05.第五章计量经济学
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如果u不是正态分布, 那么我们有时将称标准误 差为渐近标准误差, 因为
ˆ se b j ˆ se b j c j
ˆ s
2 2 j
SSTj 1 R n
,
因此, 我们可以预期标准误差将以样本容量平 方根的倒数为比例而缩减（因SSTj≈nσj2）。
Economics 20 - Prof.பைடு நூலகம்Anderson
a
Economics 20 - Prof. Anderson 12
渐近正态性
备注： ˆ 其中 SSRj r
ˆ b ~ Normal0, s 2 SSR , bj j j
a 2 ij
所以两边乘 n即得前式(i)
Economics 20 - Prof. Anderson 13
中心极限定理
基于中心极限定理, 我们能表明普通最小二乘 估计量是渐近正态的 渐近正态性暗含当n 时 P(Z<z)F(z)或 P(Z<z) F(z) 中心极限定理陈述了具有均值为 m和方差为 s2 的任何总体的标准化均值渐近地服从N(0,1)或
Z
Y mY
s
~ N 0,1
a
11
n
Economics 20 - Prof. Anderson
渐近正态性 (续)
因为对于大自由度来说，t 分布接近 正态分布, 所以我们也称
bˆ
ˆ b j se b j ~ tnk 1 j
a
注意到虽然我们不再需要假定一个大 样本的正态性, 但是我们仍然需要同 方差性假定
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渐近标准误差
Economics 20 - Prof. Anderson
7
渐近偏误 (续)
因此, 我们考虑渐近偏误的方向正如我们 考虑遗漏变量偏误的方向一样 它们二者主要的区别是: 渐近偏误使用总 体方差和总体协方差, 而遗漏变量偏误使 用样本方差和样本协方差 记住, 不一致性是一个大样本问题，即它 不会随着样本容量的增加而消除
拉格朗日乘数统计量 (续)
假设我们有一个标准模型 y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u并且我们的虚拟假设是 H0: bk-q+1 = 0, ... , bk = 0 首先,我们只是运行受约束模型 ~ ~ ~ ~ y b b x ... b x u
^
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5
一个较弱的假定
对于无偏性, 我们假定了一个0条件均值 即E(u|x1, x2,…,xk) = 0 对于一致性, 我们能有一个0均值和0相关 性的较弱的假定即对于 j = 1, 2, …, k有 E(u) = 0 并且 Cov(xj ,u) = 0 如果我们没有这个假定,那么普通最小二 乘估计量将是有偏的并且是不一致的
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2
当n增大时的抽样分布
n3
n1 < n2 < n3
n2 n1
b1
Economics 20 - Prof. Anderson 3
普通最小二乘估计量的一致性
在高斯-马尔科夫假定下, 普通最小二乘 估计量具有一致性(并且是无偏的) 对于简单回归情形，我们能用证明无偏 性的类似方式来证明一致性 我们将需要取概率极限 (plim)来建立一 致性
Economics 20 - Prof. Anderson 8
大样本推断
回想在经典线性模型假定下抽样分布是 正态的, 我们据此导出检验用的t分布和F 分布 这种严格的正态性应归于假定总体误差 分布是正态的 正态误差的这个假定暗含给定x，y的分 布也是正态的
Economics 20 - Prof. Anderson 9
Economics 20 - Prof. Anderson 19
Economics 20 - Prof. Anderson 6
推导不一致性
正如我们先前能推导遗漏变量偏误一样, 现在 我们想要考虑不一致性或渐近偏误, 在这种情 形下
真实模型 : y b 0 b1 x1 b 2 x2 v 你认为 : y b 0 b1 x1 u , 因此 ~ u b 2 x2 v 并且 plim b1 b1 b 2 其中 Cov x1 , x2 Var x1
渐近正态性
在高斯 - 马尔科夫假定下, 有 ˆ b ~ Normal 0, s 2 a 2 , (i) n b j j j 其中 a
2 2 j 1 2 ij
ˆ plim n r
a 2
ˆ (ii) s 是 s 的一个一致估计量 ˆ ˆ (iii) b j b j se b j ~ Normal0,1
就一个大样本而言, 来自于F检验的计算结果和 来自于 LM检验的计算结果应该是相似的 对一个排除性约束的检验，LM 检验和F检验 是不相等的
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18
渐近有效性
普通最小二乘法以外的估计量可以是一 致的 然而, 只有在高斯-马尔科夫假定下的普 通最小二乘法才具有最小的渐近方差 我们称普通最小二乘法是渐近有效的 虽然记住我们的假定是很重要的, 但是如 果我们不能满足同方差假定, 那么普通最 小二乘估计量就不是渐近有效的
多元回归分析
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u 3. 渐近性质
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1
一致性
在高斯-马尔科夫假定下，普通最小二乘 估计量是最优线性无偏估计量。但是在 其他情形下我们将得到无偏估计量不总 是可能的 在那些情形下,我们会满足于估计量的一 致性, 意思是当n ∞时, 估计量的分布趋 近于参数值
0 1 1 k q k q
~ ~ 现在保留残差u 并且将u 对 x1 , x 2 ,..., x k (即所有的自变量)进行回归 LM nRu2 , 其中 Ru2 是来自于该回归的R平方
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拉格朗日乘数统计量 (续)
2 2 LM ~ q , 因此我们能从一个 q 分布中 2 选定一个临界值c或仅仅为 q 计算一个p值 a
15
拉格朗日乘数统计量
一旦我们正使用大样本并依赖渐近正态 性来进行推断, 我们就能使用t 和F 之外 的统计量 拉格朗日乘数统计量或 LM 统计量是检 验多重排斥性约束的可供选择的统计量 因为LM统计量使用一个辅助回归所以它 有时被称为n-R-平方统计量
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4
证明一致性
_ _ 1 = (∑(xi1-x1)yi)/(∑(xi1-x1)2) _ _ = β1 +(n-1∑(xi1-x1)ui)/(n-1∑(xi1-x1)2) ^
因为Cov(x1,u) = 0,所以 plimβ1 = β1 +Cov(x1,u)/Var(x1) = β1
大样本推断 (续)
我们想出这种严格的正态性假定将不能 满足的例子是很容易的 因为一个正态分布是对称的，所以任何 明显的偏态变量如工资、 拘留、储蓄等 等不可能是正态的 正态性假定仅仅是为了推断，它并不是 普通最小二乘法是否是最优线性无偏估 计的必要条件
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ˆ se b j ˆ se b j c j
ˆ s
2 2 j
SSTj 1 R n
,
因此, 我们可以预期标准误差将以样本容量平 方根的倒数为比例而缩减（因SSTj≈nσj2）。
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Economics 20 - Prof. Anderson 12
渐近正态性
备注： ˆ 其中 SSRj r
ˆ b ~ Normal0, s 2 SSR , bj j j
a 2 ij
所以两边乘 n即得前式(i)
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中心极限定理
基于中心极限定理, 我们能表明普通最小二乘 估计量是渐近正态的 渐近正态性暗含当n 时 P(Z<z)F(z)或 P(Z<z) F(z) 中心极限定理陈述了具有均值为 m和方差为 s2 的任何总体的标准化均值渐近地服从N(0,1)或
Z
Y mY
s
~ N 0,1
a
11
n
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渐近正态性 (续)
因为对于大自由度来说，t 分布接近 正态分布, 所以我们也称
bˆ
ˆ b j se b j ~ tnk 1 j
a
注意到虽然我们不再需要假定一个大 样本的正态性, 但是我们仍然需要同 方差性假定
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渐近标准误差
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渐近偏误 (续)
因此, 我们考虑渐近偏误的方向正如我们 考虑遗漏变量偏误的方向一样 它们二者主要的区别是: 渐近偏误使用总 体方差和总体协方差, 而遗漏变量偏误使 用样本方差和样本协方差 记住, 不一致性是一个大样本问题，即它 不会随着样本容量的增加而消除
拉格朗日乘数统计量 (续)
假设我们有一个标准模型 y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u并且我们的虚拟假设是 H0: bk-q+1 = 0, ... , bk = 0 首先,我们只是运行受约束模型 ~ ~ ~ ~ y b b x ... b x u
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一个较弱的假定
对于无偏性, 我们假定了一个0条件均值 即E(u|x1, x2,…,xk) = 0 对于一致性, 我们能有一个0均值和0相关 性的较弱的假定即对于 j = 1, 2, …, k有 E(u) = 0 并且 Cov(xj ,u) = 0 如果我们没有这个假定,那么普通最小二 乘估计量将是有偏的并且是不一致的
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当n增大时的抽样分布
n3
n1 < n2 < n3
n2 n1
b1
Economics 20 - Prof. Anderson 3
普通最小二乘估计量的一致性
在高斯-马尔科夫假定下, 普通最小二乘 估计量具有一致性(并且是无偏的) 对于简单回归情形，我们能用证明无偏 性的类似方式来证明一致性 我们将需要取概率极限 (plim)来建立一 致性
Economics 20 - Prof. Anderson 8
大样本推断
回想在经典线性模型假定下抽样分布是 正态的, 我们据此导出检验用的t分布和F 分布 这种严格的正态性应归于假定总体误差 分布是正态的 正态误差的这个假定暗含给定x，y的分 布也是正态的
Economics 20 - Prof. Anderson 9
Economics 20 - Prof. Anderson 19
Economics 20 - Prof. Anderson 6
推导不一致性
正如我们先前能推导遗漏变量偏误一样, 现在 我们想要考虑不一致性或渐近偏误, 在这种情 形下
真实模型 : y b 0 b1 x1 b 2 x2 v 你认为 : y b 0 b1 x1 u , 因此 ~ u b 2 x2 v 并且 plim b1 b1 b 2 其中 Cov x1 , x2 Var x1
渐近正态性
在高斯 - 马尔科夫假定下, 有 ˆ b ~ Normal 0, s 2 a 2 , (i) n b j j j 其中 a
2 2 j 1 2 ij
ˆ plim n r
a 2
ˆ (ii) s 是 s 的一个一致估计量 ˆ ˆ (iii) b j b j se b j ~ Normal0,1
就一个大样本而言, 来自于F检验的计算结果和 来自于 LM检验的计算结果应该是相似的 对一个排除性约束的检验，LM 检验和F检验 是不相等的
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渐近有效性
普通最小二乘法以外的估计量可以是一 致的 然而, 只有在高斯-马尔科夫假定下的普 通最小二乘法才具有最小的渐近方差 我们称普通最小二乘法是渐近有效的 虽然记住我们的假定是很重要的, 但是如 果我们不能满足同方差假定, 那么普通最 小二乘估计量就不是渐近有效的
多元回归分析
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u 3. 渐近性质
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1
一致性
在高斯-马尔科夫假定下，普通最小二乘 估计量是最优线性无偏估计量。但是在 其他情形下我们将得到无偏估计量不总 是可能的 在那些情形下,我们会满足于估计量的一 致性, 意思是当n ∞时, 估计量的分布趋 近于参数值
0 1 1 k q k q
~ ~ 现在保留残差u 并且将u 对 x1 , x 2 ,..., x k (即所有的自变量)进行回归 LM nRu2 , 其中 Ru2 是来自于该回归的R平方
Economics 20 - Prof. Anderson 17
拉格朗日乘数统计量 (续)
2 2 LM ~ q , 因此我们能从一个 q 分布中 2 选定一个临界值c或仅仅为 q 计算一个p值 a
15
拉格朗日乘数统计量
一旦我们正使用大样本并依赖渐近正态 性来进行推断, 我们就能使用t 和F 之外 的统计量 拉格朗日乘数统计量或 LM 统计量是检 验多重排斥性约束的可供选择的统计量 因为LM统计量使用一个辅助回归所以它 有时被称为n-R-平方统计量
Economics 20 - Prof. Anderson 16
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证明一致性
_ _ 1 = (∑(xi1-x1)yi)/(∑(xi1-x1)2) _ _ = β1 +(n-1∑(xi1-x1)ui)/(n-1∑(xi1-x1)2) ^
因为Cov(x1,u) = 0,所以 plimβ1 = β1 +Cov(x1,u)/Var(x1) = β1
大样本推断 (续)
我们想出这种严格的正态性假定将不能 满足的例子是很容易的 因为一个正态分布是对称的，所以任何 明显的偏态变量如工资、 拘留、储蓄等 等不可能是正态的 正态性假定仅仅是为了推断，它并不是 普通最小二乘法是否是最优线性无偏估 计的必要条件
Economics 20 - Prof. Anderson 10