误差理论与测量平差基础 间接平差
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
误差理论与测量平差基础习题集3
第七章间接平差§7-1间接平差原理7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么？7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（HA =10.OOOm)，P1，P2为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：h 1= 1.352m,S1=2km，h2=-0.531m，S2= 2km,h3= - 0.826m,S3= lkm。
试用间接平差法求各髙差的平差值。
7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得α=78º23´12"，Pα=1;β= 85º30 '06 "，Pß =2;γ=16º06'32"，Pγ=1;δ=343º53'24", Pδ=1；试用间接平差法求各内角的平差值。
7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为HA，HB，路线长为S 1，S 2，观测高差为h 1 h 2，试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。
7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L 1=32º25'18", L 2 =61º14'36", L 3=94º09'40",L 4 172010'17" L 5=93º39'48", L 6=155º24'20"已知A 方向方位角αA =21º10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。
误差理论与平差基础 法方程式的解算
高斯约化手算时，采用高斯约化表格计算，其 优点是计算方法规范，步步有检核，可及时发 现计算错误，曾经长期是测量平差的主要计算 方法。
在普遍采用计算机程序计算的今天，高斯约化 法本身作为一种线性对称方程组解法仍然适用。
Ny RRT
4.3 平方根法
平方根法也是解算对称线性方程组的一种常用方法。
bnvn fb 0
rnvn fr 0
aa p
ka
ab p
kb
ab p
ka
bb p
kb
ar p
ka
br p
kb
ar p
kr
fa
0
br p
kr
fb
0
rr p
误差理论与测量平差基础
—法方程式的解算
本章教学内容
4.1 法方程式的组成和计算的检核 4.2 高斯约化法 4.3 平方根法
第4章 法方程式解算 本章学习的目的和要求
利用高斯约化法解算法方程； 了解解算对称线性方程组的平方根法。
重点和难点 高斯约化的原理。
4.1 法方程式的组成
条件平差法：
法方程： R1NK R1W 0
记：
ag ah
gh p
.1
gh
p
p
p
aa
,
误差理论与测量平差基础
1
e
2 2 2
2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
23
2.2正态分布
当偶然误差的个数n 时，偶然误差出现的频率就
趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直
方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。
频数/d
f ()
1
e
2 2 2
2
n
i
i 1
0
知，随机误差 的数学期望等于零。
由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个
拐点在横轴上的坐标为 拐
方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐
标。
29
2.3精度及其衡量精度指标
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误
差、粗差）的大小。
1、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差
7
课程结构
参见目录
章节 Ch1 Ch2- Ch3 Ch4 Ch5- Ch8 Ch9 Ch10 Ch11 Ch12
Ch1 绪论
主要内容 绪论
平差基础知识 平差基本原则 四种经典平差方法 平差方法总结 点位精度讨论 统计假设检验 近代平差简介
8
Ch1 绪论
基本概念 • 误差
对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果 称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为 测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。
采用测量平差的方法
系统误差 Systematic
error
误差在大小和符号上表 现出系统性，或按一定 规律变化，或为常数
采用适当的观测方法 校正仪器 计算加改正
粗差 Gross error
《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲
《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲一、基本信息二、教学目的与任务误差理论与测量平差基础是一门专业基础课，以培养学生掌握测量数据处理的基本方法和原理为目的。
课程内容包括误差理论和测量平差基础两部分。
误差理论主要讲授误差来源、分类、性质、分布、数字特征、传播及主要应用，以误差分布、数字特征及传播律为重点。
测量平差基础主要讲授条件平差、间接平差等经典测量平差基本理论、方法、估计理论及精度评定。
通过本课程的学习，学生应掌握误差理论和测量数据处理的基本原理和方法，了解测量平差的发展过程和近代测量平差方法，能够应用测量平差基本理论和方法进行测绘数据处理和精度分析，培养学生解决工程控制网的数据处理和测绘工程实践能力，为进一步学习测量数据处理理论和后续课程的学习打下坚实的理论基础。
三、教学内容与要求（一）绪论2学时1、观测误差2、测量平差学科的研究对象3、测量平差的简史和发展4、本课程的任务和内容要求：明确观测误差产生的原因，掌握误差分类和特点、观测误差的处理方法，了解测量平差的发展历史和本课程的主要任务和特点，明确平差理论研究的对象和所要解决的问题，提出本科程的学习方法。
（二）误差分布与精度指标2学时1、偶然误差的特性2、衡量精度的指标3、精度、准确度和精确度要求：熟悉随机变量的数字特征，掌握偶然误差的规律性，理解方差、协方差阵的概念和涵义；掌握精度、准确度、精确度等概念的区别和联系。
（三）协方差传播律及权8学时1、协方差的传播2、协方差传播律的应用3、权与定权的常用方法4、协因数阵与权阵5、协因数传播律6、协方差传播律及其在测量上的应用7、系统误差的传播要求：熟记方差、协方差传播律的基本公式，掌握非线性函数线性化的方法；掌握权与定权的常用方法，理解方差、权、与协因数的关系；了解系统误差的传播规律。
（四）平差数学模型与最小二乘原理4学时1、测量平差概述2、函数模型3、函数模型线性化4、测量平差的数学模型5、参数估计与最小二乘原理要求：明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念，掌握必要观测数和多余观测数的计算方法，熟记各种平差方法的数学模型；了解参数估计和最小二乘原理。
误差理论与测量平差基础CH07
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
第七章 间接平差
水准网如图所示:
h1 P1 h7 P2 h3 h5 h6
A h2 P4 h4 P3
按条件平差列出误差方程。 选P2 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 选P1 、P2 和P3 高程平差值为参数，列出全部条件方程。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
X k αjk
0 +ˆ (Xk xk ) − (Xj0 + ˆ xj ) j 线性化后得到测方向坐标平差误差方程
δαjk =
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xj −
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yj −
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xk +
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yk
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
一、基础方程及其解
由于： V = Bˆ x−l 根据最小二乘原理 对ˆ x求导即得 dV T PV dV dV T PV = = V T PB = 0 dˆ x dV dˆ x 转置即有 BT PV = 0 l = L − (BX 0 + d)
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-3 精度评定
二、测角网函数模型
观测角度Li ，设j,h,k均为待定 点，参数为(Xj , Yj )，(Xh , Yh ) 和(Xk , Yk )观测方程为 Li + vi = αjk − αjh
j 令li = Li − (αjk − αjh )，即有误 差方程 vi = δαjk − δαjh − li L k
误差理论与测量平差基础课程设计报告
导线网平差计算——间接平差法计算待定点坐标平差值 任务及精度要求某工程按城市测量规范（CJJ8-99）布设一、二级导线网作为平面控制网，主要技术要 求为：平均边长200 m ，测角中误差8''±≤，导线全长相对闭合差10000/1≤，最弱点的点位中误差5±≤cm 。
经过测量得到观测数据，方向和角度为等精度观测值、方向和测角中误差8''±=βσ，边长为光电测距、测距中误差为mm m S i S i )(8.0±=σ，根据所学的“误差理论与测量平差基础”提出一个最佳的平差方案，完成该网的平差计算，并写出课程设计报告。
导线网资料1、已知点成果表2、角度和边长观测值3、导线网略图4、导线点及结点的近似坐标 点 号1234567X 0（m ） 11547.106 11351.627 11127.716 11067.435 11147.025 11101.948 11093.055 Y 0（m ） 8414.9338403.003 8353.334 8430.784 7876.237 8017.559 8168.778【选用间接平差方案的理由】⑴间接平差方法中的误差方程，形式统一，规律性较强，便于计算机的程序设计；⑵所选参数是平差后所需要的最后成果。
【解题过程】本题=n 21，即有21个误差方程，其中12个角度误差方程，9个边长误差方程。
必要观测数t = 2×7= 14。
现选取待定点坐标平差值为参数，即[]T=77665544332211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆY X Y X Y X Y X Y X Y X Y X X1. 由已知点坐标及待定点近似坐标计算各边的近似方位角，近似边长，并算出系数a 、b 。
列表如下：第3页第4页误差理论与测量平差基础课程设计2.由此可得误差方程： 角度：111ˆ9304.0ˆ0181.0y xv -= 22112ˆ0513.1ˆ0642.0ˆ9817.1ˆ0822.0y x y xv -++-= 48.55ˆ8780.0ˆ1948.0ˆ9292.1ˆ2589.0ˆ0512.1ˆ0641.03322113+-++--=y x y x y xv 66.21ˆ2908.1ˆ6584.1ˆ1688.2ˆ0637.1ˆ8780.0ˆ1948.04433224---++-=y x y x y xv 6.20ˆ2028.0ˆ0795.1ˆ2909.1ˆ6585.1ˆ0882.1ˆ7381.27744335+-+++--=y x y x y xv 4.1ˆ2028.0ˆ0795.1ˆ0808.1ˆ2743.1ˆ8780.0ˆ1948.07733226++--++-=y x y x y xv 447ˆ0832.1ˆ0897.0y xv +-= 34.25ˆ374.2ˆ5686.1ˆ2908.1ˆ6584.144338++--+=y x y xv 4ˆ1297.0ˆ3263.1559++-=y xv 6.3ˆ4227.0ˆ3247.1ˆ293.0ˆ651.2665510---+=y x y xv 4.0ˆ0799.0ˆ3593.1ˆ5025.0ˆ684.2ˆ4226.0ˆ3247.177665511---++--=y x y x y xv 6ˆ1229.0ˆ4389.2ˆ0799.0ˆ3593.1ˆ2028.0ˆ0795.177663312--+--+-=y x y x y xv 边长：111ˆ0194.0ˆ9998.0y xv --= 22112ˆ0609.0ˆ9981.0ˆ0609.0ˆ9981.0y x y xv --+= 7.2ˆ2166.0ˆ9763.0ˆ2166.0ˆ9763.033223---+=y x y xv 444ˆ0826.0ˆ9966.0y xv += 71.18ˆ7891.0ˆ6142.0ˆ7891.0ˆ6142.044335--++-=y x y xv 556ˆ9953.0ˆ0973.0y xv += 66557ˆ9527.0ˆ3039.0ˆ9527.0ˆ3039.0y x y xv +--= 77668ˆ9983.0ˆ0587.0ˆ9983.0ˆ0587.0y x y xv +--= 59.31ˆ9828.0ˆ1846.0ˆ9828.0ˆ1846.077339+++--=y x y xv3.确定角和边的权设单位权中误差"80=σ，则角度观测值的权为1220==ββσσiP 各导线边的权为()()2222064.064mm m S p i SS iI秒==σσ45.01=s p 51.02=S p 44.03=S p 53.04=S p02.15=S p 65.06=S p 67.07=S p 66.08=S p 53.09=S p4.计算角度和边长误差方程的常数项，并列表如下表二：第6页第7页5.法方程的组成和解算：013.3324- 9.7295- 1.8001- 11.8517- 0.3669 14.3189 9.4556- 18.6133- 119.3820 17.2230 127.0269- 120.0213 58.3261 3.5618- ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2734.15714.06881.00087.00338.01058.02617.03362.05355.08500.01781.00395.0005714.01474.108394.09665.65746.08008.13937.17905.13904.09825.69478.02103.0006881.08394.07035.17849.19444.05924.1000162.00863.000000087.09665.67849.18713.103287.11293.7002757.04675.100000338.05746.09444.03287.15334.10336.1000000001058.08008.15924.11293.70336.16097.10000000002617.03937.100007806.104584.79043.78670.81334.12515.0003362.07905.100004584.78816.89327.69553.94562.13231.0005355.03904.00162.02757.0009043.79327.67026.102228.65678.47674.09230.00564.08500.09825.60863.04675.1008670.89553.92228.60396.161165.04329.02048.00125.01781.09478.000001334.14562.15678.41165.03917.67852.01135.41793.00395.02103.000002515.03231.07674.04329.07852.00746.13685.05300.0000000009230.02048.01135.43685.09001.52075.0000000000564.00125.01793.05300.02075.09691.077665544332211=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------------------------------------------y xyx yx yxy x yx y x 故[]T--------=9872.48573.72872.39994.82412.43944.33898.94193.166007.160491.80722.167104.101260.41334.5ˆx6.平差值计算：（1）坐标平差值Xˆ 将表二中的坐标改正数x ˆ加上近似值0X ，即得平差值X ˆ，结果见表二最后一行。
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。
测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。
误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。
若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。
因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。
为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。
此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。
误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。
正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。
误差理论与测量平差基础习题集4
若设参
数
X=[X1X2X3 ]T=[HBh3h4]T，定权时 C=2km。试列出 （1）误差方程式及限制条件； （2）法方程式。 8.1.09 在图 8-6 中，A、B 为已知三角点，C、D 为待定点，观测了 9 个内
角 L1~L9。现选取参数X=[X1X2X3X4X5 ]T =[L1L2L3L4L5 ]T，试列出误差方程 式和限制条件。 8.1.10 在图 8-7 所示的测边网中，A、B 为已知点，1,2 为待定点，观
角度观测精度均为������
= 1″。
������
观测了边长 S1、S2，观测精度均为������ ������
2
= 10mm，
0 ������
������
1
= 148.283m，
= 107.967m。 设 P 点的坐标为未知参数，其近似坐标为������ = 882.270m，
������
0 ������
9.2.04 附有限制条件的条件平差模型在解决实际平差问题中有什么意 义？ 9.2.05 某平差问题有 15 个同精度观测值，必要观测数等于 8，现选取 8 个参数，且参数之间有 2 个限制条件。若按附有限制条件的条件平差法进行 平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？ 9.2.06 在测站 O 上观测 A、B、C、D 四个方向（如图 9-1 所示） ，得等精 度观测值为： L1=44°03′14.5″， L2=43°14′20.0″， L3=53°33′32.0″, L4=87°17′31.5″,
(a)已知值：矩形的对角边 S 观测值：L1~L4 参数：������1、������2、������3
图 8-4
8.1.08
测量平差基础课件——间接平差原理
要求 V T PV min
值。
X1 X2
先看一个确定三角形形状的例子：
L1 v1 Xˆ 1 L2 v2 Xˆ 2
L3
v3
180
Xˆ 1
Xˆ
2
v1 Xˆ 1 L1 v2 Xˆ 2 L2
v3
180
Xˆ 1
Xˆ 2
L3
平差值方程 误差方程
令：Xˆ X 0 xˆ
vv (Xˆ1 L1)2 (Xˆ 2 L2 )2 (Xˆ1 Xˆ 2 180 L3 )2 min
2.7
0.3
1.0047 0.5037(m) 0.5003 0.5047
6.求平差值
参数平差值
Xˆ Xˆ
1 2
X X
0 1
0 2
xˆ1
xˆ2
1122..050131(m)
12.7.7(mm)
1122..05004873(m)
7
第二节 误差方程的列立
一、参数个数的确定
二、参数的选取
0 jk
(xˆk
xˆ j )
Y
0 jk
S
0 jk
( yˆk
yˆ j )
li
Li
S
0 jk
导线网是上述两种情况的 综合,此时要注意观测值
权的确定.
注意:四种特殊情况
vi
X
0 jk
S
0 jk
xˆ j
Y
0 jk
S
0 jk
yˆ j
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆk li
提示:按J-K方向与按K-J方向列立的方
误差理论与测量平差基础第八章 附有限制条件的间接平差
Q XX Q XL B T ˆˆ ˆ QLL BQXX B T ( B E ) ˆˆ Q ˆ Q E LX LL
（1）根据具体问题，按（1）式列出误差方程和条件方 程。
（2）由误差方程和条件方程列出法方程（3）式。
（3）按（4）式计算参数的改正数 x 。 ˆ
（4）按（5）式计算观测值的平差值和参数的平差值。
教材：8－1
第八章——附有限制条件的间接平差
4、举例
水准网如图所示，同 精度观测值为： L1 0.008m
观测值的平差值（略）
习题：8.1.10，8.1.11
第八章——附有限制条件的间接平差 §8-2 精度评定
(1)、单位权中误差 在附有条件的间接平差中，单位权中误差的估值仍为
V T PV ˆ2 0 r
(2)、基本向量的协因数矩阵 在附有条件的间接平差中，基本向量为：
ˆ ˆ L, W , X , K s , V , L
求解法方程，得
ˆ xC 1.8505 , yC 0.6653 cm ˆ cm ˆ x D 0.1399 , y D 2.4593 cm ˆ cm k S 28.9655
第八章——附有限制条件的间接平差
改正数为：
V 2.4 5.7 5.7 8.0 0.0 0.0
第八章——附有限制条件的间接平差
误差方程和条件方程如下：
1.786 1.031 1.786 1.031 2.24 ˆ 0 2.063 xC 4.62 1.786 1.032 0 y 6.62 2.063 1.786 1.032 ˆ C V x 0.38 0 2.063 ˆ D 1.786 1.032 0 y 1.38 2.063 1.786 1.032 ˆ D 1.786 1.032 1.786 1.032 6.24 ˆ ˆ 0.500x D 0.866y D 2.20 0
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础引言在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。
从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。
然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。
一、误差的分类一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。
在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。
1. 按照产生原因分类ⅰ.人为误差如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。
ⅱ.仪器误差如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散噪声等。
ⅲ.环境影响如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。
2.从系统设备模型分类ⅰ.常规误差该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。
如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。
常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。
ⅱ.偶然误差偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。
如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。
因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。
二、测量值的平差原理平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。
该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。
平差的目的是在满足精度要求的情况下，将各个测量值之间保持合适关系，或将测量值与真值接近（最小二乘法）。
测量平差分为绝对平差和相对平差，其中绝对平差侧重于改正单个点的误差，而相对平差则侧重于改正一组数据测量中产生的各种误差。
1.多项式平差多项式平差是一种对多项式函数进行拟合的方法，常用于测量数据处理的多项式平滑，通常被用于地理信息系统中的地图校正。
间接平差的精度评定
式中： 所以
fi
Xˆ i
Qˆˆ FQXˆXˆ FT＝FNbb1FT
于是
D＝ˆ 02Qˆ
误差理论与测量平差
误差理论与测量平差
间接平差的精度评定
1.单位权方差估值计算 的计V算T PV：
ˆ
0
2＝V
T
PV r
1. V T PV＝P1V12 P2V22 PnVn2 权阵为对角阵时
2. V T PV Bxˆ l T PV xˆT BT PV l T PV
lT PBxˆ l 顾及BT PV＝0
Q XˆXˆ
N 1 bb
Q Xˆ 1 Xˆ
2
QXˆ1Xˆ t
QXˆ1Xˆ 2 QXˆ 2 Xˆ 2
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ1Xˆ t
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ t Xˆ t
3.待定点i的点位中误差
ˆ ˆ Q Xˆ i 的中误差：
Xˆ i
0
Xˆ 2i 1Xˆ 2i 1
Yˆi 的中误差：
E E
L0
由协因数传播律得：
QLL QLXˆ QLV QLLˆ
QZZ
QLXˆ
QLV
Q XˆXˆ Q XˆV
Q XˆV QVV
Q XˆLˆ QVLˆ
QLLˆ QXˆLˆ QVLˆ QLˆLˆ
E
E
N
1 bb
B
T
P
BNbb1BT P
Bbb1 PBNbb1BT
P B Nbb1 B T
E
展开得：
QLL
QZZ
N
1 bb
B
T
B
N 1 bb
B
T
QLL
误差理论与平差基础
误差理论与平差基础名词解释1、测量平差：依据某种最优准则（最小二乘法），对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知数的最估计值与精度的理论方法。
2、偶然误差：即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
3、系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。
4、粗差：明显歪曲测量结果的误差，是指比在正常观测条件所可能出现的最大误差还要大的误差。
5、平均误差：在一定观测条件下一组独立的偶然误差的绝对值的数学期望称为平均误差。
6、或然误差：当观测误差出现在（—，+）之间的概率等于1/2时，称为或然误差。
7、条件平差：一个几何模型中有r个多余观测，就产生r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差。
8、附有参数的条件平差：在平差问题中多选择了u个独立量为参数（而0<u<t）参加平差计算，就可建立含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称之为附有参数的条件平差。
9、间接平差：在平差问题中，当所选的独立参数个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法称为间接平差。
10、附有限制条件的间接平差：在平差问题中，多余观测数r=n-t，所选参数u>t个，其中包含t个独立参数，则参数间存在s=u-t个限制条件。
平差时列出n个观测方程和s个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法称为附有限制条件的间接平差。
11、秩亏自由网平差：如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。
12、精度：误差分布的密集或离散程度。
13、准度：随机变量的真值与数学期望之差。
第7章 间接平差
1 1
误差方程常数项（闭合差）计算:
l1 L1 X 10 0
0 l2 L2 X 2 0 0 l3 L3 X10 X 2 1800
5 /53
误差方程为：
ˆ1 v1 x ˆ2 v2 x ˆ1 x ˆ 2 l3 v3 x
ˆ L V L
ˆ X0 x ˆ X
n ,1
n ,1
l F X 0 L
为此，可用平差值和改正数表示间接平差的函数模型， 即
ˆ F ˆ L X n ,1 t ,1
ˆ l V Bx
n ,1 n ,t t ,1
—平差值方程（观测方程） —误差方程 —误差方程常数项（闭合差）计算式
其中
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0
令
a1 b1 a b 2 B 2 a n bn
法方程为： 6.6 解出
ˆ1 85.1 0 0 x 3.7 9.5 3.3 x ˆ 2 38.9 0 ˆ3 3.3 7.3 0 x 46.2 0
ˆ X ˆ X 1
ˆ X 2
ˆ X 3
T
ˆ H B
ˆ H C
ˆ H D
T
主页
间接平差
误差理论与测量平差
0 X2 0 X3
误差理论与测量平差基础 间接平差
arctan YB XB
YA XA
arc
tan
Xˆ 2 Xˆ 1
Y X
A A
L1
v2
ˆ AC
ˆ AD
ar
c
tan
Xˆ 2 Xˆ 1
YA XA
arc
tan
Xˆ 4 Xˆ 3
Y X
A A
L2
v3
ˆ DA
ˆ DB
arc
tan
YA XA
Xˆ 4 Xˆ 3
arc
tan
YB XB
Xˆ 4 Xˆ 3
vi aˆ0 aˆ1xi aˆ2 yi aˆ3 xi2 aˆ4 yi2 aˆ5 xi yi H i
第七章——间接平差
c、标准曲线拟合
对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图
所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数方程
为：
Xˆ i Xˆ 0 Rˆ cosˆi
第七章——间接平差
第七章 间接平差
§7-1 间接平差原理 §7-2 误差方程 §7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为
式中：
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
V
v1
v2
,
X
0 i
H0 pi
于是误差方程为： 习题：7.2.15
v1 xˆ1 3 v2 xˆ1 0 v3 xˆ1 xˆ3 1 v4 xˆ3 0 v5 xˆ2 xˆ3 2 v6 xˆ1 xˆ2 5 v7 xˆ2 0
第七章——间接平差
（2）、GPS网三维无约束平差
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则
xˆ N BB1W
第七章——间接平差
由上式解出参数 xˆ 后，代入误差方程可得到改正数V。
进而可求得观测值的平差值：
Lˆ L V
间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V；
vX BC Xˆ 1 Xˆ 4 X BC vYBC Xˆ 2 Xˆ 5 YBC vZBC Xˆ 3 Xˆ 6 Z BC vX BD Xˆ 1 Xˆ 7 X BD vYBD Xˆ 2 Xˆ 8 YBD vZBD Xˆ 3 Xˆ 9 Z BD vXCD Xˆ 4 Xˆ 7 X CD vYCD Xˆ 5 Xˆ 8 YCD vZCD Xˆ 6 Xˆ 9 ZCD
a1
B
a2
b1
b2
t1
t2
,
xˆ1
xˆ
xˆ2
,
L1 d1
l
L2
d2
且
vn
an bn tn
xˆt
Ln dn
rk(B) t
第七章——间接平差
2、随机模型
间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即
DLL
nn
Q 2
0 LL
nn
P 2 1
0 nn
第七章——间接平差
（3）、三角网
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值
作为待估参数，即t=2m 。
3、基础方程及其解
误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足
V T PV min
解只有一组。由于向量V是向量 xˆ 的函数，按数学上求自由极值
的方法有：
V T PV V T PV V 2V T P V 2V T PB 0
xˆ
V xˆ
xˆ
Xˆ 1 Xˆ B , Xˆ 2 YˆB , Xˆ 3 Zˆ B Xˆ 4 Xˆ C , Xˆ 5 YˆC , Xˆ 6 ZˆC Xˆ 7 Xˆ D , Xˆ 8 YˆD , Xˆ 9 Zˆ D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
vX AB Xˆ 1 X A X AB vYAB Xˆ 2 YA YAB vZ AB Xˆ 3 Z A Z AB vX AC Xˆ 4 X A X AC vYAC Xˆ 5 YA YAC vZAC Xˆ 6 Z A Z AC vX AD Xˆ 7 X A X AD vYAD Xˆ 8 YA YAD vZAD Xˆ 9 Z A Z AD
第七章——间接平差
第七章 间接平差
§7-1 间接平差原理 §7-2 误差方程 §7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为
式中：
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
V
v1
v2
,
6、计算观测值的平差值 Lˆ L V
教材：7－1，7－2
习题：7.1.04，7.1.05
第七章——间接平差
§7-2 误差方程
间接平差的关键是列误差方程，而列误差方 程的关键是选择待估参数（未知数）。
1、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。
2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i可看作已知数据，其余各点
作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数
为 t 3(m 1) ，因此，可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。
如图，以A点为参考点，即 X A ,YA , Z A 已知，则t个参数为：
令Xˆ i
X
0 i
xˆi，则有
v1 xˆ1 l1
v2 xˆ1 l2
v3 xˆ1 xˆ2 l3
v4 xˆ2 l4
v5 xˆ2 l5
其中：
l1
h1
H
A
X
0 1
,
l2
h2
HB
X
0 1
,
l3
h3
X
0 1
X
0 2
l4
h4
HC
X
0 2
,
l5
h5
HD
X
0 2
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m，H B =3.953m， HC =7.650m。各点的近似高程为：
第七章——间接平差
转置后得：
BT PV 0
将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：
BT PV 0
V
Bxˆ
l
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。
为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
BT PBxˆ BT Pl 0
因为 rk(BT PB) rk(B) t ，所以上式有唯一解。 令
X
0 i
H0 pi
于是误差方程为： 习题：7.2.15
பைடு நூலகம்
v1 xˆ1 3 v2 xˆ1 0 v3 xˆ1 xˆ3 1 v4 xˆ3 0 v5 xˆ2 xˆ3 2 v6 xˆ1 xˆ2 5 v7 xˆ2 0
第七章——间接平差
（2）、GPS网三维无约束平差
在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点
第七章——间接平差
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选
Xˆ 1 Hˆ E , Xˆ 2 Hˆ F
第七章——间接平差
于是有： v1 Xˆ 1 h1 H A v2 Xˆ 1 h2 H B v3 Xˆ 1 Xˆ 2 h3 v4 Xˆ 2 h4 H C v5 Xˆ 2 h5 H D
H0 p1
HB
h2
5.053m
H0 p2
H A h7
8.452m
H0 p3
HC
h4
7.450m
观测值见下表，试列出误差方程。
1
2
3
4
5
6
7
(m)
hi 0.050 1.100 2.398 0.200 1.000 3.404 3.452
第七章——间接平差
解：设 Xˆ1 Hˆ p1 , Xˆ 2 Hˆ p2 , Xˆ 3 Hˆ p3