圆锥曲线的参数方程知识讲解

3
3
Y
b
θ
O
2、椭圆的参数方程
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的参数方程：
M
(a
a
cos ,
X
b
sin
)
x y
a b
cos sin
0, 2
参数θ是离心角！
例②3点、P①(5c把o椭s4圆5°,xy4sin544cs5oi°ns)是(否为在参上数述）椭化圆成上普？通∠方PO程X；=45°？ 解：椭圆的普通方程为：x2 y2 1
D
C
ab(1 cos )sin
A
O
BX
显然，0°＜θ＜90°,0<cosθ<1
令：y (1 cos ) sin sin 1 sin 2
2
y/ cos cos 2 2cos2 cos 1
2cos 1cos 1
当cos
1 2
时，ymax
3 3 4
(S ABCD )max
3 3 ab 4
随堂训练
在椭圆 x2 y2 1 上到直线3x – 2y – 16 = 0距离 47
最小的点的坐标是：
，最小距离是：
圆锥曲线的参数方程（2）
——双曲线、抛物线的参数方程
双曲线的参数方程
双曲线：x2 y2
a2 b2
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双
曲 线 的 参
x
a
cos
数 方
y
b tan
程
1(a,b 0)
Φ叫离心角。
所以2x – y 的取值范围是：[ - 5，5]
变式训练：已知 x 2 2 y 2 1，求y:x的取值范围。
x 2 cos
y
sin
k y sin x 2 cos
Y
1 30° 2
sin k cos 2k
O
X
sin 2k 2k 1 1 k 1
1 k2
1 k2
t为参数）
y 2 pt
当-1≤t≤2时， ①求曲线C的弧上A、B两端点的直线方程。②
设F是曲线的焦点，且△ABF的面积为14，求p的值。
解：曲线C化成普通方程得 y2 2 px(2 p y 4 p)
A(2p,-2p),B(8P,4P),F(p/2,0) Y
所以， ①直线AB的方程为：y= x –
(为参数）1 sin
cos2
x2 a2
y2 b2
联
想
2 cos2
cos2 Y
1
tan2
M(x,y)
1
E
一般地，离心角φ
A
b
b tan
不等于旋转角，即 φ≠∠XOM
φ
O
aa X
cos
例1、P是双曲线 x2 y2 1 上任意一点，Q是圆C：x2 y 22 1
2 上任意一点，求线段|PQ|的长度的最小值。
16sin 3 2 50
4
A
C
1 CP 5 2
X O
0 AB 1 5 2
P
变式训练：求以椭圆 x2 接梯形的面积最大值。a 2
y2 b2
1(a b 0)
的长轴为底的内
解：如图，设C(acosθ,bsinθ),则D(-acosθ,bsinθ)，
Y
S ABCD
1 2
(2a
2a
cos )b sin
OM • MN 0,(x, y) • (2 p x,y) 0 Y
B
x2 y2 2 px 0(x 0)
为所求的轨迹方程。
N
在形成曲线的几何条件中，若能直接用一O
M
X
个几何量的等式表示，则将此几何量的等式
坐标化，化简即得到曲线方程。
①设A(2 pt2,2 pt), B(2 pu2,2 pu)(tu 0) OA OB,
4 p2t2u2 4 p2tu 0,tu 1 Y
B
AB
:
y
2 pt
2 pu 2 pu2
2 pt 2 pt 2
(x
2 pt 2 )(t 2
u2)
整理得：x 2 p (t u)y 0
O
N
M
X
（易知当t2 u2时也满足）
由此，可知直线AB恒过定点N（2p,0)
A
充分运用向量工具能使问题化简；充
分利用几何直观，仔细观察是提高解
决问题能力的好方法！
例3、过抛物线y2 2 px( p 0)的顶点O任作互相垂直的弦OA、OB
①求证：直线AB恒过一个定点； ②求分别以OA、OB为直径的两圆异于O的交点M的轨迹方程。
②由题设知道：OM⊥AB，即OM⊥MN
B
4p
②∵|AB|= 6 2 p
点F到直线AB的距离是：d 7 pO
X
22
SABF
1 2
AB
d
1 2
6
2p
7p
A
42
p
2
p
22
3 3
例3、过抛物线y2 2 px( p 0)的顶点O任作互相垂直的弦OA、OB
①求证：直线AB恒过一个定点； ②求分别以OA、OB为直径的两圆异于O的交点M的轨迹方程。
——圆、椭圆的参数方程
1、圆的参数方程
Y
圆心为C(a,b)半径为R的圆的参数方程：
x a R cos
y
b
R
sin
0, 2
b
参数θ是旋转角。
O
M(x,y)
Rθ
X a
例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中θ为参数）：
x 2 3cos
(1)
y
2
3 s in
x 3 4cos
(2)
y
25 16
点P在椭圆上， ∠POX≠45°
例3、已知点A是椭圆 x2 y2 1 上任意一点，点B为圆C： 25 9
x2 ( y 4)2 1 上任意一点，求|AB|的取值范围。
解：如图，要使|PQ|最长（短），只须|CP|最长（短）。
设 P(5cos ,3sin ) ，则：
Y
CP 2 25cos2 3sin 42 B Q
解：线段|PQ|的长度的最小值为点P与圆心C的距离的最小值
减去圆的半径。又：
PC 2
1
2
2
tan
22
cos
Y Q P
C
5 tan2 8 tan 5
X
O
5(tan 4)2 9 9
5 55
所以线段|PQ|的长度的最小值为 3 5 1 5
抛物线的参数方程
x
1 2p
t2
tR
除教材给出的抛物线的参数y方 程t 外，下面抛物线的另一种
常用的参数方程是：
普
通 y2 2 px( p 0)
方
参 数
x
2
pt
2
(t为参数）
方
y 2 pt Y
程
程
M(x,y)
参数t的几何意义是： 抛物线上的点M与原点
连线的斜率。
2 pt
O 2 pt 2
X
例2、曲线C的方程是
x
2
pt
2
(
p
0,
3
4
sin
圆心坐标 (2, – 2 )
半径
R=3
圆心坐标 (3, 3 )
半径
R=4
例2、实数x,y满足 x2 y2 2x 4 y, 求2x – y 的取值范围。
解：由已知得： x 12 y 22 5
所以，圆的参数方程为：x 1 5 cos y 2 5 sin
2x y 2 5 cos 5 sin 5cos