山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(B)卷

山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(B )卷2009―― 2010学年第一学期第1页共3页号

学

名

姓

级

班

等

级

oao

专

路

、

级

本

升

专

、

级

OOD

科

工

理

级

班

用

适

卷

试

4

0 2

题号 四 得分

得分

阅卷人

1 •四阶行列式D 中含有因子

2 •设A 为4阶方阵，且A 3.向量组 4•设A a i

总分 审核

3.若齐次线性方程组A m n X 0中m n ，那么(

(1,0,0)T ,a 2 (A ) Ax b 必有无穷多解

(C ) Ax 0仅有零解

Ax Ax b 一定无解 0必有非零解

、填空题(每小题3分，共15 分)

a^a 21a 33 的项是 812821833844

2，则 2A T (0,1,0)T ,a 3 1 ，若 R A 1,则 k k 32 (1,1,0)T 的一个最大无关组是 a 1,a 2 4.设A 为n 阶方阵，且R(A) (A )必有r 个列向量线性无关

r n ，则在

A 的列向量中 (A )

(B )任意一个列向量都可由其中

r 个列向量线性表示

(C )任意r 个列向量都构成最大无关组 (D )任意r 个列向量线性无关

5. 3阶方阵A 与B 相似,

A 的特征值分别为 2, 2,1，则 2(

B E)

16

2 2

4y 2xz z 的矩阵是 0

1

得分

阅卷人

5 .二次型 2

X 、单项选择题(每小题3分，共15 分)

1 . A,B 均为n 阶方阵，则下列等式中一定正确的是(

(A ) (A B)2 A 2

2AB B 2

(AB)k A k B k

(C ) (A B)2

A 2 2A

B B 2

(A E)2 A 2 2A E

2 •若n 阶矩阵 A 存在一个s 阶非零子式，而且 A 的所有的t 阶子式都等于零，则

(A) t R(A) s (B ) s R(A) t (C ) t R(A) s (D ) s R(A) t

得分

阅卷人

解:

、(10 分) 计算行列式

1 1 1

1

1

1 1 1 1

1 0

5

J

1

1

0 5 1 3

1

3

2

2

0 2

2 4

1 3

1

1 0 0

1 1 5

J

1

2

5

2 2

2

2 0 2

1 1

1 0 0

D

(6分)

(4分)

线性代数课程试卷答案和评分标准(B )卷2009―― 2010学年第一学期第2页共3页东交通学院期末考试

1 1 3 1 0 0 0 0

四、(10分)设A

(其中A 是矩阵A 的伴随矩阵)

解：、AA

AX |A|

I A|E

AXA A

|A|

，解矩阵方程AXA E

A 可逆

(6分)

(4分)

因此：⑴ R(A)=3, a-t ,a 2,a 4是向量组A 的一个最大线性无关组

⑵ a 3 2a i a 2

证明：因为 H T (E

所以H 是对称阵.

(2分) (2 分)

六、(10分)设X 为n 维列向量，X T X 1，令H E 2XX T ，

证明H 是对称的正交阵•

2XX T )T E 2(XX T )T E 2XX T

(5分)

X |A|E

(10 分) 已知向量组

(1,1,1,1),a 2

(1, 1,1, 1)T

,a 3

(1,3,1,3)T ,a 4 (1, 1, 1,1)T .

T 2 T 2

又 HH H (E 2XX )

(E 2XX T )(E 2XX T ) E 4 (XX T )(XX T ) 4XX T

(1)求向量组A : a!,a 2,a 3,a 4的秩及其一个最大无关组

；

(2)将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示

E 4X (X T X )X T 4XX T E 4XX T 4XX T E

解：用这些向量作为列向量得矩阵 A ，并对其施行初等行变换

10 2 0

所以H 是正交阵.

(5分)

故H 是对称的正交阵•

1 A

(a 1 , a 2, a 3, a 4 )

1

(6分)

且有 P 1AP 0 2 0 (3 分)

山东交通学院期末考试 线性代数

课程试卷答案和评分标准（B ）卷2009

2010学年第一学期

号学 名姓 级班 等级

O3D 专路、级本

升专、^级O 科工理 级班用适卷试

密-------

i

-------

（1 ）有惟一解;

解:

(1)

(2)

可见 (3)

可见 x , x 2

X 3

八、

R(A) R(A) 其通解为:

七、（15 分）问 取何值时，非齐次线性方程组

（2）无解；（3）

1)2(

有无穷解？并在有无穷多解时求其通解

2)

x-1 x 2

x 1 x 2

X 3 X

3

求一个正交矩阵P ， 解由A

1

1时,

得基础解系

1)( 0时，即当

1,

2时, 方程组有惟一解.

(6分)

同理，当2

2时，增广矩阵B

2,R(B) 3,R(A)

1时，增广矩阵B

R(B)

（或其通解为 X 2

X 3

3

5时, R （B ）,方程组无

解.

(4分)

3,方程组有无穷多解.

(2 分)

C

2

0 ,(G,C 2 0

R)

(3 分)

C 2

（15分）设 A 0 1

AP

2)(

x 0,

,单位化得

为对角阵.

2时，解A 2E 解A 5E

于是所求正交矩阵为

5）得A 的特征

值

0，得基础解

系

0，得基础解

系

1,

P

2

1 ，单位化得 1

2,

5.

(6分)

(2 分)

(2 分)

(2 分)

1 2 1 71

1

/2

1