刚体运动学、转动惯量、定轴转动资料

d
dt
d
dt
d2
d2t
v re t
an
a
r
et
at v
at r an r 2
a re t r2 e n
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
A
C
o
A
C
o
AB
C o
B
B
o o轮子的平动
加
B
C
A
B
o
C
A
绕过o 轴的转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
二、刚体的定轴转动(Fixed-axis rotation)
角量系统
角坐标 (t)
约定
r r 沿沿逆顺时时针 针方 方向 向转 转动动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
源自文库
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
讨论1 对同轴的转动惯量具有可加减性。
同轴圆柱
r1o r2
m2 m1
Jz J2 J1
> <
0 0
角位移
(tt)(t)
角速度矢量
limd
t t0 dt 方向: 右手螺旋方向
参考平面
z (t)
x
参考轴
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
角加速度
d
加速转动 方向一dt致
减速转动 方向相反
角量 角速度 v r 线量
r
速度
v
角加速度
加速度
定轴转动的特点
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
L iom iri2
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
在轴上确定正方向，角速度ω表示为代数量，则定义质点对
z 轴的角动量（即质点对参考点o的角动量在z轴上的投影）
为: L izL iom iri2
z
刚体对 z 轴的总角动量为：
转动 平面
L z L izr i2 m i r i2 m i
dm
面密 ,度 面： 元 dS ：
dV 体密 ,度 体： 元 dV ： dm
注意
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
单个质点的转动惯量
n
质点系的转动惯量 J (miri2)
i1
质量连续分布的
刚体的转动惯量
J r2dm m
z
转动
平面
o ri
vi
mi
国际单位制中转动惯量的单 位为千克·米2（kg·m2）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
J r2dm
积分元选取：
dl
dm dS
线密 ,度 线： 元 dl ： dm
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
一、刚体、刚体的运动 二、定轴转动（回忆角量系统） 三、 刚体定轴转动时角动量的形式 四、转动惯量
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
一、刚体、刚体的运动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物 体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动(Translation )、转动( rotation)
<0
z
<0
>0 <0
d
dt
d
dt
d2
dt2
（其中 、ω、ß都为
代数量，有正负）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
质点直线运动或刚体平动
刚体的定轴转动
位移 速度
角位移 角速度
加速度
角加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
注意 定轴转动时，角量与线量的关系式
i
i
i
对质量连续分布的刚体：
v or
dm
L zd L zr2d m r2 d m
令
J ri2mi
i
J r2dm
刚体对 z 轴的总角动量为: （即质点对轴上某参考点o
的角动量在z轴上的投影）
Lz J
转动惯量J
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
四、新概念：转动惯量(Moment of inertia ) 转动惯量：对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度 0t5π6 π64πras d 1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0 .2 4 π m s 2 2 .5 m s 2
该点的切向加速度和法向加速度
a tr0 .2 (6 π) 0 .10 m s 5 2
a n r2 0 .2 ( 4 π 2 ) 3 .6 ( m 1 s 2 )
解 （1）05πrads1, t = 30 s 时，0.
设 t = 0 s时 ， 0 0 0 .飞0 轮5 做π匀 减π 速r运a动s d 2
t
30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
22 02 2 ((5 π π)2 6)75 πrad
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
转过的圈数 N 75π37.5r
➢ 平动：若刚体中所有点的运 动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线
刚体平动 质点运动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
➢ 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
刚体的一般运动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
三、定轴转动刚体的角动量
转轴 z，角速度
刚体上任一质点 m i
转轴与其转动平面交点 O
m绕i 圆O周运动半径为 r i
m
i对
O的角动量：
L i o ri m ivi
z
转动
平面
o ri
vi
mi
即：
L io 方 大向 小 L io ： ： rim iv 沿 i m iri2
任一质点运动,,均相同，但 v,a不同；
3） 运动描述仅需一维（类似质点的直线运动）
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
刚体定轴转动（类
似质点的直线运动只需一维
坐标 来描述） 方向始终平行于转轴，
z
可以用角速度ω的正负来表示
具体的方向
>0
方向也始终平行于转轴，
可以用ß的正负来表示ω是变
>0
大还是变小。