离散数学复习资料习题与解答.docx
离散数学复习题含答案
离散数学复习题含答案1. 集合论基础集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含所有既属于A又属于B的元素。
请写出集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集。
答案：{2, 3}2. 逻辑运算设命题p为“今天是周一”，命题q为“明天是周三”。
请判断复合命题“p且q”的真值。
答案：假3. 图论初步在无向图中，若存在一条路径使得起点和终点相同，则称该图为欧拉图。
请判断一个有5个顶点且每个顶点的度均为2的无向图是否一定是欧拉图。
答案：是4. 组合数学从5个不同的球中选取3个，有多少种不同的选取方法？答案：10种5. 布尔代数在布尔代数中，逻辑或运算符表示为∨，逻辑与运算符表示为∧。
请计算表达式(A∨B)∧(¬A∨¬B)的值。
答案：¬(A∧B)6. 归纳与递归给定递归关系式T(n) = 2T(n-1) + 1，初始条件为T(1) = 1，求T(3)的值。
答案：T(3) = 2T(2) + 1 = 2(2T(1) + 1) + 1 = 2(2*1 + 1) + 1 =2(3) + 1 = 77. 有限状态机在有限状态机中，状态转移可以通过一个转移函数来描述。
若状态转移函数定义为δ(q, a) = q'，其中q和q'是状态，a是输入符号，请说明该函数的作用。
答案：该函数定义了在给定当前状态q和输入符号a的情况下，有限状态机将转移到新的状态q'。
8. 正则表达式正则表达式用于描述字符串的模式。
请写出匹配任意长度的数字串的正则表达式。
答案：\d*9. 命题逻辑命题逻辑中的等价关系是指两个命题逻辑表达式在所有可能的真值赋值下具有相同的真值。
请判断命题p∨¬p和命题¬(p∧¬p)是否等价。
答案：是10. 树的遍历在计算机科学中，树的遍历有前序、中序和后序三种方式。
请简述后序遍历的步骤。
答案：后序遍历的步骤是先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学复习题参考带答案
一、选择题：（每题2’）1、下列语句中不是命题的有（ ）。
A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。
B ．鸡有三只脚。
C ．太阳系以外的星球上有生物 。
D ．你打算考硕士研究生吗?2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。
A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真D ． A 与B 有相同的真值3、所有使命题公式P ∨(Q ∧¬R)为真的赋值为（ ）。
A ． 010，100，101，110，111B ． 010，100，101，111C ． 全体赋值D ． 不存在4、合式公式⌝(P ∧Q)→R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。
A ．2B ．3C ．5D ．05、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。
A ．析取范式B ．合取范式C ．主析取范式D ．以上答案都不对6、下述公式中是重言式的有（ ）。
A ．(P ∧Q) → (P ∨Q)B ．(P ↔Q) ↔ (( P →Q)∧(Q →P))C ．⌝(P →Q)∧QD ．P →(P ∧Q)7、命题公式 (⌝P →Q) →(⌝Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。
A ．0B ．1C ．2D ．38、若公式 (P ∧Q)∨(⌝P ∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（）。
A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 1019、下列公式中正确的等价式是（ ）。
A ．⌝(∃x)A(x) ⇔ (∃x)⌝A(x)B ．(∀x) (∀y)A(x, y) ⇔ (∃y) (∀x) A(x, y)C ．⌝(∀x)A(x) ⇔ (∃x)⌝A(x)D ．(∀x) (A(x) ∧B(x)) ⇔ (∀x) A(x) ∨(∀x) B(x)10、下列等价关系正确的是（ ）。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学复习题及答案
离散数学复习题及答案离散数学复习题及答案⽂件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]1. 写出命题公式﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。
答案：2.证明答案：3. 证明以下蕴涵关系成⽴：答案：4. 写出下列式⼦的主析取范式：答案：5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q答案：①s →t 前提②t 前提③s ①②拒取式I12④s →r 前提⑤r ③④假⾔推理I11⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. ⽤反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q7. 请将下列命题符号化：所有鱼都⽣活在⽔中。
)()(R P Q P ∨∧∧?答案：令F( x )：x是鱼 W( x )：x⽣活在⽔中8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。
答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数9. 请将下列命题符号化：尽管有⼈聪明，但并⾮⼀切⼈都聪明。
答案：令M(x)：x 是⼈ C(x)：x 是聪明的则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y，都有x+y≥x。
答案：令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x11. 请将下列命题符号化：每个⼈都要参加⼀些课外活动。
答案：令P(x):x是⼈ Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化：某些⼈对某些药物过敏。
答案：令P(x):x是⼈ Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求)())()((yyRyQxPy?→→的对偶式:答案：14. 求下列谓词公式的前束范式：答案：15. 证明：答案：16. ⽤反证法证明：x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x)答案：17. 证明：前提： x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)).结论： x(Q(x)∧R(x)).答案：(1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引⼊(2) C(a)∧Q(a) (1)ES(3) C(a) (2)化简规则(4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引⼊(5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假⾔推理(7) R(a) (6)化简规则(8) Q(a) (2)化简规则) ,,()),(),((uyxuQzyPzxzPyx?→∧(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引⼊规则(10) x(Q(x)∧R(x)) (9)EG18. 判断：下列命题是否正确答案：(1) √(2) ×(3) √(4) √(5) √(6) √(7) √(8) ×19. 列出下列集合的元素(1) {x|x∈N∧t(t∈{2,3}∧x=2t)}(2) {x|x∈N∧ts(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t(3){x|x∈N∧t(t整除2x≠t)}答案：(1) {4,6}(2) {1,2,3}(3) {3,4,5…}20.S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}答案：21. ⼀个学校有507，292，312和344个学⽣分别选择了A,B,C,D四门课程。
(完整word版)离散数学习题解答(耿素云屈婉玲)北京大学出版社
习题一1。
下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明。
答：此命题是简单命题,其真值为1。
（2答：此命题是简单命题，其真值为1。
（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答:不是命题。
（6）2与3是偶数.答：是命题,但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答:此命题是简单命题，其真值还不知道。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题。
（9）吸烟请到吸烟室去!答:不是命题。
（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1。
（11)只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题,其真值为0。
（12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答:是命题，但不是简单命题,其真值为0。
（13）2008年元旦下大雪.答:此命题是简单命题，其真值还不知道。
2。
将上题中是简单命题的命题符号化。
解：(1）p:中国有四大发明.(2）p：是无理数.(7）p:刘红与魏新是同学。
（10）p：圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪。
3。
写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（15.答：否定式5. p5q5.其否定式q的真值为1。
25不是无理数.答:25p25不是无理数。
q25是有理数. 其否定式q的真值为1.(3）2.5是自然数。
答:否定式：2.5不是自然数。
p：2。
5是自然数。
q:2.5不是自然数. 其否定式q的真值为1.（4）ln1是整数。
答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数。
q:ln1不是整数. 其否定式q的真值为1。
4。
将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p q∧,其真值为1。
（2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.答:p：π是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为p q∧，其真值为1。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、12A B C D G G ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v j e B i v j e C i v j e D i v j e A B C D G G ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D9、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
A 、B 、C 、D 、14、 (C)。
任意平面图最多是（）色的。
A 、3B 、4C 、5D 、615、 (A)。
对与10个结点的完全图，对其着色时，需要的最少颜色数为（）。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个是由离散数学的基本概念组成的？A. 集合论和函数论B. 图论和逻辑C. 运算符和关系D. 全数论和数论答案：B2. 下列哪个是离散数学的一个应用领域？A. 数据结构和算法分析B. 微积分和线性代数C. 概率论和统计学D. 数值分析和微分方程答案：A3. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A交B的结果是：A. {1, 2, 3, 4}B. {2, 3}C. {2}D. {1}答案：B4. 下列哪个是对于集合的补集运算的正确描述？A. A∪A' = ∅B. A∩A' = ∅C. A - A' = AD. A'∩B' = (A∪B)'答案：B5. 若命题p为真，命题q为假，则命题p→q的真值为：A. 真B. 假C. 不确定D. 无法确定答案：B二、填空题1. 对于命题“如果x是偶数，则x能被2整除”，其逆命题为________________。
答案：如果x不能被2整除，则x不是偶数。
2. 在一个完全图中，如果有12条边，则这个图有__________个顶点。
答案：6个顶点。
3. 设集合A={1, 2, 3, 4}，则A的幂集的元素个数是__________。
答案：2^4=16个元素。
4. 设关系R={(-1, 0), (0, 1), (1, 0)}，则R的逆关系是__________。
答案：R^(-1)={(0, -1), (1, 0), (0, 1)}。
5. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A的笛卡尔积B是__________。
答案：A×B={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
三、计算题1. 求集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
【精品】离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点,且这三个点构成的三角形面积小于18。
＃ 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +,从k a 开始上升子序列最长的长度为k x ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k k x y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列,那么,k k x n y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个,则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ,由于i j a a ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >,则i y 至少比j y 大1,这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾.故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解：设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ，1=⋂⋂C B A ，进而有CB A AC C B B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃601658202533=+---++= 故有4060100=-=⋃⋃-=⋃⋃C B A U C B A即}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
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则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设 G、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G＝xP(x), H＝xP(x),则一阶逻辑公式
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界
(D)以上答案都不对
6
4 下列语句中，( )是命题。
5
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
3
4
2
5 设 I 是如下一个解释：D＝{a,b}, P(a, a) P(a, b) P(b, a) P(b, b)
1
1010
AB＝_________________________;A－B＝ _____________________ . 7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是______________________,
________________________, _______________________________. 8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
(1)
1
4
2
3
1 0 0 0
(2)
MR
1 1
1 1
0 1
0 0
1 1 1 1
3. (1)•＝((x))＝(x)+3＝2x+3＝2x+3.
离散数学答案-第四章习题解答.doc
习题四1.用归结法证明:(1)\= p^q^r(2)p T r , q — r# pvqir(3)p W 匕(p T q)v(p f r)(4)p /\q r |= (/? ^ r) v(t? r)(5)p v v r , p t r A q v『⑹(〃T q) T O T 厂)f= p T (q T r)解(1)首先将p I q , p I f , 7p T q八门化为合取范式。
p T q o —\p 7 q , p T r o —yp v r ,—>(# T q /\ 厂)u> -1(-1/? v(q A /*)) u> /? /\ (—v -i厂)给出子句集\rpy q’rpy l ”，p,->^rv—»r｝的反驳如下。
①rpy q②~yp v r③p④-it?v—«r⑤q由①和③⑥r由②和③⑦由④和⑤⑧口由⑥和⑦因此，p — q , p T r b p I q z⑵将p T r, q T厂7p v q —厂)化为合取范式。
/? T 厂O -1〃\/儿q t ro-yq 7 丫、-i( p v q r) <=> (p v q) /\—^r 给111子句集｛ v r, v r, p v ty, -.r｝的反驳如下：—p v r②->q v r③p y q④—if⑤q 7 T rti①和③⑥r由②和⑤⑦□由④和⑥因此，p—> r, q T r 匕p v q T r。
⑶首先将p t qy r, -•((/?^^)v(p^r))化为合取范式。
p T q \z 厂 o -yp v <7 v r ,T q) \/ (p —> r)) o -i((-ip v^) v (-i/? v r))<=> p A —yq A -ir给出子句集\rp7 q\/ F ,p, -yq , 的反驳如下。
—7 q7 丫 Prq—>rq7 丫由①和② r由③和⑤ □由④和⑥①②③④⑤⑥⑦因此，p T qvr \= (j?->(7)v(/?^r)(4)首先将 p /\qf r, -i((pr) v ((? -> r))化为合取范式。
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《离散数学》习题与解答第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1- 1 (1)指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵b)口裁吗？c)明天我去看电影d)请勿随地吐痰e)不存在最大质数f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了g)9+5<12h)x<3i)月球上有水j)我正在说假话［解］a)不是命题b)是命题，真值视具体情况而定c)不是命题d)是命题，真值为te)是命题，真值为tf)是命题，真值为fg)不是命题h)是命题，真值视具体情况而定i)不是命题1-2(1)用P表示命题“天下雪”，(又表示命题“我将去镇上”川表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题：(a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上.(b)我将去镇上，仅当我有时间.(c)天不下雪(d)天下雪，那么我不去镇上［解］a)(-］ PAR)-Qb)Q-> Rc)q Pd)P->n Q1-2(2)将下而这段陈述屮所出现的原子命题符号化，并指出他们的真值，然后将这段陈述屮的每一命题符号化、吃是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如杲2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.［解］:陈述屮出现5个原子命题，将他们符号化为：P:、血是有理数Q：2是素数R：2是偶数S:3是素数U:4是素数其真值为F 其真值为T 其真值为T 其真值为T 其真值为F陈述中各命题符号化为：-1 P;QAR;QVU;Q->S;Q< = >S1- 2 (3)将下列命题符号化a)如果3+3=6,则雪是白色的.b)如果3+3H6,则雪是白色的c)如果3+3=6,则雪不是白色的.d)如果3+3H6,则雪不是白色的e)王强身体很好，成绩也很好.f)四边形ABCD是平行四边形，仅当其对边平行［解］:设P: 3+3二6 Q:雪是白色的R:王强成绩很好S:王强身体很好U:四边形ABCD是平行四边形V:四边形ABCD的对边是平行的于是：a)可表示为:P—Qb)可表示为：P~*Qc)可表示为：P—-］ Qd)可表示为：1 P-*-| Qe)可表不为：SARf)可表示为:U< = >V1-3 (1)判别下列公式中哪些是合式公式，那些不是合式公式a)(Q-RAS)b)(p< = >(R->s))c)(G P-Q)f (Q-P)))d)(RS-T)e)((P- (Q->R)) - ((Pf Q)-* (P~R)))［解］:a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括号不配对)d)不是合式公式e)是合式公式1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换：a)(((A->B)->B)->A),用(A-C)代换A,用((B/\C) -A 代换B。
b)((A-B)V(B-A),用B 代换A, A 代换B.［解］:a)((( (A-*C) - ((BAC) - A)) - ((BAC) ->A)) -> (A-C))b) ((B->A) V(A->B))1- 3(3)用符号形式写出下列命题a)假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.b)我今天进城，除非下雨.c)仅当你走，我将留下.［解b)设P:上午天下雨. Q:我去看电影R：我在家读书S:我在家看报原命题可译为：(-1 P-Q) A (P- (RVS))b)设:P:我今天进城Q:天下雨原命题可译为：i Qf Pc)设:P:你走Q：我留下原命题可译为:Q-* P1 — 3 (4)称「Pf~i Q为条件命题P-*Q的反换式Qf P为条件命题Q的逆换式-1 Q-1 P为条件命题P-Q的逆反式试写出如下条件命题的反换式，逆换式，逆反式。
(a)如果他有勇气，则他将得胜。
(b)如果天下雨，我不去。
［解］(a)设P：他有勇气，Q：他将得胜原条件命题可译为：P-Q反换式：「Q,表示：如果他没有勇气，则他将不能获胜。
逆换式：Q-P,表示：如果他将得胜，则他有勇气。
逆反式：「P,表示：如果他不获胜，则他没有勇气。
(b)设P：天下雨，Q：我去原条件命题可译为：P—Q反换式：-1 P-Q,表示：如果如果天不下雨，则我去。
逆换式：Q-P,表示：如果我不去，则天下雨。
逆反式：n Q-*n P,表示：如果我去，则天不下雨。
1- 4 (1)试求下列各命题公式的真值表并解释其结果(a)(P-Q) A (Q-P)；(b)(PAQ) 7；(c)Q-> (PVQ)；(d)(P-Q) < = > (-1 PVQ)；(e)(n PVQ) A (n (1 PAn Q))；(f)-i (P-Q) AQAR o［解］(a)从真值表1-1 中可看出：(P-Q) A (Q-P) < = > (PV = >Q)(b)从真值表1-2中可看出：(PAQ) -P是永真式(c)从真值表1-3中可看出：Q-* (PVQ)是永真式(d)从真值表1-4中可看出：(P-Q) < = > (-］ PVQ)是永真式(e)从真值表1-5 屮可看出：(-1 PVQ) A (-1 (-1 PA-i Q))<=>1 PVQ<= >P->Q< = >-1 (PA-i Q)(f)从真值表1-6中可看出：「(P->Q) AQAR是永真式表1-1表1-5表1-61- 4 (2)用真值表判断下列各组公式是否等价：(a) P-(Q-R)与(P/\Q) -R (b)(P-Q) 7 与(P/\Q) ->R［解］由表 1-7 可知 P-> (Q->R) < = > (PAQ) -R 而(P-Q) -R<H> (PAQ) fR表表1-41-21-31-4 (3)试以真值表证明下列命题：(a) 合取运算的结合律 (b) 徳摩根定律［解］(a)如表 1-8, (PAQ) AR< = >(b)如表 1-9, n (PAQ) < = >n PVq Q -i (PVQ) < = >-i PA-i Q表1-92- 4 (4)证明下列等价式：(a) A -* (B -) V = >-］ A -* (A -B)； (b) (AVB) ->C< = > (A->C) A (B-C)； (c) -］ (A< = >B) < = > (AA-i B) V (-1 AAB)； (d)(((AAB) AC) ->D) A (C-> (AV (BVD))) < = > (CA (A< = >B)) ->D ［证］(a) A- (B->A) < = >nAV (-1 B VA)< => (n B VA) Vi A < => (AV-i B) Vi A < = >AV (-1 BV-］ A) < = >AV (-1 AV-i B) < = >AV (A1 B)表1-8< = >~1 A -*• (A -*•-! B)(b) (A-*C) A (B-*C) < = >(i AVC) A (q BVC)< => (-1 AA-i B) VC < = >1 (AVB) VC < => (AVB) C(c) -i (A< = >B)< = >-i ((A-B) A (B-A)) < = >n ((-i AVB) A (-1 BVA)) < = >-1 (-1 AVB) V-i (-1 BVA))< => (AAn B) V (BA-i A))(d) ( ((AAB) AC) -*D) A (C-* (AV (BVD)))< => ((-i (AABAC) VD) A (q CV (AVBVD))) < => (-]AV-i BVn CVD) (-1 CVAVBVD) (-1 CVD) V-i ((-i AVB) A (-1 BVA)) ((-1 AVB) A (-1 BVA))) VD< = >n (CA (-1 AVB) A (-1 BVA)) VD < = >-1 (CA (A->B) A (B->A)) VD < = >-i (CA (A< = >B)) VD < => (CA (A< = >B)) ->D1- 4 (5)判断下列命题公式的类型(永真；永假；非永真，也非永假):(a) ( (P-Q) AP) fQ ； (b) -i (P-(P VQ)) AR ； (c) P A(((P VQ) A-i P) -*Q).[解](a) ( (P->Q) AP) -Q< => ((-| PVQ) AP) fQ < = >n ((-i PVQ) AP) VQ < => (-1 (-1 PVQ) V-i P) VQ < => ((PA-i Q) V-i P) VQ < => ((PV-i P) A (-1 QV-i P)) VQ < => (-1 QV-i P) VQ < = >TVn P < = >T・・・(a)为永真式 (b) -i (P-> (P VQ)) AR < = >-i (-1 PV P VQ) AK < => (PA-i P An Q) AR < = >FAR < = >F •*. (b )为永假式 (c) P A(((P VQ) An P) T) < = >P A(n ((P VQ) An P) VQ) < = >P A(n ((PA-i P ) V (Q An P)) VQ) < = >P A(q (FV(Q An P)) VQ) v = >p A(-1 Q VP VQ) < = >PAT< => (-1 CVD) V ((-i AV-i B) A (AVB))< => (-1 CVD) V ((AA-i B) V (BA-i A)) < => < => (-]CV -!<= >P・•・(c )为非永真式，也非永假式1-4. (6)化简如下语句：“情况并非如此：若他不來，则我不去”。