高二数学课件 二项分布

此 时 称 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 （ binomial distribution）,记作 X~B(n, p)，并称 p 为成功概率.
注: Pn(k) cnk pkqnk是( p q)n 展开式中的第 k 1 项.
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二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”． 事 件 D ＝ “ 按 比 赛 规 则 甲 获 胜 ”， 则
D A B C ，又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C) 1 3 3 1．
问题 1 的推广: 一般地, 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件
A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p ， 那么事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn (X=k) 是多少呢?
Pn (X=k )
C
k n
pk (1
p)nk
或
Pn (X=k )
C
k n
pkqnk
（其
中 q 1 p ,一次试验中事件 A 发生的概率为 p）．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为 1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 新疆 王新敞 奎屯
∴甲打完 5 局才能取胜的概率
P1
C42
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2
3 16
4.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如 果思命考中2了解就: 停止射击，否则一直射击到子弹用完，
求耗用子弹数 的分布列.
解： 的所有取值为：1、2、3、4、5
P( 1) 0.9
P( 2) 0.1 0.9
P( 3) 0.12 0.9 P( 4) 0.13 0.9
3)
C53
(
1 3
)3
(
2 3
)2
40 243
(2)至少遇到一次红灯的概率为:
P 1 1 P 0 1 ( 2)5 211 .
3 243
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练习 1 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规 定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
“ 5”表示前四次都没射中 P( 5) 0.14
故所求分布列为:
1
源自文库
2 345
P
0.9 0.10.9 0.12 0.90.13 0.9 0.14
小结提高 概率
独立重复试验
投球 概念
核心
分类讨论•特殊到一般
二项分布
应用
作业
➢课后练习A\B两组
思考
一个人开门, 他共有n把钥匙,其中仅有一把能
知他解 1 道题的正确率为 0.6，试求他能及格的概率(保留 2
位小数)。
C54 0.64 0.4 C55 0.65 0.34
3.某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25，若使至少 命 中 1 次 的 概 率 不 小 于 0.75 ， 至 少 应 射 击 几 次 ？ （ lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）
• 波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在
左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次
使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。
试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的
火柴根数k的分布列。
P
Cn 2nk
1 2
2nk
,
k
0,1,
2,
,n
2. n 重贝努利(Bernoulli)试验
若n 次重复试验具有下列特点：
1) 每次试验的可能结果只有两个A 或 A,
∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验，
∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P 1 Pn (0) 1 0.75n ．
由题意，令1 0.75n ≥0.75，∴ (3)n ≤ 1 ， 44
lg 1
∴
n≥
lg
4 3
4.82
，∴
n
至少取
5．
4
答：要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少应射击 5 次 新疆 王新敞 奎屯
8 16 16 2 答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
2
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▪ 例2、100件产品中有3件不合格品，每次取 一件，又放回的抽取3次，求取得不合格品 件数X的分布列。
练习2、某厂生产电子元件，其产品的次品率 为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，
写出其中次品数ξ的概率分布．
练习巩固：
且 P( A) p, P( A) 1 p ( 在各次试验中p是常数，保持不变） 2) 各次试验的结果相互独立， 则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为 贝努里概型.
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
⑴如果是不放回地取, 则 服从超几何分布.
P(
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) (其中 m min(M , n)
⑵如果是有放回地取，则 B(n, M )
N
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例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到3次红灯的.(2)求这 名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解:记ξ为学生在途中遇到红灯次数，则 ~ B(5, 1)
(1)遇到3次红灯的概率为：
3
P(
练习 4:一袋中装有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球， 每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出 现 10 次时停止，停止时取球的次数 是一个随机变量，试 求 的概率.
P(
)
C191 39 52 3 812
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
课外思考:
巴拿赫(Banach)火柴盒问题
3答案
3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是
0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至
少应射击几次？（ lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）
解：设要使至少
命中
1
次的概率不小于
0.7
5，应射击
n
次 新疆
王新敞
奎屯
记事件 A ＝“射击一次，击中目标”，则 P(A) 0.25 ．
独立重复试验 与二项分布
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n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的 n 次试验称
为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中，记 Ai 是“第 i 次试 验的结果”
P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 ) P( An )
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试 验的影响。
打开这个门,他随机地选取一把钥匙开门,即每次以
1 的 概 率 被 选 中, 求 该 人 在 第k次 打 开 门 的 概 率. n 解 令Bk表示第k次打开门,则
P ( Bk
)
(1
1 n
)k 1
1 n
k 1,2,
注:事件首次发生所需要的试验次数ξ服从几何分布
几
何ξ 1
2
3…
k…
分 布
P
p
pq
pq2 … pqk-1 …
1．每次试验的成功率为 p(0 p 1) ，重复进行 10 次试验，
C 其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为（ ）
(A) C130 p3 (1 p)7 (B) C130 p3 (1 p)3 (C) p3 (1 p)7 (D) p7 (1 p)3
2．某人参加一次考试，若 5 道题答对 4 道题则为及格，已