第三章 流体运动学
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5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 流动描述
一、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法 拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。
在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
被运动液体连续地充满的空间称为流场。
欧拉法以流场为研究对象，研究流场中液体质点的 运动要素的空间分布及其随时间的变化规律。
1 v1
2 v2
3 v3
3 4
解：由题意
Q1
v1 A1
d12
4
v1
1
2
v4 4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
Q4
v4 A4
d 4 2
4
v4
有： Q1 Q3 Q4 所以：
取过水断面1-1到2-2 为对象
有： v1A1 v2 A2
Q3
Q1
Q4
4
(v1d12
二、过流断面、流量和断面平均流速 1、过流断面
垂直于元流或总流的断面称为过流断面。
过流断面的形状可以是平面（当流线是平 行的直线时）或曲面（流线为其他形状）。
5、流量 单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量。
流量用Q表示，单位为：m3/s
对于元流： dQ udA
对于总流：
Q Aud A dQ
恒定流时，迹线与流线重合。
五、均匀流与非均匀流
1、均匀流
流场中所有流线是平行直线，同一流线上各点流速 大小相等方向相同，因而各过水断面上流速分布相同 的流动称为均匀流。
教材P46
2、非均匀流
流场中各流线不平行或者虽然平行但不是直线，这 样的流动称为非均匀流。 1）、渐变流
流线虽然不是互相平行的直线，但近似于平行直线 时的流动称为渐变流。
时变加速度、位变加速度的概念：P42
二、迹线与流线
迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质点不同 时刻在空间位置的连线，迹线必定与时间有关。
迹线是拉格朗日法描述液体运动的图线。 流线是某一瞬间在流场中画出的一条曲线，这个时 刻位于曲线上各点的质点流速方向与该曲线相切。 流线是从欧拉法引出的。 流线表明了某时刻这条曲线上的各点的流动方向。
求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。
解：（1）
ux uy 1 (1) 0 x y
（2） uy 4, ux 4
x
y
z
1 ( uy 2 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ux y
)
0
所以流动可能。
所以流动有势。
6、断面平均流速 教材P45图3-7
vQ A
三、一元流、二元流、三元流 根据水流运动要素与空间坐标有关的个数，把水流 分为一元流、二元流、三元流。
四、恒定流与非恒定流
流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随 时间而变化的流动称为恒定流；反之，只要有一个运 动要素随时间而变化，就是非恒定流。
流谱 — 在流场中画出的流线簇图。
流线的性质：
1、流线不能相交，也不能转折，即某瞬时通过流 场中的任一点只能画一条流线。
2、流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体 的流速大小和方向，流线密的地方流速大，流线疏 处流速小。
流线与迹线的区别：
迹线是单个质点在某一时段内的流动轨迹，而流线 代表某一瞬时流场中一系列液体质点的流动方向线。
d uxdy uydx
v4d42 )
所以：
v2
v1 A1 A2
d12 d22
v1
v3
Q3 A3
v1d12 v4d42 d32
例：设有两种不可压缩的二元流动，流速为
(1)ux 2x,uy 2 y (2)ux 0,uy 3xy
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
ux uy 0 x y
二、总流的连续性方程
教材P50图3-13
流进断面面积
流出断面面积
v1A1 v2 A2
流进断面的断 面平均流速
流出断面的断 面平均流速
上式也可写为： v2 A1 v1 A2
即：在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面 平均流速的大小与过流断面面积成反比。
例：如图所示，已知d1、 d2、 d3、 d4、和v1、 v4 ，求Q3、 Q4 和v2、 v3 。
即：流线不平行但流线间夹角较小，或者流线弯曲 但弯曲程度较小的流动。
2）、急变流
若流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，称 为急变流。
教材P48图3-11
六、有压流与无压流 过流断面的全部周界与固体边壁接触、无自由表面
的流动，称为有压流或有压管流。
如自来水管中的水流属于有压流。 在有压流中，流量变化只会引起压强、流速的变化， 但过流断面的大小、形状不会改变。
具有自由表面的流动称为无压流或明渠流。
在无压流中，当流量变化时，过流断面的大小、形 状可随之改变。
3-3 流体运动的连续性方程 流体假设为连续介质，即流动遵循质量守恒定律。 一、流体运动的连续性微分方程 不可压缩均质流体的连续性微分方程：
ux uy uz 0 x y z 不可压缩流体二元流的连续性微分方程：
第三章 流体运动学 学习要求：
1、了解描述液体运动的两种方法，掌握迹线、流 线的概念及方程，掌握质点加速度表达式。
2、理解总流、过流断面、流量、断面平均流速的 概念；理解恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、 渐变流与急变流、有压流与无压流。
3、熟练掌握连续性方程，尤其总流的连续性方程。
4、理解无旋流与有旋流，掌握其判别方法。
3-2 描述流体运动的基本概念
一、流管、元流和总流 1、流管 在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每
一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内
的液流称为元流。
3、总流
当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
(1) (2x) (2 y) 2 2 0
x
y
满足连续性条件
(2) (0) (3xy) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y,uy y 4x
3-1 流动描述
一、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法 拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。
在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
被运动液体连续地充满的空间称为流场。
欧拉法以流场为研究对象，研究流场中液体质点的 运动要素的空间分布及其随时间的变化规律。
1 v1
2 v2
3 v3
3 4
解：由题意
Q1
v1 A1
d12
4
v1
1
2
v4 4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
Q4
v4 A4
d 4 2
4
v4
有： Q1 Q3 Q4 所以：
取过水断面1-1到2-2 为对象
有： v1A1 v2 A2
Q3
Q1
Q4
4
(v1d12
二、过流断面、流量和断面平均流速 1、过流断面
垂直于元流或总流的断面称为过流断面。
过流断面的形状可以是平面（当流线是平 行的直线时）或曲面（流线为其他形状）。
5、流量 单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量。
流量用Q表示，单位为：m3/s
对于元流： dQ udA
对于总流：
Q Aud A dQ
恒定流时，迹线与流线重合。
五、均匀流与非均匀流
1、均匀流
流场中所有流线是平行直线，同一流线上各点流速 大小相等方向相同，因而各过水断面上流速分布相同 的流动称为均匀流。
教材P46
2、非均匀流
流场中各流线不平行或者虽然平行但不是直线，这 样的流动称为非均匀流。 1）、渐变流
流线虽然不是互相平行的直线，但近似于平行直线 时的流动称为渐变流。
时变加速度、位变加速度的概念：P42
二、迹线与流线
迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质点不同 时刻在空间位置的连线，迹线必定与时间有关。
迹线是拉格朗日法描述液体运动的图线。 流线是某一瞬间在流场中画出的一条曲线，这个时 刻位于曲线上各点的质点流速方向与该曲线相切。 流线是从欧拉法引出的。 流线表明了某时刻这条曲线上的各点的流动方向。
求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。
解：（1）
ux uy 1 (1) 0 x y
（2） uy 4, ux 4
x
y
z
1 ( uy 2 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ux y
)
0
所以流动可能。
所以流动有势。
6、断面平均流速 教材P45图3-7
vQ A
三、一元流、二元流、三元流 根据水流运动要素与空间坐标有关的个数，把水流 分为一元流、二元流、三元流。
四、恒定流与非恒定流
流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随 时间而变化的流动称为恒定流；反之，只要有一个运 动要素随时间而变化，就是非恒定流。
流谱 — 在流场中画出的流线簇图。
流线的性质：
1、流线不能相交，也不能转折，即某瞬时通过流 场中的任一点只能画一条流线。
2、流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体 的流速大小和方向，流线密的地方流速大，流线疏 处流速小。
流线与迹线的区别：
迹线是单个质点在某一时段内的流动轨迹，而流线 代表某一瞬时流场中一系列液体质点的流动方向线。
d uxdy uydx
v4d42 )
所以：
v2
v1 A1 A2
d12 d22
v1
v3
Q3 A3
v1d12 v4d42 d32
例：设有两种不可压缩的二元流动，流速为
(1)ux 2x,uy 2 y (2)ux 0,uy 3xy
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
ux uy 0 x y
二、总流的连续性方程
教材P50图3-13
流进断面面积
流出断面面积
v1A1 v2 A2
流进断面的断 面平均流速
流出断面的断 面平均流速
上式也可写为： v2 A1 v1 A2
即：在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面 平均流速的大小与过流断面面积成反比。
例：如图所示，已知d1、 d2、 d3、 d4、和v1、 v4 ，求Q3、 Q4 和v2、 v3 。
即：流线不平行但流线间夹角较小，或者流线弯曲 但弯曲程度较小的流动。
2）、急变流
若流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，称 为急变流。
教材P48图3-11
六、有压流与无压流 过流断面的全部周界与固体边壁接触、无自由表面
的流动，称为有压流或有压管流。
如自来水管中的水流属于有压流。 在有压流中，流量变化只会引起压强、流速的变化， 但过流断面的大小、形状不会改变。
具有自由表面的流动称为无压流或明渠流。
在无压流中，当流量变化时，过流断面的大小、形 状可随之改变。
3-3 流体运动的连续性方程 流体假设为连续介质，即流动遵循质量守恒定律。 一、流体运动的连续性微分方程 不可压缩均质流体的连续性微分方程：
ux uy uz 0 x y z 不可压缩流体二元流的连续性微分方程：
第三章 流体运动学 学习要求：
1、了解描述液体运动的两种方法，掌握迹线、流 线的概念及方程，掌握质点加速度表达式。
2、理解总流、过流断面、流量、断面平均流速的 概念；理解恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、 渐变流与急变流、有压流与无压流。
3、熟练掌握连续性方程，尤其总流的连续性方程。
4、理解无旋流与有旋流，掌握其判别方法。
3-2 描述流体运动的基本概念
一、流管、元流和总流 1、流管 在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每
一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内
的液流称为元流。
3、总流
当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
(1) (2x) (2 y) 2 2 0
x
y
满足连续性条件
(2) (0) (3xy) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y,uy y 4x