2.1.2 空间两条直线之间的位置关系

·
A
a 已知：
, A , B , B a

a
B
求证： 直线AB和a是异面直线
(1)在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
D1 A1 B1 C1
D A
C
B
⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？
D1
温故知新
观察实例
复习：平面内两条直线的位置关系 相交直线 平行直线
a o b
a b
平行直线 （无公共点）
相交直线 （有一个公共点）
D
B
A
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
既不平行，又不相交
1.异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面
D1
A1
C1 B1 a
D
A
C
3a
B
a
小结：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理： 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补． 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法
例2 如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边 A 形EFGH是平行四边形.
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理，FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形 EFGH是什么图形？
相交
只有一个 没有
共面 共面
平行
异面
没有
不共面
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
A

如图：
a


b
(3)
a

b
(2)
思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b
a
a
M
b
a
H
等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.
D
A B
E
C
A1
D1 E1 C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB1
推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点 任选 O， 如图所示，a，b是两条异面直线，
A1
M
B1
C1
N
D A
B
C
平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a//b 即:a、b、c为直线，则 a // c c//b 注：
1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法：
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, b a′ ？ O P a 则这两条线所成 b′ θ a′ 的锐角θ （或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
平 移
O
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
判断下列命题对错： 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这 条直线上的所有点都在这个平面内。（ ） 2.将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 （） 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么 这四个点必在同一个平面内。 （ ） 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5.如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三 条直线可以确定一个平面。 （ ）
注2:异面直线所成角的取值范围： 0 90 注3:求异面直线所所成角的步骤： 一作、二证、三求解
O a’ a b
α
典例剖析
例1 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
D1 A1 D B1
C1
C
B
A
典例剖析
例2 如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.
典例赏析
作业：
1.阅读教材第44页至第47页; 2.在课本上完成： 习题2.1 A组 3,4,5,7,8题； B组1 3.书面作业： 习题2.1 A组5,6；补充作业:（见下页）
补充作业
b






a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线
3.异面直线的判定方法： (1)定义法：由定义判定两直线不可能在 同一平面内.(借助反证法) (2)判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线