南京大学统计学 ch4概率分布与中央极限定理1课件
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率统计大数定律与中心极限定理课件
在样本量较大时，利 用大数定律证明统计 量的收敛性和稳定性 。
在样本量较大时，利 用大数定律提高估计 的准确性。
03
中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯定理
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊形式，它描 述了当试验次数趋于无穷时，二项分布的累积分布函数收敛 于正态分布。
棣莫弗-拉普拉斯定理指出，当试验次数n足够大时，二项分 布B(n,p)的累积分布函数近似于正态分布N(np, np(1-p))，其 中p是成功概率。这个定理在概率论和统计学中有着广泛的应 用，因为它提供了二项分布和正态分布之间的联系。
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中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学、金融、社会学等领域有着广 泛的应用，它帮助我们理解大量数据的分布规律和预 测未来的趋势。
中心极限定理的应用非常广泛。在统计学中，它用于 分析样本数据并推断总体特征，如计算置信区间和假 设检验。在金融领域，中心极限定理用于分析股票价 格、收益率等金融数据的分布，从而进行风险评估和 投资决策。在社会学中，中心极限定理用于研究人口 普查、选举投票等数据的分布规律，以了解社会现象 和预测未来趋势。此外，中心极限定理还在许多其他 领域中有着广泛的应用。
离散型随机变量
离散型随机变量的取值是 离散的，其概率分布可以 用概率质量函数或概率函 数表示。
连续型随机变量
连续型随机变量的取值是 连续的，其概率分布可以 用概率密度函数表示。
02
大数定律
弱大数定律
弱大数定律定义
在独立同分布的随机试验中，随 着试验次数的增加，样本均值的
期望值趋近于总体均值。
弱大数定律的证明
的结论。
区别
大数定律主要研究随机变量的平均值的稳定性，即当随机变量的数量趋于无穷大时，它们的 平均值将趋近于某个常数。而中心极限定理则研究随机变量和的分布特性，即当独立同分布 的随机变量数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
概率论教学课件第五章5.3中心极限定理
DX
(20 3) (20 3)
2(20 3) 1 0.997
(20 3) 0.9985, 查表：20 3 2.97,因此=0.086.
故所求误差范围为0.086，0.086.
10
中心极限定理之所以重要的第一原因： 在理论上非常深刻，以至于被说成是概率论 中的第一定理．
*例5.7 设Xn , n 1 独立同分布的r.v.
n
n
)
6
当n充分大时,
n
~ Xi n 近似地
Yn i1 n
N(0, 1)
~ n
近似地
X Xi nYn n
N (n, n 2 )
i 1
7
补充例题：
为计算简便记，在进行加法运算时，对每个加数 都四舍五入取到百分位，其各加数的舍入误差可以认 为服从区间 0.5102, 0.5102 上的均匀分布,且相 互独立。现有100个数相加，求 0 使得误差总和
解 每次试验成功(病人痊愈)的概率为 0.25，用X表示100个病人中痊愈的人数，则
X ~ B100, 0.25 .
于是
27
PX
35
P
X
EX DX
35 25 25 0.75
1 2.31 1 0.9896 0.0104.
可见，如果新药完全无效，要想通过试验 被认为有效的概率是微乎其微的．
为极限分布.
~ 分
大
实际应 ,即 有
用 中 ,若 随 机
n np 近似地
npq
变 量 n
N (0,1)
~ B(n, p) ,只 要 n 充
近似地
, n ~ N np, npq .
P{a
n
b}
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
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16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
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8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
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3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
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4
方差的概念
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10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
13
常见连续型分布的数学期望 (5) 区间(a,b)上的均匀分布
随机变量X的概率密度为
于是
14
(6)正态分布N(μ,σ2 ) 随机变量X的概率密度为
( y )
则
E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))
j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
23
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn ) Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
20
一种方法是，因为g(X)也是随机 变量，故应有概率分布，它的分布 可以由已知的X的分布求出. 一旦我
们知道了g(X)的分布，就可以按照 数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.
21
使用上述方法必须先求出随机变量 函数g(X)的分布，有时是比较复杂的 .
那么是否可以不先求出g(X)的分布而 只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
np C p (1 p)
k 0 k n 1 k
n 1
( n 1)k
np
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式 两边同时对x求导数得到。
| x| 发散 但 | x | f ( x)dx dx 2 (1 x )
南京大学统计学课件 ch4概率分布与中央极限定理1
4-26
第一节概率随机变量与概率分布第二节正态分布与标准正态分布第三节中央极限定理42离散型随机变量二项分布卜瓦松分布泊松分布多项分配卡方分布连续型随机变量正态分布分布43曲线的位置形态的高低宽窄由其平均数与标准差来决定个标准差之间都有一定比例的面积44正态分布曲线图45三个不同的正态分布曲线图46正态分布曲线面积分布47正态曲线下的概率分布钟形曲线涵盖面积定为100对称性曲线尾端趋近于于x轴以及平均数到k个标准差的区间有一定比例的面积平均数为0标准差为标准正态分布仅有一个49196410296411115412165165115065196196115215225300413与各自班上的同学相比谁考得比较好呢
甲生的成绩要比93.32%学生的成绩 学生的成绩 甲生的成绩要比 来得高， 来得高，而乙生的成绩则仅超过 15.87%的学生 。 的学生
4-15
如果某市女性平均身高为1.5米 标准差 米 如果某市女性平均身高为 米，标准差0.2米
p (1.3 < x < 1.5) p (1.5 < x < 1.8) p (1.8 < x < 2) p (1.2 < x < 1.3) p (x < 1.2) p (x > 2)
4-3
正态分布曲线图
4-4
三个不同的正态分布曲线图
4-5
正态分布曲线面积分布
4-6
正态曲线下的概率分布
x ±1s.d. − 68.3% x ± 2s.d. − 95.4%
x ± 3s.d. − 99.7%
4-7
标准正态分布
标准正态分 标准正态分布的特质
钟形曲线，涵盖面积定为 钟形曲线，涵盖面积定为100%，对称性，曲线 ，对称性， 尾端趋近於于X 以及平均数到k 尾端趋近於于 轴，以及平均数到 个标准差的 区间有一定比例的面积 平均数为 0，标准差为 1 ， 标准正态分布是由 z 分数所组成 标准正态分布仅有一个
大学课件-概率论之大数定律和中心极限定理
若D(X)存在，则对任意常数 >0，有
P( | X E( X ) | ) D( X ) 2
证明：用 (X E(X ))2将马尔科夫不等式中的X替代，
用 2代替
P(( X
E(X
))2
2)
E(X
E(X
2
))2
P(|
X
E(X
)
|
)
D( X
2
)
定理5.1.1 （切比雪夫弱大数定律）
证明：由X1, X 2, ，的独立性有
X
，
i
由511或512都可推得： lim P(| vn p | ) 0
n
n
例 设1,2 , ,n为一个相互独立的随机变量
序列，其中
P(n
2n )
1 22n1
,
P(n
2n )
1 22n1
,
P(n
0)
1
1 22 n
(n 1, 2,3,.....)
证明：序列{n}服从大数定理。
证：1,2 , ,n为一个相互独立的随机变量序列
D( Xk )
k 1
则称X1, X 2 , X n 服从中心极限定理
定理5.2.1 林德伯格—莱维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数
学期望为, 方差为 2>0，则{Xn}服从中心极
限定理，即
lim
n
P
1
n (X1 X2
Xn
n)
x
1
x t2
e 2 dt
2
说明：和函数 Yn=X1+X2+…+Xn
P(t1
vn
t2 )
P
概率论与数理统计课件：极限定理
n
n k 1
1 n
P
即 X k
n k 1
极限定理
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1 n
1 n
1 n
证： E ( X k ) E ( X k )
n k 1
n k 1
n k 1
1 n
1
D( X k ) 2
n k 1
n
n
1
1 2
2
D ( X k ) 2 n
极限定理
第一节 大数定律
第二节 中心极限定理
极限定理
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第一节 大数定律
一、问题的背景
二、随机变量序列的收敛性
三、常用的大数定律
极限定理
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§5.1
大数定律
5.1.1 问题的背景
在实践中，人们发现，在随机现象的大量重复
出现中，往往呈现出必然的规律性. 即，要从随机现
象中去寻求规律，应该在相同的条件下观察大量重
就会得到
σ= −
~ ,
即独立同分布随机变量的算术平均近似地服从正态
分布，这是大样本统计推断的理论基础。
极限定理
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例2 已知某高校的在校学生数服从泊松分布，期望
为100.现开设一门公共选修课，按规定，选课人数超过
120人（含120人）就需分两个班授课，否则就一个班上
=1−
24
=0.0228
24
= 0.9772 = 2
∴ =12
84 − 72
60 − 72
60 ≤ ≤ 84 =
统计基础二大数定律与中心极限定理PPT课件
第10页/共28页
[例题1] 中心极限定理应用模拟
让我们用MINITAB产生一些模拟的数据来验证我们的理论。 首先用MINITAB产生9列各250个数据，假设这些数据来自一个
平均值=70、标准偏差=9的正态分布: 则列C1-C9 代表白色纸条 然后求出各行9个数据的平均值，其结果放在列C10，则 C10代表绿色纸条。 我们用描述统计的方法求出各列数据的平均和标准偏差。
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1、用Chi-Square分布随机产生9列，每列各有250个数据
第22页/共28页
2、用产生的数据进行点图描绘和正态检验
在这里看到，这是一个很偏移的分布， 我们用它来验证中心极限定理
99.9
99
95
Dotplot of C9
90
80
Percent
70 60 50 40 30
20
独立同分布中心极限定理：
“随机变量x1，x2，…独立，且服从同一分布， 若存在有限的数学期望E(xi)=u和方差D(xi)=σ2， 当n→∞时，随机变量的总和Σxi趋于均值为nu，方差为n σ2的正态分布。 （即算术平均数1/n Σxi=xbar趋于均值为u，方差为σ2/n的正态分布）”
➢ 不论总体服从何种分布，只要它的数学期望和方差存在， 从中抽取容量为n的样本，则这个样本的总和或平均数是随机变量， 当n充分大时， Σxi或 xbar趋于正态分布。
C4
250 71.108 0.577 71.120 9.125 70.722
C5
250 70.398 0.542 70.402 8.574 70.105
教学课件PPT
概率论与数理统计第5章大数定律和中心极限定理人们在长期的实践中发现◆事件发生的频率具有稳定性◆随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定在一个确定的常数(概率值)附近频率的稳定性是概率定义的客观基础◆在第一章中我们从直观上描述了这一事实本章将用大数定律对频率的稳定性作出理论上的说明◆中心极限定理是讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理.◆我们知道正态分布有一个重要的性质：相互独立的正态随机变量的和仍是正态随机变量◆中心极限定理将给出概率论中的另一个重要结果:在一定条件下，充分多个相互独立的非正态随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布．◆大数定律和中心极限定理无论在应用上还是理论上都具有极其重要的作用．【吸烟率调查问题】某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p,将被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计.现在要保证有90%以上的把握,使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%.问至少要调查多少对象？本章主要内容◆§5.1大数定律◆§5.2中心极限定理◆对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均具有稳定性.◆这类稳定性是在对随机变量进行大量重复试验条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时出现的规律统称为大数定律．◆首先来引进证明大数定律所需要的预备知识:切比雪夫（Chebyshev）不等式．【定理5.1】设随机变量X 的数学期望E (X )及方差D (X )都存在，则对于任意正数ε，有不等式即成立．称上述不等式为切比雪夫(Chebyshev)不等式．2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥-【定理5.1】设随机变量X 的数学期望E (X )及方差D (X )都存在，则对于任意正数ε，有不等式证：（仅对连续型随机变量进行证明） 设f (x )为X 的概率密度，则.⎰≥-=ε)()(X E x dx x f ⎰+∞∞--≤dx x f X E x )()]([122ε}|)({|ε≥-X E X P ⎰≥--≤εε)(22)()]([X E x dx x f X E x )(12X D ⨯=ε.)(2εX D =2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥-⎰∞∞--dx x f X E x )()]([2【定理5.1】从定理中可以看出，◆如果D (X )越小，那么随机变量X 取值于开区间(E (X )–ε，E (X )+ε)中的概率就越大◆此定理进一步说明方差是一个反映随机变量在其分布中心E (X )附近集中程度的数量指标◆利用切比雪夫不等式，可以在随机变量X 的分布未知的情况下估算概率值的界限2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥-【例5.1】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试估计及格率至少为多少？解：用随机变量X 表示学生成绩，则数学期望E (X )=80，方差D (X )=100，所以P {60≤X ≤100}≥P {60<X <100}=P {|X –80|<20}所以及格率至少为75%．2)20(1001-≥%7575.0==切比雪夫（Chebyshev,1821—1894）◆俄国数学家，机械学家◆他左脚生来有残疾，童年时代经常独坐家中，养成了在孤寂中看书和思索的习惯，并对数学产生了强烈的兴趣，特别对欧里几得的《几何原本》中关于没有最大素数的证明所深深吸引◆1846年以论文《试论概率论的基础分析》获硕士学位◆1849年他以论文《论同余式》获得彼得堡大学博士学位，并获彼得堡科学院的最高数学荣誉奖◆1859年当选为彼得堡科学院院士切比雪夫（Chebyshev,1821—1894）◆1872年彼得堡大学授予他功勋教授称号，1890年他荣获了法国荣誉团勋章◆切比雪夫在数学的很多方面及其邻近的学科都做出了重要贡献，在数学中以他的姓氏命名的有：切比雪夫集、切比雪夫交错、切比雪夫点、切比雪夫结点，….◆教学成就卓著他在彼得堡大学执教35年间，先后主讲十余门课程他的学生：李雅普诺夫、马尔可夫、格拉韦，…◆1944年，苏联科学院设立了切比雪夫奖金【定义5.1】设X 1，X 2，…，X n ，…是一随机变量序列，a 是一常数，若对任意正数ε，有则称序列X 1，X 2，…，X n ，…依概率收敛于a .记为注：若当n 充分大时，X n 以很大的可能性接近于a ，这种接近是“概率意义下的接近”，与微积分中数列收敛中的“接近”不同.1}|{|lim =<-∞→εa X P n n )(∞→→n a X Pn ),(∞→→n a X Pn【定理5.2】（切比雪夫大数定律）设X 1,X 2,…,X n …是相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E (X i )=μ及方差D (X i )=σ2(i =1,2,…)，则依概率收敛于μ，即对于任意正数ε，有证：∑==n i i X n E 1)1(∑==n i i X n D 1)1(∑=n i i X E n 1)(1μμ=⋅=n n 1∑==ni i X D n 12)(122211σσn n n =11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P )(11∞→−→−∑=n X n P ni i μ【定理5.2】（切比雪夫大数定律）设X 1,X 2,…,X n …是相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E (X i )=μ及方差D (X i )=σ2(i =1,2,…)，则依概率收敛于μ，即对于任意正数ε，有即证：由切比雪夫不等式}|1{|1εμ<-∑=ni i X n P ./122εσn -≥2)(1}|)({|εεX D X E X P -≥<-≥111lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμni i n X n P ,)1(1μ∑==n i i X n E 211)1(σn X n D n i i ∑==定理得证!【定理5.2】（切比雪夫大数定律）◆定理5.2表明，当n 充分大时，随机变量序列的算术平均接近于数学期望E (X i ) = μ，这种接近是概率意义下的接近．◆通俗地说，在定理条件下，n 个相互独立同分布随机变量的算术平均值，当n 无限增大时，几乎变成了一常数.◆这一定理从理论上说明了大量观测值的算术平均具有稳定性，为实际应用提供了理论依据．11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P )(11∞→−→−∑=n X n P n i i μ【定理5.2】（切比雪夫大数定律）◆这一定理从理论上说明了大量观测值的算术平均具有稳定性，为实际应用提供了理论依据．◆例如，在进行精密测量时，人们为了提高测量的精度，往往要进行若干次重复测量，然后取测量结果的算术平均值．11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P )(11∞→−→−∑=n X n P n i i μ【定理5.3】（伯努利大数定律）设n A 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε，有即(5.4)证：引入随机变量X i （i =1，2，…）：则其中X i 相互独立且均服从参数为p 的0-1分布，且有E (X i )=p ，D (X i )=p (1–p )，i =1，2，…，n1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n )(∞→−→−n p n n P A ⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i A i X i ,0,1),(~21p n B X X X n n A +++=【定理5.3】（伯努利大数定律）设n A 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε，有即(5.4)证：且有E (X i )=p ，D (X i )=p (1–p )，i =1，2，…，n ◆由定理5.2得◆即1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n )(∞→−→−n p n n P A 11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P 11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εp X n P n i i n 1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n ),(~21p n B X X X n n A +++=【定理5.3】（伯努利大数定律）设n A 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε，有即(5.4)说明：◆伯努利大数定律表明事件A 发生的频率n A /n 依概率收敛于事件A 发生的概率p ．◆这也正是在大量重复独立试验中，频率n A /n 接近于概率p 的真正含义,也就是我们所说的频率稳定性的真正含义．1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n )(∞→−→−n p n n P A【定理5.4】（辛钦大数定律）设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E (X i )=μ(i =1，2，…)，则依概率收敛于μ，即◆辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E (X )的近似值的方法．◆设想对随机变量X 独立重复地观测n 次，得到结果X 1，X 2，…，X n ，它们应该是相互独立，且均与X 同分布的.∑=n i i X n 11)(11∞→→∑=n X n p ni i μ【定理5.4】（辛钦大数定律）◆设想对随机变量X 独立重复地观测n 次，得到结果X 1，X 2，…，X n ，它们应该是相互独立，且均与X 同分布的.◆所以在E (X )存在的条件下，按照辛钦大数定律，当n 足够大时，可以把的观察值作为E (X )的近似值.◆这样做的好处是不必去管X 的分布究竟是怎样的，目的只是寻求随机变量的数学期望.◆辛钦大数定律是数理统计部分中点估计理论的重要依据.)(11∞→→∑=n X n p ni i μ∑=n i i X n 11【例5.3】设随机变量X 1，X 2，…，X n 独立同分布，且存在，令则 证：因为X 1，X 2，…，X n 独立同分布，所以独立同分布.又存在，由辛钦大数定律),2,1(,11 ==∑=k X n A ni k i k ).(,∞→−→−n A k P k μk nk k X X X ,...,,21k k i X E μ=)(k P n i k i k X n A μ−→−=∑=11),,2,1()(n i X E k ki==μ)(11∞→→∑=n X n p ni i μ小结◆切比雪夫不等式◆大数定律：)(11∞→−→−∑=n X n P n i i μ)(∞→−→−n p nn P A 切比雪夫大数定律伯努利大数定律)(11∞→−→−∑=n X n P n i i μ辛钦大数定律2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥-作业第123页：三、1,2。
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• 标准正态分布是由 z 分数所组成
• 标准正态分布仅有一个
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以标准正态分布表求概率
• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +1.00 ▪ -1.00 ▪ -1.65 ▪ +1.96
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率分布受到“自由度”（degree of freedom）的影响
• t 分布通常适用于小样本 （< 120）
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第三节 中央极限定理
• 定理的内容：如果从一个无限大的母体中抽样，样
本数为n ，假定所有样本数为n的样本都被抽出来
第四章 概率分布与中央极限定理
• 第一节 概率、随机变量与概率分布 • 第二节 正态分布与标准正态分布 • 第三节 中央极限定理
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第一节 概率、随机变量与概 率分布
• 概率与概率分布
• 随机变量
• 离散型随机变量 二项分布 卜瓦松分布（泊松分布） 多项分配 卡方分布
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样本•平某班均组数5个的工人分的日布工资
为34、38、42、46、50 元。
• = 42
• 2 = 32
• 现用重置抽样的方法从5 人中随机抽2个构成样本。 共有52=25个样本。如右 图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
• 甲生的成绩要比93.32%学生的成绩来 得高，而乙生的成绩则仅超过15.87% 的学生 。
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• 如果某市女性平均身高为1.5米，标准差0.2米
• p (1.3 < x < 1.5) • p (1.5 < x < 1.8) • p (1.8 < x < 2) • p (1.2 < x < 1.3) • p (x < 1.2) • p (x > 2)
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正态曲线下的概率分布
x 1s.d. 68.3%
x 2s.d. 95.4%
x 3s.d. 99.7%
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标准正态分布
• 标准正态分布的特质
• 钟形曲线，涵盖面积定为100%，对称性，曲线尾端趋近
於于X 轴，以及平均数到k 个标准差的区间有一定比例的
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t 分布 • t 分布与正态分布有许多相像之处：钟形曲线，对称分 布，曲线两边的尾端趋近于 X 轴
• 当样本数够大（大于 120），两者的概率分布几乎完全 相同
• 平均数为 0
• 有许多 t 分布曲线 • 但是 t 分布与正态分布最大的不同点在於于t 分布的概
• 连续型随机变量 正态分布
t 分布
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第二节 正态分布与标准正态分 布
• 正态分布的特质
• 钟形曲线 • 全部面积定为100% • 曲线的分布是对称的
• 曲线两边的尾端趋近于X轴
• 有许多正态分布曲线 • 曲线的位置，形态的高低宽窄由其平均数与标准差来决
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• 求下列Z 值间的概率
▪ -1.65 与 +1.65 ▪ -1.15 与 +0.65 ▪ -1.96 与 +1.96 ▪ +1.15 与 +2.15 ▪ -2.25 与 -3.00
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• 例 1:甲乙两生不同期中考
xA 50 xB 80 S A 6.5 SB 5 甲 60 乙 75
样本平
均数 X
34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本
46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平
均数 X
40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
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• 100人参加赛跑。跑完全程的平均时间是42分钟， 标准差是9分钟。
• 有多少人不到30分钟就跑完全程? • 有多少人不到60分钟就跑完全程? • 有多少人是在30分钟到60分钟跑完全程? • 有多少人至少花了60分钟才跑完全程? • 第十名花了多少时间跑完全程? • 最慢的百分之二十至少花了多少时间才跑完全程? • 排名第95百分位的参赛者花了多少时间才跑完全程?
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• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +2.00 ▪ +2.52 ▪ -0.33 ▪ +3.12 ▪ -2.96
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• 求下列大于（或小于）Z 值的概率
▪ +1.00 ▪ -1.65 ▪ -0.50 ▪ -1.00 ▪ &中央极限定理1
定
• 从曲线的平均数到 k 个标准差之间，都有一定比例的面
积
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正态分布曲线图
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4
三个不同的正态分布曲线图
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正态分布曲线面积分布
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• 与各自班上的同学相比，谁考得比较好呢？
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• 甲生:
Z6 050 1.5s4.adb. otv hm eean • 乙生: 6.5
Z7 580 1s.adb. otv hm eeean 5
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• 换言之，
（也就是有K套样本），并计算其平均数，在样本
数够大的情况下，这K个样本平均数会非常接近正
态分布，而且这些样本平均数的平均数会等于母体
平均数，这些样本平均数的标准差（也称为标准
误 ）会等于 。
sx
n
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20
• 中央极限定理 :
x
sx n
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