解三角形知识点总结.doc

必修 5 第一章解三角形 章末总结

一、正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a b

c =k

sin A sin B

sin C

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数

k ，

即 a k sin A ，b k sin B

， c k sinC ；

（2） a

b c

等价于 a

b ，

c b ， a

c ．

sin A sin B sin C sin A sin B sin C

sin C

sin B sin A

变形：

a

sin A , b sin B , a sin A

b

sin B

c

sin C

c sin C

（3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

a

bsin A ； b c sin B

sin B

sin C

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如 sin A

a

sin B ； sin B

b

sin C

b

c

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形 ．

二、余弦定理

2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即：

2

2

2

2bc cos A

a

b

c

b 2 a 2

c 2 2ac cos B

c 2 a 2 b 2 2abcos C

从余弦定理，又可得到以下推论：

2

2

2

2 2

2

2

2

2

cos A

b

c

a

a c

b

a

b

c

2bc

cos B

2ac

cosC

2ab

2

2

2

在△ ABC 中，由 cos C

a b c 得：

2ab 若 a 2 b 2 c 2 ，则 cosC=0, 角 C 是直角；

若 a 2 b 2 c 2 ，则 cos C <0, 角 C 是钝角； 若 a 2

b 2

c 2 ，则 cos C >0, 角 C 是锐角．

3. 若C

90 ，则 c 2 a 2 b 2这就是勾股定理， 由此可知，余弦定理是勾股定理的推

广，

勾股定理是余弦定理的特例.

4．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

①已知三边，求三个角；( 有解时只有一解)

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.( 有解时只有一解)

三、三角形常用的面积公式

1、S 1底高

. 2

2、S 1 ab sin C1ac sin B1bc sin A.

22 2

四、三角形中的常见结论

1、A B C.

2、在同一个三角形中大边对大角反之亦然.

3、任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

4、三角形内的诱导公式

①

④5、在sin( A B) sin C；② cos( A B) cosC ；③ tan( A B) tan C；sin

A

B cos

C

；⑤ cos

A

B sin

C

.

2 2 2 2

ABC 中，tan A tan B tan C tan A tan B tan C.

6、ABC中， A，B，C成等差数列 B 60 .

ABC 为正三角形A， B， C成等差数列且A， B， C成等比数列 .

4、总结提升：

（1） . 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

（2） . 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

（3） . 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

（4） . 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

三角函数公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2k π＋α） = sin α cos （2k π＋α） = cos α t an （2k π＋α） =

tan α

公式二：

设 α 为任意角，π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系：

sin （π＋α）= - sin α

cos （π＋α）= - cos α tan （π＋α）= tan α

公式三：

任意角 α 与 - α 的三角函数值之间的关系：

sin （ - α） = - sin α

cos （- α） = cos α tan

（- α） = - tan α

公式四：

利用公式二和公式三可以得到

π- α 与 α 的三角函数值之间的关系：

sin （π - α）= sin α

cos

（π - α）= - cos α

tan

（π - α）= - tan α

公式五：

利用公式 - 和公式三可以得到 2π - α 与 α 的三角函数值之间的关系：

sin （2π - α）= - sin αcos （2π - α）= cos α

tan （2π - α）= - tan α

公式六：

±α 及 3

±α 与 α 的三角函数值之间的关系： 2 2

sin （ +α） = cos α

sin

（ - α） = cos α 2

2

cos （ +α） = - sin α

cos

（ - α） = sin α 2

2

sin （ 3 +α） = - cos α

sin （ 3 - α） = - cos α

2

2

cos （

3

+α） = sin α

cos

（

3

- α） = - sin α ( 以上 k ∈Z)

2

2

sin a

同角三角函数的基本关系 sin 2a+cos 2a=1

tanA =

cosa

两角和差公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB