(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第六节双曲线

第六节双曲线
这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程
（一）循纲忆知
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.
(二)小题査验
1.判断正误
(1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线
(2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线
2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I，
卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为
3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且
3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS©的面积等于
解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10.
2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l,
A \PF 2\=69 IPFil=8.
AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ •••Mi 丄“2, ・°・ S^PF \F2=flPF ］卜
LPF2I=f X 6 X 8=24.
,
（二）小题查验
1.判断正误
2 2
⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ）
2 2 2
（2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一
必=0,即兰±》=0
n m n
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ）
2 2 2 2
（4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心
率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）
（V ）
2.（北师大版教材习题改编）若双
的离心率eG
则加的取值范围为（°”）
■巳
课堂c 9考点突破
不同考点不同设让更高效 2 2
3・已知F （c ，O ）是双曲线缶一話=1（°>0, 〃>0）的右焦点，若
双曲线C 的渐近线与圆E ：
x-c ）2+y 2=^c 2相切，则双曲线C 的离心率
为边•
解析：依题意得，圆心（c,0）到渐近线的距离等于亨c,即有方
号c （注:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚 半轴长)，c 2=2b 2=2(c 2—a 2)9 c 2=2a 2
9 夕=\2 即双曲线 C 的离心率为羽.
考点一 双曲线的定义及标准方程I （基础送分型考点——自主练透）
［必备知识］
1.定义
在平面内到两定点F” F2的距离的差的绝对值等于常数（小于IFid且大于零）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线.定点F i9 F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
［提醒］令平面内一点到两定点F”尸2的距离的差的绝对值为
加@为常数），贝！I只有当2a<IF!F2l且加HO时，点的轨迹才是双曲线；若2“ = IFiF2l,则点的轨迹是以Fi，码为端点的两条射线；若2a>IFiF2b则点的轨迹不存在.
2.标准方程
中心在坐标原点，焦点在兀轴上的双曲线的标准方程为护一# =1（“>0,
课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效
方>0）；
2 2
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为7—話
=1（“>0,方>0）・
［提醒］在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是X2 或X的系数.
［题组练透］
1. （2014•大纲卷）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F” F29点A在
C上，若屮淤1=2屮2如，贝J COS ZAF2F I =
C- 4 D- 3
解析曲双曲线的定义知|lAFil — IAF2l|=2©又⑷Fil=214/5 •••lAFil
=4a, \AF2\=2a.
• 0 = - = 2，・.c = , • • \F iF 2^ = • • cos Z AF2^I =随尸2卩+IFiFf—IAF1 卩_ （加）2+（滋）2—（滋）2 _ 1 2IAF2I-IF1F2I —2X2aX4a_4,敌坯A
2. （2014•天漳高考）已知双曲线初一話=1@>0, 〃>0）的一条渐近
线平行于直线Z： y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线Z上,
则双曲线的方程为
解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线丿=》与直线y =2x+10平行，所以十=2且左焦点为（一5,0）,所以a2+b2 = c2=25f解得a2=5f沪=20,
故双曲线方程为?一空=1.
3.已知Fi，巧为双曲线?一专=1的左、右焦点，卩(3,1)为双曲
线内一点，点A在双曲线上，贝!|L4PH-IAF2I的最小值为
() A.
A/37+4 B. A/37-4
^^37-2^5 D. 回+2书
解析：由题意知，IAPI + IAF2I = IAPI + IAF1I- 2a f要求IAPI +
⑷F2I的最小值，只需求IAPI + IAF1I的最小值，当A, P, Fi三点共线时，取得最小值，贝1|14卩1 + 14珂=1"11=佰，AIAPI + IAF2I = IAPI + lAFJ - 2a=佰一2质・
［类题通法］
1.应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何
条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
2.求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a, b, c的
关系易错易混.
考点二渐近线与离心率问题I (常考常新型考点——多角探明)
［必备知识］
1.求双曲线离心率的值
⑴直接求出“，c,求解e：已知标准方程或“，C易求时，可利
用离心率公式求解;
(2)变用公式，整体求出◎如利用
2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二
A
厂2
者之间可以互求.已知渐近线方程时，可得十的值，于是/=£ =
=1+ 因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值,
W 丿
也可求出渐近线的方程，即夕=管二i.但要注意，当双曲线的焦 点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.
［多角探明］
a 2+
b 2
~?-
角度一：已知离心率求渐近线方程
（2014•山东离考）已知«>Z»0,2 2
椭圆Ci的方程为缶+話=1,双曲线C2的方程为話一&=1, C］与C2的离心率之积为岁,
则C2的渐近线方程为A. x±\[2y=0
C. x+2y=0
() B. \[2x±y=0
D. 2x±y=0
=4胪，所以a=\[ib,所以双曲线C 2的渐近线方程是丿=±正x,
即 x±\[2y=Q.
解析：椭圆Ci 的离心率为
2
-b 2
,双曲线C 2的离心率为
尹,所以芒
=¥，所以 a 4
~b 4
=^a 4
f 即 a 4
答案：A
角度二：已知渐近线求离心率
2 2 2. （2014-浙江高考设直线兀一3y+/w=0OH0）与双曲线缶_話
=1（«>0,方>0）的两条渐近线分别交于点A, B•若点P（m,0）
满足\PA\ = \PB\,则该双曲线的离心率是_____________ •
解析：联立直线方程兀一3丁+观=0与双曲线渐近线方程丿=±$可
bm bm
3b~
a
3b+a ° =—3,化简得
4b 2=a 2f 所以e =\f J -得交点坐标为 am bm —am bm 9 而 kAB=j ，由 IP4I
3b —a 9 3b —a)9 {3b + a" 连线的斜率为一3,即
=\PB\ ,可得AB 的中点与点P 2 am —am 3b —a 3ba
墨
答案：乎
角度三：由离心率或渐近线确定双曲线方程
2 2
3・(2015•郑州二^已知双曲线为一器=1(。

＞0, 〃＞0)的两个焦点分别为Fi，F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3).则此双曲线的方程为
解析：由题意，c—A J4^H32=5 9
:.a2+b2=c2=25.
又双曲线的渐近线为y=±|x, ・•・#=¥・②则由①②解得a=3, b=4,
•I双曲线方程为卷一話=1•故选A・
答案：A
角度四：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范｝4.已知双曲线話—話=1与直线y=2x有交点，则双曲线离心
率的取值范围为
A. （1,书）
B. （1,书］
^/（书，+8） D.［质，+8）
解析：•・•双曲线的一条渐近线方程为尸纭
则由题意得?>2,
［类题通法］
解决有关渐近线与离心率关系问题的方法
(1)已知渐近线方程丿=加兀，若焦点位置不明确要分滋|=? 或|加|=彳讨论.
(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用.
考点三直线与双曲线的位置关系（重点保分型考点一一师生共研）
［必备知识］
研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲
线方程，消元，得关于兀或丿的一元二次方程.当二次项系数等于
0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近
线；当二次项系数不等于0时，用判别式/来判定.
［提醒］直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的
渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
［典题例析］
兀2
(2014•江西高考)如图，已知双曲线C：护一/ =
l(a>0)的右焦点F,点4, B分别在C的两条渐近线
上，AF丄兀轴，丄OB, BF// OA(O为坐标原点).
⑴求双曲线C的方程；
⑵过C上一点P(x0, yo)(yoHO)的直线人予P Q P=1与直线4F
3
相交于点M,与直线兀=㊁相交于点N.证明：当点P在C上移动时,
\MF\
恒为定值，并求此定值. I2V
FI
解：⑴设F（c，O）,因为b = l9所以c=^«2+l, 直线OB的方程为y = ~a x,直线BF的方
程为y=a（x—c）,解得冲刃一石
又直线04的方程为y=»,
又因为AB丄OB,所以认一j= —1，解得圧=3,
兀2
故双曲线c的方程为;一/=1.
(2)证明：由(1)知。

=迪,
则直线I的方程为晋一VoV = l(VoHO),即j=X^3.
因为直线AF的方程为x=2, 直线/与直线X=|的交点为念l Xo~3 .
所以直线I与AF的交点M 2,3旳J；
E 3jo 丿
(2xo—3)2
ntr IMFI2
则丽二(3y0)2(2x0—3)2
1 |x0-32竽十条。

-2)
2 4+ (3jo)2
4 (2x0—3)2
3 3yo+3(x o—2)z,
因为P(D，旳)是C上一点，贝碍一尤=1,代入上式得
IMF|2=4. (2X0 _ 3)2 = 4 (2x0-3)2 = 4
INF|2 3 xj—3+3(r()—2)2 3 4xo—12x°+9 3*
餌七十洁％IMF 2刼1
所求定值为而=羽=3・
［类题通法］
直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的
位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断.对于中点弦问题常用
“点差法”.
2 1_2 22_2 y
方
J 方
- -
2
1_2 22_2 r 兀一 ax
「a z —
■ ［演练冲关］
已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线Z 与E 相交于A, B 两点，且AB 的中点为N(—12, -15),求双
曲线E 的方程. 2 2
解：设双曲线的标准方程为初一p=l(a>0, 〃>0),
由题意知c=3, /+方2=9,
设Ag Vi), B(X 29 乃)，则有：
两式作差得：
山一V2 沪(兀1+兀2)—12方2 4庆Xi—x2 «2(yi+j2)~15a2 5a2 f
—15—0
又AB的斜率是_]2_3=1，所以研=】•将4b2=5a2代入£?+方2=9得
a2=4,方2=5.
所以双曲线的标准方程是;一肯=1.
“课后演练提能”见“课时跟踪检测（五十五广
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