等比数列的前n项求和公式
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式是数学中常见且重要的概念，可以用来求解等
比数列的前n项和。
等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比相
等的数列。
在数学中，等比数列的求和公式可以表示为S = a(1 - r^n) / (1 - r)，
其中S表示等比数列的前n项和，a表示等比数列的首项，r表示等比
数列的公比，n表示等比数列的项数。
例如，假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，共有4个项，
则可以使用等比数列的求和公式来计算前4项的和。
根据等比数列的求和公式，代入a=2，r=3，n=4，我们可以计算出
该等比数列的前4项和：
S = 2(1 - 3^4) / (1 - 3)
= 2(1 - 81) / (-2)
= 2(-80) / -2
= 160 / 2
= 80
因此，该等比数列的前4项和为80。
通过等比数列的求和公式，我们可以快速计算等比数列的前n项和，而无需逐一相加每一项。
这在实际问题中非常有用，尤其是在涉及到
大量数据的计算时。
除了等比数列的求和公式，还有其他方法可以求解等比数列的和，
如递归公式和差阶数法。
但等比数列的求和公式是最常用且高效的方
法之一，能够简化计算过程并提高计算效率。
需要注意的是，等比数列的求和公式只适用于公比不等于1的情况。
当公比等于1时，等比数列的求和公式变为S = na，其中n表示等比数
列的项数。
总之，等比数列的求和公式是数学中重要的工具之一，可以用来计
算等比数列的前n项和。
掌握这个公式能够帮助我们更好地理解和解
决各种与等比数列相关的问题。
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列的求和与通项
等比数列的求和与通项等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都是前一个数与一个固定的非零常数的乘积。
等比数列可以写成如下形式：a，ar，ar²，ar³，…其中，a为首项，r为公比。
求和公式要求等比数列的前n项和Sn，可以利用以下求和公式：Sn = a(1 - rⁿ) / (1 - r)通项公式要求等比数列的第n项an，可以利用以下通项公式：an = a * rⁿ⁻¹例如，对于等比数列1，2，4，8，16，…首项a = 1，公比r = 2。
我们可以通过求和公式来计算前n项和，也可以通过通项公式来计算第n项。
实例分析假设我们要求等比数列1，2，4，8，16的前4项和。
首先，根据通项公式可得：a₄ = a * r⁴⁻¹= 1 * 2³= 8然后，根据求和公式可得：S₄ = a(1 - rⁿ) / (1 - r)= 1(1 - 2⁴) / (1 - 2)= 1(1 - 16) / (1 - 2)= -15 / -1= 15因此，等比数列1，2，4，8，16的前4项和为15。
进一步推广除了给定首项和公比，我们还可以根据已知等比数列的前两项求解该等比数列。
举个例子，假设我们已知等比数列的首项为2，第二项为6，求解该等比数列的通项公式和前n项和。
首先，根据已知条件可得：a = 2，a₂ = 6由此，我们可以求解公比r：a₂ = a * r¹6 = 2 * rr = 3接下来，我们可以求解通项公式an：an = a * rⁿ⁻¹= 2 * 3ⁿ⁻¹最后，我们可以求解前n项和Sn：Sn = a(1 - rⁿ) / (1 - r)= 2(1 - 3ⁿ) / (1 - 3)通过以上计算，我们可以得到所求等比数列的通项公式和前n项和。
总结等比数列是数学中常见且重要的概念。
求等比数列的前n项和和通项是数学中常见的问题，可以通过求和公式和通项公式来解决。
等比数列公式求和公式
等比数列公式求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
等比数列的求和公式是指将等比数列的前n项求和的公式。
下面将详细介绍等比数列和求和公式的相关知识。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 等比数列的任意项与首项之比等于公比：a2/a1 = a3/a2 = ... = an/a(n-1) = r2. 等比数列的任意项与末项之比等于公比的n-1次方：an/a1 = r^(n-1)3. 等比数列的前n项和可以通过公式计算得到。
三、等比数列的求和公式等比数列的前n项和可以通过求和公式计算得到。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，则有以下求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)四、等比数列求和公式的推导下面通过推导，来证明等比数列求和公式的正确性。
计算等比数列的前n项和Sn：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将Sn乘以公比r：r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将等式两边相减：Sn - r * Sn = a - ar^n化简得：Sn * (1 - r) = a * (1 - r^n)再将等式两边除以(1 - r)，得到等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)五、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
通过求和公式，我们可以快速求解等比数列的前n项和，从而简化计算过程。
在金融、工程、物理等领域中，等比数列求和公式也经常被使用。
六、例题解析下面通过一个例题来说明等比数列求和公式的具体应用。
例题：已知等比数列的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前10项和。
等比数列求和
等比数列的前n项和
an 公比为q，前n项和为S n 设等比数列
则
Sn a1 a2 a3 an
⑴
即 Sn a1 a1q a1q 2 a1q n2 a1q n1.
等比数列的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1.
Sn=
a1 (1 qn ) a1 anq 1q 1q
（q=1）
（q≠1）
2.推导等差数列前 n项和公式的方法.
-------错位相加法
3.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
4.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个. -------知三求二
2.5 等比数列的 前n项和
复习回顾
an1 an q，或 q（n 1) 1、等比数列的定义 an an12、等比数 Nhomakorabea的通项公式
an a1q
通项公式的推广
n1 nm
an am q
2
3、等比数列的中项公式
an an1an1
4.在等比数列{an}中，由 m+n=p+q aman=apaq
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
29 22 33 29 S 30 1, 2 2, 22 , 22 , ,2
T30 100 30
3000 (万元)
等比数列的前30项和
每天投资100 万元，连续一 个月(30天) 第一天返还1元， 第二天返还2元， 第三天返还4元…… 后一天返还数为前 一天的2倍．
例1： 根据下列条件，求相应的等比数列a n 的前 n项和 S n
等比数列前n项和
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第二章 2.5 第2课时
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在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于 ( ) A．－2 C．1 [ 答案] [ 解析] B．－1 D．2
D a1[1－－25] ∵S5＝22，q＝－2，∴ ＝22， 1－－2
∴a1＝2.
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[例3]
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99
＝56，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值． [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9
＋„＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
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第二章 2.5 第2课时
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等比数列前n项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[ 答案]
D
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第二章 2.5 第2课时
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思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， a11－qn a1 a1 n ∵Sn＝ ＝ － · q ，则常数项与qn的系数 1－q 1－q 1－q 互为相反数．
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第二章 2.5 第2课时
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式（最新版）目录1.等比数列的定义和性质2.等比数列前 n 项和的公式推导3.公式的应用和实例正文1.等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。
这个比称为公比，用 r 表示。
等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1)，其中 a1 是首项，an 是第 n 项。
2.等比数列前 n 项和的公式推导等比数列前 n 项和的公式为 S_n=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中 S_n 表示前 n 项和，a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
这个公式的推导过程如下：首先，等比数列的前两项和可以表示为 S_2=a1*(1+r)，前三项和可以表示为 S_3=a1*(1+r+r^2)，以此类推，前 n 项和可以表示为S_n=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))。
然后，我们把等比数列的前 n 项和的公式转化为一个等差数列的求和公式。
通过错位相减法，我们可以得到：S_n=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))=a1*r*(1+r+r^2+...+r^(n-2))=a1*r*((1+r)+r*(1+r+r^2+...+r^(n-3)))=a1*r*((1+r)+r*(1+r+r^2+...+r^(n-3))+r^2*(1+r+r^2+...+r^(n-4))) =a1*r*(1+r+r^2+...+r^(n-2)+r^3*(1+r+r^2+...+r^(n-3)))继续这个过程，直到得到：S_n=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))*(1-r)/(1-r)=a1*(1-r^n)/(1-r)所以，等比数列前 n 项和的公式为 S_n=a1*(1-r^n)/(1-r)。
3.公式的应用和实例等比数列前 n 项和的公式在实际问题中有广泛的应用，例如在金融、物理、生物等领域。
以下是一个简单的实例：假设一个等比数列的首项 a1 为 100，公比 r 为 2，求前 10 项的和。
等比数列求和公式高中数学
等比数列求和公式高中数学
等比数列的求和公式在高中数学中主要有两种情况：
有限项等比数列求和：如果一个等比数列的首项为a1，公比为q （q≠1），共有n项，则其前n项和S_n可以通过下面的公式计算：S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
无限项等比数列求和：当|q| < 1时（即公比绝对值小于1，保证级数收敛），无限项等比数列的和可以表示为：S = a1 / (1 - q)
请注意，如果公比q等于1，那么所有项都相等，可以直接用乘法算出总和，即S_n = n * a1。
另外，当公比q等于-1且项数n为偶数时，由于正负项相互抵消，也可以具体计算得出结果；若项数为奇数则不能直接使用上述公式。
等比数列的前n项和
(2)求数列1 1 ，2 1 ，3 1，...，n 1 ,...的前项和;
2 48
2n
(3)求数列
1，1 2，1 2+22，...，(1 2+22 2n-1),...的前项和;
(4)求和：2+3 22 （2n 1） 2n.
四、练习：课本 P 54 1--4
五、小结： 1.上述几种求和的推导方式中第一种方法我们源自a1(1 qn ) 1 q
当q=1时，S n na1
（法2）借助和式的代数特征进行恒等变形
Sn a1 a2 a3 ... an
a1 q(a1 a2 a3 ... an1 )
a1 q(Sn an )
当q≠1时，S n
a1 an q 1 q
当q=1时，Sn na1
（法3） 用等比定理推导 因为 所以
？想一想：如何计算
Sn a1 a1q a1q 2 ... a1q n1
（法1）错位相减法
Sn a1 a1q a1q 2 ... a1q n1（1）
qSn=a1q+ a1q2 + ---+ a1qn-1 +a1qn （2）
（1）—（2）得(1 q)Sn a1 a1q n
当q≠1时，Sn
一个数列：1,2,22 ,23 ,,263
求和的表达式为：
S64=1+2+22+…+262+263 （1）
上式两边同时乘以2，有：
2S64=2+22+23…+263+264 （2）
S64=1+2+22+23+…+263
（1）
2S64= 2+22+23+…+263+264 （2）
等比数列项数公式
等比数列项数公式等比数列是指一个数列中的每一项与它之前的项的比值都相等的数列。
等比数列的项数公式可以通过以下两种方法得到。
方法一：公式法已知等比数列的首项是a₁，公比是r，末项是aₙ，项数是n。
我们可以通过以下公式来求得等比数列的末项和项数。
1.等比数列的第n项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)这个公式可以通过连续乘以公比r得到。
首项a₁乘以r的0次方就是等于a₁，乘以r的1次方就是第二项，依此类推，乘以r的n-1次方就是第n项。
2.等比数列的前n项和公式：Sₙ=a₁*(r^n-1)/(r-1)这个公式可以通过将等比数列的前n项进行求和得到。
首项a₁乘以公比r的n-1次方，再减去1，然后除以公比r减去1，就是等比数列的前n项和。
方法二：递归法递归法是指通过前一项的值和公比来求得下一项的值。
1.首先，我们知道等比数列的首项是a₁，公比是r，所以首先可以求得第二项a₂：a₂=a₁*r根据公比，第二项是首项乘以公比r。
2.接下来再求第三项a₃：a₃=a₂*r=a₁*r*r根据公比，第三项是第二项乘以公比r。
3.以此类推，可以得到第四项、第五项、第六项，依此类推。
a₄=a₃*r=a₁*r*r*ra₅=a₄*r=a₁*r*r*r*ra₆=a₅*r=a₁*r*r*r*r*r..aₙ=a₁*r^(n-1)通过不断地乘以公比r，可以得到第n项。
通过以上两种方法，我们可以求得等比数列的末项和项数。
这些公式在解决各种与等比数列相关的问题时非常有用。
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式等比数列是指一个数列中的每一个项都等于前一项乘以相同的常数。
求和公式是指计算等比数列前n项和的表达式。
在等比数列中，每一项的公式可以表示为：$$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$$其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示第一项，r表示公比。
我们需要知道的是等比数列的前n项和。
假设等比数列的前n项和为S，我们可以通过一种简单的方法推导出等比数列的求和公式。
让我们从一开始推导以便更好地理解这个公式。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为r。
那么前n项和可以表示为：$$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$将等比数列的通项公式代入上式，得到：$$S = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}$$将等比数列中的首项乘以公比的n-1次方，我们可以观察到以下现象：$$r \cdot S = a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)} + a_1 \cdot r^n$$将等式两边相减：$$S - r \cdot S = a_1 - a_1 \cdot r^n$$整理后得到：$$S(1-r) = a_1(1-r^n)$$由此，我们可以解出前n项和的公式：$$S = \frac{{a_1(1-r^n)}}{{1-r}}$$这就是等比数列的求和公式。
通过这个公式，我们可以轻松地计算等比数列的前n项和，无论n 的大小如何。
需要注意的是，在使用等比数列的求和公式时，必须确保公比r不等于1。
当r等于1时，等比数列变为等差数列，此时前n项和的公式为$S_n = n \cdot a_1$。
因此，等差数列的求和公式和等比数列的求和公式是不同的。
总结：等比数列的求和公式为$S = \frac{{a_1(1-r^n)}}{{1-r}}$，其中$a_1$为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
等比数列前n项和公式
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6，
立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
求n和q.
解; a1an
a3an2
128aa11an
128 an 66
解得aa1n
2 又 64
Sn
a1 anq 1 q
126
q
2, n
6
或aa1n
64又 2
Sn
a1 anq 1 q
126
q
1 ，n 2
6
所以n 6, q 2或 1 2
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q， Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方 程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝ 63 . 解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列， ∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，
1×1－26 ∴S6＝ 1－2 ＝63.
3 达标检测
(2)在 14 与78之间插入 n 个数，组成所有项的和为787的等比数列，求此数列的 项数.
解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，
78＝14qn＋1， 则787＝114－－q78q，
故此数列共有5项.
等比数列的前n项和
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－ 12＋212＋213＋…＋21100
＝12＋213＋…＋2199－12＋212＋…＋21100 ＝1321100－1. [答案] (1)C (2)①－116 ②1321100－1
求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件． (2)分清是 an 与 an＋1 的关系，还是 an 与 Sn 的关系． (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意 an＝Sn－Sn－1 (n≥2，n 为正整数)在 an 与 Sn 的关系中的应用． (4)整理求解．
1，则S奇S－偶 a1＝q.
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－ S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0， q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0， q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．
na1q＝1， a111－－qqnq≠1
Sn＝
na1q＝1， a11－－aqnqq≠1
[点睛]
在应用公式求和时，应注意到Sn＝
a11－qn 1－q
的使用
条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
2．等比数列前n项和的性质
(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则
S偶 S奇
＝q；若项数为2n＋
等比数列的前 n 项和
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？ (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？ (3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？ (4)等比数列前n项和的性质有哪些？
等比数列基本的5个公式
等比数列基本的5个公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，其通项公式和求和公式等是解决等比数列问题的基本工具。
下面我们将介绍等比数列的五个基本公式，并详细解释它们的意义及应用。
1.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式表示第n个项（a_n）与首项（a_1）和公比（r）之间的关系。
通项公式如下：a_n=a_1*r^(n-1)解析：首先，等比数列的首项记作a_1，而第n个项记作a_n。
其次，公比r表示一个项与前一项之间的比值。
根据等比数列的特点，第n个项与首项之间的比值为r^(n-1)。
所以，等比数列的通项公式即为a_n=a_1*r^(n-1)。
这个公式非常重要，它用于计算等比数列中任意一项的值。
我们可以通过已知等比数列的首项和公比，利用该公式求解其他项的值。
2.等比数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式表示等比数列的前n项求和的结果。
前n项和公式如下：Sn=a_1*(1-r^n)/(1-r)解析：Sn表示等比数列的前n项和。
首先，等比数列的首项记作a_1，而公比r表示一个项与前一项之间的比值。
其次，等比数列的前n项和可以通过首项和公比相乘的方式，再根据公比的幂次进行调整，求得最终结果。
上述公式即为等比数列前n项和公式的表达式。
等比数列的前n项和公式在实际应用中非常常见。
例如，当我们需要计算一定时间内的累积利润、收益等等时，可以使用此公式来得到答案。
3.等比数列的无穷项和公式：等比数列的无穷项和公式表示等比数列的所有项的求和结果。
无穷项和公式如下：S∞=a_1/(1-r)解析：S∞表示等比数列的无穷项和。
首先，等比数列的首项记作a_1，而公比r表示一个项与前一项之间的比值。
其次，等比数列的无穷项和是指将等比数列的所有项相加的结果。
上述公式即为等比数列无穷项和公式的表达式。
等比数列的无穷项和公式也是非常重要的一种公式。
在一些场景中，我们需要计算无穷项和，即对一些数据进行无限次的累加。
通过该公式，我们可以轻松计算出无穷项和的结果。
等比数列的前n项和
解： a1 1, q 2, 4 1 (1 210 ) 1 (1 2 ) 1023 . S4 15. S10 1 2 1 2
课堂小结
1、求和公式
当q=1时，
a1 (1 q ) 当q≠1时， Sn 1 q
n
Sn na1
练习2. 求等比数列
1，2，4，…从第5项到第10项的和.
. 从第5项到第10项的和: S10 S4 102315 1008 3 3 3 练习3. 求等比数列 , , , 从第3项到第7项的和. 2 4 8 7 3 1 1 3 1 2 解： a1 , q , S 2 381. 7 2 2 1 128 1 2 3 3 381 9 153 从第3项到第7项的和: S7 .
2
有何关系？ n 1
两式相减，得 （ q）Sn a1 a1q n 1 a1 (1 q n ) 当q≠1时 S n 1 q 当q=1时 Sn na1
• 思路2（利用定义）
a3 an a2 q 等比数列定义： a1 a2 an 1 与 Sn 什
么关系？
由等比定理，得
根据通项公式， n a1 a2 an可表示为 S S n a1 a1q a1q a1q
2 n 1
若将此式两端同乘以q, 所得式子与原式比较: 此式相邻两项
当q=1时， Sn=?
S n a1 a1q a1q a1q 2 n1 n qSn a1q a1q a1q a1q
等比数列前n 项和公式
公式１：
a1 (1 q ) Sn 1 q na 1
2.5等比数列前n项和公式
a1q .
n1
⑴
⑴×q, 得
qSn
⑴－⑵，得
由此得q≠1时，
a1q a1q2 a1qn2 a1q n1 a1qn . n 1 q Sn a1 a1q ,
a1 1 q Sn 1 q
⑵
n
说明：这种求和方法称为错位相减法
当q≠1时，
解： 1) a1 a3 2 (
q 2 1 q 1 即
当q 1时，数列为常数列 2， 2， ，所以S n na1 2n 2，
当q 1时，S n
a1 (1 q n ) 1 q
2[1 ( 1) n ] 1 ( 1)
1 (1) n
1 (2) q 2, n 5, a1 2
a1 a(1 10%) 1.1a，q 1 10% 1.1，n 10
所以S10
1.1a(11.110 ) 11.1
1.1a (1.110 1)
答：从今年起 年内该家电厂的销售总 10 量是1.1a(1.110 1)万台 .
②
若a1 64, an 2, 则同理可得q
1 2
,n 6
综上所述, n 6, q
1 2
或2
3、某家电厂去年的销售量是a万台，计划在以后10内 每一年比上一年增加10%，问从今年起10年内该家电 厂的销售总量是多少万台?
解：由题意得，从今年 起，每年家电厂的销售 总量组成等比数列。
2.5.等比数列的前n项和
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
(2) 通项公式:
(3)a, G, b
an+1 an =q (定值) an=a1• q n-1 (a 0, q 0).
等比数列的前n项和公式
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列: aann+1=q (非零常数) (2) 通项公式: an=a1• q n-1 (a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am• qn-m m+n=p+q an •am = ap •aq
等比数列的
当 q 1时,
通项公式
an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列
Sn na1.
例：写出等比数列1，−3，9，−27，…的前 n项和公式, 并求出数列的8项的和．
刚才学习 了等比数列求 和公式哦
Sn
a1
1 qn 1 q
消去中间项
求等差数列 {an} 的前n项和用了 倒序相加法
即
Sn a1 a2 L an
两式相加
Sn an an1 L a1
而得 Sn
对于下式是否也能用倒序相加法呢？？
S64 1 2 22 L 262 263
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
2 22 23
263 264
Sn a1 a1q a1q2 L a1qn2 a1qn1
两边同时乘以 q为
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3 L a1qn1 a1qn
4
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
求等比数列 1 , 1 , 1 ,L
等比数列前n项求和公式
等比数列前n项求和公式
等比数列前n项求和公式是数学学习中常用到的求和公式，它可以用来计算等比数列前n项的总和。
等比数列是一种特殊的数列，它的每一项均是上一项的一定倍数，即满足“每一项与前一项的比值相等”的数列称为等比数列。
其中，该数列的比值称为公比，一般记作q。
等比数列前n项的求和公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为该数列的第一项，q为公比，n为该数列的项数。
其中，当q = 1时，公式可变为Sn=a1n，即等差数列前n项求和公式；当q = 0时，公式变为Sn=a1，即当数列中只有一项时，其求和即为其自身。
等比数列前n项求和公式可以用来计算带有增幅的数列的总和，只要求出第一项a1和公比q，就可以计算出该数列前n项的总和。
等比数列前n项求和公式在日常生活中有着广泛的应用，如积分计算、投资计算、贷款计算等等，它可以帮助我们更准确、更快速地计算出所要求的数据，为我们解决许多复杂的计算问题提供了有效的方法。
总之，等比数列前n项求和公式在数学学习和日常生活中有着重要
的地位，它既可以让我们更准确的计算数据，也可以让我们更加熟练的掌握数学知识，掌握这一公式将会为我们的学习和生活带来更多的便利。
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自选课题：等比数列的前n项和教学设计1．教学内容解析本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中．数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值．课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用．等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。
基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。
2.学生学情分析本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。
基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。
3. 教学目标设置（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。
（3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。
4. 教学策略分析等比数列前n 项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的“错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。
有鉴于此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，营造不一样的课堂．“让学习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围，在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。
教学流程：5．教学过程设计环节一：演史剧，发现等比数列提出问题学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串：问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？生1：首项为1，公比为2的等比数列问题2：铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？生1：可以看成是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和即2631222++++师：2631222++++等于多少，逐项相加吗？ 生2：项数多，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律 师：如何找规律？请大家尝试一下.生3：我是这么想的，计算出123451371531S S S S S =====，，，，，发现它们都是21n -的形式，因而我猜想646421S =-.【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。
情境性“问题串”设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（1）涉及未知领域，能启动学生思维；（2）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；（3）基于学生已有的知识水平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主探究，让学生等比数列前n 项求和公式 猜公式 证公式 用公式在解决问题中顿悟，提高学习新知的能力.环节二：试猜想，提炼等比求和公式师：若将公比变为q ，项数变为n ，你觉得211n q q q -++++的结果是？生4：1n q -生5：我觉得生4不对，很明显如果3q =，2n =时，结果就不对．师：说明我们仅由2q =的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成以下表格？211333nX -=++++ 11444nY -=++++ 师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？生6：21111n n q q q q q --++++=- 师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？生7：我觉得不能代表1q =时的求和公式，当1q =时，由于相同数的累加即为乘法，很容易得出结果为n .师：若将首项改为1a ，你能计算出112111-++++=n n q a q a q a a S 的结果吗？生8:可以观察发现每项都有1a 提取公因式1a 变为)1(121-++++=n n q q q a S 即可转化为刚刚的问题.师：那么等比数列求和公式是什么？生9：：1=q 时数列的每一项都相等，11111na a a a a S n =++++= ，当1≠q 时， 112111-++++=n n q a q a q a a S 1)1()1(1121--=++++=-q q a q q q a n n 师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？生10：分段函数，即⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q q q a q na S n n 【设计意图】本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前n 项和公式．通过对棋盘故事的深入探讨，从公比为2，到公比为3,4直至公比为q ，这样从具体到抽象，由特殊到一般符合教学的一般规律，让学生真正意义上参与到公式的猜想中去，感受知识的生成过程．环节三：巧变形，证明等比求和公式师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前n 项和公式．（板书公式）师：猜想是创新能力的一部分，同学们刚才的猜想思维活跃，灵活有序，表现太精彩了，这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：不可靠）数学是一门严谨的学科，任何公式的猜想都需要严格的推导和证明．下面请同学们结合课前的预习，将自主探究的成果在小组内分享和交流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程．（等待1-2分钟）生11：通过预习课本，我知道了错位相减法，这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在《代数学基础》中采用的．具体做法如下11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S两边同乘以q 得n n n q a q a q a q a q a qS 11131211+++++=- 往后错一位相减可得)11)1(1≠--=q qq a S n n （其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？ 生12：我有点困惑，为什么想到两边同乘以q 呢？生11：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的q 倍，乘以q 后前一项就变成了后一项，那中间很多项相同了，这样就可以达到消项的目的，只剩下很少的几项，就可以运用累加法．生13：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以q ，那么我觉得两边同乘以q1． 师：大家觉得行吗？还可以乘以什么生14：乘以q -也可以.师:很好，往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间的很多项，看来你们已经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？生15：我用的是掐头去尾法，这种方法是18世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的具体做法如下：2111112111--+++=-+++=-n n n n n q a q a a a S q a q a q a a S ， 发现)(1n n n a S q a S -=-化简可得)11)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n （ 师：也很好，其他小组有没有需要补充的？学生16：我们小组成员也另外一种不同做法，提取因式法，这种方法的原理古埃及人和印度人早已掌握，但他们没有我们今天的代数符号，古埃及人未能获得求和公式．受古人原理的启发，我们的具体做法如下：1121111112111)(---+=++++=++++=n n n n qS a q a q a a q a q a q a q a a S再利用n n n a S S +=-1相当于两个方程解两个未知数，可以得到)(1n n n a S q a S -+=从而求出qq a q q a a S n n n --=--=1)1(111 师：这个推导过程，有没有细节上的问题？生17：第一个公比不能等于1，还有证明中用到了n n n a S S +=-1要强调n 大于等于2. 师：方法巧妙，补充也很正确，同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节．还有没有不同的想法的？生18：我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下： 根据等比数列的定义)212312≥====-n q a a a a a a n n （ ，再利用合比定理可以得到q a S a S q a a a a a a a a nn n n n =--=++++++++-11321432可得 从而求出)11)1(111≠--=--=q q q a q q a a S n n n （我们惊喜的发现，这种方法古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中用过．师：很好，观察很仔细．同学们刚才展示了四种不同时期不同数学家的证明方法，请同学们相互之间再交流下，你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？生19：我觉得第1种方法用到了方程的思想，得到关于1-n n S S 与的两个方程来求n S 生20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义．师：同学总结的都很好，其实四种方法都用了等比数列的定义．在数学发展史上一些伟大的数学结论都来源一些经典的猜想和数学家呕心沥血，前仆后继的不断思考，探究和证明．今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程，所有数学发现都为我们实际应用带来了巨大的方便．【设计意图】本环节的目的是让学生收集资料证明公式，深入挖掘公式背后的隐性价值．让学生质疑，提炼本质，重视细节．其中错位相减法这种消项的方法也是后面解决差比型数列求和的一种有效方法，而等比定理法也对合分比性质做了一个巩固，当然这其中还有很多的证明方法，如裂项等；并从中感受对公式变形的本源性思想。