第四章圆与方程测试题
2022年第四章 一元一次方程测试题及答案
一、选择题(每小题3分,共36分)1.下面是小红所写的式子:①5x-2;②3+5=-1+9;③5-12x=2x-8;④x=0;⑤x+2y=9.其中是一元一次方程的有( B )A.1个B.2个C.3个D.4个2.根据等式的性质,下列变形正确的是( C )A.若2a=3b,则a=23bB.若a=b,则a+1=b-1C.若a=b,则2-a 3=2-b 3D.若a 2=b 3,则2a=3b3.已知关于x 的方程3x+2a=2的解是x=a-1,则a 的值是( A )A.1B.35C.15D.-14.下列各式的变形正确的是( D )A.由2x -13=1+x -32,去分母,得2(2x -1)=1+3(x-3)B.方程3x 0.5-1.4-x 0.4=1可化为30x 5-14-x 4=1C.由2(2x -1)-3(x -3)=1,去括号,得4x-2-3x-9=1D.由2(x +1)=x+7,去括号、移项、合并同类项,得x=55.某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺栓或1 000个螺母,1个螺栓需要配2个螺母.为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,设安排x 名工人生产螺栓,则下面所列方程正确的是( C )A.2×1 000(26-x)=800xB.1 000(13-x)=800xC.1 000(26-x)=2×800xD.1 000(26-x)=800x6.某车间原计划13小时生产一批零件,后来每小时多生产10件,用了12小时不但完成任务,而且还多生产60件.设原计划每小时生产x 个零件,则所列方程为( B )A.13x=12(x+10)+60B.12(x+10)=13x+60C.x 13-x+6012=10D.x+6012-x 13=107.若方程3(2x-2)=2-3x 的解与关于x 的方程6-2k=2(x+3)的解相同,则k 的值为( B )A.59B.-89C.53D.-538.某商场某品牌服装统一按进价增加10%作为定价,元旦期间以9折促销.李老师在该商场以198元的价格买了一件服装,则对于商家来说,这次生意的盈亏情况为( C )A.不盈不亏B.盈利2元C.亏损2元D.亏损5元9.已知k 为非负整数,且关于x 的方程3(x-3)=kx 的解为正整数,则k 的所有可能取值为( C )A.4,6,12B.4,6C.2,0D.2,0,-610.某铁路桥长1 200 m,现有一列火车从桥上通过,测得该列火车从开始上桥到完全过桥共用1 min,整列火车完全在桥上的时间共40 s,则该列火车的长度为( C )A.180 mB.200 mC.240 mD.260 m11.如图所示,用十字形方框从月历表中框出5个数,已知这5个数的12.有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①所示,测得其底面半径为a,高为h,其内装蓝色液体若干.若如图②所示放置时,测得液面高为12h;若如图③所示放置时,测得液面高为23h.该玻璃密封容器的容积(圆柱体容积=底面积×高)是( B )① ② ③A.5π24a 2hB.5π6a 2hC.56a 2h D.53ah 二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知15x m+3+6=2是关于x 的一元一次方程,则m= -2 . 14.当x= 43 时,代数式3x-2的值与12互为倒数.15.若关于x 的方程x+2=2(m-x)的解满足方程|x -12|=1,则m 的值是 14或134 .16.如图所示,由3个相同的长方形A 和1个正方形B 组成的图形,其中长方形A 的长是宽的2倍,则正方形B 的周长为 84 .17.某地居民生活用电的基本价格为0.60元/度.规定每月的基本用电量为a 度,超过部分的电量每度电的价格比基本用电量每度电的价格增加20%收费.某用户在5月份用电200度,共交电费132元,则 a= 100 .18.幻方,又称为九宫格,最早起源于中国,是一种中国传统游戏.如图①所示,它是在3×3的9个格子中填入9个数,使得每行、每列及对角线上的3个数之和都相等.在图②所示幻方中,只填了5个用字母表示的数,根据每行、每列及对角线上的3个数之和都相等,则右上角“x ”所表示的数应是 3 .① ②三、解答题(共46分)19.(8分)解下列方程:(1)2(x-1)-5(2x-3)=0; (2)2x+12-1=x -13.解:(1)去括号,得2x-2-10x+15=0,移项、合并同类项,得-8x=-13,系数化为1,得x=138.(2)去分母,得3(2x+1)-6=2(x-1),去括号,得6x+3-6=2x-2,移项、合并同类项,得4x=1,系数化为1,得x=14. 20.(8分)当k 取何值时,代数式k+13的值比3k+12的值小1? 解:由题意,得k+13=3k+12-1.去分母,得2(k+1)=3(3k+1)-6,去括号,得2k+2=9k+3-6,移项,得2k-9k=3-6-2,合并同类项,得-7k=-5,系数化为1,得k=57.故当k=57时,代数式k+13的值比3k+12的值小1.21.(8分)小明去买纸杯蛋糕,售货员阿姨说:“一个纸杯蛋糕12元,如果你明天来多买一个,可以参加打九折活动,总费用比今天便宜 24元.”问:小明今天计划买多少个纸杯蛋糕?若设小明今天计划买纸杯蛋糕的总价为x 元,请你根据题意补全表格中的信息,并列方程解:表格由左至右,由上至下分别为12,12×0.9,12×0.9,x-24.由题意,知x -2412×0.9-x 12=1, 解得x=348,所以小明今天计划买纸杯蛋糕的数量为348÷12=29(个).答:小明今天计划买29个纸杯蛋糕.22.(10分)十一长假期间,小张和小李决定骑自行车外出旅游,两人相约一早从各自家中出发,已知两家相距10 km,小张出发必过小李家.(1)若两人同时出发,小张车速为20 km/h,小李车速为15 km/h,则经过多少小时能相遇?(2)若小李的车速为10 km/h,小张提前20 min 出发,两人商定小李出发后半小时二人相遇,则小张的车速应为多少?解:(1)设经过t h 能相遇,依题意,得20t=15t+10,解得t=2,所以两人经过2 h 能相遇.(2)设小张的车速为x km/h,则相遇时小张所行驶的路程为(12x+13x)km, 小李所行驶的路程为10×12=5(km),所以12x+13x=5+10,解得x=18.故小张的车速应为18 km/h.23.(12分)小明准备购买练习本,甲、乙两个商店都在搞促销优惠,两个商店的标价都是每本1元.甲商店的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价打七折;乙商店的优惠条件是购买10本以上,每本按标价打八折.(1)小明要买20本练习本时,到哪个商店买更省钱?(2)若小明要买10本以上练习本,则买多少本练习本时到两个商店付的钱一样多?(3)小明现有32元钱,最多可买多少本练习本?解:(1)甲商店:10×1+10×1×70%=17(元),乙商店:20×1×80%=16(元).因为17>16,所以小明要买20本练习本时,到乙商店买更省钱.(2)设购买x 本练习本时,到两个商店付的钱一样多,由题意,得10×1+70%(x-10)=80%x,解得x=30,所以买30本练习本时到两个商店付的钱一样多.(3)设最多可买y 本练习本.在甲商店购买:10+70%(y-10)=32,解得y=4137;因为y 为整数,所以在甲商店最多可买41本练习本.在乙商店购买:80%y=32,解得y=40.因为41>40,所以小明最多可买41本练习本.。
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
圆的方程数学知识点与练习
圆的方程●圆的方程的三种形式 （1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代 数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。
人教版高一数学必修二第四章圆与方程(单元测试,含答案).doc
与方程姓名：班级:一、选择题(共8小题；共40分)1Mx2 +尸一4x + 6y = 0的圆心坐标是()A (2,3)B (-2,3) C(-2,-3) D(2,-3)2OO的百径是3,百线1与OO相交，圆心0到百线1的距离是d,贝M应满足()Ad > 3 B 15 < d < 3 C 0 < d < 15 Dd < 0 3圆(x — 2)2 + (y- l)2 = 4与圆(x + l)2 + (y- 2)2 = 9的公切线有()条A1 B 2 C3 D4 4从原点向圆x2 + y2 一12y + 27 = 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A nB 2nC 4TTD 6TT5过点(1,1)的直线与圆(x - 2)2 + (y - 3)2 = 9相交于A, B两点，贝lj| AB |的最小值为() A2V3 B4 C2V5 D5 6已知圆C的半径为2, |员|心在x轴的正半轴上，直线3x + 4y + 4 = 0与圆C相切，贝I」圆C的方程为()Ax2 4-y2 - 2x - 3 = 0 B x2 4- y2 + 4x = 0Cx2 +y2 + 2x - 3 = 0 D x2 + y2 - 4x = 07耍在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范閘都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()A6 B 5 C4 D38 已知圆:C1:(x-2)2 + (y-3)3 = 1,圆：C2:(x-3)2 + (y-4)2 = 9, M、N分别是圆C〔、C?上的动点，P为x轴上的动点,贝OIPMI + IPNI的最小值为()A5V2-4 B V17- 1 C6-2V2 D V17二、填空题(共7小题；共35分)9过点A(3,—4)与闘x2 +y2 = 25相切的直线方程是_______ .10如果单位圆X? +y2 = 1与圆C: (x — a)2 + (y - a)2 = 4相交，则实数a的取值范围为 ________ 11在空间直角坐标系,已知点A(l,0,2), B(l,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则点M的坐标是 _____ ・12已知圆C: (x-2)2+y2 = l.若直线y二k(x+l)上存在点P,使得过P向圆C所作的州条切线所成的角为夕则实数k的取值范闌为 _______ .13如图，以棱长为a的止方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间百角坐标系，若点P为对角线AB的点，点Q在棱CD上运动，则PQ的最小值为 .14在圆C:(x-2)2 + (y-2)2 = 8内,过点P(l,0)的最长的弦为AB,最短的弦为DE,贝9以边形ADBE的面积为____ •15据气象台预报：在A城正东方300km的海而B处有一台风心，正以每小时40km的速度向術北方向移动，在距台风心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约__________ h,台风将影响A城, 持续时间约为_______ h.(结果精确到Olh)三、解答题(共5小题；共65分)16若关于x, y的方程X? + y? - 4x + 4y + m = 0表示圆C.(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆M:x2 4-y2 = 2相离，求m的取值范囤.17已知圆C:x? + y? + 4x + 4y + m = 0,直线l:x + y 4- 2 = 0.(1)若I员IC与直线1相离，求m的取值范围；(2)若I员1D过点P(l,l), H.与恻C关丁•直线1对称，求I処D的方程.18如图，在平面直角坐标系xOy,点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在1上.(1)若圆心C也在直线y = x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA = 2M0,求圆心C的横坐标a的取值范|节|・19已知直线啲方程为2x+(l + m)y+2m = 0, m€R，点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线1的距离的最大值；(3)设点P在直线1上的射影为点M, N的坐标为(2,1),求线段MN长的取值范闱.20 在平面直角坐标系xOy,已知圆Ci： (x + 3)2 + (y - I)2 = 4和圆C?： (x 一4)2 + (y — 5)2 = 4.(1)若直线1过点A(4,0), £L被圆C］截得的弦长为2孙，求直线啲方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂肖的肖线h和12,它们分别与圆C1 和圆C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.答案第一部分I D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A第二部分9 3x-4y = 2510 -—< a < H J C —< a < —」 2 22 2 II (0,-1,0) 12 ［一普，晋］13 yal4 4V615 20； 66第三部分 16 (1) |w|C 化简为(x- 2)2 4-(y + 2)2 = 8-m,所以8 — m > 0,即m V 8.(2)圆C 的圆心为(2,-2),半径为V8^ (m<8),圆M 的圆心为(0,0),半径为返,由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则“22 + 22 + 解得6<m<8.17 (1)圆Ux?+y2+4x + 4y + m = 0即(x 4- 2)2 + (y + 2)2 = 8 - m.圆心C(-2,—2)到直线啲距离d =三|旦=V2,若圆C 与直线1相离，则d > r,所以 * = 8 — m < 2即 m > 6乂严=8 - m > 0即m V 8.故m 的取值范围是(6,8).(2)设圆D 的圆心D 的坐标为(xo ，y ())，由于圆C 的圆心C(_2,_2), 依题意知点D 和点C 关于直线1对称，解牡:0 所以圆D 的方程为x 2+y 2 = r 2,而r=|DP |=V2,因此，圆D 的方程为x 2+y 2 = 2.18 (1)由题设，I 员I 心C 是直线y = 2x- 4和y = x- 1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方稈为y = kx + 3由题意，得解得：k=0或—孑 4故所求切线方程为{Xo-2 Yo+2Xo+2 + 竽+2 = 0x (-1) = -1I 3k + 1 |Vk 2 + 1y = 3 或3x + 4y — 12 = 0(2)因为圆心在直线y = 2x —4上，所以圆C的方程为(x — a)2 3 + ［y — 2 (a — 2)］2 = 1 设点M(x,y),因为MA = 2M0,所以Jx2 + (y — 3)2 = 2jx2 +y2, 化简得x? + y2 + 2y — 3 = 0,即x2 + (y + l)2 = 4, 所以点M在以D(0,-l)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆(：与圆D有公共点，贝I」12-11 < CD <2 + 1, 即l<Va2 + (2a-3)2<3 整理，得—8 S 5a2— 12a S 0由5a2-12a + 8>0,得a G R;S5a2 - 12a < 0,得12所以点C的横坐标a的取值范闌为［0,y .19(1)由2x + (l + m)y+2m = 0得2x + y + m(y + 2) = 0,所以直线1恒过直线2x + y= 0与直线y + 2 = 0交点Q.解方程组炸暮律得Q(l，-2)，所以直线1恒过定点，且定点为Q(l,-2).2 设点P在直线1上的射影为点M,贝IJIPMI < |PQ|,当且仅当直线1与PQ垂直时,等号成立, 所以点P到直线1的距离的最大值即为线段PQ的长度为2逅.3因为直线1绕着点Q(l,-2)旋转，所以点M在以线段PQ为直径的I员1上，其I员I心为点C(O.-l)，半径为说，因为N的坐标为(2,1),所以|CN| = 2V2,从而V2 < |MN| < 3V2.20(1)由于直线x = 4与圆C］不相交，所以直线1的斜率存在.设直线1的方程为y = k(x - 4),圆C］的I员I心到直线1的距离为d, 乂因为直线1被I员©截得的弦长为2箱，所以|l-k(-3-4)| d = ------- , ----Vl + k 2 y = 0 或 7x + 24y - 28 = 0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线h 的方程为y — b = k(x — a), k H 0, 则直线】2的方程为山点到直线的距离公式得 d = J22 - (V3)2 = 1从而即所以直线1的方程k(24k + 7) = 0, 7 241因为圆Ci和C2的半径相等，及宜线I】被圆C］截得的弦长与直线-被【员丄2截得的弦长相等，所以I 员IC］的|员］心到直线1］的距离和圆C2的國心到直线】2的距离相等,即|1 一k(-3 - a) - b| |5 + £ (4 — a) — b|整理得|1 + 3k + ak — bl = |5k + 4 — a — bk|,从而1 + 3k + ak — b = 5k + 4 — a - bk,(a + b — 2)k — b — a + 3, 因为k的取值有无穷多个，所以(a + b — 2 = 0,戒(a — b + 8 = 0, (b - a + 3 = 0 严ia + b-5 = 0 解得这样点P只可能是点P］ (I，-扌)或点卩2 (-!，¥)• 经检验点P］和P2满足题口条件.。
数学试题 人教a版必修2 同步练习第四章检测测试题(两套)
第四章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆心为(1,-7),半径为2的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+7)2=4B.(x+1)2+(y-7)2=4C.(x+1)2+(y-7)2=2D.(x-1)2+(y+7)2=2解析:由已知条件得圆的标准方程为(x-1)2+(y+7)2=4.答案:A2.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A解析:|P1P2|答案:A3.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析:圆C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d.答案:C4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是( )A.外离B.内含C.相交D.相切解析:圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距0<|2-1|=1,所以两圆内含.答案:B5.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x+2y+2=0的最短距离为( )A解析:由已知得圆心坐标为(1,1),半径r为1,圆心到直线的距离d.所以最短距离为d-r答案:C6.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( )A.点B.直线C.线段D.圆解析:∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1.故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.答案:D7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意设圆心坐标为(a,-a),因为圆心到直线x-y-4=0与x-y=0的距离相等,所a=1.所以圆心坐标为(1,-1),半径r故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:C8.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-8解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r圆心到直线x+y+2=0的距离d4,因此由勾股定理可a=-4.故选B.答案:B9.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+2=0的距离A.1个B.2个C.3个D.4个解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=((-1,-2)到直线x+y+2=0的距离4个.答案:D10.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )A.0<kC.0<k解析:圆x2+4x+y2-5=0可变形为(x+2)2+y2=9,如图所示.当x=0时,y=A(0k AM∈(0答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.点P(3,4,5)关于原点的对称点的坐标是.解析:因为点P(3,4,5)与P'(x,y,z)的中点为坐标原点,所以点P'的坐标为(-3,-4,-5).答案:(-3,-4,-5)12.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+5)2+(y+2)2=m2(m>0)外切,则m的值为.解析:由已知得C1(-1,1),半径r1=1;C2(-5,-2),半径r2=m,所以圆心距d=|C1C2|又因为两圆外切,所以d=r1+r2.所以5=1+m,即m=4.答案:413.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.解析:由题意可知点P在以MN为直径的圆上,且除去M,N两点,所以圆心坐标为(0,0),半径为2.所以轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2).答案:x2+y2=4(x≠±2)14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a=.解析:两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(a,0),半径分别为r1=2,r2=1.由两圆内切可得|O1O2|=r1-r2,即|a|=1,所以a=±1.答案:±115.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.解析:因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l经过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如图,作MC⊥AB于点C,连接BM.在Rt△MBC中,|BC||MC|由点到直线的距离公式解得k l的方程为3x-4y+6=0.当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,且|AB|=.综上所述,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.17.(8分)求与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上且截y轴所得的弦长为解:设圆心坐标为O1(x0,3x0),半径为r,解得r y轴被圆截得的弦长∴即圆的方程为(x(x18.(9分)已知一个圆的圆心为A(2,1),且与圆x2+y2-3x=0相交于P1,P2两点.若|P1P2|=2,求这个圆的方程. 解:设圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.所以直线P1P2的方程为x+2y-5+r2=0.则点A(2,1)到直线P1P2的距离又因为|P1P2|=2,所以当r=1时,易知符合题意,此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.当r≠1时,r2=6或r2=1(舍去).此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=1.19.(10分)在棱长为2的正方体OABC-O1A1B1C1中,P是对角线O1B上任意一点,Q为棱B1C1的中点.求|PQ|的最小值.解:分别以OA,OC,OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于Q是B1C1的中点,所以Q(1,2,2).点P在xOy平面上的射影在OB上,在yOz平面上的射影在O1C上 ,所以点P的坐标(x,y,z)满则|PQ|当x=1时,即P(1,1,1)时,|PQ|取得最小20.(10分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O 为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解:(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),即(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率l的方程为y=又易得|OM|=|OP|=O到l的距离△POM的面积第四章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为( )A.(-3,4,-10)B.(-3,2,-4)C解析:由中点坐标公式得A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)对称的点为(-3,4,-10).答案:A2.若方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是( )A.k<2B.k>2C.k≥2D.k≤2解析:若方程表示圆,则(-4)2+42-4(10-k)>0,解得k>2.答案:B3.圆心为(1,1),且与直线x+y=4相切的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:根据题意得r故圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),定点到圆心的距离d=1,所以直线y=kx+1与圆相交但直线不过圆心. 答案:C5.若圆C1:(x-a)2+y2=12与圆C2:x2+y2=4相切,则a的值为( )A.±3B.±1C.±1或±3D.1或3解析:圆C1的圆心坐标为(a,0),半径为1,圆C2的圆心坐标为(0,0),半径为2.当两圆外切时,|a|=3,则a=±3.当两圆内切时,|a|=1,则a=±1.答案:C6.已知半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是( )A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36.由两圆内切,a2=16,所以a=±4,故所求圆的方程是(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36.答案:D7.已知一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆C:(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.C.解析:圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径r=1.如图,作出点A(-2,-3)关于y轴的对称点B(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点 B.设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可|5k+5|12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=k=答案:D8.过点A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1相切的直线方程是( )A.y=1B.x=3C.x=3或y=1D.不确定解析:由题意知,点A在圆外,故过点A的切线应有两条.当所求直线的斜率存在时,设其为k,则直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.因为直线与圆相切,所以d k=0,所以切线方程为y=1.当所求直线的斜率不存在时,x=3也符合条件.综上所述,所求切线方程为x=3或y=1.答案:C9.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为( )A.解析:圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,即(x+2)2+(y-2)2=11,圆心为C1(-2,2),半径圆C2:x2+y2-4x-12=0,即(x-2)2+y2=16,圆心为C2(2,0),半径为4,则|C1C2|故△PC1C2的面积最大值 B.答案:B10.若两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心距|C1C2|等于( )A.4B.解析:由题意知两圆的圆心在直线y=x上.设C1(a,a),C2(b,b),可得(a-4)2+(a-1)2=a2,(b-4)2+(b-1)2=b2,即a,b是方程x2-10x+17=0的两根,a+b=10,ab=17,|C1C2|答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11. 如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若|B1E|A1B1答案:12.已知点M是圆x2+y2=1上的任意一点,点N是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的任意一点,则|MN|的最小值为.解析:由已知可得两圆圆心分别为(0,0),(3,4),半径分别为1,2,所以圆心距为5>1+2.所以两圆外离,所以当M,N在圆心连线上时,|MN|取最小值,且最小值为5-3=2.答案:213.已知点A(1,2,-1),点C与点A关于平面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.解析:由已知可求得点C的坐标为(1,2,1),点B的坐标为(1,-2,1),所以|BC|答案:414.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为.解析:由题意知点O到直线y=kx+1的距离答案:15.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是.解析:由题意知点A处的切线分别过两圆的圆心,所以OA⊥O1A.所以m2=m=±5.由等面积法得|AB|=2答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程.解:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则点P,Q的坐标满足方程组,即点P(1,1),Q(-3,3),所以线段PQ的中点坐标为(-1,2),|PQ|故以PQ为直径的圆的方程是(x+1)2+(y-2)2=5.17.(8分)已知圆C:x2+y2-2x+4my+4m2=0,圆C1:x2+y2=25,直线l:3x-4y-15=0.(1)求圆C1:x2+y2=25被直线l截得的弦长;(2)当m为何值时,圆C与圆C1的公共弦平行于直线l?解:(1)因为圆C1:x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径r=5,所以圆心O到直线l:3x-4y-15=0的距离d由勾股定理可知,圆C1:x2+y2=25被直线l截得的弦长(2)圆C与圆C1的公共弦的方程为2x-4my-4m2-25=0.因为该公共弦平行于直线3x-4y-15=0,m18.(9分)已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求:(1(2)(x-3)2+(y-4)2的最大值与最小值.解:圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为(x+2)2+y2=1,记为圆C,则圆心C(-2,0),半径r=1.(1)如图①,设点M(x,y)在圆C上,Q(1,2),k kx-y-k+2=0.由图可知,当直线QM与圆C相切时,k取得最大值或最小值.由C(-2,0)到直线kx-y-k+2=0的距离为1,k所图①图②(2)如图②,令A(3,4),则(x-3)2+(y-4)2表示圆上的点与点A距离的平方.设直线AC与圆交于P,Q两点,则(x-3)2+(y-4)2的最大值为|AQ|2,最小值为|AP|2.|AQ|=|AC|+r( x-3)2+(y-4)2的最大值最小值19.(10分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线l,设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.解:把圆C的方程化成标准方程(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=1,点C到l的距离d=2=r,满足条件.当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,k=所以l的方程为y-3=即3x+4y-15=0.综上,满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0.故点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.20.(10分)已知圆C经过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C相交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2,k AB=a=所以a把直线ax-y+1=0,即y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-72a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).由∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.。
圆与方程测试题及答案
圆与方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆心在原点的圆的方程为 \( x^2 + y^2 = r^2 \)，其中\( r \) 为圆的半径。
若圆的半径为5，则圆的方程为：A. \( x^2 + y^2 = 25 \)B. \( x^2 + y^2 = 5 \)C. \( x^2 + y^2 = 10 \)D. \( x^2 + y^2 = 50 \)2. 若圆的方程为 \( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 16 \)，该圆的圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)二、填空题3. 圆心在点 \( P(2, -3) \) 上，半径为4的圆的标准方程为：\( (x-2)^2 + (y+3)^2 = \) ________。
4. 若圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中\( g \) 和 \( f \) 分别为圆心的 \( x \) 和 \( y \) 坐标，则圆心坐标为：\( (-g, -f) \)。
三、解答题5. 已知圆 \( C \) 的圆心为 \( (2, -1) \)，半径为3，求圆 \( C \) 的方程。
6. 给定圆的一般方程 \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 16 = 0 \)，求圆心坐标和半径。
四、证明题7. 证明：若点 \( P(x_0, y_0) \) 在圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2 \) 上，则 \( (x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2 \)。
五、应用题8. 一个圆与 \( x \) 轴相切，圆心在直线 \( y = x \) 上，且圆经过点 \( A(2, 3) \)。
求该圆的方程。
答案：一、选择题1. A2. A二、填空题3. \( 16 \)4. \( (-g, -f) \)三、解答题5. 圆 \( C \) 的方程为 \( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \)。
圆与方程测试题
圆与方程测试题一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）(A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( D )(A) 222=+y x (B) 422=+y x(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .15.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a 的值为三、解答题16.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
必修圆的方程测试题有答案
必修圆的方程测试题有答案Last updated on the afternoon of January 3, 2021圆的方程单元练习高二数学组一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知圆22:4C x y +=，若点()00,P x y 在圆外，则直线00:4l x x y y +=与圆C 的位置关系为（） A.相离B.相切C.相交D.不能确定2．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点()3,1A ，则直线l 的方程为（）．250x y --=210x y --=20x y --=40x y +-=若220x y x y m +-+-=，表示一个圆的方程，则m 的取值范围是（）.12m <-12m ≥-12m >-2m >-直线30x y -+=被圆()()22222x y ++-=截得的弦长等于（）2已知点()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（）．30x y --=230x y +-=210x y +-=250x y --=圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是（A.相离B.外切C.相交D.内切7．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（）1⎡-+⎣1⎡⎤-⎣⎦1,1⎡-+⎣1⎡⎤-⎣⎦若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10．已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为( ) ＋y 2－6x －2y ＋6＝＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 ＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝＋y 2－2x －6y ＋6＝011．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（）（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程；（2）若a =M 的圆的两条弦AC BD 、互相垂直，求AC BD +的最大值.20．（12分）已知：如图，两同心圆：221x y +=和224x y +=.P 为大圆上一动点，连结OP （O 为坐标原点）交小圆于点M ，过点P 作x 轴垂线PH （垂足为H ），再过点M 作直线PH 的垂线MQ ，垂足为Q .（1）当点P 在大圆上运动时，求垂足Q 的轨迹方程；（2）过点,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的直线l 交垂足Q 的轨迹于A B 、两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求直线l 的方程.21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-与直线m ：1y x =-的交点为圆C 的圆心，设圆C 的半径为1．（1）过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）过点A 作斜率为12-的直线l 交圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．22．（12分）已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O 为原点，OA a =，OB b =，（2,2a b >>）.（1）求证:：I 与C 相切的条件是：()()222a b --=. （2）求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求三角形AOB 面积的最小值.参考答案1．C2．D3．C4．D5．A6．C7．D8．B9．D10．A11．B12．B13．414．9415．)+∞ 16．[﹣]17．解：（1）由题意设圆C 的方程为()224,(0)x a y a -+=>， ∵圆与直线3440x y ++=相切， ∴圆心(),0a到直线的距离2d ==，解得2a =或143a =-（舍去）， ∴圆C 的方程为()2224x y -+=．（2）圆心()2,0到直线:210L x y -+=距离1d =所以弦长为5= 18．解：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a+--=，整理得()222224x a y a a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭， 可知曲线C 是以点2,a a ⎛⎫⎪⎝⎭为半径的圆.（2）AOB ∆的面积S 为定值.证明如下：在曲线C 的方程中令0y =，得()20ax x a -=，得()2,0A a ，在曲线C 方程中令0x =，得()40y ay -=，得40,B a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1142422S OA OB a a=⋅=⋅=（定值）.（3）直线l 与曲线C 方程联立得()225216816160ax a a x a -+-+-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则21221685a a x x a +-+=，1216165a x x a-=，()12121212858165OM ON x x y y x x x x ⋅=+=-++=-，即28080161286480855a a a a a ---++=-，即22520a a -+=，解得2a =或12a =， 当2a =时，满足0∆>；当12a =时，满足0∆>. 故2a =或12a =.19．解：（1）由条件知点M 在圆O 上，所以214a +=，则a =当a =M 为(，OM k =，k =切，此时切线方程为)13y x =--，即40x +-=.当a =M 为(1,，OM k =，k =切.此时切线方程为)1y x +=-，即40x -=.所以所求的切线方程为40x +-=或40x -= （2）设O 到直线,AC BD 的距离分别为()1212,,0d d d d ≥，则222123d d OM +==.又有AC BD ==所以AC BD +=.则()(22212444AC BD d d +=⨯-+-+(45=⨯+.因为22121223d d d d ≤+=，所以221294d d ≤，当且仅当12d d ==52≤， 所以()25452402AC BD ⎛⎫+≤⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以AC BD +≤，即AC BD +的最大值为20．解：（1）设垂足(),Q x y ，则(),2P x y 因为(),2P x y 在224x y +=上，所以2244x y +=，所以2214x y +=故垂足Q 的轨迹方程为2214x y +=（2）设直线l的方程为()()1122,,,,3x my A x y B x y =+， 则有21AB y y ==-，又因为圆与x 轴相切，所以12212y y y +=-即()()()()22121222212121214y y y y m y y y y y y +++==-+-（*） 由22{14x my x y =+=消去x 整理得()2244039m y +++=，因为直线l 与椭圆交于A B、两点，所以()22241446444099m m ⎫-∆=-⨯+⨯=>⎪⎪⎝⎭，解得249m >。
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圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7 B .-6＜a ＜4 C.-7＜a ＜3 D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2) C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ） A ．21± B ．22± C ．2221-或D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C ≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0 D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21.自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2+ y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x ①已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 ② ①②作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。
高中数学必修2：第四章-圆与方程测试(含解析)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。
圆与方程测试题及答案
圆与方程测试题一、选择题1．若圆C的圆心坐标为（2，－3),且圆C经过点M(5，－7），则圆C的半径为()．A．B．5 C．25 D．2．过点A(1,－1），B(－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）．A．（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B．(x＋3）2＋(y－1)2＝4C．（x－1）2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋（y＋1）2＝43．以点(－3,4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是（）．A．(x－3)2＋（y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋（y－4)2＝16C．（x－3）2＋(y＋4）2＝9 D．（x＋3)2＋（y－4)2＝194．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为(）．A．0或2 B．2 C．D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是(）．A．8 B．6 C．6 D．46．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为（）．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（)．A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b,c)，有下列叙述：点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c）；点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c);点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是（)．A．3 B．2 C．1 D．010．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0）与点B(2,－1，6）的距离是()．A．2 B．2 C．9 D．二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0）的圆的方程为．13．以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4）2＋（y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C（3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1），则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0）．19．求经过A（4，2），B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8,3），并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．圆与方程参考答案一、选择题1．B圆心C与点M的距离即为圆的半径,＝5．2．C解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A，C满足条件，再把A点坐标（1，－1）代入圆方程．A不满足条件．∴选C．解析二：设圆心C的坐标为（a，b）,半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a．由|CA|＝|CB|,得（a－1）2＋（b＋1）2＝（a＋1）2＋(b－1)2,解得a＝1，b＝1．因此圆的方程为(x－1)2＋(y－1）2＝4．3．B解析:∵与x轴相切,∴r＝4．又圆心（－3,4)，∴圆方程为(x＋3)2＋（y－4)2＝16．4．B解析：∵x＋y＋m＝0与x2＋y2＝m相切，∴(0，0)到直线距离等于．∴＝，∴m＝2．5．A解析：令y＝0，∴(x－1）2＝16．∴x－1＝±4，∴x1＝5，x2＝－3．∴弦长＝|5－(－3)｜＝8．6．B解析：由两个圆的方程C1：(x＋1）2＋(y＋1）2＝4,C2：(x－2)2＋（y－1）2＝4可求得圆心距d＝∈（0，4)，r1＝r2＝2，且r 1－r 2＜d＜r 1＋r2故两圆相交，选B．7．A解析：对已知圆的方程x2＋y2－2x－5＝0，x2＋y2＋2x－4y－4＝0，经配方，得(x－1）2＋y2＝6，(x＋1）2＋（y－2)2＝9．圆心分别为C1(1,0)，C2(－1，2)．直线C1C2的方程为x＋y－1＝0．8．C解析：将两圆方程分别配方得(x－1)2＋y2＝1和x2＋（y＋2）2＝4，两圆圆心分别为O1（1,0),O2(0,－2）,r1＝1,r2＝2，｜O1O2｜＝＝，又1＝r2－r1＜＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C．9．C解：①②③错，④对．选C．10．D解析：利用空间两点间的距离公式．二、填空题11．2．解析：圆心到直线的距离d＝＝3，∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2．12．(x－1）2＋（y－1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在（1,1),半径为1．故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1．13．(x＋2）2＋（y－3）2＝4．解析:因为圆心为(－2，3），且圆与y轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为（x＋2)2＋（y－3）2＝4．14．0或±2．解析：当两圆相外切时，由｜O1O2|＝r1＋r2知＝6,即a＝±2．当两圆相内切时，由｜O1O2｜＝r1－r2(r1＞r2）知＝4,即a＝0．∴a的值为0或±2．15．（x－3）2＋(y＋5）2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x－7y＋2＝0的距离；16．x＋y－4＝0．解析:圆x2＋y2－4x－5＝0的圆心为C(2，0),P（3，1)为弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，即k AB·k CP＝－1，解得k AB＝－1，又直线AB过P(3，1)，则直线方程为x＋y－4＝0．三、解答题17．x2＋y2＝36．解析：设直线与圆交于A，B两点，则∠AOB＝120°，设所求圆方程为：x2＋y2＝r2，则圆心到直线距离为，所以r＝6，所求圆方程为x2＋y2＝36．18．x2＋y2－ax－by＝0．解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．∵圆过（a,0)和(0，b)，∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．又∵a≠0,b≠0，∴D＝－a，E＝－b．故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0．19．x2＋y2－2x－12＝0．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵A，B两点在圆上,代入方程整理得：D－3E－F＝10 ①4D＋2E＋F＝－20 ②设纵截距为b1,b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴b1＋b2＝－E；令y＝0得x2＋Dx＋F＝0,∴a1＋a2＝－D．由已知有－D－E＝2．③①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．所以圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．根据题意:r＝＝2，圆心的横坐标a＝6＋2＝8，所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．又因为圆过（8，3)点，所以(8－8）2＋（3－b）2＝4，解得b＝5或b＝1，所求圆的方程为（x－8）2＋(y－5）2＝4或（x－8）2＋(y－1)2＝4．。
人教版高一第四章圆与方程单元测试精选(含答案)1
人教版高一第四章圆与方程单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【来源】直线平行问题 【答案】C2．若圆()222(5)1(0)x y r r -+-=>上有且仅有两点到直线432=0x y ++的距离等于1，则实数r 的取值范围为（ ） A ．[]4,6B ．()46，C ．[57]，D ．()57，【来源】2015-2016学年河北唐山一中高一下学期期末数学理试卷（带解析) 【答案】B3．已知(2,1),(0,5)A C -，则AC 的垂直平分线所在直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y -+=D ．250x y -+=【来源】广州市培正中学2018年高一第二学期数学必修二模块测试卷一 【答案】A4．若点()3,1-是圆()22225x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A ．40x y --=B ．270x y --=C ．20x y +-=D ．250x y +-=【来源】2015-2016学年河北省保定望都中学高二上学期第二次月考文数学试卷（带解析) 【答案】A5．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷带解析) 【答案】C6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A ．B ．2C D【来源】2016届云南省曲靖一中高考复习质量监测六文科数学试卷（带解析) 【答案】A7．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=（ ）AB ．2C ．1D ．3【来源】湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 【答案】B8．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省长沙市长郡中学人教版高中数学必修二练习：4.2.3直线与圆的方程 【答案】A90y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）AB ．或C ．-D ．-【来源】2008年高考陕西卷理科数学试题 【答案】C10． 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( ) A ．1 B ．2C ．D ．【来源】人教A 版高中数学必修二综合学业质量标准检测2 【答案】C11． 点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,1)B ．1,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【来源】人教A 版高中数学必修二综合学业质量标准检测2 【答案】C12．设直线过点(0,)a ，其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ）．A ．B ．2±C ．±D ．4±【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高二11月月考理科数学试卷（带解析) 【答案】B13．直线230x y --=与圆22(2)(3)9x y -++=交于E ，F 两点，则△EOF （O 是原点）的面积为（ ）A ．32B ．34C ．D ．5【来源】高二人教版必修2 第二章 滚动习题（五)[范围1-2] 【答案】D14．过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y --=B ．230x y +-=C ．430x y --=D ．430x y +-=【来源】四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B15．直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】第四章本章基础排查（四) 【答案】A16．过点21（，）的直线中，被圆22240x y x y +-+=截得的弦最长的直线方程是（ ） A ．350x y --= B ．370x y +-= C ．310x y --= D ．350x y +-=【来源】高中数学人教版 必修2 第四章 圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系 【答案】A17．曲线122)y x =-剟与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．5,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．53,124纟çúçú棼C ．5(,)12+∞ D ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦【来源】第四章本章能力测评（四) 【答案】B18．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >2B ．－3<k <2C ．k <－3或k >2D ．以上都不对【来源】第04章章末检测（B)-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A 版必修2) 【答案】D19．过点(1,2)M 的直线l 与圆22:3)(4)25C x y -+-=（交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ( ) A ．230x y -+=B ．240x y +-=C ．10x y -+=D ．30x y +-=【来源】人教A 版高中数学必修二：综合学业质量标准检测1 【答案】D20．若曲线2228160x y x y +--+=与曲线2264120x y x y +--+=关于直线0x by c ++=对称，则bc =( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【来源】章末检测4（课后作业)-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A 版必修2) 【答案】A21．圆()2225x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为（ ） A ．()2225x y -+= B ．()2225x y +-= C ．()()22225x y +++= D ．()2225x y ++=【来源】四川省绵阳市南山中学实验学校2016-2017学年高二上学期半期考试数学（理)试题 【答案】A22．若点()2,2P -在圆()()22:16O x a y a -+-=的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．22a -<<B ．02a <<C ．2a <-或2a >D ．2a =±【来源】福建三明一中2017-2018学年度高一下学期数学期末复习综合卷 【答案】A23．在空间直角坐标系中，点()3,1,4A --与点()3,1,4B --关于（ ） A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．z 轴对称D ．原点对称【来源】高二人教版必修2 第二章 本章能力测评（二)B 【答案】B二、填空题24．已知直线l ：mx +y +3m −√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D 两点，若|AB|=2√3，则|CD|=__________． 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷参考版) 【答案】425．圆x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－6x －10y ＋30＝0的公共弦所在的直线方程是__________．【来源】章末质量评估2 解析几何初步-2018年数学同步优化指导（北师大版必修2) 【答案】60x y +-=26．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．【来源】2015-2016学年江西省南昌市八一中学高二10月月考数学试卷（带解析) 【答案】()2212x y -+=27．已知直线l 经过点P(－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．【来源】2019届高考数学（理)全程训练：天天练32 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系【答案】x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝028．在空间直角坐标系O xyz -中，点B 是点()A 1,2,3在坐标平面yOz 内的正射影，则OB ＝______．【来源】第04章章末检测（A)-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教A 版必修2)29．直线():3l y k x =+与圆22:4O x y +=交于,A B 两点，且AB =，则实数k =_______.【来源】第四章本章能力测评（四)【答案】 30．若圆()()22:128C x y ++-=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),M a b 向圆所作的切线的长的最小值是__________. 【来源】第四章热点题型探究（四)31．直线:3450l x y --=被圆225x y +=所截得的弦长为________.【来源】新课标人教A 版高中数学必修二第四章第2节《直线与圆的位置关系》专题练习 【答案】432．在正四面体O －ABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝______________(用a ,b ⃑ ,c 表示)．【来源】2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（安徽)【答案】12a +14b ⃑ +14c33．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()1,0A ，()4,0B ,若直线x-y+m =0上存在点P ，使得2PA=PB,则实数m 的取值范围为____．【来源】江苏省淮安市淮海中学2017届高三下学期第二次阶段性测试数学（理)试题【答案】[-三、解答题34． 直线l 经过两点(2,1)、(6,3). (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程．【来源】2013-2014学年山西省康杰中学高二第一学期期中考试文科数学试卷（带解析) 【答案】（1）x －2y ＝0；（2）(x －2)2＋(y －1)2＝1 35．已知22:2410C x y x y ++-+=e .(1)若C e 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点()00,P x y 向圆引切线,PM M 为切点，O 为原点，若PM PO =，求使PM 最小的P 点坐标．【来源】陕西省西安市第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）1x y +=+1x y +=-（2）11,105⎛⎫-⎪⎝⎭. 36．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析) 【答案】（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5.37．已知椭圆C :2222x y a b +=1(a>b>0)的离心率为4,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF 1F 2的周长是8+(1)求椭圆C 的方程; (2)设圆T :(x-2)2+y 2=49,过椭圆的上顶点M 作圆T 的两条切线交椭圆于E ,F 两点,求直线EF 的斜率.【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第九章 解析几何【答案】(1)216x +y 2=1. (2)34.38．已知定点(1,0)A -，(2,0)B ，圆C ：22230x y x +--+=.（1）过点B 向圆C 引切线l ，求切线l 的方程；（2）过点A 作直线1l 交圆C 于P ，Q ，且AP PQ =u u u r u u u r ，求直线1l 的斜率；（3）定点M ，N 在直线2:1l x =上，对于圆C 上任意一点R 都满足RN =，试求M ，N 两点的坐标.【来源】江苏省淮安市淮海中学2017届高三下学期第二次阶段性测试数学（理)试题【答案】（1）x ＝20y +-=（2）k =3）(1(1(1(10)M N M N 或，．39．已知圆的方程为()2211x y -+=，求： （1）斜率为3且与圆相切的直线方程； （2）过定点()2,3-且与圆相切的直线方程. 【来源】第四章热点题型探究（四)【答案】（1）330x y -=或330x y -=；（2）2x =或4310x y ++=40．已知圆22:(1)(2)2C x y -+-=外一点(2,1)P -,过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，其中,A B 是切点.（1）求PA ，PB 所在的直线方程； （2）求||PA ，PB 的值； （3）求直线AB 的方程. 【来源】模块结业测评（二)【答案】（1）1=0x y +-，7150x y --=；（2）；（3）330x y -+=. 41．圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线()():211740()l m x m y m m R +++--=∈. （1）证明：不论m 取什么数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值. 【来源】第四章本章能力测评（四)【答案】（1）见解析；（2）42．已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点()120A ，是x 轴上的一个定点，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？并分析此轨迹与圆2216x y +=的位置关系.【来源】第四章本章能力测评（四)【答案】以()60，为圆心，2为半径的圆，两圆外切 43．已知圆C 过点()()3153A B ，，，，圆心在直线y x =上. （1）求圆C 的方程；（2）过圆O 1：22(1)1x y ++=上任一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为Q ，T ，求四边形PQCT 面积的取值范围.【来源】重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理)试题 【答案】(1)22(3)(y-3)4x -+=.(2)S ⎡∈⎣.44．已知点(0,1),(3+-在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【来源】人教A 版高中数学必修二模块质量评估（B 卷) 【答案】（1）()()22319x y -+-=；（2）1-45． 已知三角形的三个顶点分别为A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7). 证明：△ABC 为等腰直角三角形．【来源】人教A 版高中数学必修二第4章章末综合测评3 【答案】证明见解析46． 某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以40 km/h 的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间.【来源】人教A 版高中数学必修二第4章章末综合测评3 【答案】10小时47．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .(1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文)试题【答案】（1）7150x y －－＝或10x y ＋－＝.(2)2. 48．已知点P(2,0)及圆C:x 2+y 2−6x +4y +4=0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线l 1与圆C 交于M,N 两点，当|MN|=4时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；(3)设直线ax −y +1=0与圆C 交于A,B 两点，是否存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．试卷第11页，总11页 【来源】陕西省西安中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷【答案】（1）3x +4y −6=0或x =2；（2）(x −2)2+y 2=4；（3）不存在.49．已知圆221:4440C x y x y ++-+=和圆222:20C x y x ++=．（1）求证：两圆相交；（2）求过点()2,3-，且过两圆交点的圆的方程．【来源】高二人教版必修2 第二章 本章能力测评（二)B【答案】（1）见解析；（2）2273302x y x y ++-+= 50．已知圆C 的圆心在直线1:30l y x -=上，且圆C 与x 轴相切，直线2:0l x y -=被圆C截得的弦长为C 的一般方程．【来源】高二人教版必修2 第二章 本章能力测评（二)B【答案】222610x y x y +--+=或222610x y x y ++++=。
(完整版)直线和圆的方程单元测试题含答案解析.docx
完美 WORD 格式 .整理《直线与圆的方程》练习题1一、选择题1.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C（ 2， 2），半径为 2 的圆，则 a、 b、c 的值依次为（ B ）（ A）2、 4、 4；（ B）-2 、 4、4；（ C） 2、 -4 、 4；（ D） 2、-4 、 -42.点 (1,1) 在圆 ( x a ) 2( y a ) 2 4 的内部，则a的取值范围是（A）(A)1a1(B)0a1(C)a1或 a 1 (D) a 13.自点A(1,4 ) 作圆 (x 2 ) 2( y 3 ) 21的切线，则切线长为（B）(A)5(B) 3(C)10(D) 54.已知 M (-2,0), N (2,0),则以 MN为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 ( D )(A)x 2y 22(B)x 2y 24(C)x 2y 22(x 2 )(D)x 2y 24( x2)5.若圆 x2y 2(1)x2y0 的圆心在直线x 1 左边区域，则的取值范围是2（C）Ａ． (0，+)Ｂ．1，+1(1，∞ )Ｄ． R Ｃ． (0， )56. . 对于圆x2y121上任意一点P( x, y)，不等式x y m0 恒成立，则m的取值范围是BA ．( 2 1，+ )B ．2，C．( 1，+ )D．1，+ 1 +7. 如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax与＝＋，正确的是 (C)y x a完美 WORD 格式 .整理8. 一束光线从点A( 1,1)出发，经x轴反射到圆 C : ( x 2)2( y 3) 2 1 上的最短路径是（ A）A． 4B． 5C．32 1D．269．直线 3 x y 230 截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是( C )A、B、C、D、643210. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点C、 D的定圆所围成的区域( 含边界 ) ，、、、是该圆的四等分点．若点 (， ) 、点′( ′，y′)A B C D P x yP x满足 x≤ x′且 y≥ y′，则称 P优于 P′.如果Ω中的点 Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点组成的集合是劣弧()QA. ABB. BCC. CDD. DA[ 答案 ]D[ 解析 ]首先若点M 是Ω 中位于直线右侧的点，则过，作与BD平行的直线交于AC M ADC一点 N，则 N 优于 M，从而点 Q必不在直线 AC右侧半圆内；其次，设 E 为直线 AC左侧或直线 AC 上任一点，过 E 作与 AC平行的直线交AD于 F.则 F 优于 E，从而在 AC左侧半圆内及 AC上( A 除外 ) 的所有点都不可能为Q，故 Q点只能在 DA上．二、填空题11. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y2 4 上有且仅有四个点到直线12x 5 y c 0 的距离完美 WORD 格式 .整理为 1，则实数 c 的取值范围是( 13,13)．12. 圆：x2y 24x 6 y0和圆： x 2y26x 0 交于 A, B 两点，则AB的垂直平分线的方程是3x y9013. 已知点 A(4,1) ， B(0,4) ，在直线L： y=3x-1 上找一点P，求使 |PA|-|PB|最大时P的坐标是（ 2,5 ）14. 过点A( － 2,0)22→→的直线交圆 x ＋ y ＝1交于 P、Q两点，则 AP· AQ的值为________．[ 答案 ]3[ 解析 ]设 PQ的中点为 M，|OM|＝ d，则| PM|＝| QM|＝ 1－d2AM|2→＝2，|＝ 4－d .∴|AP|4－d－2→221－d， | AQ|＝ 4－d＋ 1－d，∴→·→＝ |→||→|cos0 °＝ ( 4－2－ 1－2)(4－2＋1－2) ＝ (4 －2) － (1 －d2) ＝ 3.AP AQ AP AQ d d d d d15. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．[ 答案 ]210[ 解析 ]点P关于直线AB的对称点是 (4,2)，关于直线的对称点是 ( － 2,0) ，从而所求路OB程为(4 ＋ 2) 2＋ 22＝ 2 10.三．解答题16. 设圆 C满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3： 1；③圆心到直线 l : x 2 y 0 的距离为5，求圆 C的方程．5解．设圆心为(a,b) ，半径为r ，由条件①：r 2a2 1 ，由条件②：r 22b2，从而有：2b2a21 ．由条件③：| a2b | 5 | a 2b |2b 2 a 2 1 a 1 1 ，解方程组 2b | 可得：b 155| a 1或a1， 所 以 r 22b 22 ． 故 所 求 圆 的 方 程 是 (x1)2 ( y 1)22 或b1(x 1)2 ( y1)2 2 ．17. 已知ABC 的顶点 A 为（ 3，－ 1），AB 边上的中线所在直线方程为 6x 10 y 59 0 ，B的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求 BC 边所在直线的方程．解：设 B(4 y 1 10, y 1) ，由 AB 中点在 6x 10 y59 0 上，可得： 6 4y 17 10 y 1 159 0 ， y 1 = 5 ，所以 B(10,5) ．22设 A 点关于 x4 y 10 0 的对称点为 A'( x ', y') ，x3 4 y 4 10A (1,7) . 故 BC : 2x 9 y 650 ．则有2 1 1 2y1x3 418. 已知过点 M3, 3 的直线 l 与圆 x 2y 2 4 y 21 0 相交于 A, B 两点，（ 1）若弦 AB 的长为 2 15 ，求直线 l 的方程；（ 2）设弦 AB 的中点为 P ，求动点 P 的轨迹方程．解 ： （ 1 ） 若 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 ， 则 l 的 方 程 为 x3 ， 此 时 有 y 24 y 12 0 ， 弦| AB | | y A y B | 268 ，所以不合题意．故设直线 l 的方程为 y3 k x 3 ，即 kx y 3k3 0 ．x 2y 220, 2 ，半径 r 5 ．将圆的方程写成标准式得25，所以圆心圆心 0, 2 到直线 l 的距离 d| 3k 1|，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，k 213k2所以 152120 ，所以 k3 ．k 225，即 k31所求直线 l 的方程为 3xy 12 0 ．（ 2 ）设 P x, y ，圆心 O 1 0, 2 ，连接 O 1 P ，则 O 1 PAB ．当 x 0 且 x3 时，kO PkAB1，又kABkMPy( 3)，x( 3)1则有y2 y3 22x1，化简得x3 y 55．．．．．．（ 1）0 x 3222当 x0 或 x 3时， P 点的坐标为0, 2 , 0, 3 , 3, 2 , 3, 3 都是方程（1）的解，22所以弦 AB 中点 P 的轨迹方程为 x3 y5 5 ．22219. 已知圆 O 的方程为 x 2＋y 2＝ 1，直线 l 1 过点 A (3,0) ，且与圆 O 相切．(1) 求直线 l 1 的方程；(2) 设圆 O 与 x 轴交于 P ，Q 两点， M 是圆 O 上异于 P ， Q 的任意一点，过点A 且与 x 轴垂直的直线为 l 2，直线 PM 交直线 l 2 于点 P ′，直线 QM 交直线 l 2 于点 Q ′. 求证：以 P ′Q ′为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标[ 解析 ](1) ∵直线 l 1 过点(3,0) ，∴设直线 l 1 的方程为 y ＝ ( x － 3) ，即 kx － －3 ＝ 0，Aky k则圆心 O (0,0) 到直线 l 1 的距离为 d ＝ |3 k | ＝ 1，2k ＋ 12解得 k ＝± 4 .∴直线 l 1 的方程为 y ＝±2 ( x － 3) ．4(2) 在圆 O 的方程 x 2＋ y 2＝ 1 中，令 y ＝ 0 得， x ＝± 1，即 P ( － 1,0) ， Q (1,0)．又直线 l 2 过点tA 与 x 轴垂直，∴直线 l 2 的方程为 x ＝ 3，设 M ( s ， t ) ，则直线 PM 的方程为 y ＝ s ＋ 1( x ＋ 1) ．x ＝ 3 4t解方程组y ＝ t ( x ＋ 1)得， P ′ 3， s ＋ 1 .s ＋ 12 t同理可得 Q ′ 3， s －1 .4t 2t∴以 P ′ Q ′为直径的圆 C 的方程为 ( x －3)( x － 3) ＋ y － s ＋1 y － s －1 ＝ 0，.专业资料分享.又 s 2＋ t 2＝ 1，∴整理得 ( x 2＋ y 2－ 6x ＋1) ＋6s －2y ＝0， t2若圆 C 经过定点，则 y ＝ 0，从而有 x － 6x ＋ 1＝ 0，∴圆 C 总经过的定点坐标为 (3 ±22 ，0) ．20. 已知直线 l :y=k (x+2 2 ) 与圆 O: x 2 y 2 4 相交于 A 、B 两点， O 是坐标原点，三角形 ABO 的面积为 S. （ 1）试将 S 表示成的函数 S （ k ），并求出它的定义域； （ 2）求 S 的最大值，并求取得最大值时k 的值 .【解】： : 如图 ,(1) 直线 l 议程 kx y2 2k 0( k 0),原点 O 到 l 的距离为 oc2 2 k 1 k2弦长 AB2 228K 2 OAOC2 421 K（ 2） ABO 面积S1AB OC4 2 K 2 (1 K 2 )AB 0,1 K1( K0),1K 22S(k ) 4 2 k 2 (1 k 2 )( 1 k 1且K1 k 2(2)令11 t1,1 k 2t,2S(k )4 2 k 2 (1 k 2 )422t 2 3t 14 22(t3) 2 1 .1 k 248当 t=3时 ,13 , k 2 1 , k 3时,Smax241 k2 4 3321. 已知定点A（ 0， 1），B（ 0， -1 ），C（1， 0）．动点P满足：AP BP k | PC |2.（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当kuuur uuur2 时，求| 2AP BP | 的最大、最小值．uuur( x, yuuur uuur(1x, y) ．因为解：（ 1）设动点坐标为P(x, y)，则AP1) ， BP ( x, y1) ， PC AP BP k | PC |2，所以x2y2 1 k[( x 1)2y 2 ] ． (1k) x2(1k ) y22kx k 1 0 ．若 k1，则方程为 x 1 ，表示过点（1， 0）且平行于 y 轴的直线．若 k1，则方程化为 (x k )2y2(1)2．表示以 (k,0) 为圆心，以1为1k1k k1|1 k |半径的圆．（ 2）当k 2 时，方程化为(x2) 2y21，uuur uuur uuur uuur9x29 y2 6 y 1 ．因为 2AP BP(3x,3 y 1) ，所以| 2 AP BP |又 x2y24xuuur uuur6y26 ．3 ，所以| 2 AP BP | 36x因为 ( x 2) 2y 21，所以令 x2cos, y sin，则 36x6y26 6 37 cos()46[46637, 46637] ．uuur uuur46637337 ，所以 | 2AP BP |的最大值为最小值为4663737 3 ．。
新高考数学复习第四章 圆与方程单元测试(基础版)附答案解析
第三章 函数与方程单元测试卷（基础版）一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2020全国高二课时练）以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．22(2)(1)4x y ++-= B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++=D ．22(2)(1)16x y ++-=2．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ）A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=3.（2020山东泰安一中高二期中）曲线x 2+y 2+2x-2y=0关于( )A.直线x=轴对称 B .直线y=-x 轴对称 C .点(-2,)中心对称D .点(-,0)中心对称4．（2020银川一中高二期中）过点()3,1的直线l 平分了圆：2240x y y +-=的周长，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒5.直线y=kx+3被圆x 2+y 2-6y=0所截得的弦长是 ( ) A.6B.3C.2D.86．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆22(1)(1)2x y a ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a =（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-87.（贵州遵义四中2019届质检）直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定8.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离9.（四川绵阳中学2019届模拟）经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( )A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝010.(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．（2020上海高二课时练习）若直线2ax by +=与圆221x y +=有两个不同的公共点，那么点(,)b a 与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定12．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
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第四章《圆与方程》单元测试题
（时间：60分钟，满分：100分）
班别 座号 姓名 成绩 一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为
（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）
(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a 4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）
(A)
5 (B) 3 (C)
10 (D) 5
5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )
(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x
6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为
A 、1，-1
B 、2，-2
C 、1
D 、-1
7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A 、x y 3=
B 、x y 3-=
C 、x y 33=
D 、x y 3
3-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
A 、(x-3)2+(y+1)2=4
B 、(x+3)2+(y-1)2=4
C 、(x-1)2+(y-1)2=4
D 、(x+1)2+(y+1)2=4 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是
A 、
6π B 、4π C 、3π D 、2
π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）
A 、相切
B 、相交
C 、相离
D 、相切或相交
选择题答题表
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .
12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________. 14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程
为 .
15.过原点O 作圆x 2+y 2
-8x=0的弦OA 。
16.已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，
(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程； 且这个圆经过点A （6，1），求该圆的方程. (2)延长OA 到N ，使|OA|=|AN|， 求N 点的轨迹方程.
17.圆8)1(22=++y x 内有一点P(-1,2),AB 过点P,
① 若弦长72||=AB ，求直线AB 的倾斜角α；
②若圆上恰有三点到直线AB 的距离等于2
，求直线AB 的方程.
参考答案:
1. B;
2.C;
3.A;
4.B;
5.D;
6.D;
7.C;
8.C;
9.C;10.C
11.(x-2)2+(y-1)2
=10;
12.
2
2
25+; 13.x=-1或3x-4y+27=0;
14.(x+1)2+(y-1)2
=13;
15.(1)x 2+y 2-4x=0;(2)x 2+y 2
-16x=0
16.(x-3)2+(y-1)2=9或(x-101)2+(y-37)2=1012
17.(1)3
π或32π;(2)x+y-1=0或x-y+3=0.。