差分方程

其中a为已知常数，f(t)为已知函数。 f(t)≠0时称为一阶常系数 非齐次线性差分方程。
与微分方程类似，非齐次差分方程的求解是通过它对应 的齐次差分方程的解求得的。非齐次差分方程对应的常系数齐 次线性差分方程为
yt++ayt=0 t=0,1,2, … 下面先考虑齐次差分方程的求解。
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Δyt+1= yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)； Δyt+2= yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)；
……… 由此可以看出，函数的一阶差分为(函)数列形式。
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一阶差分表示函数的改变量，一阶微分(由于Δt=1，微分 就等于导数)可看作它的近似，相对于二阶导数，可定义二阶 差分。
一般地，可依次定义k阶差分：
k
k yt ( 1)i Cki ytki
i0
ytk
kytk1
(1)k
yt
2
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2、差分的性质
为讨论需要，下面介绍差分的性质，大家可把它们与导数
的相应结果作对比。
性质1 若a为常数，则Δa=0。
性质2(线性性质) 若a、b为常数，则有
Δ(ayt +bzt)=Δayt +Δbzt 性质3 Δ(yt zt)=ztΔyt +yt+1 Δzt =zt+1Δyt +yt Δzt
Ⅰ f(t)=Pm(t)=a0tm+a1tm-1+…+am 若a≠-1，则特解的形式为y*t =b0tm+b1tm-1+…+bm ； 若a=-1，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)。
例 求差分方程yt+1-2yt=t的通解。
练习 求差分方程yt+1-yt=2t的通解。 答案 yt=C+t2-t 。
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Ⅱ f(t)=Pm(t)bt=(a0tm+a1tm-1+…+am )bt，且b≠1 若a≠-b，则特解的形式为y*t =(b0tm+b1tm-1+…+bm )bt ； 若a=-b，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)bt；
例 求差分方程yt+1+yt=3t的通解。
通过逐次迭代的方法容易得到：
1. 齐次方程的解
定理 差分方程yt+1+ayt=0 t=0,1,2, …的通解为
yt=C(-a)t t=0,1,2, …
其中C为任意常数。 例如，差分方程2yt+1+yt=0的通解为
yt
C( 1)t 2
。
与微分方程的情况类似，有以下结果：
一阶常系数非齐次线性差分方程
yt+1+ayt=f(t) t=0,1,2, …
与微分方程的情况类似，差分方程的有关解的一些定义如 下:
定义 若将函数yt=f(t)代入差分方程使其成为恒等式，则称 函数yt=f(t)为此差分方程的解。对n阶差分方程，若它的解中含 有n个(独立的)任意常数，则称这样的解为n阶差分方程的通 解。
为确定具体的函数解，需要给出一些条件，这样的条件称 为定解条件。若定解条件是在某些初始时刻的函数值，则称这 样的条件为初始条件。满足定解条件的具体的解(不含任意常 数)称为差分方程的特解。
①
对应的齐次差分方程为
yt+1+ayt=0 t=0,1,2, …
②
定理 方程②的通解为yt=C(-a)t，若y*t为①的一个特解，则
①的通解为yt=C(-a)t + y*t 。
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2. 非齐次方程的解 yt+1+ayt=f(t) 下面对f(t)讨论，求非齐次方程的特解，从而求其通解。
练习
求差分方程 2 yt1
yt
3 2t
的通解。
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一、差分的概念及其性质 1、差分的概念 定义 设函数yt=f(t)的定义域为非负整数，其自变量t(通常
表示时 间)取非负整数得到数列： y0=f(0)，y1=f(1)，…，yt=f(t)，…
称yt+1-yt为函数yt的一阶差分，记为Δyt，即Δyt= yt+1-yt 。 由定义可知， Δyt= yt+1-yt=f(t+1)-f(t)；
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§7.6 差分方程初步 在经济与管理的实际问题中，经济数据大多是以等间隔 时间统计的。例如，国民收入、工农业总产值等按年统计， 产品产量、商品销售收入和利润等按月统计。由于这个原 因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关经济变量的 取值是离散变化的。描述各级经济变量之间变化规律的数学 模型是离散型的数学模型。差分方程就是一类最常见的离散 型数学模型。 这一节主要讨论差分方程的求解，重点是一阶常系数线 性差分方程的求解。我们首先介绍差分的概念。
定义 函数yt=f(t)一阶差分的差分称为其二阶差分，记为 Δ2yt= Δyt+1-Δyt =yt+2-2yt+1+yt 。
例如，对y=t2+2t，有Δyt = 2t 3 。Δ2yt = 2。 类似地，可以定义三阶差分：
Δ3yt= Δ2yt+1-Δ2yt = yt+3-3yt+2+3yt+1-yt 。
以下标定义的阶数与用Δ表示的最高阶数有时不统一，
经济学中常用到的是以下标表示的差分方程，因此，遇到用
Δ表示的差分方程时，常把它化为以下标表示的差分方程，
然后再确定其阶数。
例如 yt +5-yt +3yt +2=0是 3 阶差分方程。
Δ2yt +Δyt=0是
1阶差分方程。
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例如，可以验证，函数yt=-2t+C(C为任意常数)是差分方程 yt+1-yt=-2的通解。而满足初始条件y0=1的特解为 yt 1 2t 。
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三、一阶常系数线性差分方程 一般的的差分方程难以找到统一的方法，下面考虑一种特
殊的差分方程——一阶常系数线性差分方程。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) t=0,1,2, …
性质4 yt zt yt yt zt
zt
zt zt1
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二、差分方程的基本概念
含有未知函数的导数的方程为微分方程，类似地可定义差
分方程：
定义 含有自变量、未知函数及其差分的方程称为(常)
差分方程，出现在差分方程中的yi的下标的最大值与最小值之 差 (或用Δ表示时差分的最高阶数)称为差分方程的阶。