解析几何竞赛题的解题方法

． ．
例 ３ 已知 椭 圆 ｃ： ＋ ＝１ ｎ＞ｂ＞ ） Ｆ ， （ ０ ，１
２
２
例 ２ 已知椭 圆 ＝１的左、 ９ ｉ ，＋ 右焦点分别
１Ｕ 叶
为其 左 、 右焦 点 ， 椭 圆 Ｃ上 任 一 点 ， Ｐ为 △ Ｐ 的重 心为 Ｇ， 内心 ，且 有 ， ， ｃ＝ＡＦ （ 中 Ａ为 实 其 数 ） 则椭 圆 ｃ的离 心率 ｅ ， ＝ （ ）
为 Ｆ 与 ， Ｐ 在 直 线 ｆ 一√ Ｙ＋８＋２√ １ 点 ： ３ ３＝０
第 ６期
周 顺钿 ： 析 几 何 竞 赛 题 的 解题 方 法 解
・ｌ ・ ３
Ａ ．
解
Ｂ ｃ ． ÷ ．
ＰＦｌ ＰＦ２ ＰＩ ＰＧ ２
Ｄ ． ２
３ 利 用 韦达 定理
例 ５ 如 图 ２ Ｐ是 抛 物线 ｙ ＝ ｘ上 的动 点 ， ， ２ ２ 点 Ｂ， Ｃ在 Ｙ轴 上 ， （ 一１ ＋ ２＝１内切 于 ＡＰ Ｃ， 圆 ） ｙ Ｂ 求 ＡＰ Ｃ面 积 的最小 值． Ｂ （０８年全 国高 中数 学联 赛试题 ） ２０
解 如 图 １ 记 双 曲 ，
整 理得
（，— ） ， ６ 一ｘｙ． ０ Ｏ ０ ｏ ４ ｂ＝ ． － Ｘ 又 圆心 （ ，） Ｐ 的距 离为 １ １０ 到 Ｂ ，
从 而
图２
线在 轴 上 的 ２个 顶 点 为 Ａ（ ， ） （一１ ０ ， １Ｏ ， ， ） Ｇ为
二 ±
解 设 Ｐ（ 。Ｙ ） Ｂ（ ｂ ， ｘ ，ｏ ， ０， ）
Ｐ
设 延 长 线交 轴 于 点 Ｑ， 则
Ｆ Ｑ Ｆ Ｑ Ｉ Ｇ １’ 。 ２ Ｑ Ｏ
于 是
故 选 Ａ ．
Ｆ １ Ｑ＋Ｆ Ｑ １ ２
—
ＰＦ￣＋ＰＦ —
２
．．
ｃ ｏｃ ， （ ，） 不妨 设ｂ＞Ｃ 则 直 线 Ｐ ， Ｂ 的方程
・
１ ２・
中学教研 （ 学） 数
注 意 到 当 一２ ≤０＜ ０时 ， 总有 ａ ≤ 一ａ 即 ，
ａ ＋ 口≤ 一 ａ ＝ Ｉ ． Ｉ ａ
从 有 ｏ≤ Ｉ归 法 ［ ， 而 （ｌｎ由纳 ， 一÷ ）Ｉ ． 得 ２】
（ 若。 寺， ｆ （）则 于 意ｎ ３ ＞ 记０＝ ０，对 任 ≥ ）
２
≥（ ＋＞－＋＝ 一）。２ａａ２ 口１ ，
即ｆ ” ０ ２ 因此 ａ隹Ｍ． （ ）＞ ．
０ ．１ — ０ ＝ Ⅱ
一
ａ ＋ ａ ＝
综 所 ， ＝一÷． 上 述得 【 ， ２】
解 析 几 何 竞 赛 题 的 解 题 方 法
●周 顺 钿 （ 杭州高级中学 浙江杭州 ３００ １０３）
而 Ｆ （一 ， ） Ｆ （ ， ） Ａ ２ ０ ， ２ ２ ０ ， （一８— ， ） 于 ２ Ｏ ，
韦 达定 理 是 解 题 的 通 性 通 法 ； 择 曲 线 的参 数 方 选
程 、 坐标 方程 也 能简 化 解题 过 程． 极 １ 利 用平 面几 何性 质
例 １ 已知直 线 Ｌ： ＋Ｙ一９＝０和 圆 ： ＋ ２ ２ ８ ８ ｙ 一 一 ｙ一１＝ 点 Ａ在直 线 上 ， ｃ为 圆 ０， Ｂ，
（一）。÷ ｎ丢 丢 ＋ ≥一 ， 一 从 。 ａａ ≥ ÷． 而 －＝＋ ｎ ） ｎ 一 １
当 ＞ 时，
“ 一 ４
１ 口｝且 ，＞＞ ， 。
ａ＋＝ ０ ＝ （ ０ ） 厂ａ） ａ ＋ ， 厂” （ ） 厂， ） ＝ （ ＝ ： ｏ （
对 于任 意 ｎ ， ≥１
：１
．
ＡＰ 的 内切 圆 在 边 Ｆ Ｆ Ｆ 上 的 切 点 ，日 为 ，２ △ 的 内 切 圆 在 边 Ｐ ２ 上 切 点，Ｋ 为 Ｆ ＡＰ ２的 内 切 圆 在 边 ＦＦ Ｐ ， 的切 点 ， Ｆ 上 则
ｌ Ｆ１ — ｌ Ｇ Ｉ Ｉ ｌ ＝ ＫＦ１ ｌ— Ｉ
Ａ ２ 即 ＡＡ Ｆ ＡＡ ２ 从 而 Ｆ Ｐ， Ｐ １ Ｆ Ｐ， Ｉ ｌ Ｐ 又 由圆幂 定 理得
＝
ｌ
Ｉ ’
㈩
Ｉ Ｐ Ｉ ＝Ｉ Ｆ ・ Ａ ２ ， Ａ １ Ｉ Ｆ Ａ ｌ Ｉ
是
Ｉ ＡＦ１ Ｉ＝８，Ｉ ＡＦ２Ｉ＝８＋４ ，
（） ２
（ ０ ６年 全 国高 中数 学联 赛试 题 ） ２０ 证 明 因为 ｙ 瞄 一１与 Ｙ＝ 的 交点 为 ２＝
【 ＝ ｓ （０ 一 ） Ｙ ｒｎ９。 ０ ， ｉ
Ｉ ＝
从 而
６＋ｃ ：
，ｃ ６：
，
（ Ｋ ＋ｌ Ｐ１ ＩＦ１ ｌ Ｋ ）一（ 三 ＋ｌ Ｉ Ｉ ２ ）＝ Ｉ
ｌ ＰＦ１ Ｉ— ｌ Ｉ ．
于是 ｌ 一１ ＝ ，
（ ６－
＝
由双 曲线 的定义 知 ， Ｇ必 在 双 曲 线上 ， 于是 点 Ｇ与
△ 。 的内切 圆在边
上 的切 点的轨迹是 以
从而 Ｊ ｓ 一
０ 一 二
（ ，） 圆心 ， 一１为半 径 的圆弧． ０为
＝ （ ｃ ６－ ） （ ２ ）＋
＝
＝
因为 Ｐ ｘｙ 是在 一 ２ （ ，） ｙ ＝１第一象 限的 曲线
上移动， 沿双 曲线趋 于无穷 时， 轴正 向 当 与 交角 ０的正切 的极 限是
２
＝
一、
灵 活运用 平 面几何 性 质 ， 减 少 解几 运 是
算 量 的有 效 途径．Βιβλιοθήκη Baidu
２ 利 用 圆锥 曲线 的 定义
２
，
离 ｄ＝ＩＭｌｉ ５ ． Ａ ｎ 。 由直 线 Ａ ｓ４ Ｃ与 圆 有公 共 点 ， 得
／－ ５ ￣ Ｔ
２
ｄ ≤
Ｚ
， 得 ３ ≤６ 解 ≤ａ ．
ｌｒ ａ ０ ＝ ｌｍ ｉ ｔｎ ａ ｉ
一 一
一
＋ ４≥２ ＋ ８ ４＝ ，
当（ 一２ ＝４时 ， 式 取 等 号 ， 时 ＝４ Ｙ 。 ） 上 此 ，ｏ＝
± ． ２ 因此 Ｓ 仙 的最小 值为 ８ Ａ ．
： １．
√ ２
评注
本 题视 ６ｃ为方程 的 ２个 根 ， 用 韦 达 ， 利
，
例 ４ 设 双 曲线 一ｙ ２＝１的 左 、 焦 点 分别 右
ｊ
为 Ｆ ， ， ＡＰ 的顶点 Ｐ在第一象 限的双曲 若 Ｆ 线上 移 动 ，求 △ 的 内 切 圆 的 圆 心 轨 迹 以及 该 内切 圆在 边 Ｐ ２ 的切点 轨迹 ． Ｆ 上 （０ ５年 浙 江省 高 中数 学竞 赛试题 ） ２０
离 率 ÷２ 准 之 的 离 孕 心 为 ， 线 间距 为 ． 条
（） ａｂ １ 求 ， 之值 ； （） ２ 设点 Ａ坐标为 （ ， ） Ｂ为椭 圆 Ｃ上 的动 ６０ ， 点 ， Ａ为直角顶点 ， 以 作等腰 直角 Ａ Ｂ （ 中 Ａ ＡＰ 其 ，
合， 是定点， 故该 内切 圆圆心 的轨迹是直线段 ， 方程 为 ＝１Ｏ＜， ） （ ，＜１ ． 评注 充分利用圆锥 曲线 的定义 ， 抓住本质．
当且仅 当Ｒ＝、 ６ ｌ引 有最大值 ０ ｂ ， 时， ／ 口 Ａ 一． 例 ８ 给定 整 数 ｒ￣２ 设 Ｍｏ ，。 ｖ ， ＞ （。Ｙ）是抛 物线 Ｙ ＝ｎｔ 与 直 线 Ｙ＝ 的 一 个 交 点．试 证 明对 于 ａ一１ 任 意正 整数 ｍ， 存 在 整 数 ｋ ， （ ， ） 必 ≥２ 使 为抛 物 线 ｙ ＝ 一１与直线 Ｙ＝ 的一 个 交点． ２
Ｊ（ｏ ６ ＋ ｙ一 ）
叫
故 （ 一 ） ＝（ｏ ） ２０（ｏ ）＋ ６， ６ ＋ Ｙ 一６ ＋ ｘｂ ｙ —ｂ 易知 。＞ ， 式 化简得 ０上
（０－ ） ２ ｏ 一 ＝ ， ２ ｂ ＋ ｙｂ ０ Ｏ 同理有
图 １
（。 ２ Ｃ ． ｙｃ ＝ ， 一 ） ４ ｏ 一 ０ ０ － ２
锥 曲线 的定 义 、 而不 求 的方 法 和一 元二 次方 程 的 设
上．
ＺＦＰ 取最 大值 时 ， － Ｉ
的值 为一
（０ ６年 全 国 高 中数 学联 赛 试题 ） ２０
解 由平 面 几 何 知 ， 使 Ｆ Ｐ ２最 大 ， 过 要 Ｆ 则
点 Ｆ ，２Ｐ 的 圆必定 和 直 线 Ｚ Ｆ ， 相切 于 点 Ｐ 设直 线 ． Ｚ 交 轴 于 点 Ａ（一８ —２√ ０） 贝 ＿ Ｐ １＝ §， ， ０／Ａ Ｆ ＿ ．
于是
＝
２ Ｒ ＝ ： 一 ２ ＋
＝
了，
于是 口＝５ ｂ＝３ ， ．
，
Ｒ ａ ）一Ｒ （ ２一ｂ ） 一 ＝ （ ２～ｂ ａ
。 一
（ ） Ｂ（ ， ， Ｐ（ Ｙ ， Ｂ Ｉ ， ０ Ａ ２设 。 Ｙ ） ， ， ） Ｉ ＝ｒ 贝 以 Ａ
从 而
定理 减 少 了运 算量 ．
故点 Ｈ 的轨迹 方程 为
４ 利用参数方程 例 ６ 已知椭 圆 ｃ ＋ ＝ （ ｂ＞ ） 其 ： １ 口＞ ｏ ，
【 （一 詈 ０ｒ Ｙ １ｎ０（＜＜ Ｏｓ ＝ ）ｃ ｓ ｉ Ｔ ）
、ｑ
，
也 可 以用 直 角 坐 标 形 式． 于 点 Ｇ 与 Ａ（ ， ） 由 １ ０ 重
为 圆心 ， ｒ为半 径 的 圆 的参 数 方程 为
ｘ ＝ ６ ＋ ｒ ０ｓ ｅ
．
（ ≤ 簪 ）
口 ＋ｂ 一２ ｂ． ａ
设 Ａ 与 轴 正 方 向夹 角为 ０ 点 Ｂ的参 数表 示为 Ｂ ，
ｆ１ ｘ ：６＋ｒｏ Ｏ； ｃｓ
【 ｌ ｓ ０ Ｙ ＝ｒｉ ， ｎ
点 Ｐ 的参 数 表 示为 ｆ ｘ＝６＋／Ｏ （ ０ 一 ； ＇ Ｓ ９ 。 ） Ｃ
上 的 ２个 点 ． ＡＡ Ｃ 中 ，＿ Ａ 在 Ｂ ／Ｂ Ｃ＝４ 。Ａ ＿ ． ５ ， Ｂ过 圆心
，
代入 式（ ） 式 （ ） １ ， ２ 得
ｌ １ ／ ＦＩ 厂 Ｐ Ｉ ｌ１ Ｆ Ａ — Ｉ ２ √ Ｉ ｌ ＾８ ４ Ｐ Ｉ Ａ Ｆ ＼ ＋ ／
—
则 点 Ａ横 坐标 的取值 范 围 为— — ． （０ ９年全 国高 中数 学联 赛试题 ） ２０ 解 设 Ａ（ ， ａ９一ａ ， 圆心 Ｍ 到 直 线 Ａ ）则 Ｃ的距 评注
・
１ ・ ４
中学教研 （ 学） 数
Ｂ， Ｐ按顺 时 针 方 向排列 ） 求点 Ｐ的轨 迹方 程 ． ， （０８年 浙 江省 高 中数 学竞 赛 试题 ） ２０ 解 （ ） Ｃ为 椭 圆 的焦半径 ， １设 则
ｃ ４ ０ ２ ５
又 Ｏ Ｌ Ｂ， Ｂ－Ａ 有
ＯＡ ：ＡＢ ＋Ｒ ．
解 析几 何 的本 质是 用 代数 方 法研 究几 何 问题 ， 其 核 心 思想 是 数形 结合 ． 决解 析 几何 问题 的根本 解 方 法 是 坐标 法 ： 建立 恰 当 的坐标 系 ， 点 的坐标 ， 设 设 曲线 的方程 ， 出关 系式 ， 进 一 步找 联 系 、 转化 列 再 找 点 ， 现 问题 的解答 ， 后 加 以验证 ． 实 最 把这 样 的解题 思维 链 优 化 为 “ 、 、 、 、 ” 字 诀 ， 中 建 设 列 解 验 五 其 “ 、 、 ” 常用 的解 题 方法 ． 设 列 解 是 通 过 坐标 方法 将几 何 问题 转 化 为代 数 问题 ， 其 解题 过 程 中 的关键 是减 少 运算 量． 有 关直 线 与 圆的 问题 ， 用 圆和 直线 的几 何性 利 质 就可 降低 运 算 量 ； 关 圆锥 曲线 的 问题 ， 用 圆 有 采
Ａ（ ， ） １ ０ 重合 ， 定 点． Ｉ ＧＩ 是 而 ＝ｌ
因为 Ｐ（。Ｙ ） 抛 物线上 的点 ， ， ＝ ｘ ， 以 ｘ ，ｏ 是 有 ， ２ 。所 ２ ｏ
（－ ６ ＝
０ 一 ｚ
根 据 圆外 一点到 该 圆 的 ２个切 点 的距 离相等 ， 知 可
＇． ６ ｃ＝
，