中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合附答案

（2）IH＝ 3 FH．只要证明△ IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，先证 明△ DEG≌ △ DEM，再证明△ ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）①证明：如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC，OB＝OD， ∴ ∠ EDO＝∠ FBO， 在△ DOE 和△ BOF 中，
EDO＝FBO
OD＝OB
，
EOD＝BOF
∴ △ DOE≌ △ BOF，
∴ EO＝OF，∵ OB＝OD，
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形，
∵ EF⊥BD，OB＝OD，
∴ EB＝ED，
∴ 四边形 EBFD 是菱形．
②∵ BE 平分∠ ABD，
∴ ∠ ABE＝∠ EBD，
∵ EB＝ED，
∴ ∠ EBD＝∠ EDB，
在正方形 ABCD 与正方形 DEFG 中， AD＝DC，∠ ADE＝∠ CDG＝90°， DE＝DG，
∴ △ ADE≌ △ CDG(SAS)， ∴ AE，CG，∠ 1＝∠ 2 ∵ ∠ 2+∠ 3＝90°， ∴ ∠ 1+∠ 3＝90°， ∴ ∠ AHG＝180°﹣(∠ 1+∠ 3)＝180°﹣90°＝90°， ∴ AE⊥GC． (2)答：成立； 证明：延长 AE 和 GC 相交于点 H，
【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性
质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．
4．正方形 ABCD，点 E 在边 BC 上，点 F 在对角线 AC 上，连 AE． (1)如图 1，连 EF，若 EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△ AEF 的周长； (2)如图 2，若 AF＝AB，过点 F 作 FG⊥AC 交 CD 于 G，点 H 在线段 FG 上(不与端点重合)， 连 AH．若∠ EAH＝45°，
∴ MJ＝EM＝NI，∠ M＝∠ B＝60° 在△ BIF 和△ MJI 中，
BI＝MJ B＝M ， BF＝IM
∴ △ BIF≌ △ MJI， ∴ IJ＝IF，∠ BFI＝∠ MIJ，∵ HJ＝HF， ∴ IH⊥JF， ∵ ∠ BFI+∠ BIF＝120°， ∴ ∠ MIJ+∠ BIF＝120°， ∴ ∠ JIF＝60°， ∴ △ JIF 是等边三角形， 在 Rt△ IHF 中，∵ ∠ IHF＝90°，∠ IFH＝60°， ∴ ∠ FIH＝30°，
∴ EB＝BF＝ED，DE∥ BF，
∴ ∠ JDH＝∠ FGH，
在△ DHJ 和△ GHF 中，
DHG＝GHF
DH＝GH
，
JDH＝FGH
∴ △ DHJ≌ △ GHF，
∴ DJ＝FG，JH＝HF，
∴ EJ＝BG＝EM＝BI，
∴ BE＝IM＝BF，
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∵ ∠ MEJ＝∠ B＝60°，
∴ △ MEJ 是等边三角形，
求证：EC＝HG+ 2 FC．
【答案】（1） 2 5 4 2 ；（2）证明见解析
【解析】 【分析】 （1）由正方形性质得出 AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ B＝∠ D＝90°，∠ ACB＝∠ ACD＝∠ BAC＝
∠ ACD＝45°，得出 AC＝ 2 AB＝4 2 ，求出 AF＝3 2 ，CF＝AC﹣AF＝ 2 ，求出△ CEF 是等腰直角三角形，得出 EF＝CF＝ 2 ，CE＝ 2 CF＝2，在 Rt△ AEF 中，由勾股定理求出
∵ BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，
∴ AE＝DE＝CG═ DG＝FG＝ 5 ，
∵ DE＝DG，∠ DCE＝∠ GND，∠ EDC＝∠ DGN， ∴ △ DCE≌ △ GND(AAS)，
∴ GCD＝2，
∵ S△ DCG＝ 1 •CD•NG＝ 1 •DG•CM，
2
2
∴ 2×2＝ 5 •CM，
∴ CM＝GH＝ 4 5 ， 5
∵ AC＝BC，AD⊥BC， ∴ BD＝CD， ∴ AG 是 BC 的垂直平分线， ∴ GC＝GB， ∴ ∠ GBF＝∠ BCG， ∵ BG＝BF， ∴ GC＝BE， ∵ CE＝EF， ∴ ∠ CEF＝180°﹣2∠ F， ∵ BG＝BF， ∴ ∠ GBF＝180°﹣2∠ F，
∴ ∠ GBF＝∠ CEF， ∴ ∠ CEF＝∠ BCG， ∵ ∠ BCE＝∠ CEF+∠ F，∠ BCE＝∠ BCG+∠ GCE， ∴ ∠ GCE＝∠ F， 在△ BEF 和△ GCE 中，
3．如图 1，在△ ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，分别延长 AC 至 E，BC 至 F，且 CE＝EF， 延长 FE 交 AD 的延长线于 G． （1）求证：AE＝EG； （2）如图 2，分别连接 BG，BE，若 BG＝BF，求证：BE＝EG； （3）如图 3，取 GF 的中点 M，若 AB＝5，求 EM 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 5 2
【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠ CAD＝∠ G，可得 AE＝EG； （2）作辅助线，证明△ BEF≌ △ GEC（SAS），可得结论； （3）如图 3，作辅助线，构建平行线，证明四边形 DMEN 是平行四边形，得 EM＝DN＝
∴ ∠ ADN＝∠ AGE， ∴ DN∥ GF， 在 Rt△ GDF 中，M 是 FG 的中点，
∴ DM＝ 1 FG＝GM，∠ GDM＝∠ AGE， 2
∴ ∠ GDM＝∠ DAN， ∴ DM∥ AE， ∴ 四边形 DMEN 是平行四边形，
∴ EM＝DN＝ 1 AC， 2
∵ AC＝AB＝5，
∴ EM＝ 5 ． 2
∴ IH＝ 3 FH．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2． 理由：如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，
∵ ∠ FAD+∠ DEF＝90°， ∴ AFED 四点共圆， ∴ ∠ EDF＝∠ DAE＝45°，∠ ADC＝90°， ∴ ∠ ADF+∠ EDC＝45°， ∵ ∠ ADF＝∠ CDM， ∴ ∠ CDM+∠ CDE＝45°＝∠ EDG， 在△ DEM 和△ DEG 中，
AE，即可得出△ AEF 的周长； （2）延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，则△ CGM 和△ CFG 是等腰直角三角形，得出 CM＝
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．(1)如图①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 BE、DF，且 BE 平分∠ ABD． ①求证：四边形 BFDE 是菱形； ②直接写出∠ EBF 的度数； (2)把(1)中菱形 BFDE 进行分离研究，如图②，点 G、I 分别在 BF、BE 边上，且 BG=BI，连 接 GD，H 为 GD 的中点，连接 FH 并延长，交 ED 于点 J，连接 IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH 与 FH 之间满足的关系，并说明理由； (3)把(1)中矩形 ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形 ABCD 满足 AB=AD 时，点 E 是对角 线 AC 上一点，连接 DE、EF、DF，使△ DEF 是等腰直角三角形，DF 交 AC 于点 G.请直接写 出线段 AG、GE、EC 三者之间满足的数量关系.
1 AC，计算可得结论． 2
【详解】 证明：（1）如图 1，过 E 作 EH⊥CF 于 H，
∵ AD⊥BC， ∴ EH∥ AD， ∴ ∠ CEH＝∠ CAD，∠ HEF＝∠ G， ∵ CE＝EF， ∴ ∠ CEH＝∠ HEF， ∴ ∠ CAD＝∠ G， ∴ AE＝EG； （2）如图 2，连接 GC，
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝ 3 FH；（3）EG2＝AG2+CE2．
【解析】 【分析】 （1）①由△ DOE≌ △ BOF，推出 EO＝OF，∵ OB＝OD，推出四边形 EBFD 是平行四边形， 再证明 EB＝ED 即可． ②先证明∠ ABD＝2∠ ADB，推出∠ ADB＝30°，延长即可解决问题．
∴ MG＝CH＝ CG2 CM 2 ＝ 3 5 ， 5
∴ FH＝FG﹣FG＝ 5 ， 5
∴ CF＝ FH 2 CH 2 ＝ ( 5 )2 (3 5 )2 ＝ 2 ．
5
5
故答案为 2 ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形
等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中， AD＝DC，DE＝DG，∠ ADC＝∠ DCB＝∠ B＝∠ BAD＝∠ EDG＝90°， ∴ ∠ 1＝∠ 2＝90°﹣∠ 3； ∴ △ ADE≌ △ CDG(SAS)， ∴ AE＝CG，∠ 5＝∠ 4； 又∵ ∠ 5+∠ 6＝90°，∠ 4+∠ 7＝180°﹣∠ DCE＝180°﹣90°＝90°， ∴ ∠ 6＝∠ 7， 又∵ ∠ 6+∠ AEB＝90°，∠ AEB＝∠ CEH， ∴ ∠ CEH+∠ 7＝90°， ∴ ∠ EHC＝90°， ∴ AE⊥GC． (3)如图 3 中，作 CM⊥DG 于 G，GN⊥CD 于 N，CH⊥FG 于 H，则四边形 CMGH 是矩形，可 得 CM＝GH，CH＝GM．
(3)在(2)中，若 E 是 BC 的中点，且 BC＝2，则 C，F 两点间的距离为
．
【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3) 2 ．
【解析】 【分析】 （1）观察图形，AE、CG 的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形 ABCD、 DEFG 都是正方形，易证得△ ADE≌ △ CDG，则∠ 1＝∠ 2，由于∠ 2、∠ 3 互余，所以∠ 1、 ∠ 3 互余，由此可得 AE⊥GC． （2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ ADE≌ △ CDG，得∠ 5＝ ∠ 4，由于∠ 4、∠ 7 互余，而∠ 5、∠ 6 互余，那么∠ 6＝∠ 7；由图知∠ AEB＝∠ CEH＝90° ﹣∠ 6，即∠ 7+∠ CEH＝90°，由此得证． （3）如图 3 中，作 CM⊥DG 于 G，GN⊥CD 于 N，CH⊥FG 于 H，则四边形 CMGH 是矩 形，可得 CM＝GH，CH＝GM．想办法求出 CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】 (1)AE＝CG，AE⊥GC； 证明：延长 GC 交 AE 于点 H，
DE＝DE EDG＝EDM ， DG＝DM
∴ △ DEG≌ △ DEM， ∴ GE＝EM， ∵ ∠ DCM＝∠ DAG＝∠ ACD＝45°，AG＝CM， ∴ ∠ ECM＝90° ∴ EC2+CM2＝EM2， ∵ EG＝EM，AG＝CM， ∴ GE2＝AG2+CE2．
【点睛】 考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思考问题.
∴ ∠ ABD＝2∠ ADB，
∵ ∠ ABD+∠ ADB＝90°，
∴ ∠ ADB＝30°，∠ ABD＝60°，
∴ ∠ ABE＝∠ EBO＝∠ OBF＝30°，
∴ ∠ EBF＝60°．
（2）结论：IH＝ 3 FH．
理由：如图 2 中，延长 BE 到 M，使得 EM＝EJ，连接 MJ．
∵ 四边形 EBFD 是菱形，∠ B＝60°，
2．如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE，GC．
(1)试猜想 AE 与 GC 有怎样的关系(直接写出结论即可)；
(2)将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和
CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
CE EF GCE F ， CG BF
∴ △ BEF≌ △ GEC（SAS）， ∴ BE＝EG； （3）如图 3，连接 DM，取 AC 的中点 N，连接 DN，
由（1）得 AE＝EG， ∴ ∠ GAE＝∠ AGE， 在 Rt△ ACD 中，N 为 AC 的中点，
∴ DN＝ 1 AC＝AN，∠ DAN＝∠ ADN， 2