第三次课堂讨论与习题课

第五章 长期聚合风险模型习题课

【知识要点】

1、 盈余过程的基本模型

()()(), 0U t u ct S t t =+-≥ u 为初始资本

c 为单位时间收取的保费（保费率）

()()

1

N t i i S t X ==

∑

为时间[]0,t 内的理赔总额

()N

t 为理赔次数过程

2、 破产概率的定义

破产时间：(){}m in 0;0

T

t t U t =≥<

终极破产概率：()()(){}0,0u P T P U t t ψ=<∞=

<∃≥

有限时间破产概率：

()()()[]{},0, 0,u t P T t P U t t t ψ

=

<=<∃∈

3、 破产概率的性质 （1）()()2112, u u u u ψψ≤∀≤；

（2）()()()1212,,, 0; 0u t u t u u

t t ψψψ≤≤∀≥≤≤<+∞

；

（3）()()lim ,t u t u ψψ→∞

=。

4、泊松过程的定义 泊松过程的定义：

（1） 全局性方法：如果()N t 在长度为h 的任意时间段内满足

()()(){}

()

,, 0, 0, 0,1,2...

!

k

h

P N t h N t k N x x t h e

t h k k λλ-+-=∀≤=

∀≥>=

则称(){},0N t t ≥为泊松过程。由此定义可知，()()

N

t h N

t +-

服从参数为h λ的泊松分布。

（2） 等待时间间隔法：如果理赔事件发生的等待时间间隔随

机变量123,,,...W W W 独立同分布，且分布函数服从参数为

λ

的指数分布，则称(){},0N t t ≥为泊松过程。

（3） 局部性方法：如果理赔次数满足下列三个条件，则称为

泊松过程： （Ⅰ）当0t =时，理赔次数为零，即()00N =；

（2）在(,]t t

t +∆内是否发生理赔与t 时刻以前的理赔事件

无关，并与时间的起始位置无关，但与区间长度有关。因此,泊松过程是一个平稳增量过程。

（3）在充分小的时间间隔内，至多发生一次理赔，且发生一次理赔的概率与区间长度h 有如下关系：

()()()()1P N

t h N

t h h λο+-

==

+

5、 复合泊松过程的定义

()()

12...N t S t X X X

=+++

其中i X 独立同分布，且与理赔次数过程()N t 相互独立, 理赔次数过程为泊松过程。

复合泊松过程的均值、方差和矩母函数：

()()()()()

()()112,,X

t M

r S t E S t t V a r S t t M

r e

λλμλμ⎡⎤-⎣⎦

⎡⎤⎡⎤===

⎣⎦⎣⎦

6、 连续时间模型破产概率的计算

（1） 微分方程方法

定理5-2-3 对于泊松盈余过程，终极破产概率()u ψ满足

()()()()()()0

'1101u u u u x d F x F x c

c

c

λ

λ

λ

ψψ

ψ

ψθ

⎡⎤=

-

--

-⎣

⎦

=

+⎰

例5-2-1 当泊松盈余过程中的理赔额服从参数为β的指数分布时，其破产概率为为：

()()1

exp 011R u

u u e

βθψψ

θθ-⎛⎫

=-= ⎪++⎝⎭

。

（2）最大损失过程方法

最大损失随机变量：(){}m a x 0L S t ct t =-≥，

事件{L

u >}等价于“破产”，因此 破产概率可定义为：

()()()()P r 1P r 1L u L u L u F u ψ

=

>=-≤=-

最大损失随机变量L 可表示为：

12...M

L L L L =+++，

其中：随机变量(

)1,2,...j L j =代表()U

t 的第j 个最低记录低于

第1j -个最低记录的额度，且是独立同分布的；最低记录个数M

服从参数为()10ψ-的几何分布，所以最大损失L 服从复合几何分布，其参数也为()10ψ-。

（1）破产时刻亏量的分布：

()[]{}()()1

1

P r ,,11U t y dy y T P

y dy θμ⎡⎤∈---<∞=

-⎣⎦

+

（2）盈余首次低于初始准备金的额度1L 的密度函数：

()()()()

()

1

11

11110L

P

y P

y f y θμψμ--=

=

+

其中()1, P y μ分别是个别索赔额的数学期望和分布函数。 盈余首次低于初始准备金的额度1L 的矩母函数： ()()(){}1

1

11

1

11ry

L X

M r e

P

y dy

M r r

μμ∞⎡⎤=

-=

-⎣⎦⎰

()

(

)111, 1,2,... k

j k E L k k μμ+⎡⎤=+=⎣⎦

（3）最大损失随机变量L 的矩母函数：

()()()

()1

ln 11

,

L

M

L X

M r M

M

r M

r θθ

=

⎡⎤-⎣⎦

=

+