高中数学(北师大版)必修5

数列1．1数列的概念预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1)什么是数列？数列的项指什么？(2)数列的一般表示形式是什么？(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？[新知初探]1．数列的概念(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列．(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项．[点睛](1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置．(2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．(3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项．2．数列的分类项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．3．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式．[点睛](1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋12中，依次得到0,1,0,1.3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1D ．4n解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15D ．16解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15.数列的概念与分类[典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列．其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．数列分类的判断方法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．[活学活用]下列说法中，正确的是( ) A ．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}B ．数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为a n ＝2n ＋1C ．数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015，2 014，2 013是相同的数列D ．数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2 017n ＋2 016，则它的第k 项是1＋1k ＋2 016解析：选D 数列与数的集合的概念不同，A 不正确；当n ∈N ＋时，没有第一项1，所以B 不正确；C 中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.根据数列的前几项写出数列的通项公式[典例] 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出． (1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，….[解] (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1. 分子中的22,32,42,52恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n ，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n (n ＋1).(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01, 0.999＝1－0.001, 0．999 9＝1－0.000 1， 而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.000 1＝10－4，∴它的一个通项公式为a n ＝1－10－n .由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)负号用(－1)n 与(－1)n ＋1(或(－1)n －1)来调节，这是因为n 和n ＋1奇偶交错． (2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化等方法．[活学活用]写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)112，223，334，445，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.利用通项公式确定数列的项[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由． [解] (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， 解得n ＝7，或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2，或n ＝343. ∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．(1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．[活学活用]已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项． 假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．层级一 学业水平达标1．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：选C 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.2．下列叙述正确的是( ) A ．同一个数在数列中可能重复出现B ．数列的通项公式是定义域为正整数集N ＋的函数C ．任何数列的通项公式都存在D ．数列的通项公式是唯一的解析：选A 数列的通项公式的定义域是正整数集N ＋或它的有限子集，选项B 错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C 错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，选项D 错误．故选A.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．非任何一项解析：选C 由n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 4．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1) D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)解析：选B 当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：选C 由a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 6．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式为________． 解析：由a 1＝20，a 2＝21，a 3＝22，a 4＝23，…易得a n ＝2n －1. 答案：a n ＝2n －17．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．解析：由题意知，数列的通项公式a n ＝n (n ＋1)，令a n ＝n (n ＋1)＝600，解得n ＝24或n ＝－25(舍去)．答案：248．已知曲线y ＝x 2＋1，点(n ，a n )(n ∈N ＋)位于该曲线上，则a 10＝________. 解析：∵点(n ，a n )位于曲线y ＝x 2＋1上，∴a n ＝n 2＋1，故a 10＝102＋1＝101. 答案：1019．根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项． (1)a n ＝n 2－12n －1；(2)a n ＝sin n π2；(3)a n ＝2n ＋1.解：(1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为0,1，85，157，83.(2)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为1,0，－1,0,1. (3)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为3,5,9,17,33. 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 014是否为数列{a n }中的项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062.(3)令2 014＝4n －2，解得n ＝504∈N ＋， ∴2 014是数列{a n }的第504项．层级二 应试能力达标1．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A．a n＝n2[1＋(－1)n]B．a n＝n＋12[1＋(－1)n＋1]C．a n＝n2[1＋(－1)n＋1]D．a n＝n＋12[1＋(－1)n]解析：选B经验证可知B符合要求．2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是( ) A．a n＝(－1)n n2＋1 B．a n＝(－1)n＋1(n2＋1)C．a n＝(－1)n(n2＋1) D．a n＝(－1)n＋1(n2－1)解析：选B通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是负的，∴通项可以写成a n＝(－1)n＋1(n2＋1)．3．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的( )A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项解析：选B数列2，5，22，11，…的一个通项公式为a n＝3n－1(n∈N＋)，令25＝3n－1，得n＝7.故选B.4．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么a n＋1－a n等于( )A.12n＋1 B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2解析：选D∵a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n，∴a n＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，∴a n＋1－a n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.5．已知数列{a n}的通项公式a n＝n2－4n－12(n∈N＋)，则(1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项．解析：(1)由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；(2)由a n＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，∴65是第11项．答案：(1)－12 (2)116．根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点．解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n 个图中点的个数为(n －1)n ＋1.答案：n 2－n ＋17．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…；(2)7,77,777,7 777,77 777，…； (3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解：(1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…. ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N ＋)． (2)a 1＝79×(10－1)，a 2＝79(102－1)，a 3＝79(103－1)，a 4＝79×(104－1)，….∴a n ＝79×(10n －1)(n ∈N ＋)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…. ∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N ＋)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，….∴a n ＝(－1)n2n －32n(n ∈N ＋)．8．写出数列13＋2,13＋6,13＋12,13＋20,13＋30，…的一个通项公式，并验证2 563是否是该数列中的一项．解：该数列的项为13＋1×2,13＋2×3,13＋3×4，….故其通项公式可以为a n ＝13＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)．令13＋n (n ＋1)＝2 563，则n 2＋n ＝2 550. 解得n ＝50或n ＝－51(舍去)． ∴2 563是该数列中的第50项．1．2 数列的函数特性预习课本P6～8，思考并完成以下问题(1)什么数列是递增数列？(2)什么数列是递减数列？(3)常数列是什么样的数列？[新知初探]数列的单调性(1)一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n＋1>a n，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n＋1<a n，那么这个数列叫作递减数列．(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．(4)如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列．( )(2)数列是特殊的函数，因此其图像是连续不断的曲线．( )(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．已知数列{a n}满足a n＋1－a n－3＝0，则数列{a n}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定解析：选A由条件得a n＋1－a n＝3>0可知a n＋1>a n，所以数列{a n}是递增数列．3．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]解析：选C a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.4．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}的最大项为( )A．5 B．11C．10或11 D．36解析：选D∵a n＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，∴当n＝5时，a n取得最大值36.数列的图像及应用[典例] 已知数列{a n}的通项公式为a n＝22n－9，画出它的图像，并判断增减性．[解]图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[活学活用]已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，作出该数列的图像并判断该数列的增减性．解：分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．由图像可知该数列为递增数列.数列增减性的判断[典例] 已知数列{a n}的通项公式a n＝nn2＋1，试判断该数列的增减性．[解]a n＋1－a n＝n＋1(n＋1)2＋1－nn2＋1＝1－n2－n[(n＋1)2＋1](n2＋1).因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0， 所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；(2)作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)．[活学活用]写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断它的增减性．解：该数列的通项公式为a n ＝n3n －2， ∴a n ＋1－a n ＝n ＋13(n ＋1)－2－n3n －2＝－2(3n ＋1)(3n －2).∵n ∈N ＋，∴(3n ＋1)(3n －2)>0， ∴a n ＋1<a n ，∴该数列为递减数列.数列的函数特性的应用题点一：求数列的最大(小)项 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解：法一：假设数列{a n }中存在最大项．∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119.法二：假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立．即⎩⎨⎧(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k －1，(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k≥(k ＋2)⎝⎛⎭⎫1011k ＋1，∴⎩⎨⎧1011(k ＋1)≥k ，k ＋1≥1011(k ＋2)，解得9≤k ≤10. 又k ∈N ＋，∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项， 且a 9＝a 10＝1010119.题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .解：法一：∵数列{a n }是单调递增数列， ∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立． 即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)， ∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3， 所以k 的取值范围为(－3，＋∞)． 题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列．解：(1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．函数思想方法在数列问题中的应用(1)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 与a n ＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)．层级一 学业水平达标1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21解析：选C A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C. 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，随着n 的增大而增大． 3．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是( ) A.1214 B ．30 C ．31D ．32解析：选B a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或6时，a n 取最大值30，故选B.4．数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116D.3115解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2·a 3＝9，a 1·a 2＝4，∴a 3＝94. 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.5．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( )A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在解析：选A ∵a 1>0且a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n＝nn ＋1<1，∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1.6．若数列{a n }的通项公式为a n ＝k3n(k >0，且k 为常数)，则该数列是________(填“递增”“递减”)数列．解析：a n ＋1a n ＝k 3n ＋1·3n k ＝13<1.∵k >0，∴a n >0， ∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列． 答案：递减7．数列{－2n 2＋9n ＋3}中最大项的值为________．解析：由已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058.由于n 为正整数，故当n 取2时，a n 取到最大值13.∴数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项为a 2＝13. 答案：138．数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1，则数列{a n }的最小项的值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)>0.∴a n <a n ＋1，∴数列{a n }是递增数列， ∴数列{a n }的最小项为a 1＝12.答案：129．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来， (1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝n ＋1n .解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.图像如图1. (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65.图像如图2.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{a n }有：a 1>a 2>…>a 10＝a 11<a 12<…，故数列{a n }没有最大项．层级二 应试能力达标1．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝()x 1 2 3 4 5 f (x )5 1342A ．1B ．2C ．4D ．5解析：选B 根据定义可得出：x 1＝f (x 0)＝2，x 2＝f (x 1)＝1，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝2，…，所以周期为3，故x 2 017＝x 1＝2.2．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图像是( )解析：选A 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图像上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图像，只有A 满足，故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：选B 由a 1＝0，可求a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，可知周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.4．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析：选C ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1，∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图像，由图像易知，当x ∈(0，99)时，函数单调递减． ∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9. 5．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是_______． 解析：∵a ，b ，c 均为实数，f (x )＝ax bx ＋c ＝a b ＋c x 在(0，＋∞)上是增函数，故数列a n ＝anbn ＋c 在n∈N ＋时为递增数列，∴a n <a n ＋1.答案：a n ＋1>a n6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，则a 2 015＋a 2 016＝________.解析：a 2＝f ⎝⎛⎭⎫73＝73－1＝43； a 3＝f ⎝⎛⎭⎫43＝43－1＝13； a 4＝f ⎝⎛⎭⎫13＝13＋12＝56； a 5＝f ⎝⎛⎭⎫56＝2×56－1＝23； a 6＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23－1＝13. 即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列．∴a 2 015＋a 2 016＝a 5＋a 3＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)证明：a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n <1. (2)数列{a n }是递增数列，理由如下： ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－1n ＋1－n －1n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1－⎝⎛⎭⎫1－1n ＝1n (n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．8．数列{b n }的通项公式为b n ＝na n (a >0)，问：{b n }是否存在最大项？并说明理由． 解：b n ＋1－b n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＝a n [(n ＋1)a －n ] ＝a n [(a －1)n ＋a ]．当a >1时，b n ＋1－b n >0，故{b n }为递增数列，无最大项； 当a ＝1时，b n ＋1－b n ＝1，故{b n }不存在最大项； 当0<a <1时，b n ＋1－b n ＝a n (a －1)⎝⎛⎭⎫n ＋a a －1＝a n (a －1)⎝⎛⎭⎫n －a1－a .∵0<a <1，∴a n (a －1)<0， 即b n ＋1－b n 与n －a1－a有相反的符号． 由于n 为变量，而a 1－a 为常数，设k 为不大于a 1－a的最大整数， 则当n ≤k 时，b n ＋1－b n ≥0； 当n >k 时，b n ＋1－b n <0，即有b 1<b 2<b 3<…<b k －1≤b k ，且b k >b k ＋1>…， 故对任意的自然数n ，b n ≤b k ， ∴0<a <1时，{b n }存在最大项．等差数列2．1 等差数列第一课时 等差数列的概念与通项公式预习课本P10～12，思考并完成以下问题(1)什么样的数列是等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？[新知初探]1．等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛](1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d_.[点睛]等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中有4个变量a n，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)2,3,4,5,6,7可以构成等差数列．( )(2)常数列是等差数列．( )(3)若一个数列的每一项与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列．( )答案：(1)√(2)√(3)×2．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝3n－1 B．a n＝2n＋1C ．a n ＝2n ＋3D ．a n ＝3n ＋2解析：选A ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·3＝3n －1. 3．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列解析：选A a n ＝2n ＋5＝2(n －1)＋7，∴首项a 1＝7，公差d ＝2，故选A. 4．已知等差数列{a n }，a 1＝7，a 7＝1，则公差d ＝________. 解析：a 1＝7，a 7＝1，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得1＝7＋6d ， ∴d ＝－1. 答案：－1求等差数列的通项公式[典例] 已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式． (1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a,2a －1,3－a .[解] (1)法一：设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ∴通项公式是a n ＝2n －1. 法二：∵d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×2＝2n －1. ∴通项公式是a n ＝2n －1.(2)∵a,2a －1,3－a 是等差数列的前三项， ∴(2a －1)－a ＝(3－a )－(2a －1)． 解得a ＝54，∴d ＝(2a －1)－a ＝a －1＝14.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝54＋(n －1)×14＝14n ＋1.∴通项公式是a n ＝14n ＋1.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________. 解析：因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，所以{a n }是以a 1＝3为首项，公差d ＝3的等差数列．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n . 答案：3n2．100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解：∵a 1＝2，d ＝9－2＝7， ∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15. ∴100是这个数列的第15项.等差数列通项公式的应用[典例](1)在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，从第10项起开始比2大，则公差d 的取值范围为________．(2)在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d ≠0，若7a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则k ＝________. [解析] (1)由a n ＝1＋(n －1)d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>2，a 9≤2.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋9d >2，1＋8d ≤2，所以19<d ≤18.(2)因为a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋21d ＝7＋21d ， 而a k ＝1＋(k －1)d ，所以7a k ＝7＋7(k －1)d . 所以7＋7(k －1)d ＝7＋21d ，即k ＝4. [答案] (1)⎝⎛⎦⎤19，18 (2)4等差数列通项公式应用中的两种思想方法(1)利用等差数列的通项公式求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，注意方程的思想． (2)利用等差数列的通项公式求出首项a 1和公差d 的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．[活学活用]设数列{a n }是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，求它的首项．解：由题设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1a 2a 3＝48，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝12，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝48. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝48， 化简得：a 21－8a 1＋12＝0，解得a 1＝6或a 1＝2，又{a n }是递增的，故a 1＝2.等差数列的判定[典例] (1)判断下列数列是否为等差数列，并说明理由． ①a n ＝3n ＋2；②a n ＝n 2＋n . (2)已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由． (3)在数列{a n }中，a 1＝0，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝nn －1.求证：数列{a n }是等差数列．[解] (1)①a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N ＋)， 由n 的任意性知，这个数列为等差数列．②a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(3)证明：当n ≥2时，由a n ＋1a n ＝nn －1，得(n －1)a n ＋1＝na n ，∴na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，两式相减得，na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ， 整理得，na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， ∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n .又∵a 3－a 2＝2a 2－a 2＝a 2＝a 2－0＝a 2－a 1， ∴数列{a n }是等差数列．证明一个数列是等差数列常用的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔数列{a n }为等差数列． (2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是等差数列．[注意] a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)对任意n ∈N ＋都要恒成立，不能几项成立便说{a n }为等差数列．[活学活用]已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋4，问：数列{b n }是否为等差数列？并说明理由．解：数列{b n }是等差数列．理由如下：∵数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列， ∴a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝(3a n ＋1＋4)－(3a n ＋4)＝3(a n ＋1－a n )＝3d . ∴根据等差数列的定义，数列{b n }是等差数列．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选B ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A －B ＝B －C . 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.2．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选D 由题意知，公差d ＝4－2＝2，则a 1＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝18.故选D. 3．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( ) A ．a n ＝a ＋(n －1)d B ．a n ＝a ＋(n －3)d C ．a n ＝a ＋2(n －2)d D ．a n ＝a ＋2nd解析：选C 数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d . 4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A.14 B.12 C.13D.23解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b －x ，b －x ＝2x －b ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.5．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________. 解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3. 答案：－37．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则首项a 1＝________，公差d ＝________. 解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.答案：19 －28．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝10，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.答案：－2 39．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ∴a 9＝2×9－1＝17.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.层级二 应试能力达标1．(重庆高考)在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴a 4－a 2＝a 6－a 4，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－ 4＝0.2．在等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析：选C a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴n ＝50.3．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的( ) A ．第60项 B ．第61项 C ．第62项D ．第63项解析：选B 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝33，a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21，d ＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18.令201＝3n ＋18，∴n ＝61.4．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n B.m ＋1n ＋1 C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1.5．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4， ∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －36．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 答案：207．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，从这个数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…；按原来的顺序排成新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式．解：由题意b n ＝a 2n ，又a n ＝3n ＋2， ∴b n ＝3×2n ＋2.8．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ≥2，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．解：(1)证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n－2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是公差为4，首项为5的等差数列． (2)由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n＝14n ＋1，n ∈N ＋. ∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145. 令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11. 即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．第二课时 等差数列的性质预习课本P13～14，思考并完成以下问题(1)怎样从函数的角度研究等差数列？(2)等差中项的定义是什么？(3)等差数列有哪些性质？(4)怎样利用等差数列模型解应用题？[新知初探]1．等差数列的图像与增减性(1)等差数列的图像：由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中d是该直线的斜率．(2)等差数列的增减性：对于a n＝dn＋(a1－d)，①当d＞0时，{a n}为递增数列；②当d＜0时，{a n}为递减数列；③当d＝0时，{a n}为常数列．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个数都有等差中项．( )(2)在等差数列{a n}中，若a1＝3，a3＝5，则a5＝7. ( )(3)若数列{a n}，{b n}都是等差数列，则数列{a n b n}是等差数列．( )答案：(1)√(2)√(3)×2．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A．a1＋a8＜a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：选B 由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B. 3．方程x 2－6x ＋1＝0的两根的等差中项为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．6解析：选C 设方程x 2－6x ＋1＝0的两根为 x 1，x 2，则x 1＋x 2＝6，∴其等差中项为x 1＋x 22＝3.4．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 解析：∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22.又a 6＝7，∴a 5＝15. 答案：155．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 解析：∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100， 又a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴5a 7＝100，a 7＝20. ∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13 ＝a 5＋a 13＋a 9－a 13 ＝2a 7＝40. 答案：40等差中项及应用 [典例] 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． [解] [法一 等差中项法] ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. [法二 通项公式法]设a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d ，得d ＝2. ∴a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3， ∴该数列为－1,1,3,5,7.等差中项及应用(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即b 为a ，c 的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．(2)涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．[活学活用]已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )， ∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列.等差数列性质的应用 [典例n (1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d . [解] (1)[法一 通项公式法] ：化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 即4(a 1＋12d )＝48. ∴4a 13＝48.∴a 13＝12. [法二 性质法]根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， 及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13， 得4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)[法一 通项公式法] 化成a 1和d 的方程如下：⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3. [法二 性质法]由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5 得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.1．等差数列基本运算的方法对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本量a 1和d 的方程，通过解方程组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．2．等差数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .特别地，若m ＋n ＝2t ，则a m ＋a n ＝2a t (t ∈N ＋)．性质3：若{a n }是等差数列，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…，(k ，m ∈N ＋)组成公差为md 的等差数列．[活学活用]1．已知a 1＋3a 8＋a 15＝120，则3a 9－a 11＝________. 解析：∵a 1＋a 15＝2a 8，∴a 8＝24.∴3a 9－a 11＝a 9＋2a 9－a 11＝a 9＋a 7＝2a 8＝48. 答案：482．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝7，求a 5＋a 6. 解：∵a 1＋a 5＝2a 3，a 2＋a 6＝2a 4， ∴(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 6)＝2(a 3＋a 4)， 即(a 1＋a 2)＋(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 4)， ∴3＋(a 5＋a 6)＝2×7，∴a 5＋a 6＝11.灵活设项求解等差数列问题[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d . [活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[典例]某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则由题意知a 1＝200，a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N ＋)．所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝220－20n <0，得n >11，。