2018年高考数学真题较难题汇编(精品资料).doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试
1. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角
为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( ) A . θ1≤θ2≤θ3 B . θ3≤θ2≤θ1 C . θ1≤θ3≤θ2 D . θ2≤θ3≤θ1 2. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为 π
3
，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b |的最小值是( ) A . √3−1 B . √3+1 C . 2 D . 2−√3 3. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )
A . a 1<a 3，a 2<a 4
B . a 1>a 3，a 2<a 4
C . a 1<a 3，a 2>a 4
D . a 1>a 3，a 2>a 4
4. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4，x ≥λ x 2
−4x +3，x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是_____________________，若函数f (x )恰
有2个零点，则λ的取值范围是________________________
5. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重
复数字的四位数(用数字作答)
6. 已知点P (0，1)，椭圆 x 2
4+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当m =____________________时，点B 横坐标的绝对值最大
7. (15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的
中点均在C 上 (1) 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴
(2)
若P 是半椭圆x 2+
y
2
4
=1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围
8. (15分)已知函数f (x )=√x −lnx
(1) 若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln 2
(2) 若a ≤3−4ln 2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，
cos ,02,2()1||,20,2
x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为
▲ ．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和
为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l
交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．
P
M
B
A O
y x
13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，
则4a c +的最小值为 ▲ ．
14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一
个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．
（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1
(3,)2，焦点
12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26
，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）
记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．%网
（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；
（3）已知函数2
()f x x a =-+，e ()x
b g x x
=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区
间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）
设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2
）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并
求的取值范围（用1,,b m q 表示）．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为______
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）
10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若，则q=____________
11.已知常数a >0，函数的图像经过点、，若，则a =__________
12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：，，
+的最大值为__________ 16.设D 是含数1的有限实数集，是定义在D 上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转
后与原图像重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（ ）
（A
（B
（C
（D ）0 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线：，
l 与x 轴交于点A ，与交于点B ，P 、Q 分别是曲线与线段AB 上的动点。

（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；
EF BF AE ⋅1
Sn 1
lim
2n n a →∞+=222()(2)f x ax =+65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
236p q
pq +=²
²1x y +=₁₁²²1x y +=₂₂212x x y y +=₁₂₁f x （）f x （）π
6
1f （）23
τ²8y x =00x t y （≦≦，≧）ττ
（2）设t =3，
，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意，都有，则称 “接近”。

（1）设{a n }是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）设数列{a n }的前四项为：a ₁=1，a ₂=2，a ₃=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M={x |x =b i ，i =1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；
（3）已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b ₂-b ₁，b ₃-b ₂，…b 201-b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要
贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率
．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 （A
（B
（C
（D
（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值
为 （A ）1 （B ）2 （C ）3
（D ）4
（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则
（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈
（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉
（C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉ （D ）当且仅当3
2
a ≤
时，（2，1）A ∉ （13）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函
数是__________．
（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22
221x y N m n
-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交
2FQ =∣∣τ*n N ∈1||n n b a -≤{}{}n n b a 与2
1
11n n b a +=+*n N ∈{}n b {}n a
点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． （18）（本小题13分）
设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ．
（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅰ）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅰ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：1
1
λ
μ
+
为定值．
（20）（本小题14分）
设n 为正整数，集合A =12{|(,,
,),{0,1},1,2,
,}n n t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素
12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记
M （αβ，）=111122221
[(||)(||)(||)]2
n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+
++--．
（Ⅰ）当n =3时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；
（Ⅰ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅰ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，
M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）w
（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆2
2
1x y +=上的四段弧（如图），点
P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，
则P 所在的圆弧是
（A ）AB
（B ）CD （C ）EF （D ）GH
（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则
（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ （D ）当且仅当3
2
a ≤
时,（2,1）A ∉ （14）若ABC △
2
22)4
a c
b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；
c a 的取值范围是_________.
（19）（本小题13分）
设函数2()[(31)32]e x
f x ax a x a =-+++.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. （20）（本小题14分）
已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>
3
焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同
的交点A ，B .
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅰ）若1k =，求||AB 的最大值；
（Ⅰ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点
71
(,)42
Q - 共线，求k .
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
(5)已知2log e =a ，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>
(7)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，
B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为
(A)
221412x y -= (B) 221124x y -= (C) 22139x y -= (D) 22
193
x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，
1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为
(A)
2116 (B) 32 (C) 2516
(D) 3
(12)已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，直线2
1,
232
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
x t y t (t 为参数)
与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 .
(13)已知,R a b ∈，且360a b -+=，则1
28a
b
+
的最小值为 . (14)已知0a >，函数222,0,
()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩
若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数
解，则a 的取值范围是 .
(17)(本小题满分13分)
如图，//AD BC 且AD =2BC ，AD CD ⊥,//EG AD 且EG =AD ，//CD FG 且CD =2FG ，
DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.
（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ⊥平面； （II ）求二面角E BC F --的正弦值；
（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.
(18)(本小题满分13分)
设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *
∈，{}n b 是等差数列. 已知11a =，
322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.
（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()*
∈n T n N ，
（i ）求n T ；
（ii ）证明2
21()22()(1)(2)
2n n
k k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑
. (19)(本小题满分14分)
设椭圆22221x x a b
+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为5
，点A 的坐标为(,0)b ，且
62FB AB ⋅=.
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若
52
sin 4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点) ，求k 的值. (20)(本小题满分14分)
已知函数()x
f x a =，()lo
g a g x x =，其中a >1.
（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；
（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明
122ln ln ()ln a
x g x a
+=-
； （III ）证明当1e
a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）w
（8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·
BC OM 的值为
（A ）15- （B ）9- （C ）6-
（D ）0
（13）已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +
1
8b
的最小值为__________． （14）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩
，，
，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值
范围是__________．
（17）（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，
∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅰ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
（18）（本小题满分13分）
设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，
b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．
（Ⅰ）求S n 和T n ；
（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． （19）（本小题满分14分）
设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为5，||13AB =.
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值. （20）（本小题满分14分）
设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列. （I ）若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （II ）若3d =，求()f x 的极值； （III ）若曲线()y f x = 与直线
12()63y x t =---有三个互异的公共点，求d 的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试1l
8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 9．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩
，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是
A ．[)10-，
B ．[)0+∞，
C ．[)1-+∞，
D ．[)1+∞，
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构
成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，
ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅰ，其余部分记为Ⅰ，
在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p =
B ．13p p =
C ．23p p =
D ．123p p p =+
11．已知双曲线2
213
x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，
过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =
A ．32
B ．3
C ．23
D ．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．33
B ．
23
C ．
32
D ．
3
16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________． 18．（12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
19．（12分）
设椭圆2
212
x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20，．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠． 20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；
（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）
已知函数()1
ln f x x a x x
=
-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()1212
2f x f x a x x -<--．
2018年普通高等学校招生全国统一考试1w
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2
cos 23
α=
，则a b -= A ．15
B ．
5 C ．
25
D ．1
12．设函数()20
1 0
x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是
A ．(]1-∞-，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
16．△ABC 的内角A B C ，，
的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 18．（12分）
如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，
90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且
AB DA ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==
，求三棱锥Q ABP -的体积． 20．（12分）
设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠． 21．（12分）
已知函数()e ln 1x
f x a x =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1
e
a ≥时，()0f x ≥．
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3．函数2
e e ()x x
f x x
--=的图象大致为
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．π4
B ．π2
C ．3π4
D ．π
11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，
则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50- B ．0 C ．2 D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A
的
直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．2
3
B ．12
C ．13
D ．14
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △
的面积为
，则该圆锥的侧面积为__________．
19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
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11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为
A ．1
B ．2
C
D 1 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f +++
+=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆
锥的体积为__________．
19．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==
4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
20．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 21．（12分）
已知函数321
()(1)3f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点．
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6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．232⎡⎤⎣⎦，
D ．2232⎡⎤⎣⎦
， 7．函数422y x x =-++的图像大致为
9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为
222
4
a b c +-，则C = A ．π2
B ．π3
C ．π4
D ．π6
10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥
D ABC -体积的最大值为
A ．123
B ．183
C ．243
D ．543
11．设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的
垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A ．5
B ．2
C ．3
D ．2
12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．
若90AMB =︒∠，则k =________．
19．（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 20．（12分）
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）
已知函数()()
()22ln 12f x x ax x x =+++-．
（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．
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6．函数()2tan 1tan x
f x x
=+的最小正周期为
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．2π
12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
16．已知函数()ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．
21．（12分）
已知函数()21
e x
ax x f x +-=．
（1）求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．。