【新教材】新人教A版必修一 函数的图像 学案

2019—2020学年新人教A 版必修一函数的图像学案1．描点法作图方法步骤：(1）确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；（3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势）；（4）描点连线,画出函数的图像． 2．图像变换 (1）平移变换（2)对称变换①y ＝f (x )错误!y ＝－f （x )； ②y ＝f (x ）――――――→关于y 轴对称y ＝f （－x ）； ③y ＝f (x )错误!y ＝－f （－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1）错误!y ＝log a x （a >0且a ≠1）． （3)伸缩变换①y ＝f (x ） 错误!y ＝f (ax ）． ②y ＝f (x )错误!y ＝af (x ）． （4）翻折变换①y ＝f (x ）错误!y ＝｜f (x )|. ②y ＝f （x ）错误!y ＝f (｜x ｜)．知识拓展1．关于对称的三个重要结论(1)函数y＝f（x)与y＝f（2a－x)的图像关于直线x＝a对称．（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x）的图像关于点（a，b)中心对称．(3）若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f（a－x），则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．2．函数图像平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f（x)｜与y＝f(｜x|)的图像相同．(×)(2)函数y＝af(x）与y＝f（ax）(a〉0且a≠1）的图像相同．(×)（3）函数y＝f(x）与y＝－f（x)的图像关于原点对称．（×）（4）若函数y＝f（x)满足f(1＋x）＝f(1－x），则函数f(x）的图像关于直线x＝1对称．(√）题组二教材改编2．函数f(x)＝x＋错误!的图像关于（）A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案C解析函数f(x）的定义域为(－∞,0)∪（0，＋∞）且f(－x）＝－f(x），即函数f(x)为奇函数，故选C.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（)答案C解析小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A。

因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C。

4．如图，函数f（x）的图像为折线ACB,则不等式f(x）≥log2(x＋1）的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f（x）和y＝log2（x＋1)的图像(如图）．由图像知不等式的解集是（－1,1]．题组三易错自纠5．下列图像是函数y＝错误!的图像的是(）答案C6．将函数y＝f（－x）的图像向右平移1个单位长度得到函数__________的图像．答案f（－x＋1)解析图像向右平移1个单位长度，是将f（－x)中的x变成x－1。

7．设f（x)＝｜lg（x－1)|，若0<a〈b且f(a）＝f（b），则ab的取值范围是________．答案（4，＋∞）解析画出函数f（x）＝｜lg（x－1)|的图像如图所示．由f（a）＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg（b－1），解得ab＝a＋b>2错误!(由于a<b，故取不到等号），所以ab〉4。

题型一作函数的图像作出下列函数的图像：（1）y＝错误!｜x|；(2)y＝｜log2（x＋1)|；（3）y＝x2－2｜x｜－1.解（1)作出y＝错误!x的图像,保留y＝错误!x的图像中x≥0的部分，再作出y＝错误!x的图像中x〉0部分关于y轴的对称部分，即得y＝错误!｜x｜的图像,如图①实线部分．(2）将函数y＝log2x的图像向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y＝｜log2(x＋1)｜的图像,如图②实线部分．(3）∵y＝错误!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞）上的图像，再根据对称性作出（－∞，0）上的图像，如图③实线部分．思维升华图像变换法作函数的图像(1）熟练掌握几种基本函数的图像,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋错误!的函数．(2)若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图像的辨识典例(1）（2018届东莞外国语学校月考）已知函数f（x)对任意的x∈R有f(x）＋f(－x）＝0，且当x>0时，f（x）＝ln(x＋1），则函数f（x)的大致图像为（）答案A解析f（x)为奇函数,图像关于原点对称，将y＝ln x（x〉1)的图像向左平移1个单位得到y ＝ln（x＋1)(x>0）的图像．（2)已知定义在区间［0，2］上的函数y＝f（x)的图像如图所示，则y＝－f（2－x）的图像为（）答案B解析方法一由y＝f（x)的图像知，f(x)＝错误!当x∈［0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f（2－x)＝错误!故y＝－f（2－x）＝错误!图像应为B。

方法二当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2）＝－1；当x＝1时，－f（2－x)＝－f(1）＝－1。

观察各选项，可知应选B。

思维升华函数图像的辨识可从以下方面入手(1）从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置;（2）从函数的单调性,判断图像的变化趋势;（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性；（4)从函数的周期性,判断图像的循环往复；(5）从函数的特征点，排除不合要求的图像．跟踪训练（1）(2018届全国名校联考）函数y＝错误!(a>1)的图像的大致形状是()答案C解析y＝错误!（a>1)，对照图像选C.（2)（2017·安徽“江南十校"联考)函数y＝log2（｜x｜＋1）的图像大致是（)答案B解析y＝log2(|x|＋1）是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图像是由y＝log2x 的图像向左平移1个单位得到,且过点（0，0），(1,1)，只有选项B满足．题型三函数图像的应用命题点1研究函数的性质典例（1）设函数y＝错误!，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称;④关于原点中心对称．其中正确的是________．答案②③解析y＝错误!＝错误!＝2＋错误!，图像如图所示，可知②③正确．（2）(2017·沈阳一模)已知函数f(x）＝|log3x|,实数m，n满足0<m<n，且f（m）＝f(n），若f(x）在［m2，n]上的最大值为2，则错误!＝________.答案9解析作出函数f（x)＝|log3x|的图像,观察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2,n］上的最大值为2，从图像分析应有f（m2)＝2，∴log3m2＝－2,∴m2＝错误!.从而m＝错误!,n＝3，故错误!＝9。

命题点2解不等式典例函数f（x）是定义在[－4,4]上的偶函数，其在［0,4］上的图像如图所示，那么不等式错误!〈0的解集为________________．答案错误!∪错误!解析当x∈错误!时,y＝cos x〉0.当x∈错误!时，y＝cos x<0.结合y＝f（x），x∈[0，4］上的图像知，当1〈x<错误!时,错误!〈0.又函数y＝错误!为偶函数，所以在［－4,0］上，f(x)cos x<0的解集为错误!，所以错误!<0的解集为错误!∪错误!.命题点3求参数的取值范围典例(1）已知函数f（x)＝错误!若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案(0，1］解析作出函数y＝f（x）与y＝k的图像,如图所示,由图可知k∈（0，1]．（2）设函数f(x）＝｜x＋a｜，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案[－1，＋∞）解析如图作出函数f(x）＝｜x＋a｜与g（x)＝x－1的图像，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x)恒成立，因此a的取值范围是［－1,＋∞）．思维升华(1）注意函数图像特征与性质的对应关系．（2)方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题．跟踪训练（1）已知函数f(x)＝|x－2｜＋1，g(x）＝kx。

若方程f（x）＝g(x）有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是__________．答案错误!解析先作出函数f(x）＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为1，故f（x)＝g（x)有两个不相等的实根时，2k的取值范围为错误!。

(2）已知函数y＝f（x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f（x)>f（－x)－2x的解集是__________．答案（－1，0)∪(1,错误!]解析由图像可知,函数f（x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x）〉－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图像,由图像可知不等式的解集为(－1，0)∪（1，错误!］．高考中的函数图像及应用问题考点分析高考中考查函数图像问题主要有函数图像的识别,函数图像的变换及函数图像的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图像和解析式问题典例1 (1）（2017·太原二模)函数f(x)＝错误!的图像大致为(）(2)已知函数f（x）的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是（）A．f(x）＝错误!B．f（x)＝错误!C．f（x）＝1x2－1 D．f（x)＝x－错误!解析(1)函数f(x）＝错误!的定义域为(－∞，1)∪（1，＋∞)，且图像关于x＝1对称，排除B,C。

取特殊值，当x＝12时，f（x)＝2ln 错误!〈0,故选D。

（2）由函数图像可知,函数f(x）为奇函数，应排除B,C。

若函数为f(x)＝x－错误!，则x→＋∞时,f(x）→＋∞，排除D,故选A。

答案（1)D（2）A二、函数图像的变换问题典例2 若函数y＝f(x）的图像如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图像大致为(）解析由y＝f（x）的图像得到y＝－f(x＋1）的图像，需要先将y＝f（x)的图像关于x轴对称得到y＝－f（x）的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f（x＋1）的图像，根据上述步骤可知C正确．答案C三、函数图像的应用典例3 (1)若函数f(x)＝错误!的图像如图所示，则m的取值范围为()A．（－∞，－1) B．(－1,2）C．(0,2）D．（1，2)（2）已知函数f(x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c),则a＋b＋c的取值范围是（)A．（1,2 018）B．[1，2 018]C．（2,2 019）D．[2，2 019］解析(1)根据图像可知，函数图像过原点,即f(0）＝0,∴m≠0。