九年级数学上册圆专题--辅助线

九年级数学上册圆专题--辅助线

圆专题一辅助线

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：1、利用垂径定理；

2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；

5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，

求证：PM•PN=2PO2.

分析：要证明PM•PN=2PO2，即证明PM•PC =PO2，

过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理

NC=PC，只需证明

PM•PC=PO2，要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO.

1PN

证明: 过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=

2

O

C

B

A ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO.

∴PO PC PM PO

即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •2

1

PN ，∴PM •PN=2PO 2.

【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB

上一个动点，

那么OP 的长的取值范围是_________．

【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，

点C 在弧AMB 上，

则∠C 的度数是________.

2． 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

B

A

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ． （1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；

（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3

时，求AB 的值．

分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。 （1） 证明：连结MN ，则∠

∴△ACB ∽△NMB

∴BN

AB BM

BC

∴AB ·BM=BC ·BN （2） 解：连结OM ，则∠∵N 为OC 中点

∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6

【例4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,

∠B=

3． 遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

B

O

A

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90 AB=6，AC=8，⊙O的半径是

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径

切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是

否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.

1．无点作垂线

需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.

例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A， BC ⊥AB于B，若∠DOC= 90°.

求证：DC是⊙O的切线.

分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA

即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO

证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.

又∵∠DOC= 90°. ∴ FO=FD ∴∠1=∠3.

∵AD⊥AB，BC⊥AB, ∴BC∥AD, ∴OF为梯形的中位线. ∴OF∥AD . ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2.

∴DO是∠ADE的角平分线. ∵OA⊥DA，OE⊥DC，

∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC是⊙O的切线.

2．有点连圆心.

当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.

例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为

⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求

证：CD是⊙O的切线.

分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，

证明DO⊥DC即可.

证明：连结DO，∵OC∥AD ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO ∴△DOC≌△BOC

∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B

∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线.

【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆

心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB

于点E、F．

求证：AB是⊙O切线；