断裂力学讲解chGriffith理论
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单边裂纹vs双边
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
如果以(b) 为应变能零状态,要求解u(2c)状态能量,先转 u2 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
d 2C
da
2
2 C CM
dC 2
da
【题
2-4】
d 2C da2
C
2 CM
dC da
2
2B P2
Gc a
失稳扩展 随遇平衡 稳定裂纹
◎ 裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！
◎ CM 值越大，越容易实现裂纹失稳扩展 CM 0 ，刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载。
GBda W
dU e
d
d
da
da ，B:试件厚度
断裂的驱动力 断裂阻力
断裂是一个材料生成新表面的过程！
GBda W dU e d d da
da
阻力：表面能 d 2daB 单位面积表面能，或表面张力
驱动力： GBda W dU e
G:裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。
考察一个断裂过程中的能量平衡
W dU e d dU T Q (*)
W ：外界对系统做的功
dU e ：系统的弹性应变能增加 d ：系统新增表面能
dUT Q：断裂过程中系统产生的热
dUT 是系统内部热能增加，Q 传出系统 的热量。
热力学第二定律要求 dU T Q 0 ，由(*)式得
W dU e d 0
GBda W dU e d d da
da
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外 界功的交换，即W 0
一个例子:Griffith 脆断理论(1920，1924)
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d d da
E
E，
E
/
1
2
,
平面应力 平面应变
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
对于这种位移固定加载的系统，
裂纹扩展的临界状态对应于
d
U
da
e
d
da
裂纹扩展需满足
dUe d
da da
，即
d Ue 0
da
对于这种位移固定加载的系统，可以用
总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue
作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
【题2-3】固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化
方向？
※一些讨论
临界裂纹长度
acr
2E 2
=>
P
T
C a
CM
Ca :与裂纹有关的试件柔度
CM ：试验机柔度
整个加载系统的总弹性能为
U total e
1 2
PT
1 2
C
T2
a CM
能量释放率：
G
U
total e
A
T
1 B
U
total e
a
T
P2 2B
dC da
与加载方式（即CM ）无关！
※裂纹扩展的稳定性讨论
G a
T
P2 2B
da
表面能： 4aB ， （单位面积表面能） 外界对系统做功W 0，位移固定边界。
为什么是4倍?
如何计算弹性应变能的改变 dU e ？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
wk.baidu.com
E'/L
为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?
u2
u2
E' / L
自杨卫书
E' / L
a 2E
载荷与裂纹几何参数组合 纯粹的材料参数组合
载荷参数
Y 纯粹的材料参数组合
相似性？
位移固定边界下裂纹扩展的临界状态：
d Ue 0
da
dUe d
da da
裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力
随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
为什么是2，与前面不同?哪个公 式更普适？
E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
裂纹扩展稳定性条件： a a 稳定裂纹
更准确的应该是？
Gc 随 a 的变化称为材料的断裂阻力曲线
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即W 0
下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形
※ G 的实验测量—柔度标定
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)
u(c) u(b) u(d ) ， t (c) t (b) t (d ) ， f (c) f (b) f (d ) 其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
有限板和无限大板？仍假设裂纹面位移 u2x1, x1 a 可以由其他
方法得到
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
4aB
,
Ue
1a2B 2 8
对于这种位移固定加载的系统，
裂纹扩展的临界状态对应于
d
U
da
e
d
da
临界裂纹长度
acr
2E 2
临界应力 cr
2 E a
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
如果以(b) 为应变能零状态,要求解u(2c)状态能量,先转 u2 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
d 2C
da
2
2 C CM
dC 2
da
【题
2-4】
d 2C da2
C
2 CM
dC da
2
2B P2
Gc a
失稳扩展 随遇平衡 稳定裂纹
◎ 裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！
◎ CM 值越大，越容易实现裂纹失稳扩展 CM 0 ，刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载。
GBda W
dU e
d
d
da
da ，B:试件厚度
断裂的驱动力 断裂阻力
断裂是一个材料生成新表面的过程！
GBda W dU e d d da
da
阻力：表面能 d 2daB 单位面积表面能，或表面张力
驱动力： GBda W dU e
G:裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。
考察一个断裂过程中的能量平衡
W dU e d dU T Q (*)
W ：外界对系统做的功
dU e ：系统的弹性应变能增加 d ：系统新增表面能
dUT Q：断裂过程中系统产生的热
dUT 是系统内部热能增加，Q 传出系统 的热量。
热力学第二定律要求 dU T Q 0 ，由(*)式得
W dU e d 0
GBda W dU e d d da
da
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外 界功的交换，即W 0
一个例子:Griffith 脆断理论(1920，1924)
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d d da
E
E，
E
/
1
2
,
平面应力 平面应变
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
对于这种位移固定加载的系统，
裂纹扩展的临界状态对应于
d
U
da
e
d
da
裂纹扩展需满足
dUe d
da da
，即
d Ue 0
da
对于这种位移固定加载的系统，可以用
总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue
作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
【题2-3】固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化
方向？
※一些讨论
临界裂纹长度
acr
2E 2
=>
P
T
C a
CM
Ca :与裂纹有关的试件柔度
CM ：试验机柔度
整个加载系统的总弹性能为
U total e
1 2
PT
1 2
C
T2
a CM
能量释放率：
G
U
total e
A
T
1 B
U
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T
P2 2B
dC da
与加载方式（即CM ）无关！
※裂纹扩展的稳定性讨论
G a
T
P2 2B
da
表面能： 4aB ， （单位面积表面能） 外界对系统做功W 0，位移固定边界。
为什么是4倍?
如何计算弹性应变能的改变 dU e ？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
wk.baidu.com
E'/L
为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?
u2
u2
E' / L
自杨卫书
E' / L
a 2E
载荷与裂纹几何参数组合 纯粹的材料参数组合
载荷参数
Y 纯粹的材料参数组合
相似性？
位移固定边界下裂纹扩展的临界状态：
d Ue 0
da
dUe d
da da
裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力
随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
为什么是2，与前面不同?哪个公 式更普适？
E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
裂纹扩展稳定性条件： a a 稳定裂纹
更准确的应该是？
Gc 随 a 的变化称为材料的断裂阻力曲线
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即W 0
下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形
※ G 的实验测量—柔度标定
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)
u(c) u(b) u(d ) ， t (c) t (b) t (d ) ， f (c) f (b) f (d ) 其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
有限板和无限大板？仍假设裂纹面位移 u2x1, x1 a 可以由其他
方法得到
最一般形式 GBda W dU e d d da
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4aB
,
Ue
1a2B 2 8
对于这种位移固定加载的系统，
裂纹扩展的临界状态对应于
d
U
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临界应力 cr
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