向量的概念及表示(公开课)知识讲解

（1）与ED共线的向量；
（2）与ED相等的向量；
F
（3）与FE相等的向量。
E
M
解：（1）DE、BF、FB、FA、
AF、CM、MC、AB、BA
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
说明1： 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
B
D
B
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AC
有向线段AB、CD 是不同的。
A
C
向量 AB、CD 是同一个 向量。
建构数学
3、向量的大小(模)
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的 长度(或称 模). 记作 | AB | .
（1）与
uuur AO
相等的向量为
；A
B
（2）与uAuOur 共线的向量为
（3）与
uuur AO
的模相等的向量为
E；
F
O
D
C
；
（4）向量
uuur AO
与
uuur CO
是否相等？答
．
uuur AO
练习 1：判断下列命题是否正
确B
(1)向量 AB 和向量 BA 长度相等 ;
( 2 )方向不同的两个向量一
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
建构数学 2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线Ｎ 段来表示.
i: ii:
有箭向头线所段指的的长方度向表表示示向向f 量量的的大方小向..
Ｇ
字母表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如：AB
在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c
来表示;r 手r 写r 时则可用带箭头的小写字 母 a , b来, c表示.
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫 向 量
向量 现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向？
量,它们终点的轨迹是什么图形?
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作： ab. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
• ４uu、ur 若四uu边ur 形ABCD是平行四边形，则有
A B ＝ D C 吗?
A
B
D
C
例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 OA、OB、OC 相等的向量。
解：OA=CB=DO=EF OB=DC=EO=FA
B
A
OC=AB=ED=FO
C
F
O
D
E
例2：如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形 BCMF是平行四边形，请分别写出： A
高中数学必修 4 第二章 平面向量
问题情境
请同学们到我家 来做客!
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到老 师家的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
• 老鼠由A向东方向以每秒6米的速度逃窜,而 猫由B向西北方向每秒10米的速度追. 问猫 能否抓到老鼠?
◆结论：猫 不能 追上老鼠。 猫的速度再快也没用，因为 方向错了。
位移、力、速度、加速度、电场强度等
数量 哪些量只有大小没有方向？
距离、身高、质量、时间、面积等
学生活动
• 判断下列说法是否正确: • 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可
以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
定不平行 ;
(3 )向量就是有向线段 ;
( 4 )向量 0 0 ;
(5 )向量 AB 大于向量 CD . 其中正确命题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.2
练习 2：判断下列命题是否正 确
(1)两个向量相等，则它们 的起点相同，终点相同 ;
(2)若 | a || b |, 则 a b;
(3)若 AB DC ，则四边形 ABCD 是平行四边形 ;
思考：u A u u B r 与 u B u A u r 相 同 吗 ？ u A u u B r 与 u B u A u r 相 同 吗 ？
建构数学
零向量：长度为 0 的向量，记作 0 .
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量．
思考: • 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向
叫做相反向量。 记作： a
注意：数学中的向量与物理中的矢量是
有区别的．在数学中我们研究的是仅由大 小和方向确定，而与起点位置无关的向量， 也称为自由向量．
什么是相等向量？
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b
c a=b=c
A1
A3A2
A4
B4B3B2 B1
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
注：1.若向量a b相等，则记为 a= b ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点
分别重合吗？ uuur
uuur
• 2、向量 A B 与C D 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上吗？
• 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？
例2：在45达到方格中有一个A向B,以 量图中 的格点为起点和终向点量作，其中A与B相等的
向量有u多 uur 少个？ AB与 长度相等的共线向多量 少个（？A B 除外 ）
(4)平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC ;
(5)若 m n, n k,则 m k;
(6)若 a // b, b // c, 则 a // c
其中不正确命题的个数 是 B
A.2
B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0