初中数学中考方案设计题

(一) 二次函数的概念二次函数、对称轴、顶点等.(二) 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质2[例题]1、已知二次函数的解析式是322--=xxy.（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（2）当x为何值时，函数值y=0？（3）当-3<x<3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围.解：(1) 已知二次函数的解析式是322--=xxy=4)1(2--x(2) 令0322=--xx，解得3,121=-=xx∴当x = -1或3时，函数值y =0(3) 观察图象知：-4≤y＜122、（2010株洲市）已知二次函数()()221y x a a=-+-（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a=-，0a=，1a=，2a=时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=. （121-x）3、（2010湖北省咸宁市）已知抛物线2y ax bx c=++（a＜0）过A（2-，0）、O（0，0）、B（3-，1y）、C（3，2y）四点，则1y与2y的大小关系是（ A ）A．1y＞2y B．1y2y=C．1y＜2y D．不能确定4、（2010年杭州市）定义[,,a b c]为函数2y ax bx c=++的特征数, 下面给出特征数为[2m，1 –m , –1–m] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④5、(2010湖北省荆门市)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列 结论错误．．的是（ ） A. ab ＜0B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增 大而减小.D. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.6、（2010玉溪市）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标 系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0； ④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．7、（2010年天津市）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 8、（2010毕节）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( C )9、（2010年兰州）抛物线y =ax 2+bx +c 图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数xcb a y ++=在同一坐标系内的图象大致为（ D ）x x x xxyO -1110、（2010年崇文二模）矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ A ）(三) 二次函数y =ax 2+bx +c1、平移：a 不变. 清移动谁，不妨画草图. 2结论：抛物线y =ax 2+bx +c 关于x 2-bx -c抛物线y -bx +c3 结论：抛物线180°后的解析式为y = -a (x -h )2+k[例题]1c 的图象，回答下面的问题： （1）判断a ，b（2）把抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，求平移后抛物线的解析式；（3）把抛物线沿x 轴翻折，求翻折后抛物线的解析式.2、（2010桂林）将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）． A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-3、将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. 2x y -= B. 12+-=x y C. 12-=x y D. 12--=x y4、(2010遵义市)如图，两条抛物线12121+-=x y 、 12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ A ）A ．8B ．6C ．10D ．45、（2010毕节）把抛物线y =x 2+bx +c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y = x 2-3x ＋5，则（ A ）A ．b =3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =-9，c =-5D ．b =-9，c =216、(2010台州市)如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为 -3D 的横坐标最大值为（ D ）A ．－3B ．1C ．5D ．8 7、（2010浙江温州）如图，抛物线y =ax 2+bx 经过点A (4，0)B (2，2). 连结OB ，AB .(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：△OAB 是等腰直角三角形；(3)将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转l35°得到△O A′B′写出△O A′B′ 的边A′B′的中点P 的坐标．试判断点P 抛物线上，并说明理由.8、(2009年北京)已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根， k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析 式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图 象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意：△=24-8k ≥0 ∴k ≤3∵k 为正整数∴k =1，2，3（2）当k =1时，方程22410x x k ++-=有一根为0； 当k =2时，方程22410x x k ++-=无整数根；当k =3时，方程22410x x k ++-=有两个非0的整数根. ∴k =1，k =2不合题意舍去，k =3当k =3时，二次函数为2422++=x x y ，把它的图象向下平移8个单位得到的图象解析式为6422-+=x x y （3）设抛物线6422-+=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，则A （-3，0），B （1，0）依题意翻折后的图象如图所示.当直线b x y +=21(b <k )经过点A 时，可得23=b 当直线b x y +=21(b <k )经过点B 时，可得21-=b由图象可知b 的取值范围是2321<<-b9、（2010年镇江市）已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标； （3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>解：（1）1,1)1(222-=-++=++=x m x m x x y 对称轴为x 与 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.∴C 1的顶点坐标为（-1，0）（2）设C 2的函数关系式为,)1(2k x y ++=把A （-3，0）代入上式得,4,0)13(2-==++-k k 得∴C 2的函数关系式为.4)1(2-+=x y∵抛物线的对称轴为x x 与,1-=轴的一个交点为A （-3由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）当x y x 随时,1-≥的增大而增大，当.2,,121>∴>-≥n y y n 时2),,2(),(,111-----<n y n y n P n 且的对称点坐标为时当.4,22,21-<∴>--∴>n n y y .42:-<>n n 或综上所述(四) 确定二次函数解析式一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)双根式：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0) 其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.[例题] 1、（2007天津市）已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A ，B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.答案：（1）4222-+=x x y ；（2）)29,21(--注：抛物线与x 轴两交点的不同说法应给学生作变式练习.-n , y 1)(n , y y 2)2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 解：（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，注：抛物线顶点的不同说法应给学生作变式练习.3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个二次函数的图象上. 解：（1）23212+--=x x y （2）证明：若点2()M m m -，在此二次函数的图象上， 则221(1)22m m -=-++． 得2230m m -+=． △=41280-=-<，该方程无实根．所以原结论成立．4、（2010年天津市）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为 ．（2y x x =+-）(五) 二次函数与一元二次方程方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，令y =0，则得02=++c bx ax ，这是一个关于x 的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与x 轴交点的个数的讨论都可转化为由根的判别式△来讨论.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，重要的是求解的思路，包括解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等．同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系．[例题]1、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .（11-=x ，32=x ）2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程20ax bx c ++=的两个根；（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围； （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 解：（1）11x =，23x = （2）13x << （3）2x > （4）2k <3、函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c -的根的情况是（ A ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 4、（2010年朝阳二模）已知二次函数y 1=x 2-x -2和一次函数y 2=x +1的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是（ A ）A ．x ＜-1或x ＞3B ．-1＜x ＜3C ．x ＜-1D ．x ＞35、下列表格是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0 （a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围（ C ）A. 6<x <6.17B. 6.17<x <6.18C. 6.18<x <6.19D. 6.19<x <6.206、已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 解：（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mma b x ，24168164)4()24(4442222-=--=---=-=mm m m m m m m a b ac y ．∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴2x ==． ∵0m >，∴2x =±∴2m 是完全平方数． ∵155m <<， ∴22105m << ∴2m 取1，4，9， 当21m =时，2=m ； 当24m =时，21=m ； 当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．(六) 实际问题与二次函数1、建立平面直角坐标系，求二次函数解析式，解决实际问题. 一般步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，注意建立坐标系时以方便为原则； (2)设恰当的解析式；(3)求解析式，注意点在各象限中的符号； (4)根据解析式解决实际问题.[例题]、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式.最后算出跳离地面的高度. 解：如图建立直角坐标系.∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点 ∴设解析式为：5.3)5.2(2+-=x a y （0≤x ≤4） ∵抛物线过点（4，3.05） ∴5.3)5.24(05.32+-=a a = -0.2∴5.3)5.2(2.02+--=x y （0≤x ≤4） 即25.22.02++-=x x y当x =0时，y =2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米法二：如图建立直角坐标系.∵点(0，3.5)是这段抛物线的顶点∴设解析式为：23.5y ax =+（-2.5≤x ≤1.5） ∵抛物线过点（1.5，3.05） ∴5.35.105.32+⨯=a a = -0.2∴5.32.02+-=x y （-2.5≤x ≤1.5）当x = -2.5时，y =2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米2、最值问题(1) 二次函数的最值应用主要体现在以下方面： ①解决实际问题中的最值问题； ②探讨几何图形中相关元素的最值. (2) 利用二次函数求最值问题的一般步骤： ①列出函数解析式；②求自变量x 的取值范围；③求abx 2-=的值； ④判断abx 2-=的值是否在x 的取值范围中：若在，a b ac y 442-=最值；若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.[例题]1、如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子， 窗子的宽不能超过2米.为使透进的光线最多，则窗子的长、 宽应各为多少米？解：设窗子的宽为x m ，透光面积y m 2.x x y 9232+-=（0＜x ≤2） ∵32=-=abx 不符合0＜x ≤2∴由函数图象可知：当x =2时，y 最大=12 ∴当宽为2 m ，长为6 m 时，透进的光最多. 注：利用图象在端点处找最值.2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？ 最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）解：（1）设b kx y x y +=的函数关系式为：与，∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）∴⎩⎨⎧+=+=b k bk 7030060400 解得⎩⎨⎧=-=100010b k∴100010+-=x y（2）)100010)(50(+--=x x P500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70）∵752015002=--=-a b ，10-=a ＜0∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下，对称轴是直线x=75 ∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大 ∴当x =70时，6000=最大值P注：利用增减性找最值.(七) 二次函数综合题解二次函数综合题特别是解与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础. 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键.[例题]1、已知抛物线)0()21(22≠+-+=k k x k x y 与x 轴交于两点A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2），顶点为C .(1) 若△ABC 为直角三角形，求k 的值； (2) 若△ABC 为等边三角形，求k 的值. 解：(1) 作CD ⊥AB 于D ，则AD =DB∵△ABC 为直角三角形 ∴AD =CDy (件)∵a AD 2∆=，aCD 4∆= ∴aa 42∆=∆ ∵△≠0 ∴△=4∵△= -4k +1 ∴-4k +1=4 43-=k (2) 同理∵△ABC 为等边三角形∴CD =3AD∵a AD 2∆=，aCD 4∆=∴aa234∆=∆ ∵△≠0 ∴△=12 ∵△= -4k +1 ∴-4k +1=12411-=k 小结：已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2）两点，顶点为C .(1) △ABC 为直角三角形442=-=∆⇔ac b ； (2) △ABC 为等边三角形1242=-=∆⇔ac b 2、（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （-33，1）、C （-33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （-3，1）、F （- 433，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′. （1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．解：（1）设EF 的解析式为y =kx +b ,，把E （1）、F （3-,0）的坐标代入：1=+b 解得： k0=3-k +b b =4∴直线EF 的解析式为y +4（2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′∵BE ；∴B ′E = BE 在Rt △AE B ′中，根据勾股定理，求得：A B ′＝3，∴B′ 的坐标为（0，-2） 设二次函数的解析式为：y =ax 2+bx +c把点B （-33，1）、E （，1）、B′（0，-2）代入-2=c a =13-3a b +c =1 解得： b =27a －b +c =1 c =－2∴二次函数的解析式为y =13-x 2－2（3）能，可以在直线EF 上找到点P ，连接B′C ，交直线EF 于点P ，连接BP .由于B′P =BP ，此时，点P 与C 、B ′在一条直线上，所以，BP +PC = B′P +PC 的和最小，由于BC 为定长，所以满足△PBC 周长最小. 设直线B′C 的解析式为：y=kx +b-2=b0= -k +b∴直线B′C 的解析式为2y x =- 又∵P 为直线B′C 和直线EF 的交点，∴ 29y x =-- 解得： x =y +4 1011y =-∴点P 的坐标为（，1011-）3、（2010年海淀二模）已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）. （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C .①当AC =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（t >0），同时将直线l ：3y x =沿y 轴正方向平移t 个单位.平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形? 解：（1）证明：令0y =,则2(2)20x a x a +--=.△=22)2(8)2(+=+-a a a ． ∵ 0>a ,∴ 02>+a ． ∴ △0>.∴ 方程2(2)20x a x a +--=有两个不相等的实数根. ∴ 抛物线与x 轴有两个交点.（2）①令0y =,则2(2)20x a x a +--=，解方程，得122,x x a ==-.∵A 在B 左侧，且0a >，∴抛物线与x 轴的两个交点为A (,0)a -，B (2,0). ∵ 抛物线与y 轴的交点为C ， ∴ (0,2)C a -. ∴ ,2AO a CO a ==.在Rt △AOC 中，222AO CO +=，22(2)20a a +=． 可得 2a =±． ∵ 0a >， ∴ 2a =．∴ 抛物线的解析式为24y x =-.②依题意，可得直线'l 的解析式为3y x t =+，'A (2,0)t -，'B (2,0)t +,''4A B AB ==.∵ △''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形，∴ 当''90PA B ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --.∴ 3(2)4t t -+=.解得 52t =或12t =. 当''90PB A ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-.∴3(2)4t t ++=.解得52t =-或12t =-（不合题意，舍去）. 综上所述，52t =或12t =.。