人教版八年级数学下册 期末复习课件 二次根式
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人教版八年级下册数学《二次根式》说课教学课件复习
称为“化简二次根式”
通常把形如 m a (a 0) 的式子也叫做二次
根式。
如： 2
5,3a
b4 5,
3a
3
例1.利用性质,化简下列二次根式
（1） 32
解:原式 42 2
4 2
(2) 20a3
解:由 20a3 0 挖掘隐含条件
得 a≥0
原式= 45 a2 a 4 a2 5a
2a 5a
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
(5) x3 x 0
(7) 1 a 1 1 2a 2
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
2
__3____;
4 9
2
___3____.
(2)
81 225
3
___5___;
81 225
3
___5_____.
于是我们得到：
a b
a (a 0, b 0) b
商的算术平方根等于算术平方根的商
特别注意：1，条件；2，逆运用。
(1) 若 (x 2)(3 x) x 2 3 x 成立,
则 x满足条件__-_2≤_x_≤_3___.
__m_-5_>_0____m___5 。
m－5
1.二次根式的性质: 2.运用性质化简:
ab a b(a 0,b 0) a a (a 0,b 0) bb
(1)根号内不再含有分母．
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
化简二次根式关键
将被开方数因式分解或因数分解，使出现 “完全平方数”或“偶次方因式”
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
最新人教版初中八年级下册数学【二次根式复习】教学课件
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
8．已知：x 2 3 ，y 2 3 ，求代数式 x2 xy y2的值．
9．已知 a 5 1，求代数式 a2 2a 7 的值．
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
解：原式= (2 2 2) 1 2 1 1．
初中数学 解决问题
1．若 3 m 为二次根式，则 m的取值范围是 m≤3 ．
2．在根式 ① ( y 1)2 ②
x③ 5
27mn ④
是
④
．（填序号）
a2 b 中，最简二次根
式
3．已知 y x 2 2 x 3 ，求 xy 的值．
8
解：∵ x 2 0,
2 x 0.
总结： 二次根式要求被开方数
初中数学 复习运算
乘法： a b = ab （a≥0，b≥0）；
反之： ab= a b（a≥0，b≥0 ）．
乘除运算
除法： a a （a≥0，b＞0 ）； bb
运算
aa 反之： （a≥0，b＞0 ）．
bb
加减运算
步骤：“一化简、二判断、三合并”； 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
（2）∵ x 5 0, 1 x 0.
∴ -5≤x<1.
总结：转化为解不等式组.
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值．
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值． 解：∵ a b c b 6 5， ∴ b=5， ∴ a 5 c 5 (a c) 5 6 5. ∴ a+c=6， ∴ a+b+c=11．
人教版八年级下册数学《二次根式的乘除》说课教学复习课件巩固
，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
∴
52＞ 54
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
,即 2 13＞-3 6.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
在本章中，
如果没有特
别说明，所
有的字母都
表示正数．
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a,b都必须是非负数.
探究新知
考 点 1 简单的二次根式的乘法运算
计算:
（1） 3 5 ;
解: (1)
(2)
（2）
PA R T
01
学习目标
01
二次根式乘法法则知识点回顾
二次根式乘法法则
• = ≥ 0，b ≥ 0
注意公式成立条件
二次根式乘法法则变形
= • ≥ 0，b ≥ 0
01
探究与思考
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
4
9
4
22
9
32
=
=
4
16
16
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式
都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的
近似值，再进行比较．
巩固练习
2019-2020人教版八年级数学下册第十六章二次根式章末复习课件(共59张)
相关题 4 当 t 取何值时,
35t-3-5 的值最小？最小值是多少？
3
3
解：∵ 5t－3≥0，∴当5t－3＝0，即 t＝5 时，
最小值是－5.
3 5t－3－5 的值最小，
第十六章 二次根式
专题三 二次根式的混合运算
【要点指导】 进行二次根式的混合运算时, (1)先将二次根式进行适当的化简；(2)二次
第十六章 二次根式
专题五 二次根式的化简
【要点指导】
灵活应用二次根式的性质和公式：( a)2=a(a≥0), a2 =|a|, a·b =
a· b (a≥0, b≥0),
ab=
a b
(a≥0, b>0), 可以将复杂的二次根式进
行化简, 从而帮助我们解决问题.
第十六章 二次根式
例 7 实数 a, b 在数轴上对应点的位置如图 16-Z-1 所示, 则
第十六章 二次根式
(2)比较 5+ 13与 7+ 11的大小
分析 先求出两个式子的平方, 再比较这两个式子的平方的大小.
解：( 5+ 13)2=18+2 65, ( 7+ 11)2=18+2 77. ∵65<77,∴ 65< 77,∴18+2 65<18+2 77, 即( 5+ 13)2<( 7+ 11)2. 又∵ 5+ 13>0, 7+ 11>0, ∴ 5+ 13< 7+ 11.
a ≥0（ a≥0 ）
a =a（ a≥0 ）
a2
=|a|=
a(a≥0)， －a(a＜0)
当a≥0时，( a)2= a2
新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判12 Nhomakorabea3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
16.1二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用 aa (a≥0)表示。
情景问题
1.面积为3的正方形的边长为____3__ ，面积为S
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
Q 2 a 0， b 2 0
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
人教版数学八年级下册期末复习：二次根式 课件(共58张PPT)
专题二 分类讨论思想
【要点指导】
在解题过程中, 由于没有给定某一字母的值, 从而产生不同的结果, 这 时就需要我们利用分类讨论思想, 把所有可能的情况一一列出来, 要做到不 重不漏.
例 2 若-3＜x≤5,试化简：|x-2|+ (x+3)2 + x2-10x+25.
解：原式=|x-2|+|x+3|+ (x-5)2 =|x-2|+|x+3|+|x-5|. 因为-3＜x≤5, 所以当-3＜x≤2 时, 原式=2-x+x+3+5-x=10-x； 当 2＜x≤5 时, 原式=x-2+x+3+5-x=x+6.
【要点指导】 比较二次根式大小的常用方法有两种：①比较被开方数法：将二次根式系
数的绝对值移入根号内后比较被开方数的大小；②平方法：将二次根式分别平
方, 再比较它们的幂的大小．
例 6 (1)比较-5 5与-8 2的大小.
分析
解：|-5 5|=5 5= 125, |-8 2|=8 2= 128. ∵125<128, ∴ 125< 128,即|-5 5|<|-8 2|, ∴-5 5>-8 2.
在一起考查.
策略：此类有意义的条件问题主要是根据二次根式的被开方数大于或等于零、
分式的分母不为零等列不等式(组), 然后求不等式(组)的解集.
链接 1 [达州中考] 二次根式 2x+4 中的 x 的取值范围是( D ).
A．x＜-2
B．x≤-2
C．x＞-2
D．x≥-2
分析 由题意, 得 2x+4≥0, 解得 x≥-2. 故选 D
新人教版八年级数学下《二次根式》 复习课件
a2 与 a2的联系：仅当 a≥0 时，有 a2＝ a2.
►
考点三
二次根式的化简
例3 把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5
(2)
解：
4a 2 16a 2
解：
3 6 2 2
20a 2 2 5a
[解析]化简二次根式的方法： （1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的 算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为 二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
► 考点二 二次根式性质的运用
例 2 如图 21－1 所示是实数 a、 b 在数轴上的位置， 化简： a2 － b － a－b2.
2
图 21－1
[解析] 解决此问题需要确定a、b及a－b的正负．
解：根据实数 a、b 在数轴上的位置可知 a<0，b>0，所以 a －b<0，所以 a2－ b2－ a－b2＝ |a|－b－|a－b|＝－a－b－[－ (a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
被开方数相同 最简二次根式
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
，
的二次根式进行合并．
二次根式的性质 依据：
乘法：
a b ab
b
乘法与除法
法则
除法： a
a 0，b 0
a a o，b 0 b
运 算
加法与减法
计算结果化为最简二次根式 注意：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 法则： 最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并 合理运用去括号法则和运算律 注意：
人教版八年级数学下册二次根式复习与小结优质课件.ppt
8. 下列二次根式能与 24 合并的是（ D ）.
A. 18 C. 48
B. 30 D. 54
二、强化训练
9. 若代数式 x 1 有意义，则 x 的取值范 x2
围是（ D ）
A. x 1且x 2 B. x 1
C. x 2
D. x 1且x 2
二、强化训练
10. 能使等式 x x 成立的 x 的取值范围 x2 x2
二、强化训练
13. 计算： (1) 2 3 2
2
解： 3 2
3 2 6
二、强化训练
2
13. 计算：(2) 7 4 3 7 4 3 3 5 1
解： 72-
4
3
2
-
3
5
2
-6
5 1
49-48-45 6 5-1
-45 6 5
二、强化训练 x
14. 已知 y 2 x x 2 5, 求 y 的值.
先化成 最简 二次根式，再将被开方数 相同的 二次根式 进行合并.
练一练 1.下列计算正确的是（ C ）
A. 8 3 8 3 B. 4 9 4 9
C. 3 2 2 2 2 D. 3 2 2 3
一、基础知识
2.计算：
(1)
2 23 2
(2) 2 8 - 3 8 5 8
52 . 82 .
解：由题意得：x 2 0, 2 x 0
x 2
当x 2时，y 5 x 2 y5
二、强化训练
15. 若 x y y2 4y 4 0, 求 xy 的值.
解： x y y2 4y 4 0
化简得：x y y 22 0
x y 0, y 2 0
即：x 2, y 2 xy 2 2 4
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
八年级数学下册课件(人教版)二次根式
知识点 1 性质1：（ a）2=a (a≥0)
非负数的算术平方根仍然是非负数.
性质1：( a )2=a (a≥0)
根据算术平方根非负数的性质，就可以确定字母的值.
例1 计算： (1)（ 1.5）2 ；(2) （2 5）2 ；
解：(1)( 1.5 )2=1.5; (2)(2 5 )2=22×( 5 )2=4×5=20.
1
(5) （x 3）2 ；(6) （ - a-4）2 ；(7) x2 2x 2 ；(8) x .
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义 的条件，紧扣定义进行识别． 解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x 2＋1＞0，∴ x2 1 是二次根式． (3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a 是二次根式；
A．1 B．－1
C．7
D．－7
分析：根据非负数的性质列式求出x、y 的值，然后代入 代数式进行计算即可得解．因为 x y 1 + ( y+ 3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2= 0， x y 1 0 ，所以y+3=0，x+y-1=0， 解得y =-3，x =4，所以x-y =7.故选C．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
∴ （ - a-4）2 不一定是二次根式．
(7)∵x 2＋2x＋2＝x 2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ x2 2x 2 是二次根式．
4 使代数式 A．5个 C．3个
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
人教版八下数学课件二次根式复习
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如,
）仍然适用。
灿若寒星
二、课前热身 1、
2
灿若寒星
2、计算或化简：
①
②
3
?
③在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距
二 次 根 性质 式
运算
灿若寒星
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
灿若寒星
A5 1 A4
1
S4
A6
S5
1 S6
A7 灿若寒星
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
灿若寒星
2.（2005.吉林）当____≤_时3 ，有意义。
3.(2005.青岛)
有意义的条件是_a__=_4__
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
灿若寒星
复习目标
加深理解二次根式的有关概念； 熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加 减、乘除、乘方混合运算；
灿若寒星
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如的式子叫做二次根式.
非负数
离是_____2____
灿若寒星
3、若，则实数a在数轴上的对应点
一定在()
C
A、原点左侧
二次根式除法法则
二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如,
）仍然适用。
灿若寒星
二、课前热身 1、
2
灿若寒星
2、计算或化简：
①
②
3
?
③在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距
二 次 根 性质 式
运算
灿若寒星
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
灿若寒星
A5 1 A4
1
S4
A6
S5
1 S6
A7 灿若寒星
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
灿若寒星
2.（2005.吉林）当____≤_时3 ，有意义。
3.(2005.青岛)
有意义的条件是_a__=_4__
初中数学课件
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复习目标
加深理解二次根式的有关概念； 熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加 减、乘除、乘方混合运算；
灿若寒星
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如的式子叫做二次根式.
非负数
离是_____2____
灿若寒星
3、若，则实数a在数轴上的对应点
一定在()
C
A、原点左侧
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相关题 1-1 若 21x-1在实数范围内有意义, 则 x 的取值范围是
( C ).
A．x≥12
B．x≥-12
C．x＞12
D．x≠12
[解析] 因为 2x－1是二次根式，所以 2x－1≥0，又因为 2x－1在分母上， 1
所以 2x－1≠0，所以 2x－1>0，解得 x＞2.
相关题 1-2 使二次根式 -（x-4）2有意义的 x 的取值为 4 .
(2)二次根式 a有意义的条件是 a≥0, 涉及这一知识点的问题要注意以 下两方面：①分母不等于 0；②在零指数幂与负整数指数幂中, 底数不等于 0.
例 1 若式子 x2-1在实数范围内有意义, 则 x 的取值范围是( C ).
A．x＞1
B．x<1
C．x≥1
D．x≤1
分析 根据二次根式有意义的条件可得 x-1≥0, 解得 x≥1.
相关题 3-2 已知 a(a- 3)＜0, 若 b＝2－a, 则 b 的取值范围 是 2－ 3<b<2 .
3．利用二次根式的非负性求最值 例 4 当 x 取何值时, 9x+1+3 的值最小？最小值是多少？
分析 由于 3 为常数, 因此当 9x+1取最小值时, 式子 9x+1+3 的值最小. 而 由二次根式的性质知 9x+1≥0, 即 9x+1的最小值为 0, 故式子的最小值为 3.
【要点指导】 进行二次根式的混合运算时, (1)先将二次根式进行适当的化简；(2)二次
根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算, 通 常将其先写成分数(式)的形式, 然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式 的加减法与整式的加减法类似, 即在化简的基础上去括号并合并被开方数相 同的二次根式；(5)运算结果要化成最简形式.
专题二 a (a≥0)的双重非负性的应用
【要点指导】 二次根式 a (a≥0)有双重非负性：①a≥0, ②根据算术平方根的定义,
可知 a≥0. 这两个“非负性”在解二次根式的有关题目时经常用到. 二次 根式的被开方数和它本身均具有非负性是常见的隐含条件.
1．利用被开方数的非负性求代数式的值
例 2 [德州中考] 若 y=
【要点指导】 比较二次根式大小的常用方法有两种：①比较被开方数法：将二次根式系
数的绝对值移入根号内后比较被开方数的大小；②平方法：将二次根式分别平 方, 再比较它们的幂的大小．
例 6 (1)比较-5 5与-8 2的大小.
分析
解：|-5 5|=5 5= 125, |-8 2|=8 2= 128. ∵125<128, ∴ 125< 128,即|-5 5|<|-8 2|, ∴-5 5>-8 2.
先乘方 再乘除 最后加减 适当运用运算律和乘法公式
归纳整合
专题一 二次根式的概念与有意义的条件
【要点指导】 (1)形如 a (a≥0)的式子叫作二次根| 式．当 a≥0 时, a 表示 a 的算术平
方根；当 a<0 时, a无意义, 不是二次根式. 二次根式的特征：①含有 “ ”；②被开方数 a≥0.
期末复习课件 二次根式
知识框架
二 次 根 式
二次 根式 最简 二次 根式
加般地，形如 a（a≥0）的式子叫作二次根式 （1）被开方数不含分母 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
a ≥0（ a≥0 ）
a =a（ a≥0 ）
a2
=|a|=
a(a≥0)， －a(a＜0)
例 5 计算： 2（ 2- 3）+ 6.
分析
解：原式= 2× 2- 2× 3+ 6 =2- 6+ 6 =2.
相关题 5 计算： (1)( 8+ 3)× 6； (2)(1-2 3)(1+2 3)；
(3)( 3-1)2.
解：(1)4 3＋3 2.(2)－11.(3)4－2 3.
专题四 二次根式的大小比较
x-4+ 2
4-x -2,
则(x+y)y=
1 4
.
分析 由题意可知 x-4≥0 且 4-x≥0, ∴x-4=0, 即 x＝4,
∴y=
x-4+ 2
4-x -2=-2,
∴(x+y)y＝(4-2)-2=
1 4.
1 故答案为4
x2-49+ 49-x2+1
相关题 2-1 已知 x, y 满足 y=
2
x+7
, 则 xy的值
(2)比较 5+ 13与 7+ 11的大小
分析 先求出两个式子的平方, 再比较这两个式子的平方的大小.
解：( 5+ 13)2=18+2 65, ( 7+ 11)2=18+2 77. ∵65<77,∴ 65< 77,∴18+2 65<18+2 77, 即( 5+ 13)2<( 7+ 11)2. 又∵ 5+ 13>0, 7+ 11>0, ∴ 5+ 13< 7+ 11.
当a≥0时，( a)2= a2
二次 根式
乘除 运算
加减 运算 混合 运算
乘
法则： a· b= ab (a≥0, b≥0)
法
逆用: ab= a· b (a≥0, b≥0)
除
法则： ab=
a b
(a≥0,
b＞0)
法
逆用:
ab=
a b
(a≥0,
b＞0)
(1)将二次根式化成最简二次根式
(2)合并被开方数相同的二次根式
分析 由绝对值、二次根式的非负性, 得|2a-4|≥0, a2+b-1≥0. 又因为 2|2a-4|+ a2+b-1=0, 所以2aa2+-b4-=10=，0 , 解得ba==-23，, 则 a+b-ab=2-3-2×(-3)=5.
相关题 3-1 若实数 x, y 满足 x-2+(y+1)2=0, 则 x-y= 3 .
解：∵ 9x+1≥0, ∴当 9x+1=0, 即 x=-19时, 3.
9x+1+3 的值最小, 最小值为
相关题 4 当 t 取何值时,
3 5t-3-5 的值最小？最小值是多少？
解：∵ 35t－3≥0，∴当53t－3＝0，即 t＝5 时， 最小值是－5.
35t－3－5 的值最小，
专题三 二次根式的混合运算
为2 .
相关题 2-2 已知 y= x-8+ 8-x+17, 求 x+y 的算术平方根.
解：由已知，得x8－－8x≥≥00，，解得 x＝8， 所以 y＝17，则 x＋y＝25， 所以 x＋y 的算术平方根是 5.
2．利用二次根式的非负性求代数式的值
例 3 已知 2|2a-4|+ a2+b-1 =0, 则 a+b-ab= 5 .