【新教材】新人教A版必修一 函数的图像 学案

2019—2020学年新人教A 版必修一函数的图像学案
1．描点法作图
方法步骤：(1）确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；（3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势）；（4）描点连线,画出函数的图像． 2．图像变换 (1）平移变换
（2)对称变换
①y ＝f (x )错误!y ＝－f （x )； ②y ＝f (x ）――――――→关于y 轴对称
y ＝f （－x ）； ③y ＝f (x )错误!y ＝－f （－x )；
④y ＝a x (a >0且a ≠1）错误!y ＝log a x （a >0且a ≠1）． （3)伸缩变换
①y ＝f (x ） 错误!y ＝f (ax ）． ②y ＝f (x )错误!y ＝af (x ）． （4）翻折变换
①y ＝f (x ）错误!y ＝｜f (x )|. ②y ＝f （x ）错误!y ＝f (｜x ｜)．
知识拓展
1．关于对称的三个重要结论
(1)函数y＝f（x)与y＝f（2a－x)的图像关于直线x＝a对称．
（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x）的图像关于点（a，b)中心对称．
(3）若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f（a－x），则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
2．函数图像平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）
（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f（x)｜与y＝f(｜x|)的图像相同．(×)
(2)函数y＝af(x）与y＝f（ax）(a〉0且a≠1）的图像相同．(×)
（3）函数y＝f(x）与y＝－f（x)的图像关于原点对称．（×）
（4）若函数y＝f（x)满足f(1＋x）＝f(1－x），则函数f(x）的图像关于直线x＝1对称．(√）题组二教材改编
2．函数f(x)＝x＋错误!的图像关于（）
A．y轴对称B．x轴对称
C．原点对称D．直线y＝x对称
答案C
解析函数f(x）的定义域为(－∞,0)∪（0，＋∞）且f(－x）＝－f(x），即函数f(x)为奇函数，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（)
答案C
解析小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A。

因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C。

4．如图，函数f（x）的图像为折线ACB,则不等式f(x）≥log2(x＋1）的解集是__________．
答案(－1,1]
解析在同一坐标系内作出y＝f（x）和y＝log2（x＋1)的图像(如图）．由图像知不等式的解集是（－1,1]．
题组三易错自纠
5．下列图像是函数y＝错误!的图像的是(）
答案C
6．将函数y＝f（－x）的图像向右平移1个单位长度得到函数__________的图像．
答案f（－x＋1)
解析图像向右平移1个单位长度，是将f（－x)中的x变成x－1。

7．设f（x)＝｜lg（x－1)|，若0<a〈b且f(a）＝f（b），则ab的取值范围是________．
答案（4，＋∞）
解析画出函数f（x）＝｜lg（x－1)|的图像如图所示．
由f（a）＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg（b－1），解得ab＝a＋b>2错误!(由于a<b，故取不到等号），所以ab〉4。

题型一作函数的图像
作出下列函数的图像：
（1）y＝错误!｜x|；
(2)y＝｜log2（x＋1)|；
（3）y＝x2－2｜x｜－1.
解（1)作出y＝错误!x的图像,保留y＝错误!x的图像中x≥0的部分，再作出y＝错误!x的图像中x〉0部分关于y轴的对称部分，即得y＝错误!｜x｜的图像,如图①实线部分．
(2）将函数y＝log2x的图像向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y＝｜log2(x＋1)｜的图像,如图②实线部分．
(3）∵y＝错误!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞）上的图像，再根据对称性作出（－∞，0）上的图像，如图③实线部分．
思维升华图像变换法作函数的图像
(1）熟练掌握几种基本函数的图像,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋错误!的函数．
(2)若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．
题型二函数图像的辨识
典例(1）（2018届东莞外国语学校月考）已知函数f（x)对任意的x∈R有f(x）＋f(－x）＝0，且当x>0时，f（x）＝ln(x＋1），则函数f（x)的大致图像为（）
答案A
解析f（x)为奇函数,图像关于原点对称，将y＝ln x（x〉1)的图像向左平移1个单位得到y ＝ln（x＋1)(x>0）的图像．
（2)已知定义在区间［0，2］上的函数y＝f（x)的图像如图所示，则y＝－f（2－x）的图像为（）
答案B
解析方法一由y＝f（x)的图像知，
f(x)＝错误!
当x∈［0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f（2－x)＝错误!
故y＝－f（2－x）＝错误!图像应为B。

方法二当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2）＝－1；当x＝1时，－f（2－x)＝－f(1）＝－1。

观察各选项，可知应选B。

思维升华函数图像的辨识可从以下方面入手
(1）从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置;（2）从函数的单调性,判断图像的变化趋势;
（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
（4)从函数的周期性,判断图像的循环往复；
(5）从函数的特征点，排除不合要求的图像．
跟踪训练（1）(2018届全国名校联考）函数y＝错误!(a>1)的图像的大致形状是()
答案C
解析y＝错误!（a>1)，对照图像选C.
（2)（2017·安徽“江南十校"联考)函数y＝log2（｜x｜＋1）的图像大致是（)
答案B
解析y＝log2(|x|＋1）是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图像是由y＝log2x 的图像向左平移1个单位得到,且过点（0，0），(1,1)，只有选项B满足．
题型三函数图像的应用
命题点1研究函数的性质
典例（1）设函数y＝错误!，关于该函数图像的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；
②任意两点的连线都不平行于y轴；
③关于直线y＝x对称;
④关于原点中心对称．
其中正确的是________．
答案②③
解析y＝错误!＝错误!＝2＋错误!，图像如图所示，可知②③正确．
（2）(2017·沈阳一模)已知函数f(x）＝|log3x|,实数m，n满足0<m<n，且f（m）＝f(n），若f(x）在［m2，n]上的最大值为2，则错误!＝________.
答案9
解析作出函数f（x)＝|log3x|的图像,观察可知0<m<1<n且mn＝1.
若f(x)在[m2,n］上的最大值为2，
从图像分析应有f（m2)＝2，∴log3m2＝－2,∴m2＝错误!.
从而m＝错误!,n＝3，故错误!＝9。

命题点2解不等式
典例函数f（x）是定义在[－4,4]上的偶函数，其在［0,4］上的图像如图所示，那么不等式错误!〈0的解集为________________．
答案错误!∪错误!
解析当x∈错误!时,y＝cos x〉0.
当x∈错误!时，y＝cos x<0.
结合y＝f（x），x∈[0，4］上的图像知，
当1〈x<错误!时,错误!〈0.又函数y＝错误!为偶函数，
所以在［－4,0］上，f(x)
cos x<0的解集为错误!，
所以错误!<0的解集为错误!∪错误!.
命题点3求参数的取值范围
典例(1）已知函数f（x)＝错误!若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．
答案(0，1］
解析作出函数y＝f（x）与y＝k的图像,如图所示,
由图可知k∈（0，1]．
（2）设函数f(x）＝｜x＋a｜，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案[－1，＋∞）
解析如图作出函数f(x）＝｜x＋a｜与g（x)＝x－1的图像，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x)恒成立，因此a的取值范围是［－1,＋∞）．
思维升华(1）注意函数图像特征与性质的对应关系．
（2)方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题．
跟踪训练（1）已知函数f(x)＝|x－2｜＋1，g(x）＝kx。

若方程f（x）＝g(x）有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是__________．
答案错误!
解析先作出函数f(x）＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为1
，故f（x)＝g（x)有两个不相等的实根时，
2
k的取值范围为错误!。

(2）已知函数y＝f（x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f（x)>f（－x)－2x的解集是__________．
答案（－1，0)∪(1,错误!]
解析由图像可知,函数f（x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x）〉－x.
在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图像,由图像可知不等式的解集为(－1，0)∪（1，错误!］．
高考中的函数图像及应用问题
考点分析高考中考查函数图像问题主要有函数图像的识别,函数图像的变换及函数图像的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图像和解析式问题
典例1 (1）（2017·太原二模)函数f(x)＝错误!的图像大致为(）
(2)已知函数f（x）的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是（）
A．f(x）＝错误!B．f（x)＝错误!
C．f（x）＝1
x2－1 D．f（x)＝x－错误!
解析(1)函数f(x）＝错误!的定义域为(－∞，1)∪（1，＋∞)，且图像关于x＝1对称，排
除B,C。

取特殊值，当x＝1
2
时，f（x)＝2ln 错误!〈0,故选D。

（2）由函数图像可知,函数f(x）为奇函数，应排除B,C。

若函数为f(x)＝x－错误!，则x→＋∞时,f(x）→＋∞，排除D,故选A。

答案（1)D（2）A
二、函数图像的变换问题
典例2 若函数y＝f(x）的图像如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图像大致为(）
解析由y＝f（x）的图像得到y＝－f(x＋1）的图像，需要先将y＝f（x)的图像关于x轴对称得到y＝－f（x）的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f（x＋1）的图像，根据上述步骤可知C正确．
答案C
三、函数图像的应用
典例3 (1)若函数f(x)＝错误!的图像如图所示，则m的取值范围为()
A．（－∞，－1) B．(－1,2）
C．(0,2）D．（1，2)
（2）已知函数f(x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c),则a＋b＋c的取值范围是（)
A．（1,2 018）B．[1，2 018]
C．（2,2 019）D．[2，2 019］
解析(1)根据图像可知，函数图像过原点,
即f(0）＝0,∴m≠0。

当x>0时，f(x)〉0，∴2－m〉0，即m<2,
函数f（x)在[－1,1]上是增加的，
∴f′（x)>0在[－1,1］上恒成立，
f′(x)＝错误!
＝错误!>0，
∵m－2〈0，∴只需要x2－m<0在[－1，1］上恒成立，∴(x2－m）max<0，∴m>1，
综上所述，1<m〈2,故选D.
(2)函数f（x）＝错误!的图像如图所示，不妨令a<b<c,
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 018，
所以2〈a＋b＋c〈2 019，故选C.
答案（1)D（2)C
1．(2018届珠海二中月考）函数y＝2x－x2的图像大致是()
答案A
解析易知x→＋∞时，y→＋∞，排除C；x→－∞时,y→－∞,排除D；又当x＝2和x＝4时，y＝0,故选A。

2．已知函数f(x)＝错误!则y＝f(1－x)的图像是（）
答案C
解析 方法一 画出y ＝f （x ）的图像,再作其关于y 轴对称的图像，得到y ＝f （－x ）的图像，再将所得图像向右平移1个单位,得到y ＝f (－（x －1))＝f （－x ＋1)的图像．
方法二∵y ＝f （1－x ）过点（0，3）,可排除A ；过点（1，1),可排除B ；又x ＝－错误!时，f (1－x ）＝f 错误!<0，可排除D 。

故选C.
3．(2018届全国名校联考）函数f (x ）＝e 2x ＋1
e x （e 是自然对数的底数）的图像（）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称 答案B
解析 ∵f (x )＝e x ＋e －x ,∴f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称．
4．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x ）＝x 2－4x ＋5，则方程f (x ）＝g （x )的根的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案C
解析 在平面直角坐标系内作出f (x ）,g (x ）的图像如图所示，由已知g (x )＝（x －2）2＋1，得其顶点为(2，1）,又f （2)＝2ln 2∈(1，2），可知点（2，1）位于函数f （x )＝2ln x 图像的下方，故函数f (x ）＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像有2个交点．
5．函数f（x）的图像向右平移1个单位，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称,则f（x）的解析式为（）
A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1
C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1
答案D
解析与y＝e x的图像关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f（x）的图像向右平移一个单位，得y＝e－x的图像．∴f(x）的图像由y＝e－x的图像向左平移一个单位得到．∴f（x)＝e－(x＋1)＝e－x－1。

6．对于函数f(x)＝lg(｜x－2｜＋1），给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f（x）在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数;③f（x)没有最小值．其中正确的个数为（)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案B
解析作出f（x)的图像，可知f（x）在(－∞，2)上是减函数,在(2，＋∞)上是增函数；由图像可知函数存在最小值0.所以①②正确．
7．函数f（x）＝｜x|－cos x在（－∞，＋∞）内有____个零点．
答案2
解析在同一坐标系内画出两个函数y1＝｜x|和y2＝cos x的图像如图所示．这两个函数的图像有且只有2个交点，即函数f（x)有2个零点．
8．设函数y＝f(x＋1）是定义在（－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数,在区间（－∞,0）上是减函数，且图像过点（1,0），则不等式(x－1)f（x)≤0的解集为______________．
答案｛x|x≤0或1<x≤2｝
解析画出f(x)的大致图像如图所示．
不等式(x－1)f(x）≤0可化为错误!或错误!
由图可知符合条件的解集为{x｜x≤0或1〈x≤2}．
9．(2017·银川调研)给定min｛a，b｝＝错误!已知函数f(x）＝min{x,x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，则实数m的取值范围为__________．
答案(4,5）
解析作出函数f（x)的图像，函数f(x）＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图像如图所示，由于直
线y＝m与函数y＝f(x）的图像有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
10．已知定义在R上的函数f(x)＝错误!关于x的方程f（x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案0
解析方程f(x）＝c有三个不同的实数根等价于y＝f（x)与y＝c的图像有三个交点，画出函数f（x)的图像(图略），易知c＝1，且方程f（x)＝c的一根为0，令lg|x｜＝1，解得x＝－10或10，故方程f（x)＝c的另两根为－10和10,所以x1＋x2＋x3＝0。

11．函数y＝ln｜x－1|的图像与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于________．
答案6
解析作出函数y＝ln｜x－1｜的图像，又y＝－2cos πx的最小正周期为T＝2,如图所示，
两图像都关于直线x＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.
12．已知f(x）＝|x2－4x＋3｜。

(1)作出函数f(x)的图像；
（2）求函数f(x）的单调区间，并指出其单调性；
（3）求集合M＝｛m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根｝．
解（1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3,
∴f(x)＝｛x2－4x＋3x≤1或x≥3，－x2＋4x－31〈x<3
∴f（x）的图像为：
(2）由函数的图像可知f(x）的单调区间是(－∞，1],（2，3),（1，2］，［3，＋∞），其中(－∞，1]，（2，3)是递减区间；(1，2]，［3,＋∞)是递增区间．
（3）由f（x)的图像知，当0〈m〈1时，f（x）＝m有四个不相等的实根，所以M＝｛m|0〈m〈1}．
13．已知函数f（x)＝错误!则对任意x1,x2∈R，若0<｜x1|〈|x2|，下列不等式成立的是（) A．f(x1）＋f(x2)〈0 B．f(x1）＋f（x2)>0
C．f(x1）－f（x2)〉0 D．f(x1）－f(x2）<0
答案D
解析函数f(x）的图像如图实线部分所示,
且f(－x)＝f(x)，从而函数f（x)是偶函数且在［0，＋∞）上是增函数，
又0<|x1|<｜x2｜，
∴f(x2)>f（x1)，
即f(x1）－f(x2）〈0.
14．已知f（x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x)＝x,且在［－1,3]内，关于x的方程f(x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是_________________．
答案错误!
解析由题意作出f(x)在[－1,3］上的示意图如图所示，记y＝k（x＋1)＋1，∴函数y＝k（x ＋1）＋1的图像过定点A（－1，1）．
记B（2，0)，由图像知,方程有四个根，
即函数f（x）与y＝kx＋k＋1的图像有四个交点,
故k AB〈k〈0，k AB＝错误!＝－错误!,∴－错误!<k〈0。

15．（2017·黄山二模)已知函数f(x）＝错误!与g(x)＝｜x＋a｜＋1的图像上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是(）
A．R B．（－∞,－e］
C．［e，＋∞) D．∅
答案C
解析 设函数h （x )与函数f (x ）的图像关于y 轴对称，
则h （x )＝f （－x ）＝错误!
作出h （x )与g (x )的函数图像如图所示．
∵f (x ）与g （x ）的图像上存在关于y 轴对称的点,
∴函数h （x ）与函数g （x ）的图像有交点,
∴－a ≤－e,即a ≥e.故选C.
16．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋错误!＋2的图像关于点A (0，1)对称．
（1)求f (x )的解析式；
（2)若g （x ）＝f (x )＋错误!，且g （x ）在区间（0,2］上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 （1)设f (x ）图像上任一点P (x ，y ），则点P 关于(0,1)点的对称点P ′（－x,2－y )在函数h (x ）的图像上，
即2－y ＝－x －错误!＋2，
∴y ＝f (x )＝x ＋1x
（x ≠0)． （2）g (x )＝f (x )＋错误!＝x ＋错误!，g ′（x )＝1－错误!.
∵g (x )在(0,2］上为减函数，
∴1－错误!≤0在（0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立,∴a ＋1≥4，即a ≥3, 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．。