第二十三节相似三角形之内接矩形

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相似三角形之内接矩形

相似三角形——内接矩形【典型例题】例1 已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =2，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。

例2 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AD=m ，BE=n ，求正方形的边长？例3 如图，在地角边为3和4的直角三角形中作内接正方形，比较两种作法中正方形面积的大小。

例4 如图，在△ABC 中，AH 为高，内接矩形DEFG 的边长DE 与BC 重合，且BC=48cm ，AH=16cm ，EF ：DE=5：9，求内接矩形的周长。

34例5 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，如图所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种图形的矩形面积大些？例6 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，设BC ab =（这是一个二位数），EF c =，三角形的高AD=d 。

已知：a 、b 、c 、d 恰好是从小到大的四个连续整数，试求△ABC 的面积。

例7 在Rt △ABC 中，有矩形DEFG ，D 在AB 上，G 在AC 上，EF 在斜边BC 上，已知AB=3，AC=4， S 矩DEFG =35，求BE 和FC 的长。

E FME FM例8 如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？位似图形的作法1．位似图形的定义：两个要素① ② 2．位似图形的性质：①位似图形的和位似中心在同一条直线上，且它们到位似中心的距离之比等于。

②位似图形的对应线段③两位似图形的方向或者或者④两位似图形的一定，但图形不一定位似 ⑤位似图形的对应角，对应边。

3．4.作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.G MAB CDE 都有该图的位似图形。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版

A
P
E
N
B QD
C M
(1)
A Q F
P M
E
B
C
D
N
(2)
；；
； /ben8Nw9w1 ； /benrXiaOg ； /benl4S7gt ； /benWRAKDb ； /benD9EDOH ； /bengjr9Ui ； /benj1AekY ； /benkv8Rqm ； /benGMD9Y7 ； /benc2hoqR ； /benMXGdwm ； /benbSkr9z ； /benbEj1PF ； /benJlKEzV ； /benOYR1rv ； /bengvRyuN ； /ben8qznNA ； /benD4fg2x ； /benjLU2Nl ； /benxjk2Ov ； /benxUkH5z ； /benPujh22 ； /benV14T69 ； /benK9rqoY ； /ben6VGka8 ； /ben5exyJF ； /benU73YKY ； /benFbkVY ； /benBkW3wt ； /benjqUwkI ； /benRrJwIG ； /benryiX3w ； /beny8AZiL ； /ben8MogAx ； /ben3lOKwC ； /ben1kiimk ； /benbl7cBm ； /benqyTdFy ； /benjzEj4E ； /benY8Ds8t ； /benliGSET ； /benG3dxvS ； /benWbT1X1 ； /benxsmAkA ； /ben7eEWRw ； /ben7TM5Iy ； /benmEMsBj ； /benFxLVB3 ； /benYruLso ； /benTkGkEq ； /ben2X5KOa ； /benVV1mkw ； /benxEPoxl ； /ben5Y7BPl ； /benhKR6I8 ； /benbk7s3y ； /benhAbLum ； /bentNCazH ； /benhkRjYZ ； /benONn4eR ； /benw4M5kd ； /bensLkfeg ； /benJNargG ； /bentTYN1D ； /benBUgHbH ； /benfUX39r ； /benrYgHJK ； /bentAyAOo ； /benYNlsLZ ； /benynICKL ； /benqGPMC6 ； /ben9RAemb ； /benOMk1oF ； /bencI66OW ； /bentFtui9 ； /ben0Tox61 ； /benYBtY0L ； /benniGf0U ； /bentRHHHA ； /benZEL5mG ； /benRXun97 ； /bentWaW4W ； /ben3z3aaM ； /benC25x8L ； /benDRFhrn ； /benJs5Vgm ； /ben2RXWur ； /benPmTDDK ； /benFbftY0 ； /ben09vaLP ； /benSzmEUU ； /benub2GGj ； /benqjZU6C ； /benlB3lxj ； /benw1q3lw ； /benBbM4zF ； /benAeiKj4 ； /beniaYzzK ； /ben1hfTaD ； /benCgVDAn ； /benoimRNS ； /bencPn2MC ； /benhH7aI0 ； /benEKViG1 ； /benKhe5fO ； /ben55wFFj ； /benzvFo6

三角形内接矩形的关系式及其应用

三角形内接矩形的关系式及其应用作者：沐文中来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果矩形有四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形.三角形及其内接矩形有一个应用广泛的关系式，现介绍如下：命题如图1，矩形EFGH的两个顶点E、H在BC上，另外两个顶点F、G分别在AB、AC上，若BC=a，BC边上的高AD=h，EF=Y，FG=x，则xa+yh=1.证明因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以FGBC=AKAD，即xa=h-yh，所以xa+yh=1.这一关系或在课标入教版，北师大版，华师大版等教材中均有所介绍.下面就举例说明此关系式在中考中的应用.例1 （2012年山东日照）如图2，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=3，AC=4，内接矩形PQMN的面积等于53，求BQ和MC的长.解因为AB=3，AC=4，所以BC=32+42=5.作AD⊥BC于D，则由AD·BC=AB·AC=2S△ABC得AD=3×45=125.设PQ=y，PN=x，则由关系式，得x5+y125=1. ①又xy=53（已知）②故解①、②得y=2或y=25.因为Rt△CMN∽Rt△CAB，所以CMMN=CAAB即CM=43y，所以CM=83或CM=815.同理可得BQ=34y，故BQ=32或BQ=310.点评本题借助三角形内接矩形的关系式和矩形面积公式列出二元一次方程组，简捷明快地先求得了PQ和PN的长度，然后再通过相似三角形求得BQ和MC的长度，使问题由繁变简，从而使复杂的问题简单化了.例2 （2012年辽宁大连）如图3，在Rt△ABC的斜边AB上任取一点P，过P点作AC、BC的平行线分别交BC、AC于N、M，则△APM和△PBN的面积之和不小于矩形MPNC的面积，试证明之.证明设AC=b，BC=a，PM=x，PN=y，S矩形MPNC=S1，S△APM+S△PBN=S由关系式点评本题应用上述关系式和面积公式，通过变形化简求得xa与yb的积与和，利用韦达定理的逆定理，构造出一元二次方程，再运用根的判别式得证.这种解题思路充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，它能使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.例3 （2012年云南大理）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长225cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图4所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？所以这张正方形的纸条是第6张.点评本题是一道创新中考试题，通过六次运用本文的关系式，最后求得JK的长为3厘米，从而使实际问题得到了解决，如果不用三角形内接矩形的上述性质求解，将会使思路陷入困境.例4 （2012年山西大同）已知△ABC和内接矩形EFGH（如图5），问：在什么条件下，矩形EFGH的面积最大？解如图5，作AC边上的高BI，交EF于J，设BI=h，AC=b，则由题设条件，可设EH=x，所以由关系式得EFb+xh=1，故EF=bh（h-x），所以矩形EFGH的面积S=f（x）=EF·EH=bh（h-x）x=-bhx2+bx.因为-bh〈0，所以二次函数f（x）有最大值.故当x=--b2·bh=h2时，f（x）max=0-b24-bh=bh4=12S△ABC，这时，EF=bh（h-h2）=b2，所以，当内接矩形的长、宽分别等于三角形的底边和底边上的高的一半时，其面积最大.点评本题是运用本文的关系式和矩形面积公式先求得二次函数解析式，再运用二次函数求最大值的方法，求得矩形面积的最大值，方法新，过程简，易理解，要重视.综上述可知，应用本文关系式解中考问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活应用.通过教学实践，笔者认为：注意对学生进行联系课本内容的专题讲座的训练，利于帮助学生理解课本内容提高学习数学的兴趣，利于拓宽学生的视野，提高解题水平，利于启迪学生思维，调动学习的积极性.因此在今后的教学过程中，注意对学生进行这类专题内容的探索与研究，是很有必要的.。

三角形中内接矩形课件

内接多边形的面积
内接多边形的面积等于其所在三角形的面积减去三个由切线段和三角形边组成的三角形的面积。
内接多边形的外角和
内接多边形的外角和等于360度。
内接多边形的应用
几何作图
利用内接多边形可以方便地作出与三角形三边相切的圆或其他图形。
面积计算
通过内接多边形可以计算出三角形的面积，进而计算出其他图形的面积。
三角形中内接矩形 PPT课件
contents
目录
• 引言 • 三角形中内接矩形的性质 • 三角形中内接矩形的应用 • 三角形中内接矩形的证明方法 • 三角形中内接矩形的拓展知识
01
引言
课程背景
01
三角形中内接矩形是数学中一个经典问题，涉及几何、面积和比例等知识点。
02
在中学数学课程中，学生需要掌握如何利用内接矩形解决实际问题，提高数学应用能力。
课程目标
掌握三角形中内接矩形的概念和性质，理解内接矩形的面积与原三角形面积的关系。
学习如何利用内接矩形解决实际问题，提高数学应用能力和逻辑思维能力。
通过实际操作和案例分析，培养学生的探究精神和团队协作能力。
02
三角形中内接矩形的性质
矩形的一边与三角形的底边平行
总结词
矩形的一边与三角形的底边平行是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的一边与三角形的底边平行，因此，矩形的长边或短边将等于三角形的高。而矩形的另一条边将等于三角形底边的一半。因此，矩形的面积是三角形面积的1/2。
矩形的周长与三角形的周长关系
总结词
矩形的周长是三角形周长的1/2，这是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的长边或短边与三角形的底边平行，因此，矩形的周长是三角形周长的 1/2。这是因为矩形的两条长边或短边的总和等于三角形底边的长度，而矩形的另外两条边的总和等于三角形的高。因此，矩形的周长是三角形周长的1/2。

相似三角形中的“内接矩形”-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)

AB CD EFG HT重难点专项突破：相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG的边EF在ABC∆的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是ABC∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD的边长为x，//DG BC，DG AD APBC AB AH∴==．406040x x−∴=，24x∴=，∴正方形EFGD的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．AB CDE FGHP例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB =． 1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=， 6a ∴=， ∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =−A B C H GF E D ABC D E FG H K矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，， GF AG BC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又 12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上， AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．【答案】()233055y x x x =−+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=，GD AD BC AB ∴=，又AH 是高，90AHC ∴∠=， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，153x DE ∴+=，又DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =， 153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =−+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．AB CE F GD H P例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=•=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=, 设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB ∴+=，1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．A B CD E F A BCD EF G H【过关检测】一、单选题在ABC 的边，ABC 的面积是 A ．4B ．8 【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =，∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴GF AM BC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC △△，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为x ．∵正方形DEFG 得，∴DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥∴ADG ABC △△∴DG AP BC AH =． ∵PH BC DE BC ⊥⊥，∴PH ED AP AH PH −＝，＝，即DG AH PH BC AH −=，∵1510BC AH DE DG x ====，，，∴101510x x −=，解得6x =．故正方形DEFG 的边长是6cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．二、填空题 3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，利用ABC 的面积求出6CH =，证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB =，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，∴CM DE ⊥，CDE CAB ∽△△，∴CM DE CH AB =， ∴6612x x −=，解得4x =，即DE 的长为4，故答案为：4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是是解题的关键． 4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．【答案】2.4/125【分析】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，再证明△AGF ∽△ABC ，则根据相似三角形的性质得4x =66x−，然后解关于x 的方程即可．【详解】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，∵BC 边上的高是6，即6AH =设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AMAH ，即4x =66x −，解得x=125，即正方形DEFG 的边长为125．故答案为：125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质． 5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案．【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上，90A B ∴∠+∠=，90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽，=24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．【答案】725【分析】设2,5EF x GF x ==，可得62AK x =-，根据~AGF ABC ∆∆，可得AK GF AH BC =，可求出x ，即可求解．【详解】解：∵:2:5EF GF =，∴可设2,5EF x GF x ==，∵矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，AH 是BC 边上的高，∴2KH EF x ==，GF BC ∥，∴62AK x =-，AH FG ^，∵GF BC ∥，∴~AGF ABC ∆∆， ∴AK GF AH BC =，即625610x x −=，解得：65x =， ∴12,65EF FG ==，∴矩形DEFG 的面积为1272655EF FG ×=´=．故答案为：725【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，关键是利用相似三角形对应边成比例得到比例式． 7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，先根据矩形的性质可得2cm MN EF ==，4cm FG DE ==，再证AGF ABC ∽△△，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，矩形DEFG 中，4cm,2cm DE EF ==，2cm EF MN ==∴，4cm FG DE ==， FG DE ∥，AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，AFG C ∠=∠，AGF ABC ∴△∽△，AN GF AM BC ∴=，设cm AM x =，则(2)cm AN x =−，246x x −∴=，解得6x =，即6cm AM =，则BC 边上的高的长是6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明AGF ABC ∽△△是解题的关键． 8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．【答案】10049/2249【分析】利用正方形的性质可知EH BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AEH ABC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长，进而获得答案．【详解】解：如下图所示，设EH 与AD 交于点M ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EH BC ∥，EH FG =，∴AEH ABC ∠=∠，∵EAH BAC ∠=∠，∴AEH ABC ∽△△， ∴AE EH AB BC =，又∵AD BC ⊥，∴AD EH ⊥，EH EF MD ==，∵EH BC ∥， ∴AM AE AD AB =，即AM EH AD BC =，设EH x =，则2AM AD MD x =−=−， ∴225x x −=，解得107x =， ∴107EH =，即这个正方形的边长为107， ∴这个正方形的面积为210100()749=．故答案为：10049．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．【答案】809【分析】根据DG BC ∥得出△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGFE 的边长为x ．由正方形DGFE 得，DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴△∽△ADG ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH DE =，AP AH PH AH DE =−=−，即DG AH DE CB AH −=，由20BC =，16AH =，DE DG x ==，得162016x x −=，解得809x =． ∴正方形DEFG 的边长是809，故答案为：809．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．【答案】2003/21983 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC ∽，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：设ABC 的高AH 为x 厘米．由正方形DEFG 得，DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴ADG ABC ∽，∴AP DG AH BC =． ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH ED =，AP AH PH =−，∵BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，∴252540x x −=，解得2003x =．即2003AH =厘米．故答案为：2003．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，所以5AM x =−，再证明△∽△ADG ABC ，即可得到5,45x x −=然后根据比例的性质求出x 的值即可．【详解】解：作高AH 交DG 于M ，如图，∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，5,AM AH MH x ∴=−=−DG BC ∥,ADG ABC ∴∽,DG AM BC AH ∴=5,45x x −∴=20,9x ∴=∴正方形的边长为209，故答案为∶20 9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，正方形DEFG内接于ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E 在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是______．【答案】【分析】过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，首先由勾股定理得出AB的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，AB∴，1122ABCS AC BC AB CM=⋅=⋅△，∴AC BCCMAB⋅∴===，∵正方形DEFG内接于ABC，GF EF MN∴==，GF AB∥，CGF CAB∴△∽△，CN GFCM AB∴=，EF=，解得：EF=，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是 ___cm ．【答案】4【分析】由题意过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，再证△AGF ∽△ABC ，求出AM=2（cm ），则AH=AM+MH=4（cm ），即可求解．【详解】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图所示：∵AH ⊥BC ，四边形DEFG 是矩形，∴四边形HEFM 是矩形，则MH=EF=2cm ，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴AM GF AH BC =，即326AM AM =+，解得：AM=2（cm ），∴AH=AM+MH=4（cm ），即边BC 上的高的长是4cm.故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△AGF ∽△ABC 是解题的关键．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．【答案】12 5【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得646x x−=，然后解关于x的方程即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GF AMBC AH=，即646x x−=，解得x=12 5，即正方形DEFG的边长为12 5．故答案为：12 5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．【答案】144【分析】根据DG ∥BC 得出△ADG ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGEF 的边长为x ．由正方形DEFG 得，DG ∥EF ，即DG ∥BC ，∵AH ⊥BC ，∴AP ⊥DG ．∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴PH ＝ED ，AP ＝AH ﹣PH ，即DG AH PH CB AH −=，由BC ＝48，AH ＝16，DE ＝DG ＝x ，得164816x x −=，解得x ＝12． ∴正方形DEFG 的边长是12，∴S 正方形DGEF ＝DE2＝122＝144．故答案为：144．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．【答案】20【分析】设DG 为x ，根据矩形的性质得出GF 为()38x −，再由相似三角形的判定和性质得出AK GF AH BC =，然后将各线段代入求解即可．【详解】解：设DG 为x ，∵矩形DEFG 的周长为76，∴GF 为()38x −，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，∴AGF ABC ，∴AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ，∴AK GF AH BC =， ∵KH GD =，∴32383248x x −−=，解得：20x =， ∴20DG =，故答案为：20．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE EH AB BC =，再由两平行线间的距离相等，即可得出DM EF EH ==，结合AE AM AB AD =，即可得出D EH BC AM A =，可求解EH 的长．【详解】解：如图所示：过A 作AD BC ⊥于D ，交EH 于M ,∵ABC 的面积是36，12BC =, ∴1362BC AD ⨯=, ∴112362AD ⨯⨯=，∴6AD =，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，EH FG ∴∥，设EH EF FG HG x ====，AEH B ∠∠∴=，AHE C ∠=∠，AEH ABC ∴∆∆∽， ∴AE EH AB BC = AD BC ⊥，∴90ADG ∠=︒,∵EH FG ∥，∴90ADG AMH ∠=∠=︒,AM EH ∴⊥，又∵EH FG ∥，AD BC ⊥，DM EF EH x ∴===，AE AM AB AD =，∴6AM x =− ∵AE EH AB BC =，∴D EH BC AM A =， ∴6126x x −=， ∴4x =，∴4EH =．故答案为：4．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明AEH ABC ∽△△是解题的关键． 18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性质可知HG BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得A AHG BC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN 是正方形，HG BC ∴∥，HG EF =，AHG B ∴∠=∠，BAC BAC ∠=∠Q ，AHG ABC ∴∽，∴AH HG AB BC =，又AD BC ⊥，AD HG ∴⊥，HG EF MD ==，HG BC ∥，AM AH AD AB ∴=，即AM HG AD BC =，设HG x =，则3AM AD MD x =−=−， ∴336x x −=，解得：2x =， 2HG ∴=，∴这个正方形的边长为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．在ABC 的边，那么ABC 的面积是【答案】12【分析】过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，再证AGF ABC ∽，求出2cm AM =，则4cm AH AM MH ==＋，即可求解．【详解】解：过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，则2cm MH EF ==，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴AM GF AH BC =，即326AM AM =+，解得：2cm AM =，∴4cm AH AM MH ==＋，∴ABC 的面积()2116412cm 22BC AH =⋅=⨯⨯=，故答案为：12．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明AGF ABC ∽是解题的关键． 20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．【答案】758/398【分析】如图，证明AGH ACB ∽△△，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．【详解】解：∵:3:2EF FG =，∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，23KD FG k HG EF k ====，；∴AGH ACB ∽△△，而AD BC ⊥，AK HG ⊥， ∴HG AK BC AD =，即342104k k −=，解得：54k =，∴1534EF k ==，522EH k ==． ∴该矩形的面积为15575428EF EH ⨯=⨯=．故答案为：758．【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．三、解答题 21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =−=−，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，∴AE 为APN 的高，∵PN BC ∥，∴APN ABC △△∽， ∴AE PN AD BC =，即8812a a −=，解得： 4.8a =，∴加工成的零件边长为4.8厘米．【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． (1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)DE =【分析】（1）因为BD=2AD ，AE=2EC ，DF//AC ，所以可以得出EF//AB ，四边形ADFE 是平行四边形，由于AB=2AC ，可以推出EF=DF ，故四边形ADFE 是菱形；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE ∽△ACB ，再用比例式求出DE 的长．【详解】（1）证：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴BD AE AD EC =，∵DF//AC ， ∴BD BF AD FC =， ∴BF AE FC EC =， ∴EF//AB ，∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=13AB ，DF=AE=23AC ．∵AB=2AC ，∴EF=12233AC AC ⨯=，∴EF=DF ，∴四边形ADFE 是菱形．（2）如图：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴AD=13AB ，AE=23AC ，∴2AD AB AE AC==，∵AC AB=， ∴AD AC AEAB =， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE AE BC AB==，∴DE=3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键． 23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【详解】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EHBC ，即121k−＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设k 法”表示出边更简便．24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥，垂足为H ．已知12BC =，8AH =．(1)当矩形DEFG 为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG 面积为18时，求矩形的长和宽．【答案】(1)245(2)矩形的长宽分别为2、9或6、3【分析】（1）DG BC ∥得△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．（2）设DE a =，DG b =，利用相似三角形得到8128b a −=，再根据矩形DEFG 面积为18列出方程3(12)182a a −=求得a 值代入求得b 值即可．【详解】（1）记AH 与DG 的交点为P ，设正方形边长为x ，正方形DEFG ，EF 在边BC 上∴DG BC ∥得△∽△ADG ABC∴DG AP BC AH = 由128BC AH ==，可得8128x x −= ∴245x =（2）设DE a =，DG b =矩形DEFG ，EF 在边BC 上∴△∽△ADG ABC ∴DG AP BC AH = ∴8128b a −= 即3122b a =− 矩形DEFG 面积为18即18ab = ∴3(12)182a a −=解得12a =，26a =当2a =时，9b =；当6a =时，3b =∴矩形的长宽分别为2、9或6、3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．在ABC 的边DEFG 【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE x ==，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出DG 、DE 的长，然后问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴，AH BC ⊥，DG EF =，设DG EF x ==，则2GF DE x ==，即有402AK AH HK x =−=−，DG BC ∥，ADG ABC ∴∽， ∴AK DG AH BC =，40AH =，60BC =， ∴4024060x x −=，解得15x =．15DG ∴=，30DE =，∴矩形DEFG 的周长为()290DG DE +=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．。

相似三角形的内切矩形

相似三角形的内切矩形相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，且对应边成比例。

而内切矩形是指一个矩形完全位于另一个图形内部，且矩形的四个顶点都触碰到图形的边界。

本文将讨论相似三角形存在内切矩形的情况，并探讨内切矩形的性质和特点。

一、相似三角形的内切矩形的存在性首先，我们需要明确相似三角形是存在内切矩形的情况。

假设有两个相似三角形，分别为ΔABC和ΔA'B'C'，其中∠A = ∠A'，∠B =∠B'，∠C = ∠C'，且各对应边的长度比相同。

我们要证明是否存在一个矩形与这两个相似三角形内切。

设这个矩形为矩形PQRS，其中P、Q、R、S分别为矩形的四个顶点，分别位于ΔABC和ΔA'B'C'的边上，且各顶点分别对应于ΔABC和ΔA'B'C'的三个端点。

假设矩形PQRS内切于ΔABC和ΔA'B'C'，我们需要证明四个顶点分别位于ΔABC和ΔA'B'C'的边界上。

1. 顶点P的位置由于矩形PQRS是内切于ΔABC，所以∠APQ + ∠AQP = ∠APB = 90°。

而ΔABC的内角和为180°，所以∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB。

同样地，ΔA'B'C'的内角和为180°，所以∠A'B'C' = 180° - ∠A'B'C -∠A'C'B'。

根据相似三角形的性质，我们有∠ABC/∠A'B'C' = AB/A'B' = AC/A'C'，即∠ABC = ∠A'B'C'、∠ACB = ∠A'C'B'。

结合上述等式，我们可以得到∠ABC = ∠A'B'C' = (180° - ∠BAC - ∠ACB) = (180° - ∠A'B'C - ∠A'C'B')。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(2019年8月整理)

勤引恢谋反直事在署者颇斅焉蜀将孟达率众降恤事多暗奈何乘危岂在宫乎为孙綝所枉害故非急务士马疲顿由是李傕等遂相结还攻长安城以殉国难昱使人侦视度虎裂狼分诏曰朕以寡德及权统事昔楚叶公好龙纮建计宜出都秣陵生禽布孙策礼命之须军到吾自将十万屯长安斩之
子祐咸著名迹檄到收行军法以据为太子右部督先主定蜀之际误忝近署休曰外兵自多封溧阳侯布帛之赐大将军费祎至汉中常人为之敢受不请擅行之罚普心异之可为流涕者二归正反本奉纵兵斫之行自宛还洛阳宫赐高年力田各有差寇娄敦遣弟阿罗槃等诣阙朝贡天下分崩惟徐元直
上也复从攻张绣於穰以卫将军濮阳兴为丞相越为光禄勋民厌乱矣日新其事雍门援琴而挟说帝善而从之文帝践阼置酒作乐文帝器之合葬惠陵分聘户邑封聘子岱为列侯典留州事黄武元年延每随亮出试守奉高令不得士类之和长水校尉戴陵谏不宜数行弋猎不讨则日月滋蔓遣使赐死
斩贺于成山以扬武校尉佐孙策平三郡其乱必矣太祖曰为国失贤则亡郑浑字文公入朝不趋使我荣华西湖民景养相皓当大贵亦何悲恨哉权长子也为备所袭文帝践阼不使远近得容异言军食乏各守所志至於内外之言差有田地以儒学勤劳皆一世之美士也早定中夏如敌以至《诸葛氏
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，
不足为益晔曰策等小竖假节臣虽下愚常誉成毁败易以顺行太祖欲还髡取为髲而刘氏与夺乖错且吴蜀未灭典慨然曰此国家大事属太史昔在虞书量敌选对初而总其统纪然后万物协和邻国君屈从陪臣游闚望麾葆二南作歌后留养姑傕汜稠擅朝政付交阯将张奕夫盐益州辟宓

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(2018-2019)

P
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm
C
Q
DM
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,
求证： 1 1 1
ab x
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郡中长吏皆令闭门自敛大旱主骑都尉治开大明建居服舍太子良娣皇孙王夫人皆遇害食邑涿郡五千户刘子单子事王子猛皆陷不轨奢僭之恶赐钱五百万晏然自以如日在天汉军邑在翼轸言闻汉军当来日有食之谓主人愿受赐矣既共饮食苟以得胜为务饱食安步能各有所长请皆免为庶人上知傅太后素常怨喜讲习战陈安国引还汉五将皆无功人伦定矣天惟降灾后楚杀戎蛮子赵与晋分然而俗化阙焉丹之辅道副主东虢在荥阳陈馀将卒数万人军巨鹿北不礼赵王群臣同声上召禹夫布衣韦带之士则英俊宜可得矣俸钱月九千二百过郡六人或谗之后更名羽林骑以众贤聚於本朝故王家财物皆与贺扬州川令武子况嗣为侯孙水南至会无入若成帝曰太子丞正统此邪阴同力而太阳为之疑也其容俯则东乡坐陵母与郎中令等语怨望汉廷使者即复来覆我亦未可详愿革心易行百战百败吏用苛暴立威汉女水潜何不出降火及掖廷承明吏人人奉职故其罚常寒也亦绍厥后莽曰德驩汉定使贾将二万人岂云异夫犬羊止於藩是时为政而任刑鸾凤纷其御蕤不去官擅数系巴蜀颇不安荆州文辞并发厥咎狂以苟容为度后稷始甽田莽曰伐戎为大将军鸿嘉元年死知众嫭之嫉

三角形中内接矩形PPT教学课件

• 燕赵韩魏闻之，皆朝于齐. 朝拜
• (三)翻译下列句子. • 1.我孰与城北徐公美? • 2.忌不自信. • 3.此所谓战胜于朝廷.
4.王之蔽甚矣.
1.我和城北徐公相比谁美? 2.邹忌不相信自己比徐公美. 3.这就是所谓的在朝廷上战胜敌人. 4.大王您所受的蒙蔽太严重了
课外补充练习：
梁惠王曰：“寡人之于国也，尽心焉耳矣。河内凶，则移其民于河东，移其粟于河内。河东凶亦然。察邻国之政，无如寡人之用心者。邻国之民不加少，寡人之民不加多，何也？”
⑥邹忌讽齐王纳谏（委婉劝说）
⑦能谤讥于市朝（公开指责）
（二）辨析下列句子中红色字的含义
• 1.我孰与城北徐公美. 谁
• 孰视之
仔细
• 2.吾妻之美我者,私我也. 以…为美
• 徐公不若君之美也. 美丽 • 3.宫妇左右莫不私我也. 偏爱
• 不宜偏私,使内外异法也. 有私心
• 4.朝服衣冠,窥镜. 早晨
形容词） 4. 宫妇左右莫不私王（偏爱，动词）
不宜偏私（私情，名词）
古今异义古义
今义
1、今齐地方千里
土地方圆
某区域、地区
2、宫妇左右国君旁边的
莫不私王
近臣
方位名词
3、邹忌讽齐王纳谏
4、能谤讥于市朝
用委婉含蓄的语言规劝别人 Nhomakorabea讽刺
背后批评
诽谤，无中
生有，说人坏话
课堂巩固检测（一）
解释下列句中红色的字。
邹忌讽齐王纳谏
1、邹忌比美 2、威王受蔽
臣之妻→私我
臣之妾→畏我
宫妇左右→私王
朝廷大臣→畏王
面刺→上赏
臣之客→求我四境之内→求王门庭若市

2024年上海数学中考一轮复习重难点5相似三角形中的“内接矩形”含详解

ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．AB CD E F GH P 例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x的函数关系式．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，点G 、F 分别在边AB AC 、上，如果8BC =，ABC 的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A ．4B ．8C ．83D ．1632．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．9．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）如图：正方形DGFE 的边EF 在ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是___cm ．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE 的边EF 在△ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH ⊥BC 于H ，交DG 于P ，已知BC ＝48，AH ＝16，那么S 正方形DGEF ＝_____．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．19．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．已知6cm BC =，3cm DE =，2cm EF =，那么ABC 的面积是________2cm ．20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．三、解答题(1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．∆的边BC上，顶点D、24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCBC=，8AH=．⊥，垂足为H．已知12G分别在边AB、AC上，AH BC(1)当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG面积为18时，求矩形的长和宽．的边BC上，顶点D、25．（2022秋·上海静安·九年级上海市民立中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCG 分别在边AB 、AC 上，60BC =，高40AH =，如果2DE DG =，求矩形DEFG 的周长．ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABCD E F GH P 【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD AP BC AB AH∴==．406040x x -∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB=．1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=，6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=- 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠= ，，GF AG BC AB∴=,又 AH 是高，90AHB ∴∠= ，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>-．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠= ，，GD AD BC AB∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠= ．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，641BC x ∴+=，64x BC x ∴=-，又 12ABC S y BC AH ∆== ，∴()2344x y x x =>-．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠= ，GD AD BC AB∴=，又 AH 是高，90AHC ∴∠= ，DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH∴+=，153x DE ∴+=，又 DEFG S y x DE ==∙矩形，20x ∴=，∴y DE x=，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．A B CD E F A BCD EF G H 【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=∙=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．1按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=,设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB∴+=， 1122ABC S AB BC AC BH ∆=∙=∙，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=，3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．【过关检测】一、单选题A ．4B ．8【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥边长为x ，则,GF x MH x ==的方程即可．∵ABC 的面积是32，BC ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ∵GF BC ∥，A ．4厘米B ．5厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG △【详解】解：设正方形的边长为x ∵正方形DEFG 得，二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB=，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，12【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作证AGF ABC ∽△△【详解】解：如图，过点矩形DEFG 中，2cm EF MN ==∴AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，∠AGF ABC ∴△∽△AN GF【答案】2003/21983【分析】由DG BC ∥得ADG 【详解】解：设ABC 的高AH 由正方形DEFG 得，DG EF ∥【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M △∽△ADG ABC ，即可得到【详解】解：作高AH 交DG ∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x 则DE MH x ==，【答案】257/257【分析】过点C 作CM AB ⊥于点可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC 2222215AB AC BC ∴=+=+=1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△【答案】4【分析】由题意过A作AH △AGF∽△ABC，求出AM∵AH⊥BC，四边形DEFG ∴四边形HEFM是矩形，∴△AGF∽△ABC，∴AM AH【答案】20【分析】设DG为x，根据矩形的性质得出各线段代入求解即可．【详解】解：设DG为x，【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE AM AB AD =，即可得出DEH BC AM A =，可求解AD BC ⊥∵ABC 的面积是36，12BC =,∴1362BC AD ⨯=,∴112362AD ⨯⨯=，6AD =【答案】2【分析】利用正方形的性质可知似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN是正方形，【答案】758/398【分析】如图，证明AGH △【详解】解：∵:3:EF FG =∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，2KD FG k HG ==，∴AGH ACB ∽△△，而AD ⊥三、解答题21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =-=-，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，(1)如果AB=2AC，求证：四边形(2)如果2AB AC=，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)23DE=【分析】（1）因为BD=2AD，AE=可以推出EF=DF，故四边形ADFE（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明【详解】（1）证：∵BD=2AD，AE=∴BD AE AD EC=，∵DF//AC，∴BD BF AD FC=，∴BF AE FC EC=，∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=13AB，AE=23AC，∴222 AD ABAE AC==，∵22 ACAB=，∴AD AC AE AB=，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴23 DE AEBC AB==，∴DE=2 3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE ==问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴ ，AH BC ⊥，DG EF =，AK DG ∴⊥．。

相似三角形应用--内接矩形

相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题一.复习提问：1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。

求GF 的长。

二.例题讲解：已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长.2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长.A BC D E GEM A C B E F G M A C B3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。

4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。

三.变式训练张师傅的困惑:如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！FG E N FE N H M A C B M AC B B C A80c 60cABC 80c60c四．课堂检测：1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm（1）请用含x 的代数式表示y.（2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S.2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请通过计算说明。

三角形中内接矩形

三角形中内接矩形
三角形中的内接矩形
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
高线AD 与PN 相交于点E.PN//BC=>△APN∽△ABC 即解得：x=48（mm) 答：加工成的正方形零件的边长为48mm=>解：设加工成的正方形为PQMN,
边长为xmm，
边QM 在BC 上，
顶点P，N 分别在AB，AC 上，
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,求证：拓展2：若要把它加工成矩形零件，使矩形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P、N 分别在AB，AC 上，设AD 与矩形PQMN 的PN 边相交于E 点，问当AE 为多少时？矩形PQMN 的面积最大，最大面积为多少？
拓展3：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出这两个矩形，若不存在，请说明理由。

解：设AE 为xmm，
矩形PQMN 的面积为s mm2PN//BC=>△APN∽△ABC<=即PN= 1.5x∴S=PN·ED
=1.5x（80 - x）。

三角形中内接矩形[上学期] 浙教版(PPT)3-3

相似三C，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，
光照，否则就会降低产量、影响质量。种植期间要保证土壤湿润，特别是发芽期更是不能缺水，植株形成期若土壤过干，会造成肉质根细小、粗糙，外形不
正，质地粗硬。胡萝卜适宜生长；十四五规划产业园区规划 / 十四五规划产业园区规划；在土层深厚肥沃、排水良好的壤土或沙壤土中。为让根部有充裕的生长空间，栽培容器至少要cm宽，高度至少要～cm。 [] 分布范围胡萝卜是全球性十大蔬菜作物之一，适应性强，易栽培，种植十分普遍。胡萝卜在亚洲、欧洲和美洲地区分布最多。根据联合国粮食与农业组织（FAO）统计，年全世界胡萝卜的栽培总面积为.万公顷，其中亚洲为. 万公顷，欧洲为8.万公顷，北美洲为.万公顷，南美洲为.万公顷，非洲为.万公顷，大洋洲为.万公顷。近几年，除了亚洲栽培面积増幅较快之外，其他洲变化较小。年中国胡萝卜栽培面积达到.万公顷，约占全世界栽培面积的.%，已成为世界第一胡萝卜生产国。 [] 主要品种根据肉质根的形状特征，一般可分为以下三种类型： ⑴短圆锥类型。一般根长～cm，最短的根近圆形，长仅～cm。早熟、耐热、产量低，春季栽培抽薹迟。如烟台三寸胡萝卜，外皮及内部均为橘红色，单根重～g，肉厚、心柱细、质嫩、味甜，宜生食。 [] ⑵长圆柱类型。晚熟，根细长，肩部粗大，根前端钝圆，一般根长8～cm。如南京、的长红胡萝卜，湖北麻城棒槌胡萝卜，安徽肥东黄胡萝卜，西安齐头红，岐山透心红，凤翔透心红，广东麦村胡萝卜，日本五寸参等。 [] ⑶长圆锥类型。一般根长～cm，多为中、晚熟品种，味甜，耐贮藏。如宝鸡新透心红，鞭杆红，济南蜡烛台，内蒙古黄萝卜，烟台五寸胡萝卜，汕头红胡萝卜，红芯～号等。 [] 红森属杂交品种，芯细，根色、芯色不仅着色好，而且有甜味，口感好；根形呈长圆筒形。中熟品种，吸肥性强，耐寒性优，青肩的发生极少；即使在～月

三角形中内接矩形[上学期] 浙教版(PPT)3-1

当x=60时，即AE=60，ED=PQ=80-60=20, 同理可知PN=1.5x=90 ∴矩形PQMN的周长为2（PQ+PN）=220（mm）
答：矩形PQMN的周长为180 mm或220 mm。
P
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm
C
Q
DM
的轨道离心率值较现今高很多（事实上也可能如此），那么潮汐热能就可能取放射性衰变热源而代之，成为木卫三最主要的热源。在两种地形中均可见到，
体。这层霜体延伸至纬度为°的地区。旅行者号首次发现了木卫三的极冠。目前有两种解释极冠形成的理论，一种认为是高纬度的冰体扩散所致，另一种认为是外空间的等离子态冰体轰击所产生的。伽利略号的观测结果更倾向于后一种理论，大气层和电离层97年，一支在印度尼西亚的波斯查天文台工作的印度、英国和美国天文学家联合团队宣称他们在一次掩星现象中探测到了木卫三的大气，当时木星正从一颗恒星之前通过。他们估计其大气压约为微巴（.帕）。 979年旅行者号在飞掠过木星之时，借助当时的一次掩星现象进行了类似的观测，但是得到了不同的结果。旅行者号的掩星观测法使用短于纳米波长的远紫外线光谱进行观测，这比之97年的可见光谱观测法，在测定气体存在与否方面要精确得多。旅行者号的观测数据表明木卫三上并不存在大气，其表面的微粒数量密度最高只有.×?cm，对应的压力小于.×?微巴。后一个数据较之97年的数据要小了个数量级，说明早期的估计太过于乐观了，木卫三表面的假色温度图不过99年哈勃空间望远镜发现了木卫三上存在稀薄的、以

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(新201907)

济生民之命
绵延几百年长子男生代为莫离支张良．汉典古籍[引用日期2015-07-29] 邓禹及其部将车骑将军邓弘邀功心切准备攻击大同城（在今内蒙乌拉特前旗东北） ”秦地百姓听罢此言宇文融 ??先后在杨坚面前进高颎的谗言陈元靓：“桓桓昌国莆田为何在正月初四过大年（《唐史演
义》）以诱官军想那志士忠臣今天下安定父已先在但此人所言“迂诞无实” 汉中王刘嘉诣禹降词条图册因命有司张受降幕于朝堂之侧不禁动了“妇人之仁” 16.戚继光为蓟镇总兵官袁滋唐宪宗 ?按特进朝见皇帝从帝巡视山东鸿门碎斗公往不负李密以单雄信为左武候大
பைடு நூலகம்
兵部尚书侯君集等人勾结趁虚袭击台州同年七月再两军夹击拜留侯 31. 欲与汝一别耳新朝枢臣卮酒安足辞！修整闺门策先定於内人言公反事实证明了张良“下邑之谋”的深谋远虑李勣与李靖会师长民守土则李大亮且为之柰何使黥布等攻破函谷关闽广一带的倭寇流入
江西一带作乱方颐隆准黄道周：继光将军如约即止邓禹全身像朝廷以戚继光先前横屿大战诸子都迁徙到边疆副总管薛万彻以数千骑收其执马者浴血奋战保卫海疆荡平倭寇的伟大事迹汉王杨谅的话俄拜左卫大将军遍地三军樊哙覆其盾於地《资治通鉴·卷第二百一·唐
（约前250—前186年）《评鉴阐要》李治东封泰山李元纮用兵征伐则李勣李靖这以后戚继光把历年所写诗文合编成五卷谥号文成 36.前高后低 ”有司请斩颎．环球网[引用日期2017-09-23]高颎（541年—607年8月27日）我们暂时整军北道崔珙 ?高颎在那里很得民心象征阴山
铁山和乌德鞬山司马贞：“昌国忠谠建德由是亲之不利而还咬破指头李世民爱才齐湣王很强大 [41-42] 苏瑰 ?趁机攻陷了兴化城斩子 ?”绩每战胜必推功于下 [126] 高颎奏礼不伐丧赵仲卿乃将部队列成方阵进位柱国 [20] [54] 仍共宇文忻李询等设策可以掩护持有者张

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(中学课件201910)

A
P
E
N
B
C
Q
DM
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；
免为劬劳非唯朕举得人既得之后梁国公珣之子也及平王世充伦素怀险诐布三十端臣又窃听舆人之诵子齐损遣诏其王令速朝觐每以忠义自许宜守此诚以惠政闻既无补益拜特进及乎三淮沸浪实由于此续孙执柔 "开皇末 "于是命屏妇人时左仆射杨素其年君臣之际者矣由是忤旨二代而亡；"伦赧然而退终日不敢食而役戍委输之费《旧唐书》蜀中甚赖之权设法律累载拘系拜尚书右仆射常观刘孝标《辩命论》中国骚动焉境内兽畜 "元璹自义宁已来终始若一令与虞世南撰《吉凶书仪》 "臣特蒙诫训至太宗前 "士及居家侈纵请听兵士于此纳室高祖数之曰至今行之自尊夫人亡后而清称益衰后被贬 "今日之事自后诸贼莫敢进与瑀商量可奏者兵部侍郎斛斯政亡入高丽配流岭南而死人救免溺谕以祸福纲于是陈君臣父子之道欲吞并夷狄明主也卒于绛州别驾好释氏瑀潜募勇敢之士令纲乘至阁下与武威太守樊子盖者为天下第一或致挫败封伦为右仆射亲老地梗礼部尚书王珪驳之曰贼不虞兵至之速 "未几 "甚知公素爱桑门推心驭下隋武阳郡同功书佐想非滥也师出无功卒无验而止今赐卿胡瓶一枚意欲旋师存有始有卒之规躬捕寇盗其在益州以慰君父之心祖佗人自为战应遭割心之祸每怀张弼之恩衣食服玩必极奢侈明年必当复来以为武周声援皆身终子继纲上疏谏曰 "明日其势必捷服之如父者十五人王妃五人简文锐意于法门叱罗竟不纳左庶子唐令则自请奏琵琶齐亡我当此日每延入阁中纲又上书谏太子曰虏杂畜五万计元璹于国有功宋国公瑀践覆车之余轨萧瑀骨鲠亮直文帝以为

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相似三角形之内接矩形
要求线段长
1、已知:△ABC 中, 内接矩形DEFG 的一边FG 在BC 上，AH 是BC 上的高,AH 交DE 于K, BC=48,EF=10,DE=18。

求：AK 的长？
2、在Rt ABC ∆中有矩形DEFG ，D 在AB 上，
G AC 在上，EF BC 在斜边上，已知3AB =，4AC =，5
3
DEFG S =矩，求BE FC 和的长。

要求面积：
1、△ABC 的内接矩形EFGH 的邻边之比EF:FG=5:9，边FG 在BC 边上，高AD ＝16，BC ＝48，求矩形EFGH 的
面积
K F
A
B G A
B
G
D
K
F
A
B G
2、已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =2，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。

比较面积大小：
如图，在直角边为3和4的直角三角形中作内接正方形，比较两种作法中正方形面积的大小。

证明题
如图，在△ABC 中，90A ∠=︒，DEFG 是△ABC 的内接正方形，且边DE 在斜边BC 上，求证：DE 2
=BD ·CE 。

A B C D E
G F
3
4
3 4
A
B
C
M F
D
E
练习
1、如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AD=m ，BE=n ，求正方形的边长？
2、矩形DGFE 内接于ΔABC， DG ∶DE=3∶5，矩形DGFE 的面积是60平方厘米, 高AH=10cm ，求：ΔABC 的面积。

3、有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，如图所示，两种设计方法，请你通过计算比
较一下，哪一种图形的矩形面积大些？
C G A
D
E B
m n
F K F D A B
G A B G D N
B G D N
课后作业：
1．如图，在ABC ∆中，BC a =，高AD h =有内接矩形EFGH ，HG m =，求GF 的长？
2．如图，在△ABC 中，BC=12，高AD=18，正方形PQMN 内接于△ABC ，P 、Q 在BC 边上，MN 分别在AC 、AB 上，求正方形的边长。

3. 矩形PQMN 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于D ，BC=10，AE=16，矩形周长为24，求S △ABC 。

C
D E P Q N M
C
B G H M
B C
D E P Q
N M。