30分钟的时间段所走的距离为：(3 1.4) 1.5 1.40.5 1.7-⨯-⨯=（千米）；由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时他将无法返回出发地．如果甲开始向上游划，那么他可以用3个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为：(3 1.4) 1.5 1.40.5 1.7-⨯-⨯=（千米）；并用最后一个时间段，完全可以返回码头．渭睁拙5353411717340340x ==≈++。
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初一数学竞赛试题及答案一、选择题
1．已知1999199920002000a =，2000200020012001b =，2001200120022002
c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a
6．方程x 2－y 2=105的正整数解有( )．
A ．一组
B ．二组
C ．三组
D ．四组 二、填空题
7．3个有理数a 、b 、c 两两不等，则b
a a c a c c
b
c b b a ------，，中有 个是负数． 8．a 、b 是整数，且满足2=+-ab b a ，则ab = ．
9．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是_________．
10．设x 、y 、z 是整数数位上的不同数字．那么算式
? ? ?
x
x x y x x +
所能得到的尽可能大的三位数的和数是
11．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____．米（精确到个位）
12．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，则abcde 的最小值是
三、解答题
13．x ，y 是满足条件23x y a +=的整数（a 是整数），证明必存在一整数b ，使x ，y 能表示为3x a b =-+，2y a b =-的形式．
14．一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．
15．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河
水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远．
答案
一、选择题
1．由于1999199919991001199911200020002000100120002000
a ⋅====-⋅ 2000200020001001200011200120012001100120012001
b ⋅====-⋅ 2001200120011001200111200220022002100120022002
c ⋅====-⋅ 因为111200020012002
>>，所以a <b <c ，即c >b >a ，选D 6．D
二、填空题 ７．因为b
a a c a c c
b
c b b a --⋅--⋅--=1 所以b a a c a c c b c b b a ------，，中必有一个是正数，不妨设0>--c
b b a 有两种情况：①a >b >
c ②a <b <c
①当a >b >c 时，b a a c a c c b ----，均为负数；②当a <b <c 时，b
a a c a c c
b ----，也均为负数 所以b
a a c a c c
b
c b b a ------，，中恰有两个是负数。
8．∵a 、b 是整数，所以为与ab b a -非负整数，由2a b ab -+=得：
=-b a 0，=ab 2 ①
或=-b a 1，=ab 1 ② 或=-b a 2，=ab 0 ③ 若①，由=ab 2，只能a 、b 中有一个为 ±
2，另一个为 ±1，此时b a -是奇数与=-b a 0矛盾，故①不成立． 若②，由=ab 1，只能a 、b 同为±
1，此时b a -是偶数与=-b a 1矛盾，故②也不成立．因此只能是③，此时=ab 0，有ab =0
9．27
10．由于和数是三位数，则x 不可能取9，否则和数会是四位数，因此x 的最大值是8，为了得到最大和，y 应当取9，这样，题设的算式就变成
888
988
9 9 4 +
所以所能得到的尽可能大的三位数的和数是994
11．设乙跑了x 米，则在7x 秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了1340x 秒，两段时间
之和等于5，所以57340x x +=， 5353411717340340
x ==≈++米 12．要abcde 最小，必须abcd 也最小，且被4整除，所以abcd 是1000．补上末位数字e 变为五位数，又要是9的倍数，所以这个五位数数字和应是9的倍数，则补上末位数字e 是8，所以abcde 的最小值是10008．
三、解答题
13．∵2x +3y =a
∴322
a y a y x y --=
=-， ∵ x ，y 是整数．
∴ 2
a y -也是整数． 令32
a y
b -=，则2y a b =-． 这时，33(2)322
a y a a
b x b a ---===-， 232(3)3(2)6236x y b a a b b a a b a +=-+-=-+-= 这说明整数b 能使x =-a +3b ，y =a －2b 满足方程2x +3y =a ．
14．设此自然数为x ，依题意可得
224544x m x n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②
(m ，n 为自然数) ②－①可得2289n m -=，
222444544n x m m =+=++>，
∴n >m
()()89n m n m -+=
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是1n m -=，89n m +=．
解之，得n =45．代入(2)得245441981x =-=．故所求的自然数是1981． 15．甲划船的全部时间为2小时45分钟，他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，所以甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟休息．如果甲开始向下游划，那么他只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则将无法返回，这时他离开码头的距离为：(3 1.4)0.5 1.40.25 2.55+⨯+⨯=（千米）．
而返回用3个30分钟的时间段所走的距离为
(3 1.4) 1.5 1.40.5 1.7-⨯-⨯=（千米）
由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时他将无法返回出发地．如果甲 开始向上游划，那么他可以用3个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为
(3 1.4) 1.5 1.40.5 1.7-⨯-⨯=（千米）
并用最后一个时间段，完全可以返回码头．。