断裂力学讲解chGriffith理论
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清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
Legendre变换
min F min G
达到平衡状态
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
Legendre变换
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。
dU Q Wmech Wextra
U是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律：
Clausius
不可能把热量从低温物体传递到高温物体 而不产生其他影响。
Kelvin-Planck
对于无限大板（L>>a），参见随后的作业题3
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？ 若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理
Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136 /stable/769315
Griffith理论
椭圆孔的应力分布（弹性力学解）
Charles Inglis, 1913
min F min G
达到平衡状态
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
Legendre变换
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。
dU Q Wmech Wextra
U是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律：
Clausius
不可能把热量从低温物体传递到高温物体 而不产生其他影响。
Kelvin-Planck
对于无限大板（L>>a），参见随后的作业题3
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？ 若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理
Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136 /stable/769315
Griffith理论
椭圆孔的应力分布（弹性力学解）
Charles Inglis, 1913
脆性断裂现象理论结合强度Griffith微裂
外力作用时，在这些缺陷处就会引起应 力集中，导致裂纹成核。如：位错运动 中的塞积，位错组合，交截等。 如图2.8
⑵ 材料表面的机械损伤与化学腐蚀形成表面裂纹。这 种表面裂纹最危险，裂纹的扩展常常由表面裂纹开 始。
⑶ 由于热应力形成裂纹 ①晶粒在材料内部取向不同，热膨胀系数 不同，在晶界或相界出现 应力集中。 ②高温迅速冷却，内外温度差引起热应力。 ③温度变化发生晶型转变，体积发生变化。
• a.将一单位厚度的薄板拉长到 l ，l 此时板中储存
的弹性应变能为:
we1
1 2
F
l
• b.人为地在板上割出一条长度为2c的裂纹，产生两 个新表面，此时，板内储存的应变能为:
we2
1 2
F
F l
•
c. 应变能降低
we
w w
e1
e2
1 F l 2
当裂纹尖端处的横向拉应力尚不足以引起扩展，但在 长期受力情况下，会出现裂纹的缓慢生长。
第二节 理论结合强度
要推导材料的理论强度，应从原子间的结合力入 手，只有克服了原子间的结合力，材料才能断裂。
Orowan提出了以正弦曲线来近似原子间约束力随 原子间的距离X的变化曲线（见图2.1）。
得出：
当 r ＜＜ c ， →0 时，即为裂纹 尖端处的一点。
K
xx
yy 2 r
yy是裂纹扩展的主要动力
三. 应力场强度因子及几何形状因子
K 2r 2 2 r c Y c
A
r c
K 是反映裂纹间断应力场强度的强度因子,
Y 为几何形状因子，它和裂纹型式，试件几何
⑵ 材料表面的机械损伤与化学腐蚀形成表面裂纹。这 种表面裂纹最危险，裂纹的扩展常常由表面裂纹开 始。
⑶ 由于热应力形成裂纹 ①晶粒在材料内部取向不同，热膨胀系数 不同，在晶界或相界出现 应力集中。 ②高温迅速冷却，内外温度差引起热应力。 ③温度变化发生晶型转变，体积发生变化。
• a.将一单位厚度的薄板拉长到 l ，l 此时板中储存
的弹性应变能为:
we1
1 2
F
l
• b.人为地在板上割出一条长度为2c的裂纹，产生两 个新表面，此时，板内储存的应变能为:
we2
1 2
F
F l
•
c. 应变能降低
we
w w
e1
e2
1 F l 2
当裂纹尖端处的横向拉应力尚不足以引起扩展，但在 长期受力情况下，会出现裂纹的缓慢生长。
第二节 理论结合强度
要推导材料的理论强度，应从原子间的结合力入 手，只有克服了原子间的结合力，材料才能断裂。
Orowan提出了以正弦曲线来近似原子间约束力随 原子间的距离X的变化曲线（见图2.1）。
得出：
当 r ＜＜ c ， →0 时，即为裂纹 尖端处的一点。
K
xx
yy 2 r
yy是裂纹扩展的主要动力
三. 应力场强度因子及几何形状因子
K 2r 2 2 r c Y c
A
r c
K 是反映裂纹间断应力场强度的强度因子,
Y 为几何形状因子，它和裂纹型式，试件几何
断裂力学讲义ch5-J积分
t cz
u x1
d
aR
a
x1
u2 x1
dx1
a
aR
x1
u2 x1
dx1
aR
a
x1
x1
u2 u2
dx1
a a
R
x1
x1
x1
dx1
a d
aR
t d
0
其中 a t 。理想弹塑性时 s ，＝> J st
其他材料 t
d
J
0
，d：无量纲材料参数组合， 0 ：参照应力
等效应力： e
3J2
3 2 sij sij
n
0
0
其中 sij
ij
1 3
kk
ij
为应力偏量。单向拉伸时等效应力
e
就
为拉伸应力（【题 5-3】验证—若未学过塑性力学的同学）。
按 J2 形变理论可得多轴应力应变关系
ij 0
3 2
e 0
n1
sij
0
（【习题
5-4】）
上式基于以下几点：
➢
ij
p ij
J 积分作为断裂参量的优点（续）：
1. 对 J 积分进行量测的试件尺寸小于对 K IC 进行量测的试 件尺寸
✓ 小范围屈服（SSY） K IC 量测要求
a,c, B
2.5
KI
s
2
✓ 测量 J IC 再利用 K
2
a,
c,
B
KI
s
（由实验知）
2. J 积分表征裂纹尖端处的场强度，且即可得裂尖场，类 似于线弹性断裂力学的 K 值（由下一讲可知）
※J 积分的理论局限性
断裂力学——2Griffith 理论(1)
13
Griffith理论
二、Griffith理论 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题 时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。 上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长 后，固定两端，构成能量封闭系统。
14
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa. The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa experiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stress increases as the fiber diameter decreases. –尺寸相关性
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concretE. Inglis
A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis. Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.
2.3__Griffith微裂纹强度理论讲解
2.3 Griffith微裂纹强度理论
Griffith(格里菲斯)认为，实际材料中存在许多细小的裂 纹或缺陷。在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近产生应 力集中现象。当应力达到一定程度时，裂纹开始扩展而 导致断裂。所以，断裂不是两部分晶体沿整个晶面拉断， 而是裂纹扩展的结果。
材料中的裂纹型缺陷：材料中的伤痕、裂纹、气孔、 杂质等宏观缺陷。
孔洞两个端部的应力几 乎取决于孔洞的长度和 端部的曲率半径，而与 孔洞形状无关。
(孔洞)裂纹
长度2c
平板弹性体孔洞端部的受力情况
孔洞端部应力： A=(1+2c/a), =a2/c
式中：A—孔洞端部应力；—外加应力 a—原子间距； —曲率半径
A = [1+2(c/)1/2]
若为扁平的锐裂纹，则c>> ，c/将很大，略去‘1’，得：
因此，当dwe/(2dc) <dws/(2dc)时，为稳定状态，裂纹 不会扩展； 当dwe/(2dc) =dws/(2dc)时，为临界状态； 当dwe/(2dc) >dws/(2dc)时，裂纹失稳，迅速扩 散。 将We=πc22/E和Ws = 4c 代入，可得临界条件为：
πcc2/E=2
即：
量……）
则：释放的弹性形变能中只有1/2用于增加表面能。因此， 临界状态下d(we/2)/(2dc) =dws/(2dc)，将We=πc22/E和Ws = 4c 代入，可得临界条件为： 1/2πcc2/E=2 得： c=(4E/πc)1/2
大于c=(2E/πc)1/2
可以引入扩展单位面积裂纹所需的塑性功p来描述延性 材料的断裂(与前面假设的考虑方向相反，即增加了新生表面
c=(2E/πc)1/2
若是平面应变状态，则为： c=[2E/(1-μ2) πc]1/2 c=(2E/πc)1/2与c=(E/4c) ½基本一致。而且与理论强 度公式th = (E/r0)1/2 类似。
Griffith(格里菲斯)认为，实际材料中存在许多细小的裂 纹或缺陷。在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近产生应 力集中现象。当应力达到一定程度时，裂纹开始扩展而 导致断裂。所以，断裂不是两部分晶体沿整个晶面拉断， 而是裂纹扩展的结果。
材料中的裂纹型缺陷：材料中的伤痕、裂纹、气孔、 杂质等宏观缺陷。
孔洞两个端部的应力几 乎取决于孔洞的长度和 端部的曲率半径，而与 孔洞形状无关。
(孔洞)裂纹
长度2c
平板弹性体孔洞端部的受力情况
孔洞端部应力： A=(1+2c/a), =a2/c
式中：A—孔洞端部应力；—外加应力 a—原子间距； —曲率半径
A = [1+2(c/)1/2]
若为扁平的锐裂纹，则c>> ，c/将很大，略去‘1’，得：
因此，当dwe/(2dc) <dws/(2dc)时，为稳定状态，裂纹 不会扩展； 当dwe/(2dc) =dws/(2dc)时，为临界状态； 当dwe/(2dc) >dws/(2dc)时，裂纹失稳，迅速扩 散。 将We=πc22/E和Ws = 4c 代入，可得临界条件为：
πcc2/E=2
即：
量……）
则：释放的弹性形变能中只有1/2用于增加表面能。因此， 临界状态下d(we/2)/(2dc) =dws/(2dc)，将We=πc22/E和Ws = 4c 代入，可得临界条件为： 1/2πcc2/E=2 得： c=(4E/πc)1/2
大于c=(2E/πc)1/2
可以引入扩展单位面积裂纹所需的塑性功p来描述延性 材料的断裂(与前面假设的考虑方向相反，即增加了新生表面
c=(2E/πc)1/2
若是平面应变状态，则为： c=[2E/(1-μ2) πc]1/2 c=(2E/πc)1/2与c=(E/4c) ½基本一致。而且与理论强 度公式th = (E/r0)1/2 类似。
断裂力学——2Griffith 理论(1)
3
Griffith理论
线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展 起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正 了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。
Griffith理论
设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得 1 2 U a 2 2 B 到的应力场、位移场计算公式，得出当 E 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） U 1 a 2 2 B E 时，弹性应变能的改变量为
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
Griffith理论
线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展 起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正 了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。
Griffith理论
设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得 1 2 U a 2 2 B 到的应力场、位移场计算公式，得出当 E 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） U 1 a 2 2 B E 时，弹性应变能的改变量为
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
断裂力学讲义Ch5_3教材
M M 1
KI
2GH
L 1
附：
通过位错叠加可以是描述一个裂纹
Johannes Weertman
Julia Weertman
作业题
【作业题5-7】按照讲义中的推导，求解对于位错的J2积分的表 达式，并仿照讲义中的解释，尝试说明J2的物理意义（针对于 不同的Burgers矢量）。
J2 wn2 t uj j,2 ds C
x2 x1
13
31
2
Gbx2 x12
x22
23
32
2
Gbx1 x12 x22
复合位错（mixed dislocation）
Peierls-Nabarro应力（晶格对于位错运动的阻力）
PN
2G
1
exp
2 w
b
w 位错芯宽度
Orowan方程
bv
位错密度 v 位错运动平均速度
ij
ij
d ij
ij
ij
d ij
w
1 2
ijij
1 2
ij
d ij
ij
d ij
1 2
ij
ij
1 2
d ij
d ij
1 2
ij
d ij
1 2
d ij
ij
1 2
ij
ij
1 2
d ij
d ij
u d
ij i,
j
jkuj,
jk
d jk
u
j ,
u
d j ,
jk
u j ,
d jk
J. K. Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187-211 (1972).
Griffith微裂纹强度理论
工程应用
将griffith微裂纹理论应用于实际工程中，如玻璃 制品、陶瓷刀具等，以提高其强度和可靠性。
未来研究方向
探讨griffith微裂纹理论的局限性以及未来发展方 向，为相关领域的研究提供参考。
05
结论与展望
研究结论
Griffith微裂纹理论为材料断 裂力学提供了重要的理论基础，
特别是对于脆性材料。
感谢观看
该理论指出，当裂纹尺寸达 到临界值时，裂纹扩展的驱 动力将由外应力决定，而不
是由残余应力决定。
Griffith理论还指出，裂纹扩 展的临界应力与材料的表面能 有关，表面能越低，临多情况下都能很好地预测裂纹的扩展，但在某些情况下，如多裂纹、非均匀应力 场等复杂情况下，该理论的预测能力有待提高。
该理论不仅在材料科学和工程领域有广泛 应用，还涉及到地质学、生物学和其他涉 及断裂行为的领域。
02
Griffith微裂纹理论概述
Griffith微裂纹定义
总结词
Griffith微裂纹是指在材料中由于内部应力集中而形成的细小 裂纹。
详细描述
Griffith微裂纹通常是由于材料内部存在的缺陷、晶界、相界 面等处的应力集中所引起的。这些微裂纹在材料中广泛存在 ，对材料的力学性能和稳定性产生重要影响。
目前对于Griffith理论的实验验证主要集中在宏观尺度上，而在微观和纳观尺度上，由于实验技术的限制， 该理论的验证仍然是一个挑战。
为了更好地理解Griffith理论，需要进一步研究裂纹扩展的微观机制，包括裂纹尖端的应力场、能量释放 率等。同时，也需要发展更精确的数值模拟方法来模拟裂纹扩展的过程。
THANKS
04
实验验证与案例分析
实验设计
实验材料
将griffith微裂纹理论应用于实际工程中，如玻璃 制品、陶瓷刀具等，以提高其强度和可靠性。
未来研究方向
探讨griffith微裂纹理论的局限性以及未来发展方 向，为相关领域的研究提供参考。
05
结论与展望
研究结论
Griffith微裂纹理论为材料断 裂力学提供了重要的理论基础，
特别是对于脆性材料。
感谢观看
该理论指出，当裂纹尺寸达 到临界值时，裂纹扩展的驱 动力将由外应力决定，而不
是由残余应力决定。
Griffith理论还指出，裂纹扩 展的临界应力与材料的表面能 有关，表面能越低，临多情况下都能很好地预测裂纹的扩展，但在某些情况下，如多裂纹、非均匀应力 场等复杂情况下，该理论的预测能力有待提高。
该理论不仅在材料科学和工程领域有广泛 应用，还涉及到地质学、生物学和其他涉 及断裂行为的领域。
02
Griffith微裂纹理论概述
Griffith微裂纹定义
总结词
Griffith微裂纹是指在材料中由于内部应力集中而形成的细小 裂纹。
详细描述
Griffith微裂纹通常是由于材料内部存在的缺陷、晶界、相界 面等处的应力集中所引起的。这些微裂纹在材料中广泛存在 ，对材料的力学性能和稳定性产生重要影响。
目前对于Griffith理论的实验验证主要集中在宏观尺度上，而在微观和纳观尺度上，由于实验技术的限制， 该理论的验证仍然是一个挑战。
为了更好地理解Griffith理论，需要进一步研究裂纹扩展的微观机制，包括裂纹尖端的应力场、能量释放 率等。同时，也需要发展更精确的数值模拟方法来模拟裂纹扩展的过程。
THANKS
04
实验验证与案例分析
实验设计
实验材料
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的 能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑 成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
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E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
单边裂纹vs双边
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)
u(c) u(b) u(d ) ， t (c) t (b) t (d ) ， f (c) f (b) f (d ) 其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？
GBda W dU e d d da
da
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外 界功的交换，即W 0
一个例子:Griffith 脆断理论(1920，1924)
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d d da
有限板和无限大板？仍假设裂纹面位移 u2x1, x1 a 可以由其他
方法得到
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
4aB
,
Ue
1a2B 2 8
对于这种位移固定加载的系统，
裂纹扩展的临界状态对应于
d
U
da
e
d
da
临界裂纹长度
acr
2E 2
临界应力 cr
2 E a
E
E，
E
/
1
2
,
平面应力 平面应变
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
对于这种位移固定加载的系统，
裂纹扩展的临界状态对应于
d
U
da
e
d
da
裂纹扩展需满足
dUe d
da da
，即
d Ue 0
da
对于这种位移固定加载的系统，可以用
总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
P
T
C a
CM
Ca :与裂纹有关的试件柔度
CM ：试验机柔度
整个加载系统的总弹性能为
U total e
1 2
PT
1 2
C
T2
a CM
能量释放率：
G
U
total e
A
T
1 B
U
total e
a
T
P2 2B
dC da
与加载方式（即CM ）无关！
※裂纹扩展的稳定性讨论
G a
T
P2 2B
GBda W
dU e
d
d
da
da ，B:试件厚度
断裂的驱动力 断裂阻力
断裂是一个材料生成新表面的过程！
GBda W dU e d d da
da
阻力：表面能 d 2daB 单位面积表面能，或表面张力
驱动力： GBda W dU e
G:裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。
裂纹扩展稳定性条件： a a 稳定裂纹
更准确的应该是？
Gc 随 a 的变化称为材料的断裂阻力曲线
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即W 0
下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形
※ G 的实验测量—柔度标定
考察一个断裂过程中的能量平衡
W dU e d dU T Q (*)
W ：外界对系统做的功
dU e ：系统的弹性应变能增加 d ：系统新增表面能
dUT Q：断裂过程中系统产生的热
dUT 是系统内部热能增加，Q 传出系统 的热量。
热力学第二定律要求 dU T Q 0 ，由(*)式得
W dU e d 0
若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
如果以(b) 为应变能零状态,要求解u(2c)状态能量,先转 u2 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
最一般形式 GBda W dU e d d da
da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue
作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
【题2-3】固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化
方向？
※一些讨论
临界裂纹长度
acr
2E 2
=>
da
表面能： 4aB ， （单位面积表面能） 外界对系统做功W 0，位移固定边界。
为什么是4倍?
如何计算弹性应变能的改变 dU e ？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
E'/L
为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?
u2
u2
E' / L
自杨卫书
E' / L
d 2C
da
2
2 C CM
dC 2
da
【题
2-4】
d 2C da2
C
2 CM
dC da
2
2B P2
Gc a
失稳扩展 随遇平衡 稳定裂纹
◎ 裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！
◎ CM 值越大，越容易实现裂纹失稳扩展 CM 0 ，刚度无穷大，刚性加载，控制位移加载。
a 2E
载荷与裂纹几何参数组合 纯粹的材料参数组合
载荷参数
Y 纯粹的材料参数组合
相似性？
位移固定边界下裂纹扩展的临界状态：
d Ue 0
da
dUe d
da da
裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力
随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
为什么是2，与前面不同?哪个公 式更普适？