(最新整理)天津市大学生数学竞赛辅导资料(一元函数微积分综合).ppt

x1
x1
1 f (1) lim f ( x) lim sin x sin
x1
x1
2
, x0 ,x 0
(2)lim x0
f
( x)
[g( x) lim
x0
ex] x [g(x) x2
ex]
lim [g( x) e x ] x [g( x) e x ] [g( x) e x ]
x0
2x
lim g( x) e x g(0) 1 f (0)
x0
2
2
f ( x)在x 0连续.
x
D g(
x
)
f
(
1 x
),
x
0
,则（
）
0, x 0 ( A)x 0必是g( x)的第一类间断点；
(B)x 0必是g( x)的第二类间断点；
(C )x 0必是g( x)的连续点；
(D)g( x)在x 0处的连续点与a的取值有关.
解 g(0) 0
1 t1 x
lim g( x) lim f ( ) lim f (t) a
0
x
0
ut x
奇函数
(B)0
[ f (t) f (t)]dt
[ f (u)
0
f (u)]du
(C)
x
f
u t
(t2 )dt
x f (u2 )du
奇函数
0
0
(D)
x
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u t
2(t)dt
x f 2(u)du
0
0
非奇非 偶函数
典型题型3：函数的连续性问题.
注意：分段函数连续的定义和间断点的分类
9.
设函数f
(x)
lim
n
x n1
( xn
x2
1)sin x2 1
x
,确定
常数的最小正值，使得函数f ( x)在区间
(, )上连续.
解
f
(
x)
lim
n
xn1
( xn
x2
1)sin x2 1
x
sin
x,
x, x
x
1时 1时
1 f (1) lim f ( x) limsin x sin
3.设函数f ( x)连续，则下列函数中，必为偶
函数的是( x
A)
x
( A) t[ f (t) f (t)]dt (B) [ f (t) f (t)]dt
0x
(C )
解
0
( A)
f (t 2 )dt
x
t[ f (t)
f
(D)
x
f
0
2 (t )dt
0
u t
(t)]dt
x
u[
偶函数
f (u) f (u)]du
1.设f (x) x 2lnu du,x (0,),则f (x) f ( 1 ) l_n_2_x_ .
1 1u
x
2. 设f (x)在(,)上有定义，且f (x) 0, f (0)存在，对于x, y (,),恒有 f (x y) f (x) f ( y),求f (x).
典型题型2：判别函数的奇偶性.
考试内容：
24%
极限、函数、连续；
一元函数微积分； 51%
多元函数微积分；
25%
一元函数微积分
24% 函数、极限、连续
16% 一元函数微分
一元函数积分
一元函数微积分 的证明
扎实基本概念、提高运算速度
一、典型题型、典型思路 一、函数、极限、连续 24%
典型题型1：求一元函数定义域，表达式， 函数值问题.
f (x)
1x
) (0)
x
lim
x0
x
0
f (u)du x
x 0 x2 x
lim 0 x0
f (u)du
f (u)du x2
lim f (x) A
x0 2x
2
f
(
x)
x
x 0
(
x)
x2
f (u)du ,
x0
A ,x0 2
8.
设f
(
x)
g(
x) x
e
x
,
x
0,其中
(g1()x求)有f (二x)阶;(2连)讨续0论导, f数(且xx)在g((00),1,g)(的0)连 续1性; .
f (
b )
2 lim
x
1
1 e
x2
1
1
1
lim( x 1
x2 x
ax
b)
x
lim
x
(1
a)x2 1 x
ax
b
a
1
1
lim x 1
x
b
1
1 b
b
2
7. 设函数f (x)连续，(x) 1 f (xt)dt，且lim f (x) A，
0
x0 x
求(x),并讨论(x)在x 0处的连续性.
解(1)
x
0时，f
(
x
)
[
g(
x)
e
x
]
x x2
[
g(
x
)
e
x
]
f (0)
lim
x0
f (x) x
f
(0)
lim
x0
g(x) ex x2
lim
g( x)
ex
lim
g( x)
ex
g(0) 1
x0 2x
x0
2
2
[g( x) ex ] x [g( x) ex ]
f
(
x)
x2 g(0) 1
一元函数微积分综合
关于竞赛学习流程的建议： (1)课本例题、书后题完整做过 一遍；尤其是每章的综合练习. (2)加强练习，提高做题的速度 和准确率； (3)有一本辅导书，多做、多想、 多总结，忌讳只看不算.
考试日期：5月29日 考试时间：150分钟 共六大张，12小页，十二题 一、填空（5*3）； 二、选择（5*3）； 证明（4题 微分、积分） 计算（6题）
解 lim f ( x) A, f (0) 0, f (0) A,
x0 x
(x)
1
f
u xt
( xt)dt
1
x
f (u)du
0
x0
1
(
x)
x
x
f (u)du,
0
x0
0, x 0
(x 0)
x
x
0时，
(0) lim x0
(
x) (x
[1 x
x
f (u)du]
0
f ( x)在x
x0连续
lim
x x0
f (x)
f (x0)
f ( x
间断点
)在x x0连续
跳跃
lim
x x0
f
(x
lim
)
x
lim
fx0
x x0
可去 lim f (x) f (x0)
f ( (x)
x
)
f ( x0 )
第一类
无穷
x x0
lim
f (x)
振荡极x限x0 振荡不存在
第二类
4. 设f ( x)在(, )内有定义，且 lim f ( x) a,
6.已知在(, )上f
( x)
1 1 ex2
1,且
x2 lim( x 1 x
ax
b)
lim[ f ( x
x
1)
f
( x)],则(D).
( A)a 1,b 0 (B)a 0,b 1
(C)a 1,b 1
解 lim[ f (x 1) x
f
( D)a (x)] lim
1,
x0
x0 x
t
5.设f ( x)有连续的导数，f (0) 0,且f (0) b.
若函数F ( x)
f
(x)
asin x
x
,
x
0在x
0处
A, x 0
连续，则常数A _a____b__ .
解 A lim f (x) asin x lim f ( x) a
x0
x
x0 x
f (0) a b a