第6次课 相量表示法教案

正弦量有三个要素：大小、快慢、相位 复数有两个要素：大小、相位 用复数的模表示正弦量的大小，用复数的辐角表示正弦量的初相位。 由于电路中，各处电压、电流的频率相同，用复数表示正弦量，虽然没有 表示出频率这一要素，但不影响对电路的计算结果。 2．最大值相量 用复数的模表示正弦量的最大值 用复数的辐角表示正弦量的初相位 ［例 3］ 把交流电压用最大值相量来表示
o o o
o
A 10∠36.87o = = 1.25∠81.87o o B 8∠ − 45 = j8 − 6 + ( 5.66 − j5.66 )
(5) jA + B = j ( 8 + j6 ) + ( 5.66 − j5.66 )
= −0.34 + j2.34=2.36∠98.27o
(6) A +
一、旋转的有向线段与交流量的关系
图 3.2.1 旋转的有向线段与交流量的关系
旋转的有向线段（矢量）在纵轴上的投影是正弦量。 ［例 1］ 交流电波形的画法
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u = 6 2 sin(ωt + 30o ) u = 6 2 sin(ωt − 30o ) u = 6 2 sin(ωt + 210o )
& = 0 , ∑U & = 0。 (a) ∑ i = 0 , ∑ u = 0 (b) ∑ I = 0 , ∑ U = 0 (c) ∑ I
答： (a) 正确 （b）不正确 (2) 判断下列各式错在哪里： （c）正确
(a) i = 10sin(ω t − 30) A = 10∠ − 30o A (b) I = 5∠45o A (c) U = 20∠60o V = 20 2 sin(ωt + 60o ) V & = 10∠ − 30o A 。 答：(a) 应为： i = 10sin(ωt − 30o ) A 或 I m & = 5∠45o A 。 (b) 应为： I & = 20∠60o V 或 。 u = 20 2 sin(ωt + 60o ) V (c) 应为： U
4．注意：相量是用于表示正弦量的复数，相量不等于正弦量。 5．虚数单位 j 的意义（旋转因子）
j = −1
j2 = −1
o o
j = cos 90o + jsin 90o = 1× ( cos 90o + jsin 90o ) = 1× e j90 = e j90 1 = − j = cos(−90o ) + jsin(−90o ) j
f = 50 H Z
T = 0.02 S
二、交流电的瞬时值、最大值和有效值 1．交流电压、电流用参考方向来表示，如图 3.1.2 所示。
（a）交流电压
（b）直流电压
图 3.1.2 交流电的参考方向及有效值的定义 课次 6 共8页 第2页
2．有效值的定义 在一个周期内，若交流电流与某一直流电流通过相同的电阻时，所消耗的 电能相等，则定义该直流电流为交流电的有效值。如图 3.1.2 所示。
3.2
正弦交流电的相量表示法
本节导学：本节的内容一是复习复数的概念，二是学会用相量（就是复数） 50 分钟 表示正弦量，这是对交流电路进行运算的基础（数学工具） 。内容很简单，很重 要，同学们一定要学会。
o 对正弦交流电流： i = 6 2 sin(ωt + 30 ) A
& = 6∠30o A 用相量表示为： I
［例 2］ 已知 A = 8 + j6 ， B = 8∠ − 45o 。 求(1) A + B ； (2) A − B ； (3) A ⋅ B ；
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(4)
B A ；(5) jA + B ；(6) A + 。 B j
解： A = 8 + j6 = 10∠36.87o
B = 8∠ − 45o = 5.66 − j5.66
∫
T
0
i 2 R d t = I 2 RT 1 T 2 i dt T ∫0
I=
上述定义适合于各种周期性变化的电流 3．有效值与最大值之间的关系
U=
Um 2
I=
Im 2
E=
Em 2
工频交流电 U = 220 V，Um = 310 V 4．符号规定： 瞬时值：用小写字母来表示 最大值：用大写字母加小写下标 m 来表示 有效值：用大写字母来表示 直流量：用大写字母来表示 在第 9 章放大电路中会有更详细的规定 三、交流电的相位、初相位和相位差 设： u = U m sin(ωt + ψ u )
∫
T
0
i2 d t
（式 1）
的方均根值关系？ 有效值与最大值之间的关系是否符合公式 2
U=
的 2 倍关系？
Um 2
I=
Im 2
E=
Em 2
（式 2）
答：周期性变化的非正弦交流电符合式 1，但不一定符合式 2。 （2） 分析和计算正弦交流电时是否也与直流电一样应从研究它们的的大小 和方向着手？ 答：否。应从研究它们的频率、大小和相位着手。
A = a1 + jb1
复数的乘除运算用指数式或极坐标式
B = a2 + jb2
A ± B = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 ) A = r1 e jψ1 B = r2 e jψ 2
A × B = r1 e jψ 1 × r2 e jψ 2 = r1r2 e j(ψ1 +ψ 2 ) A × B = r1∠ψ 1 × r2 ∠ψ 2 = r1r2 ∠(ψ 1 + ψ 2 ) A r1 e jψ1 r1 j(ψ1 −ψ 2 ) r1 = = e = ∠(ψ 1 −ψ 2 ) B r2 e jψ 2 r2 r2
o o
o
& = e − j90o × I e j30o = I e − j60o − jI
四、正弦量的运算用相量来进行 1．正弦量的加减、乘除、微分、积分运算都可以用相量来进行 ［例 6］ 设 i1 = 6 2 sin(ωt + 30 ) A ， i2 = 8 2 sin(ωt − 60 ) A 求： i = i1 + i2
o o
& = 6∠30o A = ( 5.196 + j3) A 解： I 1 &=I & +I & I 1 2
& = 8∠ − 60o A = ( 4 − j6.928 ) A I 2 = [(5.196 + j3) + (4 − j6.928) ] A = ( 9.196 − j3.928 ) A = 10∠ − 23.1o A i = 10 2 sin(ωt − 23.1o ) A
教学难点： 1 复数的旋转因子 j 的意义 2 相量与正弦量之间的关系及相互转换 授课内容 复习 正弦量的基本概念 正弦量的相量表示法 分析与思考 小结 时间分配 （分钟） 5 30 50 10 5
计 划 安 排
课后作业：3.1.1，3.2.2 课后总结： 建环 061-3 班(大二上学期)未学复变函数，关于复数要多讲一些内容，并补充一些题目。
u = U m sin(ωt + ψ ) & = U ∠ψ U
m m
u = 310 sin(314t + 60o ) V & = 310∠60o V U
m
3．有效值相量 用复数的模表示正弦量的有效值
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用复数的辐角表示正弦量的初相位 ［例 4］ 把交流电压用有效值相量来表示
u = 2U sin(ωt + ψ ) & = U ∠ψ U u = 220 2 sin(314t + 60o ) V & = 220∠60o V U
3.1
正弦交流电的基本概念
30 分钟
本节导学：本节内容主要是复习交流电的基本概念 恒定直流：大小和方向都不变 脉动直流：大小变化，方向不变 交流电：大小和方向都变化 正弦交流电：按正弦规律变化的交流电压和电流
u = 2U sin(ω t + ψ )
一、正弦交流电的周期、频率、和角频率
u O i T ωt
山东建筑大学教案
授课班级 建环 061-3 教学手段 多媒体教学 课次 6 周次 4 星期 4 节次 3、4 授课人 苗松池
教学内容： 3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的相量表示法
教学目的与要求： 1 复习交流电的基本概念 2 复习复数的基本概念和运算 3 学习用相量表示正弦量 教学重点： 1 学习用相量表示正弦量
图 3.1.1 正弦交流电的波形
1．周期 T：交流电一次所需要的时间。单位是秒（S） 频率 f：每秒内交流电变化的次数。单位是赫兹（HZ） 角频率 ω：每秒内交流电变化的弧度数。单位是弧度每秒（rad/s） 2．周期、频率、角频率之间的关系
f =
3．工频交流电：
1 T
ω=
2π = 2π f T ω = 314 rad/s
(d) u 与 i 正交
图 3.1.3 交流电的相位关系 课次 6 共8页 第3页
四、交流电的三要素(大小、快慢、相位) 表示大小的量：最大值、有效值。 表示快慢的量：周期、频率、角频率。 相位、初相位、相位差。 ［分析与思考］ （1）非正弦交流电的有效值与瞬时值间的关系是否符合公式 1
I=
1 T
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图 3.2.3 例题 6 的相量图
2．正弦量的加减法也可用相量作图法实现，方法同矢量运算的平行四边形 法和三角形法 ［例 7］ 用作图法重做上题
&。 & 和I & ，然后用平等四边形法则作图求出 I 解：先画出 I 1 2
［分析与思考］ 10 分钟 (1) 在下列几种表示正弦交流电路基尔霍夫定律的公式中哪些是正确的？ 哪 些 是 不 正 确 的 ？
小结
5 分钟
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二、复数 复数可用于表示矢量(向量) 1．概念：模、辐角、实部、虚部
A = a + jb a = r cosψ b = r sinψ r = a 2 + b2 b ψ = arc tan a
+j b r ψ O a +1 A
图 3.2.2 复数
2．复数的表示法： 代数式： A = a + jb 三角式： A = r cosψ + jr sinψ = r (cosψ + jsinψ ) 指数式： A = r e jψ 极坐标式： A = r ∠ψ 3．复数的运算 复数的加减运算用代数式
o (1) A + B = ( 8 + j6 ) + ( 5.66 − j5.66 ) = 13.66 − j0.34 = 13.66∠1.43
(2) A − B = ( 8 + j6 ) − ( 5.66 − j5.66 ) = 2.34 + j11.66 = 11.89∠78.65 (3) A ⋅ B = 10∠36.87 × 8∠ − 45 = 80∠ − 8.13 (4)
B = A − jB = ( 8 + j6 ) − j ( 5.66 − j5.66 ) j = 8 + j6 − 5.66 − j5.66 = 2.34 − j0.34 = 2.36∠8.27o
三、相量 1．定义：相量就是用于表示正弦量的复数
&， & 为了与一般的复数相区别，相量在复数的顶部加一圆点。例： U I
− j90 o o = 1× = e − j90 cos(−90 ) + jsin(−90 ) = 1× e
o o
任一相量乘以 + j 后，向前（逆时针方向）旋转了 90° 任一相量乘以 − j 后，向后（顺时针方向）旋转了 90°
& = I e j30 ［例 5］ I
o
& = e j90 × I e j30 = I e j120 jI
i = I m sin(ωt + ψ i )
电压相位： ω t + ψ u 电压初相位：ψ u 电压电流相位差： ϕ = (ωt + ψ u ) − (ωt + ψ i ) = ψ u −ψ i 相位的超前、滞后、相同、相反、正交(相位相差 90°)
(a) u 与 i 同相
(b) u 超前 i
(c) u 与 i 反相
山东建筑大学备课纸
复习 5 分钟
第3章
交流电路
本章导学：本章学习交流电路的分析计算方法。与直流电路不同，在交流 电路中，各点的电压、电流不但大小变化，相位还发生变化。为了对交流电路 进行计算，引入了新的数学工具 – 相量，相量就是表示正弦量的复数。 首先学会用相量表示正弦量，然后学习电阻、电感、电容元件相量形式的 欧姆定律，再学习 RLC 串联、并联、串并联电路的分析计算方法。最后学习交 流电路的有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。