云南师大附中2019届高考适应性月考卷理科数学试题试卷
云南省师范大学附属中学2019届高三适应性月考卷数学理试题Word版含解析
云南省师范大学附属中学2019届高三适应性月考卷数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．函数f(x)＝ln （2x 一1)的定义域为A. ( 0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（一1，1）D.（一∞，一1）U （1，＋∞）2.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（一1，2），则C 的离心率为ABCD3、已知等差数列｛n a ｝中，1n n a a +<，且37469,10a a a a =+== 9，则此等差数列的公差d ＝A 、－4B 、－3C 、－2D 、13-4、已知,*x y N ∈且满足约束条件1225x y x y x -<⎧⎪->⎨⎪<⎩，则x y +的最小值为A 、6B 、5C 、4D 、35、一个棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是 A 、1 BCD6、已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2AE EC =，3BF FD =，则A 、151212EF AB AD =- B 、511212EF AB AD =-+ C 、511212EF AB AD =- D 、151212EF AB AD =-+7、已知,*,()2x a b N f x e x ∈=-，则“()()f a f b >”是“a b >”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件8、已知函数()cos(2)(||)f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()sin(2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为A 、－23π B 、－3πC 、3π D 、23π9、执行如图2所示的程序框图，若输入a ＝1，则输出的k ＝ A 、8 B 、9 C 、10 D 、1110、已知三棱锥O －ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O －ABC 的体积为A 、2B 、3C 、23 D 、1311、已知圆C ：222430x y x y +--+=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为A B C 、 D 、12、已知函数ln |1|,1(),()(2)(2)0,1x x f x g x a x a x a x -≠⎧==+-+⎨=⎩，若f （x ）与g （x ）同时满足条件：①,()0()0x R f x g x ∀∈>>或；②000(,1],()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则实数a 的取值范围是 A 、（－∞，－1）（12，2） B 、（－∞，－1）（0，23）（23，2） C 、（－∞，0）（12，2） D 、（－∞，0）（0，23）（23，2）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（20分）13、已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝14、若函数23()21x x a f x +=-是奇函数，则a ＝15、已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜||2,||3,,x y x y Z ≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜1122(,),(,)x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为 16．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x ，y 都有())()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，f （x ）＜2，若数列{}n a 满足a 1=f （0），且1()4((1))n n n f a f a n +=----（*n N ∈），则a 2015＝＿＿＿＿＿·三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(一)数学答案
理科数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B D D C D D B C C B 【解析】1．由题意得{10}A =- ，Z ，故选A ． 2．由题意得i(43i)i 33i z =+-=-+，故选A ．3．由题意得(2264)OP m m =-+-，，又点P 在y 轴上，则1m =，故选B ．4．由~(31)X N ，，可知该正态分布密度曲线的对称轴为3X =，所以(4)(2)P X P X <=>，故选D ．5．设甜果、苦果的个数分别是x 和y ，则100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得657x =，故选D ． 6．由题意，该几何体是一个以底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得，四棱锥的体积为643，半圆锥的体积为8π3，所以该几何体的体积为648π3-，故选C ． 7．由题意得1154528210910362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，，消去1a ，可得45d =-，故选D ． 8．由程序框图知，第一次循环：123m =+=，341n =-=-，1S =-，1i =；第二次循环：312m =-=，224n =+=，3S =，2i =；第三次循环：246m =+=，682n =-=-，1S =，3i =；第四次循环：624m =-=，448n =+=，9S =，4i =，故选D ．9．由于(2)(2)f x f x +=-，所以2x =是()f x 图象的对称轴；又e e2x x y -+=是偶函数，其图象关于y 轴对称，将e e 2x xy -+=的图象向右平移2个单位，可得()f x 的图象，则2a =-；所以22e e ()2x x f x --++=，则有2242e e e 12(20)e f -++==，故选B ．理科数学参考答案·第2页（共9页）10．由题意得π()sin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度得到函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将函数2sin 2y x =向上平移1个单位长度得到函数()y g x =的图象，即()2sin 21g x x =+，所以当ππ()4x k k =+∈Z 时，max ()3g x =，故选C ．11．如图1所示，设C 的准线为l '：12x =-，AB 的中点为N ，过点A作1AA l ⊥'于点1A ，过点B 作1BB l ⊥'于点1B ，则N l d '-= 11||||||||||222AA BB AF BF AB ++==，所以以N 为圆心，||AB 为直径的圆与l '相切．又点M 在l '上且90AMB ∠=︒，所以点M 在圆N 上且//MN x 轴．由于2222A B A B l A B A B y y y y k y y x x --==--22A By y ==+，所以1A B y y +=，N y = 122A B y y +=，则1122M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以||2FM ==，故选C ． 12．如图2所示，在三棱锥A BCD -中，1AB CD ==，AC BC AD BD ===2=，取CD 的中点为E ，连接AE ，BE ，则有AE CD ⊥，BE CD ⊥；又AE BE E = ，所以CD ⊥平面ABE ；过点A 作AH BE ⊥于点H ，又AH CD ⊥，CD BE E = ，所以AH ⊥平面BCD ，即AH 为三棱锥的高.因为在等腰BCD △中，BE ==，同理得AE =等腰ABE △中，AH ==，所以1133A BCD BCD V AH S -==⨯ △112=，故①正确； 设三棱锥A BCD -的内切球半径为r ，三棱锥A BCD -的表面积为S ，由题，知4BCD S S ==△；又由于13A BCD V r S -=，所以3A BCD V r S -==，故②正确；图1图2理科数学参考答案·第3页（共9页）设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，将三棱锥A BCD -补形为如图3所示的长方体1111A CB D AC BD -,由对称性可知球O 为三棱锥A BCD -的外接球，则球O 也是长方体1111A CB D AC BD -的外接球.由此得222242AB AC AD R ++==92，29=4ππ2O S R =球，故③错误，故选B . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如图4所示阴影部分为满足约束条件的可行域，当直线l：3122y x z =-过点(22)，时，12z -最小，z 取得最 大值2．14．由双曲线的定义可知a =ce a==3c =， 则2226b c a =-=，所以双曲线C 的方程为22136x y -=． 15．由题意，1121221222n n n n n n a a a a a a -----⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩，，，累加得112(12)2212n n n a a ---==--，由25a =，得13a =,于是*21()n n a n =+∈N .16．当1a =时，1y x =+是ln 2y x =+在点(12)，处的切线，1y x =+也是232y x x =++在点(10)-，处的切线，如图5所示．设过点(10)-，与点(02)，的直线为l '：2(1)y x =+．数形结合可知，[12]a ∈，时，函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y a x =+有两个交点．图4图5图3理科数学参考答案·第4页（共9页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由题，得3sin 2sin()sin()A A B A B +-=+，可化得3sin cos sin cos A A B A =， ∵π2A ≠，∴cos 0A ≠，∴3sin sin A B =， 由正弦定理，得13a b =． …………………………………………………（6分）（2）由7c =，π3C =，及余弦定理得2249a b ab +-=， 又由（1）知3a b =，代入2249a b ab +-=中，解得a =，则b =∴1sin 24ABC S ab C ==△． ………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中有一等品：(0.040.030.01)510040++⨯⨯=（件）， 二等品：1004060-=（件）， 所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件． 记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则36310C 5()1C 6P A =-=． ……………………………………………………………（4分）（2）由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中，一等品的频率为(0.040.060.040.02)50.8+++⨯=， 二等品的频率为0.2．将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，理科数学参考答案·第5页（共9页）所以3003141(0)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21131412(1)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12231448(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03331464(3)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为：所以412()355E X =⨯=． ………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：如图6，连接PO .在菱形ABCD 中，O 是AC 的中点，且AC BD ⊥， ∵PA PC AC ==， ∴在PAC △中，PO AC ⊥.又∵PO BD O = ，PO ，BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD. 又∵AC ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面PBD .…………………………………（4分）（2）解：∵在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，2AB=，则2AC =， 又AC BD ⊥，∴BD ==.∵在等边PAC △中，PO AC ⊥， ∴2PO AC ==∵O 是BD 的中点，PD =， ∴在POD △中，222PD PO OD =+， ∴PO BD ⊥.又∵AC BD O = ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD .…………………………………（6分）图6理科数学参考答案·第6页（共9页）以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题知，(010)A -，，，00)B ，，(010)C ，，，(00)D ，，(00P ，. …………………………………（8分）∵E 为线段PA的中点，∴102E ⎛- ⎝⎭，，∴122DE =-⎭，，(00)BD =-，，(10)CD =- ，. 设111()n x y z = ，，是平面BDE 的一个法向量，则00DE n BD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即111110220y z -+=⎪-=⎩，，∴(01)n =. 设222()m x y z =，，是平面CDE 的一个法向量，则00DE m CD m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即222221020y z y -+=⎪-=⎩，，∴(13)m =-． …………………………………（10分）∴cos ||||n m nm n m =，<>=∴二面角B DE C --的余弦值为13. ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）方法一：设椭圆C 的右焦点为2F ，由题意知1||PF ==，2||PF ==由椭圆的定义，得12||||2PF PF a +==，所以a =，又设椭圆C 的半焦距为c ，由题知3c =，所以2221293b a c =-=-=，所以C 的方程为221123x y +=. ……………………………………………………（4分） 方法二：设椭圆C 的半焦距为c ，由题知3c =，由题意得222222921a b ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，解方程组得22123a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 所以C 的方程为221123x y +=． ……………………………………………………（4分）理科数学参考答案·第7页（共9页）（2）方法一：由点P 关于x 轴的对称点为点Q ，则PQ x ⊥轴． 如图7所示，由MPQ NPQ ∠=∠，得0AP BP k k +=． 设直线PA的方程为1(2)y k x =-1(0)k ≠， 则直线PB的方程为1(2)y k x =--． 设11()A x y ，，22()B x y ，．由122(2)1123y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得222211111(14)16)1640k x k x k ++-+--=，且2222211111116)4(14)(164)1)0k k k ∆=--+--=+>，即14k ≠． 由于直线PA 与C 交于P ，A 两点，所以2111218214k x k --=+，211111214(2)14k y k x k --=-+=+；同理可得2112218214k x k +-=+，211221414k y k -++=+，所以21214y y k x x -===-. 综上，得直线l 的斜率k为4． …………………………………………………（12分） 方法二：设直线l 的方程为y kx t =+，11()A x y ，，22()B x y ，． 由直线l 不经过P点，所以2t k ≠-+． 由221123y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(14)84120k x ktx t +++-=， 则222222644(14)(412)16(123)0k t k t k t ∆=-+-=-+>， 122814kt x x k +=-+，212241214t x x k -=+ ．又点P 关于x 轴的对称点为点Q ，则PQ x ⊥轴． 如图7所示，由MPQ NPQ ∠=∠，得0AP BP k k +=，所以121222AP BP y y k k x x --+=+--121222kx t kx t x x ++-=+--121212122(2)4(02()4kx x k t x x t x x x x +-++-==-++，图7理科数学参考答案·第8页（共9页）即222(412)8(24(14)(0k t kt k t k t ---+-+=，则260k t -+-+=，所以1)(20t k -+=，得4k =． 综上，得直线l 的斜率k． …………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）解：函数()f x 的定义域为(0)+∞，，1()f x x '==当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0)+∞，上单调递增，()f x 无极值；……………………………………………………………………（2分）当0a >时，由()0f x '=，得24x a =， 当240x a <<时，()0f x '>，得()f x 的单调递增区间是240a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当24x a >时，()0f x '<，得()f x 的单调递减区间是24a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， 故()f x 的极大值为2244ln 2f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极小值．……………………………………………………………………（6分）（2）证明：当4a =时，()ln f x x =-，1()0)f x x x '=->．依题意，1211x x =-，则1211x x -=，2=12120)x x x x +=>≠，，．①>，所以<，则有121x x >． …………………………………（8分）而121212()()8ln ln 8ln 8f x f x x x x x ++=-+-=-++，将①代入上式得1212()()8ln 8f x f x x x ++=-+．令12(1)x x t t =>，则()ln 8g t t =-+，11()g t t t -'==． ∵1t >，∴10-<，即()0g t '<，∴()g t 在(1)+∞，上单调递减， 于是()(1)0880g t g <=-+=，即12()()80f x f x ++<，得证．……………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第9页（共9页）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为2y x =．…………………………………………………（5分） （2）射线l ：θα=的倾斜角ππ43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，由4sin ρθθα=⎧⎨=⎩，，得||4sin OA α=， 由2sin cos ρθθθα⎧=⎨=⎩，，得2cos ||sin OB αα=， 所以2cos 4||||4sin sin tan OA OB αααα==． 由ππ43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以tan [1α∈， 故||||OA OB 的取值范围是43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． …………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由21x y +=，得12y x =-，所以不等式|21|2||3y x --<，即为|41|2||3x x --<，所以有01423x x x <⎧⎨-+<⎩，或1041423x x x ⎧⎪⎨⎪--<⎩，≤≤或144123x x x ⎧>⎪⎨⎪--<⎩，， 解得10x -<<或104x ≤≤或124x <<， 所以x 的取值范围为(12)x ∈-，． …………………………………………………………………………………（5分）（2）证明：∵0x >，0y >，21x y +=， 所以12124(2)4448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当4y x x y=，即122x y ==时取等号．又2122x y +-=-，当且仅当122x y ==时取等号，所以12152x y+，当且仅当122x y ==时取等号． ……………………（10分）（以上各题的解法仅供参考，若有其它解法，酌情给分．）。
云南省师范大学附属中学2019届高三第五次月考数学(理)答案
图2
4．图甲中菱形的面积为 sin( ) ，图乙中各矩形面积之和为 sin cos sin cos (sin sin )(cos cos ) ， 所以 sin( ) sin cos sin cos (sin sin )(cos cos ) sin cos cos sin ，故选 A． 5．由表可知，向矩形区域内随机抛掷 15 个点，其中有 7 个点在阴影部分的区域内，根据“随
2kπ(k Z) ，得
π 3kπ ≤ x ≤ π 3kπ(k Z) ，故选 B． 2
9．依题意， AM ，BN 是 △ABC 的两条中线，设它们相交于点 O ， 如图 3，则点 O 为 △ABC 的重心，因为 | AM | 2， | BN | 3 ，所
于是 O 在底面 BCD 面体 ABCD 的外接球的球心 O 在平面 MCA 上， 上的射影是正 △BCD 的中心，设为 Q ，而 O 在侧面 ABD 上的射影 是 M ， 易 得 MQ
3 1 ， 又 OMQ 30 ， 因 此 OQ ， 进 而 3 3
2 2
图4
2
2 13 52 π 13 1 2 3 R OC OQ QC ， 所以球 O 的表面积为 4 π 3 9 ， 3 3 3 2
2 | OB | 2 ， 在 △OBM 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 以 | OM | ， 3
4 2 40 4 3 ， 于是 AB AC 2 AM ，AB AC CB 2 MB ， | BM |2 4 2 2 cos 30 9 3 9 3 2 两 式 平 方 相 减 ， 得 4 AB AC | 2 AM | | 2 MB |2 ， 即 AB AC | AM |2 | MB |2 ， 所 以
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(三)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{(21)(31)(41)(32)(42)(43)}card()6P P ==，，，，，，，，，，，，，P 的非空子集的个数为621- 63=，故选C ．2．(i 1)(1i)(2i 1)(1i)13i z +-=--=+，1313i i 2222z z =+=-，，故选B ． 3．172635489229a a a a a a a a a +=+=+==+=，，∴916S =，故选B ． 4．由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=，故选C ．5．213(sin cos )12sin cos 2sin cos 044A A A A A A A +=+==-<，，为钝角，2(sin cos )1A A -=-72sin cos sin cos 4A A A A =-=，，∴cos A =，故选A ．6．由题意可知22i x ==，；324i x ==+，；4246i x ==++，；；5524108i x ==+++，，最后输出的2461085554x ++++==，故选B ．7．2222|32|9||12||||cos604||132||3||20m n m m n n n n -=-︒+=--=，，解得||2n =，故选D ． 8．他只能再试两次，第一次试成功的概率是14，第二次试成功的概率是311434=，两次是互斥事件，∴111442P =+=，故选C ． 9．由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取时球的半径为2，而2>理科数学参考答案·第2页（共8页）∴3max 44ππ33V R ==⨯=，故选D ．10．由题可知(1)1(0)0f f -==，，∴(1)(0)(1)011(2)(1)(0)1f f f f f f =--=-=-=-=--，01=-，(3)(2)(1)110(4)(3)(2)011f f f f f f =-=-+==-=+=，，(5)(4)(3)f f f =-=101(6)(5)(4)110f f f -==-=-=，，，当123n =，，，时，()f n 的取值依次是11--，，011011--，，，，，，，故()f x 的取值是以6为周期，且(1)(2)(6)f f f +++0=，∴(1)f (2)f +(2019)3360(1)(2)(3)2f f f f ++=⨯+++=-，故选A ．11．由题意可知12(0)(0)F c F c -，，，，一条渐近线方程为by x a=-，1F 到它的距离为d =b =，设1PF 与渐近线交于M ，因为线段1F P 被双曲线的渐近线垂直平分，则1||||F M MP b ==，连接2PF ，由双曲线的定义有122||||2||22PF PF a PF b a -=⇒=-，又O为12F F 的中点，∴2//OM F P ，∴21F PF ∠为直角，∴22244()4c b a b =-+，又22c b =+2a ， ∴22b a c =⇒224ca a e a-=⇒=，故选A ． 12．令()2()e x f x F x +=，则()()2()0e x f x f x F x '--'=>，∴()F x 在R 上为增函数，又(1)e 2f =-，∴(1)2(1)1e f F +==，∵()2e x f x +>可化为()21e xf x +>，即()(1)F x F >，∴(1)x ∈+∞，，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如图1，画出不等式组的区域，(13)(11)(22)A B C ，，，，，，22(2)x y +-表示ABC △内部的点()M x y ，到(02)P ，的距离的平方，所以221(2)4x y <+-≤．理科数学参考答案·第3页（共8页）14．3e (31)e (32)e x x x y x x '=-+-+=--，所以0|2x k y ='==-，故切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+． 15．在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010a a a a a a a a ====10m =，∴12lg lg a a +++2018122018lg lg()a a a a ==100912018lg()1009lg101009m a a m ==．16．如图2，∵(10)(10)F P -，，，，设1122()()A x y B x y ，，，，()M x y ，，l ：(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，，得2222(24)0k x k x k +-+=212122421k x x x x k -⇒+==，，并且0∆>⇒ 110k k -<<≠，，∵||||||||||||MA AM PB BM PA MB =⇒=||||PA PB ， 而1122||||x x y y MA MB x x y y --==--，12||||y PA PB y =，∴12y y y y -=-12y y ，从而有21212121222(1)(1)2(1)(1)y y k x x y k y y k x k x ++===++++，又()M x y ，在线段AB 上，即2(1)12k k x x =+⇒+=1x ⇒=，又110k k -<<≠，，所以M 点的轨迹方程是1(220x y y =-<<≠，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵54sin cos 135B ADC =∠=，， ∴123cos sin 135B ADC =∠=，， ∵3124516sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=，由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠．………………………………………………………………………………（6分）（2）∵3sin sin(π)sin 5BDA ADC ADC ∠=-∠=∠=， 图1图2理科数学参考答案·第4页（共8页）由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=， ∴115sin 39322402213ABC S BA BC B ==⨯⨯⨯=△． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知3x =，100y =，∴5152215141515008.555455i ii ii x yx yb xx ==--===---∑∑，125.5a y bx =-=，∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+． ……………………………………（5分） 令9x =，则8.59125.549y =-⨯+=，∴该学校第9周的不文明人次为49人次． …………………………………………（6分） （2）∵012X =，，， 3436C 41(0)C 205P X ====，214236C C 123(1)C 205P X ====，124236C C 41(2)C 205P X ====，所以X 的分布列如下：………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：在PCD △中，2PC PD CD ===，222PC PD CD +=， ∴PC PD ⊥，∵90CDA ∠=︒，∴AD CD ⊥， 又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥， 又PDAD D =，∴PC ⊥平面PAD ，∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． …………………………………………………………（6分）理科数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：取CD 的中点O ，连接PO ，OB ，∵PC PD ==1PO CD PO ⊥=，， 又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，∴PO ⊥平面ABCD ，如图3，以O 为原点建立空间直角坐标系，则11(000)(110)(100)(010)(010)(001)022O A B C D P E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设平面ACE 的法向量为1111()n x y z =，，， ∵11(120)122AC CE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，，，，， ∴11111112011022n AC x y n CE x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，，∴1(210)n =，，， 设平面CDE 的法向量为2222()n x y z =，，， ∵11(020)122DC CE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，，∴2222222011022n DC y n CE x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，，∴2(101)n =-，，， ∴121212cos ||||5n n n n n n ===<，> 由图可知二面角A CE D --的平面角为锐角， 所以二面角A CE D --． ………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得2145AF F ∠=︒，所以由1AB AF ⊥和椭圆的定义，得12AF AF a ==， 并且2222242a c a c =⇒=，又124FAF S =△， 得28a =，24c =，故2224b a c =-=，图3理科数学参考答案·第6页（共8页）所以椭圆E ：22184x y +=．……………………………………………………（4分） （2）①当直线1l 的斜率为0时，2l 的斜率不存在，此时||2AB a ==22||b CD a==11||||822ACBD S AB CD ==⨯；……………………………………（6分） ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+， 则直线CD 的方程为12x y m=-+，设1122()()A x y B x y ，，，， 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，，得22(2)440m y my ++-=， 2221616(2)32(1)m m m ∆=++=+，12||y y-==， 12|||AB y y =-=， ………………………………………………（8分）用1m -取代m ，得2211||12m CD m⎫+⎪⎝⎭==+ ∴11||||22ACBDS AB CD ==⨯ 42422424221(252)168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++ 228825m m=-++， …………………………………………………………………（10分）又22224m m +≥，当且仅当1m =±时取等号， 所以22864882925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++，， 综上，四边形ACBD 面积的取值范围是6489⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ………………………………（12分）21．（本小题满分12分）理科数学参考答案·第7页（共8页）解：（1）2(1)(1)()()(1)= (0)a x a x a x x a f x x a x x x x-++--'=-++=>，当1a ≤时，()f x 在[1e]，上为增函数，∴min 9()(1)2f x f a ==-； 当1e a <<时，()f x 在(1)a ，上为减函数，在(e)a ，上为增函数， ∴2min()()5ln 2a f x f a a a a ==--++；当e a ≥时，()f x 在[1e]，上为减函数，∴2min e ()(e)(1)e 52f x f a a ==-+++，综上所述，当1a ≤时，min 9()2f x a =-； 当1e a <<时，2min ()5ln 2a f x a a a =--++；当e a ≥时，2mine ()(1)e 52f x a a =-+++． …………………………………………（6分）（2）由题可知min min ()()f x g x <， 由（1）知，当e a ≥时，2min e ()(1)e 52f x a a =-+++， 下求()g x 的最小值，()e 2(0)x g x x x '=-≥，∴()e 2x g x ''=-，令()0g x ''=，则ln 2x =，令()0g x ''>，则ln 2x >；令()0g x ''<，则0ln 2x <<， ∴()g x '在(0ln 2)，上为减函数，在(ln 2)+∞，上为增函数， ∴()(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g x g ''=-=->≥， 故()g x 在[0)+∞，上为增函数，∴min ()(0)1g x g ==，∴2e (1)e 512a a -+++<，∴2e 2e 82e 2a -+>-， 又22e 2e 88e e 02e 22e 2-+--=>--，∴2e 2e 82e 2a ⎛⎫-+∈+∞ ⎪-⎝⎭，． ……………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第8页（共8页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵2ρ=，∴24ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………（1分） 由点A 的极坐标为π26⎛⎫⎪⎝⎭，，知点A的直角坐标为1)，菱形ABCD 的顶点都在圆2C 上，所以菱形ABCD 是正方形，故知各顶点的直角坐标为1)(1(1)(1A B C D --，，，，．………………………………………………………………………………（5分）（22||MB+2(1)x +22222228x y x y +++，将22440x y --=22||10MB x +=，∵||1x ≥，∴21x ≥2||10MB +，当1x =±时，取得最小值10． ………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：当12a =时，1221111()12222122x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，结合图象知，不等式()2f x <的解集{|11}M x x =-<<， …………………………（2分） 同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………………………………（4分）（2）证明：∵m M n P ∈∈，， ∴22111114122m n m n -<<-<<<<，，，， 22222222(2)(12)441(1)(14)0m n mn m n m n m n +-+=+--=--<， ∴22(2)(12)m n mn +<+，即|2||12|m n m n +<+． ………………………………（10分）。
2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析
2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学〔理〕试题第Ⅰ卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝4|02x x R x ⎧-⎫∈≤⎨⎬-⎭⎩，则A B ＝〔 〕 A.｛1，2， 3，4｝ B. ｛2，3，4｝ C. ｛2，4｝ D. ｛|14x x <≤｝ 【答案】C 【解析】 试题分析：{0124}{14}{24}AB x x =<=，，，≤，，故选C.考点:集合的交集运算. 2.假设复数12iz i-=的共轭复数是(,)z a bi a b R =+∈，其中i 为虚数单位，则点〔a ，b 〕为〔 〕 A.〔一1. 2〕 B.〔－2，1) C.〔1，－2〕 D.〔2，一1〕 【答案】B 【解析】 试题分析：12i2i 2i iz z -==--=-+∵，∴，故选B. 考点：复数的计算.3.已知函数1,0()2,0x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，假设()f a ＝－1，则实数a 的值为〔 〕A 、2B 、±1 C. 1 D 、一1 【答案】C 【解析】试题分析：1000011211e 1a a a a a a a a a a ->>⎧⎧⎧⎧⇒⇒∈∅⇒⇒=⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩≤，≤，，，∵，，故选C ． 考点：函数值.4.“0≤m ≤l ”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的〔 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：()0cos 1f x x m =⇒=-∵，由01m ≤≤，得011m -≤≤，且1cos 1x -≤≤，所以函数()cos 1f x x m =+-有零点．反之，函数()cos 1f x x m =+-有零点，只需|1|1m -⇒≤ 02m ≤≤，故选A.考点：充分必要条件.5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率新工件的体积原工件的体积〕〔 〕A 、78 B 、67 C 、56 D 、45【答案】C 【解析】试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分〔新工件〕的体积为56，故选C.考点：三视图.6.在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=-，AB =2, AC ＝1，E, F 为BC 的三等分点，则=AE AF •〔 〕 A 、89 B 、109 C 、259 D 、269【答案】B 【解析】试题分析：由||||AB AC AB AC +=-，知AB AC ⊥，以AB AC ，所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则(00)(20)(01)A B C ，，，，，，于是41223333E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，据此，41223333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，8210999+=，故选B ．考点：向量的运算.7.已知3sin()65πα-=，则sin(2)6πα+=〔 〕 A 、45 B 、725 C 、925 D 、1625【答案】B 【解析】试题分析：由22πππππ37sin 2sin 2cos 212sin 1262666525αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B ．考点：诱导公式.8.设实数x,y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =+的取值范围是〔 〕A 、110[,]33B 、15[,]32C 、5[2,]2D 、10[2,]3【答案】D 【解析】 试题分析：由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，，(42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故选D ．考点：线性规划.9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x2+x+2y的概率为〔〕A、49B、59C、13D、23【答案】A考点：几何概型.10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是〔〕A．2 B．22C．3 D．33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得2AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时1tan EF BPC PF ∠===，故选B. 考点：基本不等式、三角形面积.11.设定义在〔0，2π〕上的函数f(x), 其导数函数为'()fx ，假设()'()tan f x f x x <恒成立，则〔 〕 A ()()43ππ> B ．(1)2()sin16f f π> C()()64f ππ> D ()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为π02⎛⎫⎪⎝⎭，，()()tan f x f x x '<，所以()sin ()cos 0f x x f x x '->，因为2()()sin ()cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以 ππ612f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<ππ63f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.12.设直线l 与抛物线x 2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB的中点，假设这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是〔 〕A.〔1，3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4) 【答案】D 【解析】试题分析：圆C 在抛物线内部，当l y ⊥轴时，必有两条直线满足条件，当l 不垂直于y 轴时，设001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，则12120022x x y y x y ++==，，由21122244x y x y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩，22012121212124()42AB x y y x x x x y y k x x -+-=-⇒=⇒=-，因为圆心(05)C ，，所以005CM y k x -=-，由直线l 与圆C相切，得013AB CM k k y =-⇒=，又因为2004x y <，所以2012x <，且2222000(5)4164r x y x r =+-=+<⇒<，又22200(5)0r y x --=>⇒22(35)0r -->⇒ 242r r >⇒>，故24r <<，此时，又有两条直线满足条件，故选D ．考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.如图3.这是一个把k 进掉数a 〔共有n 位〕化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，假设输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则抢出的b ＝ ．【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：程序框图. 14.假设函数3211()232f x x x ax =-++在2[,)3+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.考点：利用导数判断函数的单调性.15.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO交椭圆E 于点C ，假设直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC △的中位线，于是OFM △AFB ∽△，且 ||1||2OF FA =，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率. 16.设2222222211111111111112233420142015S =+++++++++S 的最大整数［S ］等于 【答案】2014 【解析】试题分析：2222222211()2()111111(1)(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫++==+- ⎪++++⎝⎭，所以 111111111120151223201420152015S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故[]2014S =． 考点：裂项相消法求和.三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17.〔本小题总分值12分〕 已知数列｛an ｝的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+．〔I 〕证明：数列11{}2n a -是等比数列； 〔II 〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】〔1〕证明详见解析；〔2〕11222n n nnS -=--. 【解析】试题分析：此题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再别离常数、用配凑法证明数列11{}2n a -是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出n a ，再计算n b ，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n 项和计算即可. 试题解析：〔Ⅰ〕证明：11421112442n n n n n n na a a a a a a +++===++∵，∴， 111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴， 又11111122a a =-=，∴，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．…………………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭， 即1112222n n n n n n n n b a a =+==+，∴， 设231232222n n nT =++++…，① 则231112122222n n n n nT +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…， 11222n n nnT -=--∴， 又1(1)(123)24n n n +++++=…，∴数列{}n b 的前n 项和2(1)224n nn n n S ++=-+． ………………………………〔12分〕考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和. 18.〔本小题总分值12分〕某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，假设P(ξ＝0)＝116.〔I 〕求p 的值：〔II 〕求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】〔1〕12p =；〔2〕分布列详见解析，74E ξ=. 【解析】试题分析：此题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当0ξ=时说明三个公司都没有得到面试的时机；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出0,1,2,3ξ=的概率，列出分布列，再利用1122n n E P P P ξξξξ=+++计算数学期望.试题解析：〔Ⅰ〕2311(0)1(1)4162P p p ξ⎛⎫==--=⇒= ⎪⎝⎭∵． …………………………〔6分〕〔Ⅱ〕ξ的取值为0，1，2，3，1(0)16P ξ==； 2313113115(1)111114242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3113113117(2)11142242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3113(3)42216P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为数学期望15737()0123161616164Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………〔12分〕考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望.19.〔本小题总分值12分〕如图4，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝2，M为AB 的中点．〔I〕证明：AC⊥SB;〔II〕求二面角S一CM－A的余弦值.【答案】〔1〕证明详见解析；〔25【解析】试题分析：此题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC SDB⊥平面，再利用线面垂直的性质，得AC SB⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直SD ABC⊥平面，通过作出辅助线得出SED∠为二面角S CM A--的平面角，在直角三角形SDE中，利用三角函数值，求二面角S一CM－A的余弦值；还可以利用向量法解决问题.试题解析：方法一：几何法〔Ⅰ〕证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB．因为SA SC=，BA BC=，所以AC DS AC DB DS DB D⊥⊥=，且，，所以AC SDB⊥平面，又SB SDB⊂平面，所以AC SB⊥．……………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：因为SD AC SAC ABC⊥⊥，平面平面，所以SD ABC⊥平面.如图4，过D作DE CM⊥于E，连接SE，则SE CM⊥，所以SED∠为二面角S CM A--的平面角. ……………………………………〔8分〕由已知有1122DE AM ==，又2SA SC ==，2AC =，所以1SD =， 在Rt SDE △中，52SE =， 所以5cos =5DE SED SE ∠=． …………………………………………………〔12分〕方法二：向量法〔Ⅰ〕证明：如图5，取AC 的中点O ，连接OS ，OB ．因为SA SC =，BA BC =，所以AC OS ⊥，且AC OB ⊥， 又SAC ABC ⊥平面平面，=SAC ABC AC 平面平面，所以SO ABC ⊥平面，所以SO BO ⊥．如图5，建立空间直角坐标系O xyz -，则(100)A ，，，(100)C -，，，(001)S ，，，(030)B ，，，因为(200)AC =-，，，(031)SB =-，，，………………………………………………〔3分〕所以20030(1)0AC SB =-⨯+⨯-=，AC SB ⊥∴． ……………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：因为M 是AB 的中点，所以1302M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，3302CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴，，(10,1)CS =，，设(1)n y z =，，为平面SCM 的一个法向量，则330210n CM y n CS z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，，得31y z ==-，，所以(131)n =--，，， 又(001)OS =，，为平面ABC 的一个法向量，15cos 5||||51n OS n OS n OS -〈〉===-∴，． ………………………………………〔11分〕又二面角S CM A --的平面角为锐角，所以二面角S CM A --． ………………………………………〔12分〕 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.20.〔本小题总分值12分〕已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为. 〔I 〕求椭圆C 的标准方程；〔II)过点A(1，0)的直线与椭圆C 交于点M, N,设P 为椭圆上一点，且(0)OM ON tOP t +=≠O 为坐标原点，当45||3OM ON -<时，求t 的取值范围.【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕61,,13t ⎡⎛⎤∈- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦.【解析】试题分析：此题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、222a b c =+、四边形的面积列出方程，解出a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN 的斜率是否存在，当直线MN 的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，利用OM ON tOP +=列出方程，解出(,)P x y ，代入到椭圆上，得到2t 的值，再利用45||3OM ON -<，计算出2k 的范围，代入到2t 的表达式中，得到t 的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕222112b e e a ==-=∵∴， 2212b a =∴，即222a b =．又1222S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． …………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由题意知，当直线MN 斜率存在时， 设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，，联立方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=， 因为直线与椭圆交于两点，所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，22121212122224242()2121212k k k x x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=+++∴，，， 又OM ON tOP +=∵，212212121224(12)2(12)x x k x x x tx t t k y y ty y y k y t t k ⎧+==⎪+=⎧+⎪⎨⎨+=+-⎩⎪==⎪+⎩，，∴∴，， 因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以422222221684(12)(12)k k t k t k +=++， 即2222222212(12)11212k k t k t k k =+==-++，∴， ………………………………〔8分〕 又45||3OM ON -<∵，即1245||3NM x <-224612k k ++ 化简得：4213580k k -->，解得21k >或2813k <-〔舍〕， 2221211123t t k =-<<+∵，∴，即6113t ⎛⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，．当直线MN 的斜率不存在时，1,,1,M N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，此时1t =±， 61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦∴．……………………………………………………〔12分〕考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.21.〔本小题总分值12分〕已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点〔1，f(1)〕处的切线斜率为2.〔I 〕求f(x)的单调区间；〔11〕假设2 f(x)一〔k ＋1〕x ＋k>0〔k ∈Z 〕对任意x ＞1都成立，求k 的最大值【答案】〔1〕减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；〔2〕最大值为4. 【解析】试题分析：此题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一〔k ＋1〕x ＋k>0〔k ∈Z 〕对任意x ＞1都成立，转化为2ln 1x x x k x +<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到k 的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++，由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，，令()0f x '<，得210e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 令()0f x '>，得21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． …………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-，2ln 1101x x x x x k x +>-><-∵，∴，∴恒成立， 令2ln ()1x x x g x x +=-，则222ln 3()(1)x x g x x --'=-， 令()22ln 3h x x x =--，则2()20h x x'=->， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增， 又5(2)12ln 202(1ln 2.5)02h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，， 0522x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴，且0()0h x =， 当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，200000min 0000232(1)()()211x x x x x g x g x x x x +--====--∴，02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4． ………………………………………〔12分〕考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.〔本小题总分值10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C：(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数〕，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6. 〔I 〕在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；〔Ⅱ〕过点M(一1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．【答案】〔1〕max d =；〔2〕1.【解析】试题分析：此题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB •=.试题解析：〔Ⅰ〕直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．设点P的坐标为sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：d ==， ∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，此时max d == …………………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=， 1l的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，〔t 为参数〕代入2233x y +=化简得2220t -=，得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==． ………………………………………………〔10分〕考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.23.〔本小题总分值10分〕【选修4-5：不等式选讲】设f(x)＝｜x ＋2｜＋｜2x －1｜－m.〔I 〕当m ＝5时．解不等式f 〔x 〕≥0;〔II 〕假设f 〔x 〕≥32，对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围． 【答案】〔1〕423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥；〔2〕(1]-∞，. 试题解析：〔Ⅰ〕当5m =时，()|2||21|5f x x x =++--，不等式()0f x ≥为|2||21|5x x ++-≥，①当2x -≤时，不等式为：315x --≥，即2x -≤，满足；②当122x -<<时，不等式为：35x -+≥，即2x -≤，不满足； ③当12x ≥时，不等式为：315x +≥，即43x ≥，满足． 综上所述，不等式()0f x ≥的解集为423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． ……………………〔5分〕〔Ⅱ〕设()|2||21|g x x x =++-，假设3()2f x ≥对于x ∈R 恒成立， 即3()|2||21|2g x x x m =++-+≥对于x ∈R 恒成立， 31(2)1()|2||21|322131.2x x g x x x x x x x ⎧⎪---⎪⎪⎛⎫=++-=-+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎩≤，，≥由图6可看出()|2||21|g x x x =++-的最小值是52， 所以3522m +≤，1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………………………………………………〔10分〕考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(二)数学(理)试题(含解析)
云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BD A C A A C D A B C B【解析】 1．(2i)(1i)(2)(2)i (1i)(1i)2a a a +-++-=+-，故选B ．2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ． 3．sin y x x =为偶函数，当0πx <<时，sin 0x >，故选A ．4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，0GP AP <u u u r u u u r g ；当点P 位于线段DC 上时，0GP AP >u u u r u u u r g ，故当GP AP u u u r u u u r g 取得最小值时，点P 在线段AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，当3||AP =u u u r 时，取得最小值34-，故选C ． 5．一方面，由2||2||OF OH =，得211||||22OH OF c ==，故22223||||||F H OF OH c =-=；另一方面，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故222||F H b a b ==+，于是3c b =，即222234c b c a ==-，故2214a c =，得2c e a ==，故选A ．6．根据正弦定理，由2sin 4sin c A C =，得4ac =，则由π3B =，得2224a c b +-=，则ABC S =△1(164)34-=A ． 7．该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知5k =，故选C.8．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =U U ，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有345()()()()P A P A P A P A =++=11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．图19．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =，则由题意知11cos 5255AC D ∠==⨯⨯，故选A ． 10．π()3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得其图象如图3，由题意得11π17ππ66ωω<≤，即111766ω<≤，故选B ． 11．令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =，又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确；当0x >时，()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时，()10f x >≥；当0x <时，0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②成立；对任意的12x x ∈，R ，不妨设12x x >，故存在正数z 使得12x x z =+，则12222()()()()()()f x f x f x z f x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-，因为当0x >时，()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半径为r ，则2212||||||||||AB AF BF AF AF ++=++12||||48BF BF a +==，2221(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+△△△△22||||)4AF BF r r +⨯=，即24ABF S r =△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知，直线不会与x 轴重合，可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得π6x ω+0 … 2π 3π x π6ω-… 11π6ω 17π6ω π2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0 … 0 0 图2图4 图322(34)690m y my +--=，2212(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F S S S F F y =+=+g g g △△△212212121212111121||||||(||||)||||2222m F F y F F y y F F y y ∆+=+=-=⨯⨯=g g g g g 222121121311m m m +==+++，令21m +=1t ≥，则2213131m t t m ++=+=+ ()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增，所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4时， 2ABF S △取得最大值3，此时34r =，所以内切圆的面积的最大值为9π16，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案12y x = 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 2(12)- 16π13．21e 2x y '=，则012x y ='=，故12y x =． 14．可行域如图5，根据图形可得263z -≤≤．15．由题意得sin cos sin cos αααα+=，两边同时平方得212sin cos (sin cos )αααα+=，即2sin 24sin240αα=--，解得sin22(12)α=-或sin22(1+2)1α=>舍去．16．如图6，在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，PA PB PC ==，由余弦定理可得2222cos AB PA PB PA PB APB =+-∠g ，解得22PA =，即22PA PB PC ===，在ABC △中，3AD =，则2AE =，在PAE △中，222PE AP AE =-=，则AE BE CE ===2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为24π16πr =． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）图5 图6（1）解：由题知当1n =时，1131222a S ==+=；当2n ≥时，2213131(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以31n a n =-． ……………………………………………………………………（3分） 设{}n b 的公比为q ，则2111322b b q b q =+=，，解得12q =或32q =-（舍去）， 所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222n n n T ---=++++L ， 两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++L ， ……………………………（8分） 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--L ， 所以235202n n n T -+=-． ………………………………………………………………（10分） 因为23502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表一得3456 2.534 4.54.5 3.544x y ++++++====，，422221345i i x==++∑2686+=， …………………………………………………………（2分） ∴23 2.543546 4.54 4.5 3.566.5630.7864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-⨯$， …………………（4分） ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=， 所以所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分）（2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y =⨯+=，从而能够节省6.5 5.25 1.25-=吨原材料． ………………………………………（8分）（3）由表二得22200(90158510)8 2.706100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………（10分） 因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”．………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AC BC PC ===，22AB PA PB ===， 则222AC PC AP +=，222BC PC BP +=，所以PC AC ⊥，PC BC ⊥， ………………………………………（2分） 又因为AC BC C =I ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥平面ABC ． ………………………………………（4分）（2）解：222AC BC BA +=，则AC BC ⊥，即AC ，BC ，PC两两垂直，如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，， (002)P ，，，(020)B ，，，设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =u u u r (202)-，，，PB =u u u r (022)-，，，(02)PD a =-u u u r ，，， ……………………（6分）平面PBC 的法向量1u =r (100)，，， 设平面PBD 的法向量2()u x y z =r ，，，则22020y z ax z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =，可得2211u a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，，． 1212cos30||||u u u u ︒=r r g r r g ，解得6a =， ……………………………………（8分） 则602PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，平面PAB 的法向量3(111)u =r ，，， ………………………（10分） 设PD 与平面PAB 的所成角为θ，则33||1421sin ||||PD u PD u θ==-u u u r r g u u u r r g ，所以所求角的正弦值为1421-. ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） （1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，图7则2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12012022x x x y y y +=+=，，由24x y =，得214y x =， 故12y x '=，即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为0012P x x k y x ='==．………………………………………………………………………………（2分）又直线l 的斜率22120012121212244442ABx x x x y y x x k x x x x --+=====--，即AB P k k =， 所以直线l 平行于抛物线C 在点P 处的切线． ………………………………………（4分）（2）解：由||0PM a =>，得2004x M x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，， 于是直线2000()42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即2200000()2424x x x x l y x x a x a ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．………………………………………………………………………………（6分）联立直线l 与抛物线C 得2200424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，消去y 得2200240x x x x a -+-=，∴222120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，，………………………………………………………………………………（8分）∴12111||||2222PAB S PM x x a =-=⨯=△故PAB △的面积为定值2 ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1()e x g x x '=-，令()()G x g x '=，则21()e 0x G x x '=+>， 所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分） 131e 303g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->， 故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=，（*）当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以对(0)x ∀∈+∞，，均有000()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（*）式可得001e x x =，代入①式得00000000011()e ln e ln e e x x x x g x x x x x =-=-=+=+，又00x >，所以0012x x +≥，当且仅当01x =时取“=”，但013x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1，故0012x x +>， 故0()()>2g x g x ≥． ……………………………………（6分）（2）解：由题得2()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，， 于是函数()h x 有两个零点等价于方程2e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，因为0x ≠，所以又等价于2e ln 0x x x a x -+-=有两个不同的解． 令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1()x x x x x H x x ++--'=，………………………（8分）再令2()e ln e 1x x p x x x x =++--，则1()e 20x p x x x x '=++>，所以()p x 在(0)+∞，上单调递增． 又(1)0p =，所以当(01)x ∈，时，()0p x <；当(1)x ∈+∞，时，()0p x >， 故当(01)x ∈，时，()0H x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+- 是()H x 在(0)+∞，上的最小值，于是，若(1)1e 0H a =+-≥，即1e a +≤时，则当(01)x ∈，时，()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =； ………………………………………………（10分）若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1(01)a ∈，，(1)0H <，11211e ln 11111e ln 201a a a a H a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点111x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 同理，当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <， 2e ln e ln 22()0a a a a a H a a a a a a a a a a -+-=-=+->+-=>，故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，． 综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）C 的直角坐标方程为22143x y +=， ……………………………………（2分）l的参数方程为1cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，． ………………………………………（4分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2(1cos )14t α+=，整理得222(3cos 4sin )2(3cos )10t t αααα+++-=，………………………………………………………………（6分） 所以1222211||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα===++， …………………………（8分） 而[0π)α∈，，故2sin [01]α∈，， 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由240()404244x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥， ……………………………………………（2分）得min ()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，只要|2|4m +≤，即62m -≤≤，故实数m 的最大值为2． ……………………（5分）（2）证明：由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤，222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥， ∴2a b ab +≥． ……………………………………………………………………（10分）。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(六)理数-答案
k 20 4 ，故选 D． i 5
5．②③不正确，② n 也可以；③ ， 可以相交但不垂直，故选 C．
2 6．由点 C，P，M 及 B，P，N 共线，可设 AP AM (1 ) AC AN (1 ) AB ，即 a 3
∴ S 4 πR 2 112 π ，故选 B．
2 ) ，把 y kx 2 代入 y x 2 中，得 x 2 kx 12．如图 1，设 A( x1，x12 ) ， B( x2，x2
2 0 ，由韦达定理得 x1 x2 k ， x1 x2 2 ，∴ xN xM
0
2
2
0
4 x 2 dx xdx
0
2
π
1 2 x 2
2 0
π 2 （其中
2
2
0
4 x 2 dx 的几何意义是圆心在原点，半径为 2 的四分之一圆
的面积，故
0
4 x 2 dx
1 π 22 π ） ，故选 B． 4
8．因为总的有 n 5 5 25 种，两数之和 ≤ 6 的有 1 2 3 4 5 15 种，所以 P
2 1 ， 3 1 1 2 3 ，∴ AP a b ，故选 D． (1 )b b (1 )a 4 3 3 2 1 3 4
理科数学参考答案·第 1 页（共 9 页）
7．令 x 1 ，则 (1 a)(2 1)5 1 a 3 ，故 a 2 ，∴ ( 4 x 2 x)dx
且 BD 为斜边，∴ △BCD 的外接圆的圆心在 BD 的中点处，由于平面 ABC 平面 BCD ，
云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考(理)数学试题 Word版含答案
云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考（理）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[2,2]-B ．{2}C ．(0,2]D ．(,2]-∞2.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a=（ ） A ．-2 B ．2 C ．12- D ．124.已知ABC ∆中，||6BC =，16AB AC ∙=，D 为边BC 的中点，则||AD =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65.若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为32π，则ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43D ．26.已知变量x ，y 满足约束条件1330x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．20 B ．24 C ．16 D．16+9.数列{}n a 是等差数列，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．1410.已知圆C ：22210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于2的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．1411.过双曲线2213y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，则满足||6AB =的直线l 有（ ）条A ．4B ．3C ．2D ．112.已知函数11,2()2ln ,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 21(,)2e B ．1(0,)2 C ．1(0,)e D ．11(,)2e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()f x 是定义在R 上的周期为3的偶函数，当3[0,]2x ∈时，()1f x x =+，则5()2f = . 14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点P 是CD 上一点，且1DP =，过点11,,A C P 三点的平面角底面ABCD 于PQ ，点Q 在直线BC 上，则PQ= .15. ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积22()S b c a =+-，则sin A =.16.点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为M 为线段2PF 的中点，且22||||OF F M =，则该双曲线的离心率为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知向量(2cos2xa ω=，(3cos,sin )2xb x ωω=，0ω>，设函数()3f x a b =∙-的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC∆为等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.18. （本小题满分12分）某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为45，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x ，y （x y >），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记ξ为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率； （2）求ξ的数学期望()E ξ.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，侧面SAB ⊥底面ABCD ，并且2SA SB AB ===，F 为SD 的中点. （1）求三棱锥S FAC -的体积；（2）求直线BD 与平面FAC 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内一点(0,1)A 的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆Γ所截得的线段长均为（1）求椭圆Γ的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点(0,1)A 的动直线l 都满足||||||||BM AN AM BN ∙=∙？若存在，求出定点B 的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分） 设函数ln ()12x af x x x=++，()()g x f x =1x =是函数()g x 的极值点. （1）求实数a 的值； （2）当0x >且1x ≠时，ln ()1x nf x x x>+-恒成立，求整数n 的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x t y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值.23. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-.（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考（理）数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[22](02](02]M N M N =-==，，，，∴，，故选C ．2．i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴，12a =∴，故选D ．4．222,()4AB AC AD AB AC AD +=+=∵∴，即22242AD AB AC AB AC =++=2()4AB AC AB AC -+=24100CB AB AC +=，||5AD =∴，故选C ．5．因为12π()2sin ||3f x x x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，的最小值为3π42T =，所以6πT =，所以13ω=，故选A ． 6．作出可行域如图1中阴影部分，目标函数过点(01)，时，最小值为1，故选D ．7．由程序框图知，输出的结果为23log 3log 4log (1)k s k =⨯⨯⨯+…2log (1)k =+，当7k =时，3s =，故选B ．8．该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图2所示，截面图形为等腰梯形11B D FE ，111EF B D B E ==，梯形的高h =，所以111922B D FE S =⨯=梯形， 所以该几何体的表面积为20，故选A ．9．∵数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴数列{}n a 为递减数列，又981a a <-， 8900a a ><∴，且890a a +<，又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a++==>==+<，，故当15n =时，n S 取得最小正值，故选C ．10．圆C ：22(1)2x y -+=，圆心(10)，，半径r =3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为α，则cos2α==，所以π24α=，即π2α=，α所对的弧长为π2=，所以所求概率为14=，故选D ．11．当直线l 的倾斜角为90︒时，||6AB =；当直线l 的倾斜角为0︒时，||26AB =<．故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得||6AB =，故选B ．12．当直线y ax =与曲线ln y x =相切时，设切点为00(ln )x x ，，切线斜率为01k x =，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，切线过点(00)，，00ln 1e >2x x -=-=∴，，此时1ea =；当直线y ax =过点(2ln 2)，时，ln 22a =．结合图象知ln 212e a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，故选A ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．55111331222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 14．如图3，设PQ 与AD 交于点M ，则△DPM ∽△CPQ ，12DP PM CP PQ ==，2PQ PM =∴，又△DPM∽△DCA ，1133DP PM PM CA DC CA ===∴，∴PQ =∴．15．由余弦定理222222cos 2cos 2b c a A b c a bc A bc+-=+-=，∴，22222()22(cos 1)S b c a b c a bc bc A =+-=+-+=+∵，又1sin 2S bc A =，12(cos 1)sin 2bc A bc A +=∴，1cos 1sin 4A A +=∴，即22118cos sin 1sin sin 11sin 4417A A A A A ⎛⎫=-+-== ⎪⎝⎭，∴，∴．16．由题意得：222||||120||OF F M c OF M OM ==∠=︒，，∴，设左焦点为1F ，连接1PF ，则OM 为12PF F △的中位线，1||3P F c =∴，又2||2P F c=，由双曲线定义，得12||||21)c PF PF a c a e a -=====，，∴ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得2π()36cos 33cos 23xf x a b x x x x ωωωωω⎛⎫=-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，由正三角形ABC 的高为，可得4BC =，所以函数()f x 的最小正周期428T =⨯=，即2π8ω=，得π4ω=，…………………………………………………………………………（4分）故ππ()43x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以函数()f x的值域为[-．…………………………………………（6分）（Ⅱ）因为0()f x =，由（Ⅰ）有00ππ()43x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即0ππ4sin 435x⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由010233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，得0ππππ4322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以0ππ3cos 435x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故000ππππππ(1)443434x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos 4343x x ⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件i A 表示“该生第i 个项目测试过关”，123i =，，， 依题意，1234()()()5P A P A x P A y ===，，，因为1(0)(1)(1)54(3)5P x y P xy ξξ⎧==--⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，，所以16(1)(1)51254245125x y xy ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即1,625x y xy +=⎧⎪⎨=⎪⎩且x y >， 解得3525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， ……………………………………………………………………（4分）于是，123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++423133122555555555=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯37125=，63724581(0)(1)(3)1125125125125b P P P ξξξ=-=-=-==---=， 故该生至少有2个项目测试过关的概率：582482(23)125125125P ξξ===+=或． ……………………………………………（8分） （Ⅱ）9()0(0)1(1)2(2)3(3)5E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图4，取AB 的中点E ，连接SE ，ED ，过F 作FG SE ∥交ED 于G ， 因为平面SAB ABCD ⊥平面，并且2SA SB AB ===，SE ABCD ⊥∴平面，FG ACD ⊥∴平面，又ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SE且12FG SE ==122sin1202ACD S =︒=△ ∴三棱锥S −FAC 的体积S FAC S ACD F ACD V V V ---=-三棱锥三棱锥三棱锥1111332232S ACD V -===三棱锥． …………………………………………（6分）（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，取AB 的中点E ，连接SE ，则BD AC ⊥，SE AB ⊥，以O 为原点，AC ，BD 为轴建系如图5所示，设直线BD 与平面FAC 所成角为α，则(00)A ，，00)C ，，(010)B -，，，(010)D ，，，12S ⎛- ⎝，14F ⎛ ⎝⎭，，所以，314AF ⎛= ⎝⎭，，00)AC =，， 设平面FAC 的法向量为(1)n x y =，，，33104AF n x y =+=，230AC n x ==，得(01)n =-，， ……………………………………………………………（8分） 又(020)BD =，，，………………………………………………………………（10分）所以4sin |cos ,|n BD α=〈〉=，故直线BD 与平面FAC …………………………（12分） （说明：以E 点为原点，AB ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建系，可参照给分．）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得b =1)在椭圆上， 所以22211a b +=，解得2a =， 所以椭圆Γ的方程为22142x y +=． …………………………………………（4分） （Ⅱ）当直线l 平行于x 轴时，则存在y 轴上的点B ，使||||||||BM AN AM BN =，设0(0)B y ，；当直线l 垂直于x轴时，(0(0M N ，，若使||||||||BM AN AM BN =，则||||||||BM AM BN AN=，=，解得01y =或02y =．所以，若存在与点A 不同的定点B 满足条件，则点B 的坐标只可能是(02)，．………………………………………………………………………………（6分）下面证明：对任意直线l ，都有||||||||BM AN AM BN =，即||||||||BM AM BN AN =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+．设M ，N 的坐标分别为1122()()x y x y ，，，，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=， 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>，所以，121222422121k x x x x k k +=-=-++，， 因此，121212112x x k x x x x ++==． 易知点N 关于y 轴对称的点N '的坐标为22()x y -，，又11111211BM y kx k k x x x --===-， 2222212111BN y kx k k k x x x x '--===-+=---， 所以BM BN k k '=，即B M N '，，三点共线，所以12||||||||||||||||x BM BM AM x BN BN AN ==='． 故存在与点A 不同的定点(02)B ，，使得||||||||BM AN AM BN =．…………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）221(1)ln ()()(1)2x x a x g x f x x x +-''=+=-+， 依题意，(1)0g '=，据此，221(11)ln110(11)21a ⨯+--+=+⨯，解得2a =． …………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln 1()1x f x x x =++， 由ln ()1x n f x x x >+-，得ln 1ln 11x x n x x x x +>++-， 于是22ln ln 11(2ln 1)111x x x x n x x x x x x<+-=-++--对0x >且1x ≠恒成立， 令2()2ln 1h x x x x =-+，则()2ln 22h x x x '=+-，再次求导2()20h x x ''=-<，①若1x >，可知()h x '在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h ''<=，可知()h x 在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h <=， 而2101x <-， 则21()01h x x >-， 即221(2ln 1)01x x x x-+>-； ②若01x <<，可知()h x '在区间(01)，上递增，有()(1)0h x h ''<=， 可知()h x 在区间(01)，上递减，有()(1)0h x h >=，而2101x >-， 则21()01h x x >-，即221(2ln 1)01x x x x-+>-． 故当221(2ln 1)1n x x x x <-+-恒成立时，只需(0]n ∈-∞，，又n 为整数， 所以，n 的最大值是0．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由53x t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，得53x t y t ⎧+=⎪⎨-⎪⎩，，消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=，所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=．由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ=， 即cos sin 2ρθρθ-=-，换成直角坐标系为20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．……………………………………（5分） （Ⅱ）π2(2π)2A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，，，化为直角坐标为(02)(20)A B -，，，在直线l 上，并且||AB =设P点的坐标为(53)t t -，，则P 点到直线l的距离为d=，min d =∴， 所以PAB △面积的最小值是1222242S ==． …………………………（10分）（说明：用几何法和点到直线的距离公式求d =） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：(1)(2)4f x f x +++<，即|1|||4x x -+<， ①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-，302x -<∴≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立， 01x <∴≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <，512x <<∴是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．…………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：2a >∵，()()|2||2|f ax af x ax a x +=-+-∴|2||2|ax ax a =-+-|2||2|ax a ax =-+-≥|22||22|2ax a ax a -+-=->， ()()2x f ax af x ∀∈+>R ∴，恒成立． …………………………………………（10分）。
云南师大附中2019届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题
云南师大附中2019届高三适应性月考卷（三）数学（理）试题)()()222n x x x x x ⎤-+-++-为样本平均数 其中S 为底面面积， A B 等于 D ．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ）A ．||2x y = B．1(y g x =C ．22x x y -=+D ．111y g x =+ 5．执行如图2所示的程序框图，则输出的x 值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．36．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]4,4- C ．(][),44,-∞-+∞D ．(][),11,-∞-+∞7．如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ） A ．353B ．C ．2D ．32A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-10．已知函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为 （ ）A ．[)3,0-B ．（－3，0）C ．（－3，1）D ．（－311．若在曲线f （x ，y ）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）=0的“自公切线”。
下列方程：①221x y -=；②2||y x x =-，③3sin 4cos y x x =+；④||1x +=对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④12．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f >′（x ），则有 （ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -><类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出 “焚金双曲线”的离心率为 。
《精品》云南省师范大学附属中学2019届高三第八次月考数学(理)答案
∴ DE// 平面 A1BC .
………………………………………………………………（6 分）
理科数学参考答案·第 4 页（共 8 页）
4
（2）解：如图 5，延长 EF 交 AB 于点 O ，连接 OC ，
则由（1） EF //BB1 及 BB1 AB 知 OE AB ，
且 O 是 AB 的中点，
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知得椭圆的离心率为 e c a
2 ，短轴的一个端点到焦点的距离为 2
2，
解得 a 2，b 1，
所以椭圆 C
的方程为
x2 2
y2
1.
…………………………………………………（4 分）
理科数学参考答案·第 5 页（共 8 页）
5
（2）设直线 l 的方程为 y kx m ，则直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 m ，
≤
1 2
5 16
169
4 5
169 8
，
当且仅当
BC
DC
13 4
5
时取等号.
……………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
（1）证明：设点 F 是 A1B 的中点，连接 FC，FE ，
∵ E，F 分别是 A1B1，A1B 的中点，
∴
EF
//BB1
设直线 A1C1 与平面 A1BC 的所成角为 ，
则 sin
| cos < A1C1，n > |
A1C1 n | A1C1 || n |
26 4 9
2019届云师大附中高三适应性月考(九)数学(理)试题(解析版)
2019届云师大附中高三适应性月考（九）数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,1,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】B【解析】根据集合A ，得出表示圆221x y +=上及其内部的整数点，结合图象，即可求解. 【详解】 由题意，集合(){}22,1,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈表示如图所示的圆221x y +=上及其内部的整数点,共5个. 故选： B .【点睛】本题主要考查了集合表示，其中解答中正确理解集合表示表示方法是解答的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题.2．111i i +=+（ ）A ．1322i - B ．1322i +C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】A【解析】由复数的四则运算公式，求得答案. 【详解】1111131+2222i i i i i +=-+-=-， 故选：A 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3．已知双曲线的焦点()0c -，到它的一条渐近线:2l y x =的距离是1,则该双曲线的方程为( )A ．22142x y -=B ．22142-=y xC ．2212x y -=D ．2212y x -=【答案】C【解析】由焦点()0c -，到直线:2l y x =的距离为1，求得c =再结合双曲线的几何性质，求得,a b 的值，得到双曲线的方程. 【详解】由焦点()0c -，到直线:2l y x =的距离为11=，解得c =又由焦点在x 轴上,且渐近线的方程为:2l y x =，所以2b a =，即a = 因为222+=a b c ,即22)3b +=，解得a =1b =，所以双曲线的方程为：2212x y -=.故选 ：C . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．已知函数()121xf x a =++为奇函数,则()1f =( ) A ．-1 B ．23- C ．16-D ．13【答案】C【解析】根据()1002f a =+=,解得12a =-，得到()11221x f x =-++，即可求解. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++的定义域为x ∈R ,且()f x 为奇函数,可得()1002f a =+=,解得12a =-，所以()11221x f x =-++， 所以()116f =-. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中函数的奇偶性，合理应用求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 5．棱长为2的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A ．4B ．203C ．223D ．8【答案】B【解析】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为2的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为2，结合体积公式，即可求解. 【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为2的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形,高为2, 则该几何体的体积112022242323V =⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6．为计算121001222S =+++⋅⋅⋅+,设计了如图所示的程序框图,则在空白框内应填入( )A ．12n S S +=+B ．21n S S =+-C ．2S S =D ．21S S =+【答案】D【解析】根据给定的程序框图，逐项验证，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当空白框填入12n S S +=+时,执行程序框图,得121001012222S =++⋅⋅⋅++； 当空白框填入21n S S =+-时,执行程序框图,得12100222100S =++⋅⋅⋅+-； 当空白框填入2S S =时,执行程序框图,得0S =；空白框填入21S S =+,第1次循环:1S =,1n =,不满足条件100n >； 第2次循环:121S =⨯+,2n =,不满足条件100n >；第3次循环:()22211122S =⨯++=++,3n =,不满足条件100n >；由此可知,第101次循环:121001222S =+++⋅⋅⋅+,101n =,满足条件100n >. 故选:D . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算功能，其中解答中认真审题，根据给定的程序框图，逐项验证是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7．某校上午7:40开始上课,学生甲､乙两人均在早上7:15至7:40之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则甲比乙至少早5分钟到校的概率为( ) A ．825B ．25C ．1625D ．45【答案】A【解析】设学生甲､乙两人到校时间为x 分钟,y 分钟, 得到(){}025,025,5x y x y y x Ω=≤≤≤≤-≥，，再求得A 为甲比乙至少早5分钟到校所表示的集合A ，结合面积比的几何概型，即可求解. 【详解】由题意，设学生甲､乙两人到校时间分别为x 分钟,y 分钟, 则(){}025,025,5x y x y y x Ω=≤≤≤≤-≥，，设事件A 为甲比乙至少早5分钟到校,则(){}025,025,5A x y x y y x =≤≤≤≤-≥，，如图所示,可得2525625S Ω=⨯=,阴影部分面积为120202002A S =⨯⨯=, 所以()200862525P A ==. 故选：A .【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．在朱世杰所著的《四元玉鉴》中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意是“官府陆续派遣1864人前往筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人比前一天多7个,修筑堤坝每人每天发大米3升,”在该问题中,设第n 天派出的人为n a ,则36912a a a a +++=( ) A ．238 B ．354C ．438D ．834【答案】C【解析】得到每天派出的人数构成首项为64,公差为7的等差数列，即可求解36912a a a a +++的值，得到答案.【详解】由题意，每天派出的人数构成首项为164a =,公差7d =的等差数列{}n a ， 所以()3691239113238438a a a a a a a d a d +++=+=+++=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，其中解答中认真审题，得到每天派出的人数构成首项为64,公差为7的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．已知函数()()()sin 300f x x ωϕωφπ=++><<，为偶函数,()3A a ，,()3B b ，是其图象上两点,若a b -的最小值是1,则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．B ．72-C D ．72【答案】D【解析】由函数()f x 为偶函数,求得2ϕπ=，得到()3cos f x x ω=+,再根据a b -的最小值是1，求得ωπ=,得到函数的解析式，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()()sin 3f x x ωϕ=++为偶函数,所以,2k k Z πϕπ=+∈,因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=，所以()3cos f x x ω=+, 由于a b -的最小值是1,可得1212πω⋅=,所以ωπ=,即()3cos f x x π=+, 则173cos 332f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()0F c -，关于直线b y x c =的对称点P 在椭圆上,则椭圆的离心率是( )A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B【解析】连接FP ,依题意得到2bcFP a=，设椭圆的右焦点为F ',则2F P OM '=，得出22c F P a'=，再利用椭圆的定义，求得2a c =，即可求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】如图所示,连接FP ,交直线by x c=于M 点， 依题意,FP 等于()0F c -，到直线by x c =的距离FM 的2倍，即2bc FP a=，设椭圆的右焦点为F ',则2F P OM '=，因为FMb OMc =,所以2c OM a =,于是22c F P a'=，由椭圆定义,可得2222bc c a a a+=，又由222a b c =+,化简整理得b c =,即2a c =，故离心率22c a =. 故选：B .【点睛】本题考查了椭圆的定义及椭圆的几何性质——离心率的求解，其中椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．11．设M N P ，，分别是长方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,1CC ,11C D 的中点,且2AB =11BC CC ==,Q 是底面ABCD 内一个动点,若直线1D Q 与平面MNP 没有公共点,则三角形1BB Q 的面积的最小值是( ) A ．66B ．34C ．33D ．64【答案】A【解析】作出过M N P ，，三点的截面与底面ABCD 的交线1MM ,得到Q 点在AC 上,得出当线段QB 最短时,1BB Q ∆面积的最小,在Rt ABC ∆中,63QB =,利用面积公式，即可求解. 【详解】如图甲,作出过M N P ，，三点的截面与底面ABCD 的交线1MM , 则平面1ACD P 截面1MM NP ,故Q 点在AC 上, 由于1BB D ∆是Rt ∆,且直角边11BB =,故当线段QB 最短时,1BB Q ∆面积的最小,此时QB AC ⊥, 如图乙,在Rt ABC ∆中,2163AB BC QB AC ⋅⨯===, 所以1BB Q ∆面积的最小值为1661236⨯⨯=. 故选：A .【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，得出截面的形状，结合面积公式求解是解题关键，着重考查了数形结合思想，属于中档试题.12．如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 是正方形，点O 为正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ；下部的形状是长方体ABCD A B C D ''''-.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为()0k k >，下部主体造价与高度成正比，比例系数为8k .若欲造一个上、下总高度为10m ,8AB =m 的仓库，则当总造价最低时，PO =（ ）A ．455mB ．433mC ．4mD ．5m【答案】B【解析】取BC 的中点为E ，表示OE ，由于PO ⊥平面ABCD ，在Rt POE ∆中，设PEO θ∠=，表示PO ，PE ，从而分别表示上部屋顶面积，下部主体的高度，进而表示仓库的总造价的函数关系，利用求导分析单调性，再求得最小值，即为答案. 【详解】如图，设BC 的中点为E ，连接PE OE ，，则4OE =. 由于PO ⊥平面ABCD ，则有PO OE ⊥；在Rt POE ∆中，设PEO θ∠=，则有4tan PO θ=，4cos PE θ=， 所以上部屋顶面积为644cos PBC S S θ∆==，下部主体的高度为104tan h θ=-， 所以仓库的总造价为2sin 83280cos y S k h k k k θθ-⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⎪⎝⎭. 设()2sin 0cos 2f θπθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，所以()22sin 1cos f θθθ-'=.令()0f θ'=，得1sin 2θ=，所以6πθ=；则当06πθ<<时，()0f θ'<，()fθ在06π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减； 当62ππθ<<时，()0f θ'>，()f θ在62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增； 所以当6πθ=时，()fθ有最小值，此时43PO =，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解决实际生活中的造价最低问题，还考查了立体几何的图形关系，属于难题.二、填空题13．若6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-160，则a =______． 【答案】2【解析】表示展开式中的第1r +项，由常数项的未知数的指数为零构建当方程，求得第几项，代入即可. 【详解】6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第1r +项为()616rr r r a T C x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()62661rrr r C a x --=?鬃 当3r =时，常数项3346160T C a =-⋅=-，所以2a =.故答案为：2 【点睛】本题考查由二项式展开项中指定项的值求参数，属于简单题.14．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为7，AO AB AC u u u r u u u r u u u r+=，且AO AB =u u u r u u u r ，则CA u u u r 在u u rCB 方向上的投影为______．73【解析】由AO AB AC u u u r u u u r u u u r +=得OB AC u u u r u u u r=-，则四边形OBAC 是平行四边形，由O 是ABC ∆的外心,又AO AB =u u u r u u u r，所以OAB ∆是正三角形，则四边形OBAC 是菱形，由投影的运算公式即可求得答案. 【详解】由AO AB AC u u u r u u u r u u u r +=，得OB AC u u u r u u u r=-，所以四边形OBAC 是平行四边形，因为O 是ABC ∆的外心,又AO AB =u u u r u u u r，所以OAB ∆是正三角形，则四边形OBAC 是菱形，所以CA u u u r 在u u r CB方向上的投影为cos 6CA u u u rπ=.【点睛】本题考查平面向量的投影的运算，属于中档题. 15．在锐角ABC ∆中，3B π=，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，cos cos 2A C a c ac+=，则a c +的取值范围是______．【答案】32⎛ ⎝【解析】由已知关系结合余弦定理化简整理可得b ，再由正弦定理表示外接圆半径以及a ，c 边，并由辅助角公式整理为一个角的三角函数，又由三角形为锐角三角形构建不等式关系求得角A 的取值范围，从而可求得a +c 的范围. 【详解】由cos cos 2A C a c ac+=结合余弦定理得222222222b c a a b c bc ab a c ac +-+-+=，化简得2b =， 由正弦定理，得ABC ∆的外接圆直径21sin bR B==，则2sin sin sin sin 36a c A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ABC ∆为锐角三角形，则有0,220,32A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩解得62A ππ<<，故2363A πππ<+<，所以362a c A π⎛⎫⎛+=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝.故答案为：32⎛ ⎝ 【点睛】本题考查求三角形两边和的取值范围，常由正弦定理转化为角的关系，由锐角或钝角三角形求得角的范围，进而解决问题，属于较难题.16．函数()f x 的定义域为[)t +∞，，若存在一次函数()g x kx b =+，使得对于任意的[)x t ∈+∞，，都有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 在[)t +∞，上的弱渐进函数.下列结论正确的是______．（写出所有正确命题的序号）①()g x x =是()f x =[)1+∞，上的弱渐进函数； ②()21g x x =+是()13f x x x=+在[)1+∞，上的弱渐进函数； ③()34g x x =-是()ln f x x x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ④()1g x x =+是()xxf x x e =+在[)1+∞，上的弱渐进函数. 【答案】①④【解析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建()()f x g x - ①构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误；③构建关系，取特值()G e ，其绝对值大于1，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】①由于()())1f x g x x x -==≥，1x ≥，所以01<≤，所以①正确；②设()()113211F x x x x x x=+-+=+-，当1x ≥时，()1F x ≥，不符合()1F x ≤，所以②错误；③设()ln 34G x x x x =-+，()421G e e =-<-，()1G e >，不符合()1G x ≤，所以③错误；④设()1x x H x e =-，()1x x H x e ='-，当1x ≥时，()10x x H x e -'=≤，()1xxH x e=-在[)1+∞，上单调递减，所以()()111H x H e ≤=-；又1x ≥时，0x xe>，()11x x H x e =->-，即()1110H x e-<≤-<，所以()1H x <，④正确，综上，①④正确.故答案为：①④ 【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足246n n S S +=+. (1)求数列{}n a 的首项1a 及公比q ;(2)若{}n a 的前n 项积为n T ,1121log n n b T +=,求数列{}n b 的前n 项和n P .【答案】(1)11a =,12q =.(2)21n n P n =+【解析】(1)由246n n S S +=+,得到3146S S =+,4246S S =+,两式相减得4214a a =,求得12q =，再由3146S S =+，求得1a 的值； (2)由(1)知112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,求得()1212n n n T -⎛⎫= ⎪⎝⎭,进而得到1121n b n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭,再结合裂项法，即可求解. 【详解】(1)由题意，正项等比数列{}n a 的满足246n n S S +=+, 可得3146S S =+,4246S S =+, 两式相减得4214a a =,所以24214a q a ==,解得12q =±， 又0q >,所以12q =， 又由3146S S =+，可得()123146a a a a ++=+,解得11a =.(2)由(1)知11112nnna a q--⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以()1011211112222n nnnT--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()11212112log11nnbT n n n n+⎛⎫===-⎪++⎝⎭,则11111122121223111 nnPn n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于常考题.18．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，ED PAP，且22PA ED==.（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求平面CPB与平面CDE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77【解析】（1）连接BD交AC于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，由中位线定理，和空间中平行的传递性可证四边形OFED为平行四边形，即//OD EF，由已知线面垂直和菱形证得OD⊥平面PAC，所以EF⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理得证；（2）由直线PC与平面ABCD所成的角为45°求得AP，分别以AM AD AP，，所在直线为x y z，，轴建立空间直角坐标系A xyz-，有空间坐标表示法表示点P,C,E,D,B,进而求得平面CPB 和平面CDE 的法向量，由向量的数量积求夹角的公式求得，法向量的夹角，观察已知图形为锐二面角，作答即可. 【详解】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ， ∵O F ，分别是AC PC ，的中点， ∴//OF PA ，且12OF PA =， ∵//DE PA ，且12DE PA =， ∴//OF DE ,且OF DE =，∴四边形OFED 为平行四边形，∴//OD EF . ∵PA ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ， ∴PA OD ⊥，又ABCD 是菱形，AC OD ⊥，PA AC A =I ， ∴OD ⊥平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ， 又EF ⊂平面PCE ， ∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）由直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°知，45PCA ∠=o ，∴2AC PA ==， ∴ABC ∆为等边三角形.设BC 的中点为M ，则AM BC ⊥.如图，分别以AM AD AP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()002P ，，，)0C ，，()021E ，，，()020D ，，，)10B -，，)2PC =-u u u v ，，()CE =u u u v ，，()001DE =u u u v ，，，()020CB =-u u u v ，，， 设()m x y z =r，，为平面CPB 的法向量，则0,0,m PC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r即20,20,y z y +-=-=⎪⎩令2x =，可得2,x z =⎧⎪⎨=⎪⎩即(20m =r . 设()111n x y z =r，，为平面CDE 的法向量，则0,0,n DE n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即11110,0,z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令11x =，可得()n =r ，所以cos ,m nm n m n ⋅===r rr r r r故平面CPB 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为77. 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明，还考查了求空间中二面角的余弦值，属于较难题. 19．在平面直角坐标系xOy 中，A B ，为抛物线()2:20C y px p =>上不同的两点，且OA OB ⊥，点D ()12，且⊥OD AB 于点D . （1）求p 的值；（2）过x 轴上一点 ()()00T t t ≠，的直线l 交C 于()11y x M ，，()22N x y ，两点，M N ，在C 的准线上的射影分别为P Q ，，F 为C 的焦点，若2PQF MNF S S ∆∆=，求MN 中点E 的轨迹方程.【答案】（1）52；（2）252524y x =-【解析】（1）由点()12D ，且OD AB ⊥于点D ，可求得直线AB 的方程，联立直线方程与抛物线方程由韦达定理可表示A B y y ×，进而表示A B x x ⋅，再由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=u u u r u u u r构建方程，解得p 值；（2）分别表示PQF S ∆与MNF S ∆，由已知2PQF MNF S S ∆∆=构建方程，解得t 的值，设MN 的中点E 的坐标为()x y ，，当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =构建等式，整理得中点轨迹方程；当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合，综上可得答案. 【详解】（1）由OD AB ⊥及()12D ，，得直线AB 的斜率112OD k k =-=-， 则AB 的方程为()1212y x -=--，即25x y =-+， 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，联立22,25,y px x y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得24100y py p +-=，216400p p ∆=+>，由韦达定理，得10A B y y p =-，于是222210025224A B A B y y p x x p p p =⋅==， 由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=u u u r uu u r，即0A B A B x x y y +=，则25100p -=，解得52p =. （2）由（1）得抛物线的焦点504F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设C 的准线与x 轴的交点为G ， 则12115222PQFS FG PQ y y ∆==⨯-，12115224MNFS FT PQ t y y ∆==--， 由2PQF MNF S S ∆∆=，得5544t -=，且0t ≠，得52t =. 设MN 的中点E 的坐标为()x y ，， 则当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =，可得21212221212105555552222255y y y y y y y yy y x x y y y x x x x ---=⇒=⇒=⇒=-+-----， 25255242y x x ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭； 当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合， 所以MN 的中点的轨迹方程为252524y x =-.【点睛】本题考查由已知关系求抛物线的标准方程，还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的轨迹方程问题，属于难题.20．某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm ）在正常环境下服从正态分布()6836N ，. （1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm 的概率； （2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额x （单位：万元）与年利润增量y （单位：万元）的散点图：该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： 2.5020ˆ.5yx =-； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：ln y b x a =+的附近，对投资金额x 做交换，令ln t x =，则y b t a =⋅+，且有10122.00ii t==∑，101230i i y ==∑，101569.00i ii t y==∑，102150.92i i t ==∑.（I ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；（II ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）. 回归模型模型①模型②回归方程2.5020ˆ.5yx =- l ˆn yb x a =+()1021ˆi i i y y=-∑ 102.28 36.19附：若随机变量()2X N μσ:，，则()220.9544P X μσμσ-≤≤+=，()330.9974P X μσμσ-≤≤+=；样本()(),12i i t y i n =⋅⋅⋅，，，的最小乘估计公式为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-； 相关指数()()22121ˆ1ni i nii y yR y y ==-=--∑∑.参考数据：200.97720.6305≈，200.99870.9743≈，ln 20.6931≈，ln5 1.6094≈.【答案】（1）0.3695；（2）（I ）25l 32ˆn yx =-,（II ）模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，当20x =时，模型②的年利润增量的预测值为ˆ=42.89y （万元），【解析】（1）由已知满足正态分布，则可知μ，σ的值，由正态分布的对称性可知，可求得买一个苹果，其果径小于56mm 的概率()()1561222P X P μσξμσ⎡⎤<=--≤≤+⎣⎦，由独立重复试验概率的运算方式，求得购买20个“糖心苹果”中有果径小于56mm 的苹果概率； （2）（I ）由最小二乘法求得模型②中y 关于x 的回归方程；（II ）分别计算两种模型的相关系数的平方，得模型②的相关系数的平方更大其拟合程度越好，再代20x =进行计算，求得预测值. 【详解】（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径()2X N μσ~，，则68μ=，6σ=. 由正态分布的对称性可知， ()()()()1115616812681212210.95440.0228222P X P X P μσξμσ⎡⎤⎡⎤<=--≤≤+=--≤≤+=⨯-=⎣⎦⎣⎦设一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56mm 的有ξ个，则()20,0.0228B ξ~，故()()()2020110110.022810.97720.3695P P ξξ≥=-==--=-=，所以这名顾客所购买20个“糖心苹果”中有果径小于56mm 的苹果概率为0.3695. （2）（I ）由10122.00ii t==∑，101230i i y ==∑，可得 2.20t =，23y =，又由题，得()()()112221110569.0010 2.20232550.9210ˆ 2.20 2.2010nni i ii i i nni ii i t ty y t y t y bt t t t====---⋅-⨯⨯====-⨯⨯--∑∑∑∑，则23252ˆ.2032ˆay bt =-=-⨯=- 所以，模型②中y 关于x 的回归方程25l 32ˆn yx =-. （II ）由表格中的数据，有102.2836.19>，即()()10102211102.2836.19i i i i y y y y ==>--∑∑，所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 当20x =时，模型②的年利润增量的预测值为()()25ln2032252ln2ln5322520.6931 1.60943242.8ˆ9y=⨯-=⨯+-≈⨯⨯+-=（万元），这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠. 【点睛】本题考查统计案例的综合问题，涉及正态分布求概率、独立重复试验的概率运算以及利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了由相关系数的平方比较模型的拟合程度，属于难题.21．已知函数()()()()21212xf x ex a x e a R =---+∈. （1）若1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围； （2）若a e =，证明：当2m ≥时，()()2ln 21xf x m x x x x ⋅>-+-. 【答案】（1）()a e ∈-∞，；（2）证明见解析【解析】（1）求得()f x 的定义域，并求导，利用分类讨论当0a ≤时，分析单调性显然成立；当0a >时，令()0f x '=，得1x =或ln x a =，再利用分类讨论两根的大小，分别分析单调性讨论是否成立，得到当0a e <<时成立，当a e =时与当a e >时，都不成立，最后综上得参数的取值范围；（2）由（1）可知当a e =时，得()f x 的单调性，从而表示()01f x x >-；将所证不等式等价转化为不等式()ln 21f x x m x x x ⎛⎫>-+ ⎪-⎝⎭对任意的()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立，构建()()ln 0xg x x x x=->，利用导数求得值域()()11g x g ≤=-，最后由不等式的性质即可得证原不等式成立. 【详解】（1）()f x 的定义域为x R ∈，()()()1xf x x e a =--'①当0a ≤时，x R ∈，则0x e a ->， 令()0f x '=，得1x =，当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增； 此时1x =是()f x 的极小值点，符合题意； ②当0a >时，令()0f x '=，得1x =或ln x a =. （i ）当0a e <<时，则ln 1a <，所以当ln x a <时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递增； 当ln 1a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()ln ,1a 上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增， 此时1x =是()f x 的极小值点，符合题意； （ii ）当a e =时，()()()1xf x x e e =--'，当x R ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，1x =不是()f x 的极值点. （iii ）当a e >时，则ln 1a >，所以当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(),1-∞上单调递增；当1ln x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()1,ln a 上单调递减；当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 此时1x =是()f x 的极大值点，不符合题意.综合①②，得(),a e ∈-∞.（2）证明：由（1）可知当a e =时，()f x 在()0,+∞上单调递增； 又()10f =，所以当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >； 所以当01x <<或1x >时，都有()01f x x >-.要证不等式()()2ln 21xf x m x x x x ⋅>-+-对任意的()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立， 即证不等式()ln 21f x x m x x x ⎛⎫>-+ ⎪-⎝⎭对任意的()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立， 设()()ln 0x g x x x x =->，则()221ln x x g x x--'=. 设()21ln h x x x =--，()10h =且()h x 在()0,+∞上单调递减；所以方程()0g x '=的唯一解为1x =，所以当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增； 当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减； 所以当0x >时，()()11g x g ≤=-.当2m ≥时，()ln 2220x mg x m x m x ⎛⎫+=-+<-+≤⎪⎝⎭对任意()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立.所以当2m ≥时，不等式()ln 21f x x m x x x ⎛⎫>-+ ⎪-⎝⎭对任意()()0,11,x ∈⋃+∞都恒成立. 【点睛】本题考查含参函数利用导数解决由极值点讨论参数取值范围问题，还考查了利用导数解决不等式证明问题，属于难题.22．在直角坐标系中,曲线1C的参数方程为1,232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2223cos 3sin ρθθ=+.(1)写出1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程;(2)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时点Q 的直角坐标.【答案】(1)1:40C x y +-=,222:13x C y +=.(2),3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【解析】(1)由曲线1C 的参数方程消去t ，即可得到直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线2C 的直角坐标方程；(2)设2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α为参数),得到)sin Qαα，，结合点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解. 【详解】(1)由曲线1C的参数方程1,23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),消去t ，可得1:40C x y +-=， 由2223cos 3sin ρθθ=+,即2222cos 3sin 3ρθρθ+=, 又由cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程,可得222:13x C y +=，即曲线2C 的直角坐标方程2213x y +=.(2)设2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α为参数),[)02απ∈，,则)sin Q αα，.因为1C 是直线,所以PQ 的最小值即为Q 到1C 距离d 的最小值,23d πα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,当6πα=时,d, 此时Q 为3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23．已知函数()12f x x x a =--+,0a >. (1)当3a =时,求不等式()3f x >的解集;(2)若()()g x f x =-,且()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.【答案】(1)843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；(2)()2+∞，. 【解析】(1)由3a =时,不等式()3f x >化为1233x x --+>，分类讨论，即可求解；(2)由()()12,1312,112,x a x g x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=-=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，求得函数()g x 的图象与x 轴围成三角形的三个顶点坐标，利用三角形的面积公式和题设条件，列出不等式，即可求解. 【详解】(1)当3a =时,不等式()3f x >化为1233x x --+>，当3x <-时，可得()()1233x x --++>,4x >-,解得43x -<<-； 当31x -≤≤时,可得()()1233x x ---+>,83x <-,解得833x -≤<-； 当1x >时，可得()1233x x --+>,10x <-,此时无解,综上可得，不等式()3f x >的解集为843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. (2)因为()()12,112312,112,x a x g x f x x x a x a x a x a x a --<-⎧⎪=-=+--=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，则函数()g x 的图象与x 轴围成三角形的三个顶点分别为2103a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭，,()210B a +，,()1C a a +，,可得()221213ABC C A y S B a ∆=⋅=+，又由()22163a +>,解得2a >, 所以a 的取值范围为()2+∞，. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及应用，其中解答中熟记含有绝对值的不等式的解法，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算求解能力，属于基础题.。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(九)理数-答案
3 2ac
，化
简
得
b
3 2
．由正弦定理，得△ABC
的
外
接圆
直
径
2R
b sin
B
1，
则
a
c
sin
A
sin
C
sin
A
sin
2π 3
A
3
sin
A
π 6
，又△ABC
为锐角三角形，则有
0
0
A C
π2，
2π 3
A
π2，
解得
π 6
n 100 ； 第 2 次 循 环 ： S 1 2 1 ， n 2 ， 不 满 足 条 件 n 100 ； 第 3 次 循 环 ： S 2 (2 1) 1 1 2 22 ， n 3 ，不满足条件 n 100 ；由此可知，第 101 次循环：
图6
0
π 2
，所以
f
( )
2
sin cos2
1
．令
f
( )
0
，得 sin
1 2
，所以
π 6
；则当 0
π 6
时，
f
(
)
0
，
f
(
)
在
0，π6
上单调递减；当
π 6
π 2
2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷(理科)Word版含答案
2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x 2﹣a ≤0}，B={x|x ＜2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，4] B ．（﹣∞，4） C ．[0，4] D ．（0，4）2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列说法正确的是（ ）A ．“x ＜1”是“log 2（x+1）＜1”的充分不必要条件B ．命题“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”C ．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题D ．命题“若a+b ≠5，则a ≠2或b ≠3”为真命题．4．已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称 B ．f （x ）的周期为πC ．若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+2k π（k ∈Z ）D ．f （x ）在区间[，]上单调递减5．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a 0，a 1，a 2，…，a n 分别为0，1，2，…，n ，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（ ）A ．248B ．258C ．268D ．2786．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．48．已知实数x ，y 满足x 2+4y 2≤4，则|x+2y ﹣4|+|3﹣x ﹣y|的最大值为（ ） A ．6B ．12C ．13D ．149．三棱锥A ﹣BCD 内接于半径为的球O 中，AB=CD=4，则三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m 最小时，点P 恰好在以F ，Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数f （x ）=lnx 与函数g （x ）=x 2+2x+a （x ＜0）有公切线，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（ln ，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣ln2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f （x ）=e x +x 3，若f （x 2）＜f （3x ﹣2），则实数x 的取值范围是 ． 14．点P 是圆（x+3）2+（y ﹣1）2=2上的动点，点Q （2，2），O 为坐标原点，则△OPQ 面积的最小值是 ．15．已知平面向量满足，则的最小值是 ．16．已知数列{a n }满足a 1=2，且，则a n = ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）证明：△ABC 为钝角三角形；（2）若△ABC 的面积为，求b 的值．18．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示． （1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求二面角B﹣CD﹣A的余弦值．20．已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y）（x≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；（2）设，若对∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．[0，4] D．（0，4）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出结论．【解答】解：a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，再求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵ =，∴，则其共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：（，﹣），位于第三象限．故选：C．3．下列说法正确的是（）（x+1）＜1”的充分不必要条件A．“x＜1”是“log2B ．命题“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”C ．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题D ．命题“若a+b ≠5，则a ≠2或b ≠3”为真命题． 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．【解答】解：选项A ：log 2（x+1）＜1可得﹣1＜x ＜1，所以“x ＜1”是其必要不充分条件；选项B ：“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；选项C ：命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题是“若ac 2≤bc 2，则a ≤b ”， 当c=0时，不成立；选项D ：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真． 故选：D ．4．已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称 B ．f （x ）的周期为πC ．若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+2k π（k ∈Z ）D ．f （x ）在区间[，]上单调递减【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】f （x ）=|sinx|•cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵f （x ）=|sinx|•cosx=，故函数的图象关于直线x=k π，k ∈Z 对称，故A 错误； f （x ）的周期为2π中，故B 错误；函数|f （x ）|的周期为，若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+k π（k ∈Z ），故C 错误；f （x ）在区间[，]上单调递减，故D 正确；故选：D5．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a 0，a 1，a 2，…，a n 分别为0，1，2，…，n ，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（ ）A ．248B ．258C ．268D ．278 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解． 【解答】解：该程序框图是计算多项式f （x ）=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x=2时的值， 而f （2）=258， 故选：B ．6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，以体积为测度，即可得出结论．【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，体积为=，∴所求概率为=，故选：A ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，画出几何体的直观图，进而可得答案．【解答】解：由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为，故选A．8．已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为（）A．6 B．12 C．13 D．14【考点】绝对值三角不等式．【分析】设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），即可得出结论．【解答】解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为12，故选B．9．三棱锥A﹣BCD内接于半径为的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A﹣BCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=××4×h×4，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为，则四面体ABCD的体积的最大值为V=××4×2×4=．故选：B．10．已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m 有最小值，设P （），然后求解a ，c ，即可求解椭圆的离心率、【解答】解：由已知，F （0，1），Q （0，﹣1），过点P 作PM 垂直于准线，则PM=PF ．记∠PQM=α， 则m=，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ 与抛物线相切于点P设P （），可得P （±2，1），所以|PQ|=2，|PF|=2，则|PF|+|PQ|=2a ，∴a=，c=1，∴e==，故选：D ．11．函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】依题意可求得A ，B ，C ，D 的横坐标值，得==，利用基本不等式可求最小值．【解答】解：在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），y=|log3x|的图象，如图，设A（x1，y 1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由|log3x|=m，得x1=3﹣m，x2=3m，由log3x|=，得x3=，x4=．依照题意得==，又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥，当且仅当（2m+1）=，即m=时取“=”号，∴的最小值为27，故选B．12．若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣ln2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=e x+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是（1，2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可．【解答】解：因为函数f（x）=e x+x3，可得f′（x）=e x+3x2＞0，所以函数f（x）为增函数，所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等价于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，故答案为：（1，2）．14．点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是 2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值．【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x，所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以△OPQ面积的最小值为．故答案为2．15．已知平面向量满足，则的最小值是 4 ．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q），根据向量的数量积的运算得到n=﹣，再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案．【解答】解：不妨设=（1，0），=（m ，n ），=（p ，q ）则m=1，p=2， =2+nq=1，则nq=﹣1，∴n=﹣，∴=（1，﹣），=（2，q ），∴2=+2+2+2•=1+1++4+q 2+2+2+4=14++q 2≥14+2=16，∴≥4，当且仅当q 2=1，即q=±1时“=”成立．故答案为：416．已知数列{a n }满足a 1=2，且，则a n =．【考点】数列递推式．【分析】由，可得：=+，于是﹣1=，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：由，可得：=+，于是﹣1=，又﹣1=﹣，∴数列{﹣1}是以﹣为首项，为公比的等比数列，故﹣1=﹣，∴a n =（n ∈N *）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进而可求b的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．又∵sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，所以，所以，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形．…（2）解：因为，∴．又，∴，∴bc=24．又，所以，∴b=4．…18．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示． （1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图能完成2×2列联表，由列联表求出K 2≈3.46＜3.841，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：K2=≈3.46＜3.841，所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．…（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以分布列为数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．…19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求二面角B﹣CD﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．可得四边形MFEN为平行四边形，即可证明EF∥平面ABC．法二，取AD中点G，连接GE，GF，得平面GEF∥平面ABC，即可对EF∥平面ABC（Ⅱ）解：作BO⊥AC于点O，过点O作OH∥PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，利用向量法求解．【解答】（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．∵点E为CD的中点，∴EN∥AD，EN=．又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．∴FM=，FM∥AD，∴FM∥EN且FM=EN，所以四边形MFEN为平行四边形，∴EF∥MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．…法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，所以EF∥平面ABC．…（Ⅱ）解：作BO⊥AC于点O，过点O作OH∥PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则C（0，，0），B（），D（0，﹣，1），∴，则平面CDA的一个法向量为设平面CDB的一个法向量为，则可取，所以cos＜＞==，所以二面角B﹣CD﹣A的余弦值为．…20．已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y）（x≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x，y）为轨迹上任意一点，则N（2x，2y），把N点坐标代入抛物线E的方程化简即可；（2）设圆的切线斜率为k ，得出切线方程，计算A ，B 的坐标，利用根与系数的关系计算|AB|，从而得出△QAB 的面积关于x 0的函数，求出此函数的最小值即可． 【解答】解：（1）设线段ON 的中点坐标为P （x ，y ），则点N （2x ，2y ）， ∵N 为在抛物线y 2=8x 上的动点， ∴4y 2=16x ，即y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为：y 2=4x ．（2）设切线方程为：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0）， 令y=0，得x=x 0﹣，∴切线与x 轴的交点为（x 0﹣，0），圆心（2，0）到切线的距离为d==2，∴（2k+y 0﹣kx 0）2=4（1+k 2），整理得：（x 02﹣4x 0）k 2+（4y 0﹣2x 0y 0）k+y 02﹣4=0，设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=，k 1k 2=，∴S △QAB =|（x 0﹣）﹣（x 0﹣）|•|y 0|=y 02||==2[（x 0﹣1）++2]令x 0﹣1=t ，则f （t ）=t++2，t ∈[4，+∞）， 则f ′（t ）=1﹣＞0，∴f （t ）在[4，+∞）上单调递增，∴f （t ）≥f （4）=，∴S △QAB =2f （t ）≥，∴△QAB 的面积的最小值为．21．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣ax ．（1）若曲线y=f （x ）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值；（2）令g （x ）=f （x ）+（x 2﹣a 2），若x ≥0时，g （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当a=0且x ＞0时，证明f （x ）﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a ，设h （x ）=e x ﹣2x ，求出导数和单调区间，以及最小值，可得f （x ）的单调性，进而得到f （x ）的最值；（2）求得g （x ）的导数，令m （x ）=e x ﹣x ﹣a ，求出单调区间和最值，讨论（i ）当1﹣a ≥0即a ≤1时，（ii ）当1﹣a ＜0即a ＞1时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到a 的范围；（3）f （x ）﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1等价于e x ﹣x 2﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1，即e x ﹣ex ≥xlnx ﹣x+1．等价于﹣lnx ﹣﹣e+1≥0．令h （x ）=﹣lnx ﹣﹣e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．【解答】解：（1）∵f ′（x ）=e x ﹣2x ﹣a ，∴f ′（0）=1﹣a=1，∴a=0，∴f ′（x ）=e x ﹣2x ，记h （x ）=e x ﹣2x ，∴h ′（x ）=e x ﹣2，令h ′（x ）=0得x=ln2．当0＜x ＜ln2时，h ′（x ）＜0，h （x ）单减；当ln2＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单增，∴h （x ）min =h （ln2）=2﹣2ln2＞0，故f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）min =f （0）=1，f （x ）max =f （1）=e ﹣1．（2）∵g （x ）=e x ﹣（x+a ）2，∴g ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ． 令m （x ）=e x ﹣x ﹣a ，∴m ′（x ）=e x ﹣1，当x ≥0时，m ′（x ）≥0，∴m （x ）在[0，+∞）上单增，∴m （x ）min =m （0）=1﹣a ． （i ）当1﹣a ≥0即a ≤1时，m （x ）≥0恒成立，即g ′（x ）≥0，∴g （x ）在[0，+∞）上单增，∴g （x ）min =g （0）=1﹣≥0，解得﹣≤a ≤，所以﹣≤a ≤1．（ii ）当1﹣a ＜0即a ＞1时，∵m （x ）在[0，+∞）上单增，且m （0）=1﹣a ＜0， 当1＜a ＜e 2﹣2时，m （ln （a+2））=2﹣ln （2+a ）＞0，∴∃x 0∈（0，ln （a+2）），使m （x 0）=0，即e=x 0+a ．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单减； 当x ∈（x 0，ln （a+2））时，m （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单增．∴g （x ）min =g （x0）=e ﹣（x 0+a ）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0，∴e≤2可得0＜x 0≤ln2，由e =x 0+a ，∴a=e﹣x．记t（x）=e x﹣x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=e x﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，综上，a∈[﹣，2﹣ln2]．（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于e x﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即e x﹣ex≥xlnx﹣x+1．∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x﹣1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标坐标变为原来的2倍，得到曲线C1的极坐标方程为．系，曲线C2的极坐标方程；（1）求曲线C1的交点为O，P，与曲线（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为Q，求△MPQ的面积．C2【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由题意求出曲线C 1的参数方程，从而得到曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程．（2）设点ρ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l 的极坐标方程为，它与曲线C 1的交点为O ，P ，分别求出O ，P 的极坐标，从而求出|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，再由M 到直线l 的距离为，能求出△MPQ 的面积．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】 解：（1）∵曲线（t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1，∴由题意知，曲线C 1的参数方程为（t 为参数），∴曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2=1，即x 2+y 2﹣2x=0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． … （2）设点ρ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），则由，得P 的极坐标为P （1，），由，得Q 的极坐标为Q （3，）．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，又M 到直线l 的距离为，∴△MPQ 的面积．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|﹣2|x ﹣1|．（1）求f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积； （2）设，若对∀s ，t ∈（0，+∞）恒有g （s ）≥f （t ）成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）求出f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），即可求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；（2）求出g（s）有最小值4﹣a，f（t）有最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|=∴f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），∴f（x）的图象与x轴围成的三角形面积S==．…（2）∵∀s∈（0，+∞）恒有g（s）=s+﹣a≥4﹣a，∴当且仅当s=2时，g（s）有最小值4﹣a．又由（Ⅰ）可知，对∀t∈（0，+∞），f（t）≤f（1）=2．∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，等价于4﹣a≥2，即a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．…。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(七)理数-答案
(an 2 bn) [a(n 1) 2 b(n 1)] 2an a b ， a1 也满足上式，所以 an 2an a b，n ≥ 1，
5．以判断框入口为准，S 0，k 1 ；S 1，k 2 ；S 1 23 9，k 3 ；S 9 33 36，k 4 ；
S 36 43 100，k 5 4 ，所以
中应填入 k ≤ 4 ，故选 B．
π 1 π π 1 6．设 g ( x) lg( x x 2 1) ，则 g ( x) 为奇函数，又 f g a ，则 g a ， 3 2 3 3 2
2 ，故选 D． 2
10 ． 如 图 1 所 示 ， 将 正 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 补 成 直 四 棱 柱 ABCD A1 B1C1 D1 ，连接 CD1 ，则 CD1 //A1 B ，则 B1CD1 为异面
直线 A1 B 与 B1C 的所成角，设 AA1 a ，在 △B1CD1 中， B1C
∴
f (2019) f (2018) ，即 f (2019) e f (2018) ，故②错误；③令 H ( x) x 2 f ( x) ，则 e2019 e2018
H ( x) 2 xf ( x) x 2 f ( x) x[2 f ( x) xf ( x)] ， 当 x 0 时 ， 由于 xf ( x) 2 f ( x) 0 ， 所 以
S 4 πR 2 9 π ，故选 C．
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(四)理数-答案
又 CF SF F ，
∴平面 BDE // 平面 SCF .
…………………………………………………（6 分）
（2）解：取 CD 的中点 O ，连接 SO . ∵△SCD 是等腰三角形， O 是 CD 的中点，∴ SO CD ，
又平面 SCD 平面 AFCD ，平面 SCD 平面 AFCD CD ，
10．设菱形的边长为
k
(k
0)
，由题意知，椭圆的长半轴长为
k
，短半轴长为
k 2
，半焦距为
3k ， 2
所以 e1
3 2
，双曲线的渐近线与菱形的相邻两边平行，则渐近线的倾斜角为
30
和150
，
斜率为
3 ，即 b
3
a
3 3
，所以
e2
c a
1
b2 a2
23 3
，所以 e1e2
1 ，故选 C．
11．由题可知，对任意的 x (0， ) ，都有 f [ f (x) x3 ] 2 ，又由 f (x) 是定义在 (0， ) 上
的单调函数，则 f (x) x3 为定值，设 t f (x) x3 ，则 f (x) x3 t ，又有 f (t) 2 ，即
t3 t 2 ，解得 t 1 ，则 f (x) x3 1， f (x) 3x2 ，将 f (x)，f (x) 代入到 f (x) f (x) 2
中，可得 x3 3x2 1 0 ，令 h(x) x3 3x2 1 ，则有 h(3) 1 0 ， h(4) 15 0 ，则 h(x)
∴ SO 平面 AFCD .
取 AB 的中点 H ，连接 OH .
理科数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
由题设知四边形 ABCD 为矩形，∴ OH CD ， SO OH . 如图 5，建立空间直角坐标系 O xyz ，
2019届云南师范大学附属中学高考适应性月考卷一理科数学试卷【含答案及解析】
2019届云南师范大学附属中学高考适应性月考卷一理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合A＝{0 ， 1 ， 2 ， 4} ， B＝，则＝（）A ．｛1 ， 2 ， 3 ， 4｝___________B ．｛2 ， 3 ， 4｝_________C ．｛2 ，4｝_________D ．｛｝2. 若复数的共轭复数是，其中 i 为虚数单位，则点（ a ， b ）为（）A ．（一1 ． 2 ）B ．（－2 ， 1 ）C ．（ 1 ，－2 ）D ．（ 2 ，一1 ）3. 已知函数，若＝－1 ，则实数 a 的值为（）A、2___________B、±1___________ C ． 1___________ D、一14. “0≤m≤l”是“函数有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充分必要条件____________________D ．既不充分也不必要条件5. 将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率 = 〕（）A、___________B、___________C、___________D、6. 在△ABC中，， AB =2 ， AC＝1 ， E ， F为BC的三等分点，则（）A、___________B、___________C、___________D、7. 已知，则（）A、________B、C、________D、8. 设实数 x ， y 满足则的取值范围是（）A、___________B、___________C、___________D、9. 定义 min{a ， b}= ，在区域任意取一点P （ x ，y ），则 x ， y 满足 min ｜ x+y+4 ， x 2 +x+2y ｜ = x 2 +x+2y 的概率为（）A、___________B、___________ C 、___________ D、10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2 ，在鳖臑 PABC中，PA ⊥平面ABC ，AB⊥BC ，且AP=AC=1 ，过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F ，连接EF当△AEF的面积最大时，t an ∠BPC的值是（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．11. 设定义在（ 0 ，）上的函数f （ x ），其导数函数为，若恒成立，则（）A．_________B．C．_________D ．12. 设直线与抛物线 x 2 =4y相交于A ， B两点，与圆C：（ r>0 ）相切于点M ，且M为线段AB的中点，若这样的直线恰有4条，则r 的取值范围是（）A ．（ 1 ， 3 ）B ．（ 1 ， 4 ）___________C ．（ 2 ， 3 ） _________D ．（ 2 ， 4 ）二、填空题13. 如图，这是一个把k进掉数a （共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输人的 k ， a ， n 分别为2 ， 110011 ， 6 ，则抢出的b＝________________________ ．14. 若函数在上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是___________ ．15. 设椭圆 E ：的右顶点为 A 、右焦点为F ， B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C ，若直线BF平分线段AC ，则椭圆E的离心率是______________ ．16. 设则不大于S的最大整数［S］等于___________三、解答题17. （本小题满分12分）已知数列｛a n ｝的首项al＝1 ，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前 n 项和．18. （本小题满分12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙公司和丙公司面试的概率均为 p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记为该毕业生得到面试的公司个数，若P （＝0 ）＝．（1）求 p 的值：（2）求随机变量的分布列及数学期望．19. （本小题满分12分）如图，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC ， SA=SC＝， M为AB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角S一CM－A的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4 ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M，N，设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求 t 的取值范围．21. （本小题满分12分）已知f （ x ）＝，曲线在点（ 1 ， f （ 1 ））处的切线斜率为2 ．（1）求f（x）的单调区间；（ 2 ）若2 f（x）一（k＋1） x ＋k>0（k Z）对任意 x ＞1都成立，求k的最大值22. （本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】如图，已知圆的两条弦AB ， CD ，延长AB ， CD交于圆外一点E ，过E作AD的平行线交CB的延长线于F ，过点F作圆的切线FG ， G为切点．求证：（1）△EFC∽△BFE；（2） FG＝FE ．23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xO y中，已知曲线C：为参数），以平面直角坐标系 x O y 的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l ： =6 ．（1）在曲线C上求一点P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点M（一1，0）且与直线 l 平行的直线 l 1 交C于A，B两点，求点M到A，B 两点的距离之积．24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设f （ x ）＝｜ x ＋2｜＋｜2 x －1｜－ m ．（1）当 m ＝5时．解不等式f（x）≥0；（2 ）若f （ x ）≥ ，对任意恒成立，求 m 的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
云南省云南师范大学附属中学2019届高三高考适应性月考卷数学(理)试题Word版含解析
绝密★启用前云南省云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考卷高三数学（理）试题考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，但其中第12题相对比较新颖，第9、10、11、12、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力，同时也注重知识交汇性的考查，如第10题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第20题考查分类讨论、构造函数、转化的思想、推理与计算能力，第19题探索性命题、考查了转化思想、推理和空间想象能力．第23题考查了恒成立问题，体现转化思想，本卷适合第一轮复习使用．一、选择题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 4B. -4C. 5D. -55．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A. -2B. -3C. -4D. -56．若的展开式中常数项为，则实数的值为（）A. B. C. -2 D.7．将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B.C. D.9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.10．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.11．已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12．已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4二、填空题13．若实数满足不等式组，则的最小值为__________．[KS5UKS5U] 14．设数列的前项和为，且，，则__________．15．已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是__________．16．已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题17．在中，分别是角的对边，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.18．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设与曲线相交于两点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）解不等式；（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.云南省云南师范大学附属中学2019届高三高考适应性月考卷数学（理）试题参考答案1．C【解析】，∴，故选C．2．B【解析】，，对应点为 ,故选B．3．B【解析】对于成立是真命题，∴，即，故选B．4．A【解析】由题意可知输出结果为，故选A．【方法点晴】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5．D【解析】∵，∴，故选D．【方法点晴】已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间是单调区间的子集；8．A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，，∴，故选A．9．A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．【方法点晴】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．【方法点晴】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．C【解析】对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C．【方法点晴】函数的双变元问题，任意的，都有成立，等价于在，函数，转化为两侧的函数最值问题，先求出最值好求的一边，，转化为恒成立，再变量分离；13．【解析】画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．和相交于一点A，，目标函数最小时即截距最小时，由图像知在A点取得；故结果为14;14．【解析】①，②，①②得：，又∴数列，首项为1，公比为的等比数列，∴．故结果为85；15．【解析】依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，，如图2，点恰好取自区域的概率．故结果为；【方法点晴】考查集合概型，和积分，利用面积之比求出概率即可；则，切线的斜率为，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．【方法点晴】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．17．【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得，最后根据三角形内角范围求角的大小；（2）由余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据面积公式得最大值18．【解析】试题分析：（1）计算K 2的值，根据K 2的值，，可得没有以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（2）用样本容量乘以男生所占的比例，可得应抽取的男生数，用样本容量乘以女生所占的比例，可得应抽取的女生数． 试题解析：（Ⅰ）列联表补充如下：[KS5UKS5UKS5U]由题意得，∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，则抽取男生人，抽取女生人，所以的分布列服从参数的超几何分布，的所有可能取值为，其中．由公式可得， ，[KS5UKS5U][KS5UKS5U.KS5U所以的数学期望为．[KS5UKS5U.KS5U19．【解析】（Ⅰ）证明：由已知，得，∵，，试题解析：又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．则，因为在平行四边形中，，则，∴．又，知．设平面的法向量为，则即取，则．设平面的法向量为，则即取，则．若平面与平面所成的二面角为，则，即，化简得，即，解得（舍去）或．于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．【方法点晴】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角；20．【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值（2）先根据导函数是否变化分类讨论：当时，导函数恒为正，所以最小值为；当时，导函数先负后正，所以最小值为；当时，导函数为负，最小值为，最后根据最小值为1，解对应的值。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(三)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBCABDCDAAB【解析】1．{(21)(31)(41)(32)(42)(43)}card()6P P ==，，，，，，，，，，，，，P 的非空子集的个数为621-63=，故选C ．2．(i 1)(1i)(2i 1)(1i)13i z +-=--=+，1313i i 2222z z =+=-，，故选B ． 3．172635489229a a a a a a a a a +=+=+==+=，，∴916S =，故选B ．4．由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=，故选C ．5．213(sin cos )12sin cos 2sin cos 044A A A A A A A +=+==-<，，为钝角，2(sin cos )1A A -=-772sin cos sin cos 4A A A A =-=，，∴17cos A -=，故选A ． 6．由题意可知22i x ==，；324i x ==+，；4246i x ==++，；L ；5524108i x ==+++L ，，最后输出的2461085554x ++++==L ，故选B ．7．2222|32|9||12||||cos604||132||3||20m n m m n n n n -=-︒+=--=u r r u r u r r r r r ，，解得||2n =r，故选D ． 8．他只能再试两次，第一次试成功的概率是14，第二次试成功的概率是311434=g ，两次是互斥事件，∴111442P =+=，故选C ． 9．由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取3时球的半径为2，而23>3理科数学参考答案·第2页（共9页）∴3max 44ππ3333V R ==⨯43π=，故选D ．10．由题可知(1)1(0)0f f -==，，∴(1)(0)(1)011(2)(1)(0)1f f f f f f =--=-=-=-=--，01=-，(3)(2)(1)110(4)(3)(2)011f f f f f f =-=-+==-=+=，，(5)(4)(3)f f f =-=101(6)(5)(4)110f f f -==-=-=，，L ，当123n =L ，，，时，()f n 的取值依次是11--，，011011--L ，，，，，，，故()f x 的取值是以6为周期，且(1)(2)(6)f f f +++L0=，∴(1)f (2)f +(2019)3360(1)(2)(3)2f f f f ++=⨯+++=-L ，故选A ．11．由题意可知12(0)(0)F c F c -，，，，一条渐近线方程为by x a=-，1F 到它的距离为d =22a b +b =，设1PF 与渐近线交于M ，因为线段1F P 被双曲线的渐近线垂直平分，则1||||F M MP b ==，连接2PF ，由双曲线的定义有122||||2||22PF PF a PF b a -=⇒=-，又O为12F F 的中点，∴2//OM F P ，∴21F PF ∠为直角，∴22244()4c b a b =-+，又22c b =+2a ， ∴22b a c =⇒2245ca a e a-=⇒==，故选A ． 12．令()2()e x f x F x +=，则()()2()0e x f x f x F x '--'=>，∴()F x 在R 上为增函数，又(1)e 2f =-，∴(1)2(1)1e f F +==，∵()2e x f x +>可化为()21e xf x +>，即()(1)F x F >，∴(1)x ∈+∞，，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案 (14]，21y x =-+1009m1(220)x y y =-<<≠，【解析】13．如图1，画出不等式组的区域，(13)(11)(22)A B C ，，，，，，22(2)x y +-表示ABC △内部的点()M x y ，到(02)P ，的距离的平方，所以221(2)4x y <+-≤．理科数学参考答案·第3页（共9页）14．3e (31)e (32)e x x x y x x '=-+-+=--，所以0|2x k y ='==-，故切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+．15．在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010a a a a a a a a ====L 10m =，∴12lg lg a a ++L+2018122018lg lg()a a a a ==g gL g 100912018lg()1009lg101009m a a m ==g ．16．如图2，∵(10)(10)F P -，，，，设1122()()A x y B x y ，，，，()M x y ，，l ：(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，，得2222(24)0k x k x k +-+=212122421k x x x x k-⇒+==g ，，并且0∆>⇒110k k -<<≠，，∵||||||||||||MA AM PB BM PA MB =⇒=u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g ||||PA PB ， 而1122||||x x y y MA MB x x y y --==--，12||||y PA PB y =，∴12y y y y -=-12y y ，从而有21212121222(1)(1)2(1)(1)y y k x x y ky y k x k x ++===++++，又()M x y ，在线段AB 上，即2(1)12k k x x =+⇒+=1x ⇒=，又110k k -<<≠，，所以M 点的轨迹方程是1(220)x y y =-<<≠，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵54sin cos 135B ADC =∠=，， ∴123cos sin 135B ADC =∠=，， ∵3124516sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=，由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠．………………………………………………………………………………（6分）图1图2理科数学参考答案·第4页（共9页）（2）∵3sin sin(π)sin 5BDA ADC ADC ∠=-∠=∠=， 由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=， ∴115sin 39322402213ABC S BA BC B ==⨯⨯⨯=g g △． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知3x =，100y =，∴5152215141515008.555455i ii ii x yx ybxx ==--===---∑∑$，$125.5a y bx =-=$， ∴所求回归直线方程为$8.5125.5y x =-+． ……………………………………（5分） 令9x =，则$8.59125.549y =-⨯+=， ∴该学校第9周的不文明人次为49人次． …………………………………………（6分） （2）∵012X =，，，3436C 41(0)C 205P X ====，214236C C 123(1)C 205P X ====，124236C C 41(2)C 205P X ====， 所以X 的分布列如下：X0 1 2()P X15 35 15………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：在PCD △中，22PC PD CD ===，，222PC PD CD +=， ∴PC PD ⊥，∵90CDA ∠=︒，∴AD CD ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =， ∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥， 又PD AD D =I ，∴PC ⊥平面PAD ，理科数学参考答案·第5页（共9页）∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． …………………………………………………………（6分） （2）解：取CD 的中点O ，连接PO ，OB ， ∵2PC PD ==，∴1PO CD PO ⊥=，，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =， ∴PO ⊥平面ABCD ，如图3，以O 为原点建立空间直角坐标系，则11(000)(110)(100)(010)(010)(001)022O A B C D P E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设平面ACE 的法向量为1111()n x y z =u u r，，，∵11(120)122AC CE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，，，∴11111112011022n AC x y n CE x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u r u u u rg u u r u u u r g ，，∴1(210)n =u u r ，，， 设平面CDE 的法向量为2222()n x y z =u u r，，，∵11(020)122DC CE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，，， ∴2222222011022n DC y n CE x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u r u u u rg u u r u u u r g ，，∴2(101)n =-u u r ，，， ∴12121210cos ||||52n n n n n n ===⨯u u r u u ru u r u u r g u u r u u r g <，>，由图可知二面角A CE D --的平面角为锐角， 所以二面角A CE D --的余弦值为10． ………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得2145AF F ∠=︒，所以由1AB AF ⊥和椭圆的定义，得12AF AF a ==，图3理科数学参考答案·第6页（共9页）并且2222242a c a c =⇒=，又124F AF S =△， 得28a =，24c =，故2224b a c =-=，所以椭圆E ：22184x y +=．……………………………………………………（4分） （2）①当直线1l 的斜率为0时，2l 的斜率不存在，此时||242AB a ==22||22b CD a==，11||||4222822ACBD S AB CD ==⨯=g ；……………………………………（6分） ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+， 则直线CD 的方程为12x y m=-+，设1122()()A x y B x y ，，，， 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，，得22(2)440m y my ++-=， 2221616(2)32(1)m m m ∆=++=+，212421||m y y ∆+-=， 221242(1)||1|m AB m y y +=+-=………………………………………………（8分） 用1m -取代m ，得222142142(1)||12m m CD m ⎫+⎪+⎝⎭==+， ∴221142(1)42(1)||||22ACBDm m S AB CD ++==g 42422424221(252)168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++ 2288225m m=-++， …………………………………………………………………（10分）又22224m m +≥，当且仅当1m =±时取等号， 所以22864882925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++，，理科数学参考答案·第7页（共9页）综上，四边形ACBD 面积的取值范围是6489⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）2(1)(1)()()(1)= (0)a x a x a x x a f x x a x x x x-++--'=-++=>，当1a ≤时，()f x 在[1e]，上为增函数，∴min 9()(1)2f x f a ==-； 当1e a <<时，()f x 在(1)a ，上为减函数，在(e)a ，上为增函数， ∴2min()()5ln 2a f x f a a a a ==--++；当e a ≥时，()f x 在[1e]，上为减函数，∴2min e ()(e)(1)e 52f x f a a ==-+++，综上所述，当1a ≤时，min 9()2f x a =-； 当1e a <<时，2min ()5ln 2a f x a a a =--++；当e a ≥时，2mine ()(1)e 52f x a a =-+++． …………………………………………（6分）（2）由题可知min min ()()f x g x <， 由（1）知，当e a ≥时，2min e ()(1)e 52f x a a =-+++， 下求()g x 的最小值，()e 2(0)x g x x x '=-≥，∴()e 2x g x ''=-，令()0g x ''=，则ln2x =，令()0g x ''>，则ln2x >；令()0g x ''<，则0ln2x <<， ∴()g x '在(0ln 2)，上为减函数，在(ln 2)+∞，上为增函数， ∴()(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g x g ''=-=->≥， 故()g x 在[0)+∞，上为增函数，∴min ()(0)1g x g ==，∴2e (1)e 512a a -+++<，∴2e 2e 82e 2a -+>-，理科数学参考答案·第8页（共9页）又22e 2e 88e e 02e 22e 2-+--=>--，∴2e 2e 82e 2a ⎛⎫-+∈+∞ ⎪-⎝⎭，． ……………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵2ρ=，∴24ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………（1分） 由点A 的极坐标为π26⎛⎫⎪⎝⎭，，知点A 的直角坐标为(31)，， 菱形ABCD 的顶点都在圆2C 上，所以菱形ABCD 是正方形，故知各顶点的直角坐标为(31)(13)(31)(13)A B C D ----，，，，，，，． ………………………………………………………………………………（5分）（22222||||||||MA MC MB MD ++22222222(3)(1)(3)(1)(1)(3)(1)(3)x y x y x y x y -+-++++++-+-++g222222228228228x y x y x y ++++++g ，将22440x y --=22222||||||||10MA MC MB MD x ++=，∵||1x ≥，∴21x ≥2222||||||||10MA MC MB MD ++，当1x =±时，取得最小值10． ………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：当12a =时，1221111()12222122x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，结合图象知，不等式()2f x <的解集{|11}M x x =-<<， …………………………（2分） 同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………………………………（4分）（2）证明：∵m M n P ∈∈，，理科数学参考答案·第9页（共9页）∴22111114122m n m n -<<-<<<<，，，， 22222222(2)(12)441(1)(14)0m n mn m n m n m n +-+=+--=--<，∴22(2)(12)m n mn +<+，即|2||12|m n mn +<+． ………………………………（10分）。