矩阵论(2016研究生) 百度文库第2版, 杨明、刘先忠编著

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矩阵论第1章

例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质．（1）反身性每一个向量组都与它自身等价；（2）对称性如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价；（3）传递性如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都有 0 ，称 0 为零元素；（ 4 ） ( 有负元 ) 对任何 V ，都有元素 V ，使
0 ，称为的负元素，记为；
所以在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T

矩阵论第二版杨明

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间（1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=；（4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解：（1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而 ()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

矩阵论

定义3.9 如果方阵A满足AH A=E，则称A为一个酉矩定义阵. 例如，矩阵
2 i 1 A= 2 −i 1
是一个酉矩阵. 正交矩阵是酉矩阵的特例，即当实矩阵A为酉矩阵时， A是正交矩阵. 酉矩阵有与正交矩阵平行的一系列性质：性质1 方阵A为酉矩阵的充分必要条件是A-1= AH ；性质性质2 性质若A为酉矩阵，则-A，A ， AT， AH(A-1)也是酉矩阵；性质3 性质若A,B都是n阶酉矩阵，则AB也是n阶酉矩阵；性质4 若A为酉矩阵，则|A|的值是模为1的复数. 性质
列 j行 i列 i列 j行; i列; i列;
P[i, j (k )]左乘A等于将A的第右 2°以 P[i, j ]左右
之k倍加于第
3°以
乘A等于互换A的i,j两行.; . 列
二、向量组的线性相关性
线性相关：对 α1 , α2 ,⋯ , αs ，若有不全为 0的数k1，k2, …，ks，使（*） k1α1 + k2 α2 + ⋯ + k s αs = 0 线性无关 ⇔ α1 , α2 ,⋯ , αs 不相关
1.3多项式的整除性
1.4多项式的根与标准分解
第2 节方阵的特征值与特征向量一.特征值与特征向量的概念
定义2.1 对于n 阶矩阵A=(aij),其主对角线上n个元素定义之和a11+a22+…+ann称为A的迹，记为trA. 迹定义2.2 对于n 阶矩阵A=(aij),把含有字母λ的矩阵定义轾 a11 - a12 L λ- a1n 犏犏 a21 λ - a22 L - a2n (3) λE λE - A = 犏犏M M M 犏犏a - an2 L λ - ann 臌 n1 称为A的特矩阵. 行列式 |λE- A|的值表达式 ψ(λ) 是一个多项式，称为A的特征多项式.特征多项式的根称为的特征值，亦称为特征根. 如果是特征多项式的单根，则称为单特征值，否则称为重特征值

第二章矩阵论

例设 H I n 2uu H , u C n ,且变换 H 2uu H , 则
uH u 1
,定义
H , H 2uu H , 2uu H
H 2 H uu H 2uu H H ,
例设欧氏空间P3 x 中的内积定义为
f x , g x
1 1
f x g x dx ,
f x , g x P3 x
取 f1 x x ，构造子空间 W Span x ， W 的一组正交基；（1）求（2）将 W 分解为两个正交的非零子空间的和。
, 也是 R 2 的内积。可验证这样定义的
例3 对 f x , g x C a, b ，定义内积为
f x , g x
b a
f x g x dx
用定积分的性质可证明这样定义的 f x , g x 是 C a, b 的内积。
2 , 1 2 2 1 ,, 1 , 1 i , 1 i , 2 i , i 1 i i 1 2 i 1 1 , 1 2 , 2 i 1 , i 1
例设P3 x 是全体次数小于3的实系数多项式构成一个实线性空间，定义内积为 f x , g x 11 f x g x dx , f x , g x P3 x 不难验证这样定义的 f x , g x 是 P3 x 的内积，求 P3 x 的一组标准正交基。

所以H是 C n 上的酉变换，称为Householder 镜象变换.
定理2.5 设T是内积空间V上的一个线性变换，则下列命题等价：（1） T , T , , , V , （2） T , V ，当V是有限维时，以上命题进一步与以下命题等价。（3） 1 , 2 ,, n 是V的一组标准正交基，则 T 1 , T 2 ,, T n 是V的一组标准正交基; （4）T在任一组标准正交基 1 , 2 ,, n下的矩阵是酉矩阵。

研究生矩阵论第1讲线性空间

矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。

第一讲矩阵论

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质1. 集合、数域、映射（1）集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。

集合的表示：列举法、概括法.集合的运算：并（），交（）.另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性.（2）数域：设K是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果K中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是K中的数，那么K就称为数域.注1.数域是一种数集，对四则运算封闭（除数不+为零）.例1.1 常见的数域：有理数域Q 、实数域R 和复数域C . 实数域和复数域是工程上较常用的两个数域.例1.2{},Q a a b Q =+∈，{},,Q a a b c Q =++∈，{}=,K a a b Q +∈，0101,,,0;,,(0,1,,;0,1,,)n n m i j m n m Z n m a a a P a b Z i n j m b b b ππππ∈≥⎧⎫+++⎪⎪=⎨⎬∈==+++⎪⎪⎩⎭都是数域，但{},Q a a b Q =+∈不是数域.注2. 所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域Q 是最小的数域.注3.在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他的数域.（3）映射2. 线性空间的定义：线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵理论的重要基础.线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象.定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，其元素用,,k l m等表示. 如果V满足下列条件（有8条性质，分两类）（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V∈时，有唯一的和x y V+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质：（1）结合律：()()++=++；x y z x y z（2）交换律：x y y x+=+；（3）零元律：存在零元素0，使0+=；x x（4）负元律：对于任一元素x V∈，存在一元素y V∈，使0+=，且称y为x的负元素，记为x-，则有x y()0+-=.x x（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当x V∈，k K∈时，有唯一的kx V∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律：()k x+y=kx+ky；（6）分配律：()k+l x=kx+lx；（7）结合律：()()k lx=kl x；（8）单位律：1x=x；则称V为数域K上的线性空间.注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同.2）两种运算、八条性质.数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象.3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性. 唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足.★☆ 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；当K 为复数域，V 就称为复线性空间.例 1.3 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为x y xy ⊕= , k k x x =o .证明：R +是实数域R 上的线性空间.【证明】首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性（1）唯一性和封闭性：唯一性显然；若00x ,y ,>> k R ∈，则有x y xy R +⊕=∈ k k x x R +=∈o 封闭性得证.（2）八条性质1）()()=()()x y z x yz xy z x y z ⊕⊕==⊕⊕，2）x y xy yx y x ⊕===⊕ ，3）1是零元素：11x x x ⊕=⋅=，4）1x是x 的负元素：111x x x x ⊕=⋅= ， 5）()()()()k k k k x y xy x y k x k y ⊕===⊕o o o[数因子分配律]， 6）()()()k l k lk l x x x x k x l x ++====⊕o o o [分配律]，7）()()()k l klk l x x x kl x ===o o o [结合律] 8） 11x x x ==o [单位律] 由此可证，R +是实数域R 上的线性空间.例1.4 线性空间举例：（1）所有实（或复）n 维向量集合n R （或n C ），对n 维向量的加法及数乘n 维向量的运算，构成线性空间.（2）所有n 阶实矩阵的集合n n R ⨯，n 阶复矩阵的集合n n C ⨯，对于矩阵的加法与数对矩阵的乘法两种运算，都构成线性空间. 一般地，数域K 上全体m n ⨯矩阵的集合m n K ⨯，对于矩阵的加法与数与矩阵的乘法两种运算，构成线性空间.3. 线性空间性质定理：线性空间具有如下性质（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的；（2）如下恒等式成立：00x =， 1x x -=-（）.【证明】（1）①零元素是唯一的：设存在两个零元素10和20，则由于10和20 均为零元素，按零元律有112212000000=+=+=所以1200=，即 10和20 相同，故只有一个零元素.②任一元素的负元素也是唯一的：假设x V ∀∈，存在两个负元素y 和z ，则根据负元律有0x y x z +==+()()00y y y x z y x z z z =+=++=++=+= 即y 和z 相同，故负元素唯一.（2）000000x x x x x =+=+-()000000x x x x =+-=-=，()()()1101x x x x x -=-+=-+-()()11110x x x x x x x x =-+⋅-=-+-=-=-.4. 线性相关性线性空间中线性相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似.（1）线性组合：1212m m x ,x x V ,c ,c c K ∀∈∈L L ，11221mm m i i i c x c x c x c x =+++∑L @称为向量组12m x ,x x L 的一个线性组合.（2）线性表示：V 中某个向量x 可表示为其中某个向量组的线性组合，则称x 可由该向量组线性表示.（3）线性相关性：如果存在一组不全为零的数12m c ,c c K ∈L ，使10m ii i c x ==∑，则称向量组12m x ,x x L 线性相关，否则称其线性无关.★☆线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。

(课件)矩阵论

=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解采用中介法求过渡矩阵.

矩阵论第一章

k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的（4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合，上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上的一个线性空间，表示．法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定．唯一确定．
其次，其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间有两个零元素有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ．、的负元素是唯一的，记为∀
证明：证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积并记做 kα , 如果加法和数量乘法的数量乘积,并记做

01_矩阵论_第一章

注记 3 线性空间的本质是线性运算。同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成线性空间。如前述的数学例子。
注记 4 抽象的线性空间的作用在于，由它得出的一切结论对诸如上述线性空间的研究。
例 5 向量组 {e1 = (1, 0, 0, …, 0)T, e2 = (0, 1, 0, …, 0)T, …, en = (0, 0, …, 0, 1)T} 是 F n 的一组基，则 dimF n = n。
例 6 求矩阵空间 R22 的维数与一组基。
解任取矩阵 A，其中
a11 A a 21 a12 a22
a0 a 2 3 1 f x 1, x, x , x , a2 a 3

因为所以 f(x) 在基 {1, x, x2, x3} 下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)T。
在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换的便利表达方法。
§ 1.1 线性空间
一、线性空间的概念
在线性代数课程中，我们把有序数组称为向量，把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 称为 n 维向量空间。一般地，如果 V 为非空的 n 维向量的集合，且集合 V 对于向量加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
注记 1 有些教材中，向量空间与线性空间表示的是同一个概念，但我们通常用向量空间来表示某一数域上的以该数域中的 n 元有序数组为元素构成的线性空间。
此外，从上述线性空间的例子中可以看到，许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究，只不过它们此时未必是有序数组了。
注记 2 定义 1.1 中的加法和数乘运算分别是V 中的一个二元运算以及数域 F 和 V 中元素间的运算，它们已不再局限于数的加法、乘法或者数值向量的加法、数乘概念。如上述的几个例题。

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：（1）设 A 是 n 阶实数矩阵. A 的实系数多项式 f ( A) 的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 ⊕ 和数乘 o 运算：
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ，则 Fij 是对称矩阵，易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线性无关，且对任意 n 阶对称矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = a ji ，有
1 −1 −1
= aa −1 = 1
⑥ k o (l o a ) = k o a = (a ) = a
l l k
lk
= (lk ) o a
⑦ (k +;l
= a k a l = a k ⊕ a l = (k o a) ⊕ (l o a )
k k k
⑧ k o ( a ⊕ b) = k o ( ab) = ( ab) = a b = ( k o a ) ⊕ (k o b) 所以 R+对这两种运算构成实数域 R 上的线性空间. （5）否.设 V2 = y ( x ) y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ), f ( x ) ≠ 0 ，则该集合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的 y1 , y 2 ∈ V2 , y1 + y 2 ∉ V2 .故不构成线性空间. （6）是.集合 V 对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是 V 的零元素；对任意

矩阵论1-2-3

备注 4:
1. 单个非零向量必线性无关. 2. 含有零向量的向量组必线性相关. 3. 两个向量线性相关, 则对应分量成比例. 例4:
1 0 0 1 0 0 线性空间R 上一组矩阵 , 0 0 , 1 0 , 0 0 0 0 0 1 是线性无关的。
2.V中所定义的加法及数乘运算统称为V的线性运算. 在不致产生混淆时，将数域P上的线性空间简称为线性空间．
3.不管V的元素如何，当P为实数,就称V为复线性空间．
备注2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一定是有序数组. 备注3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.
1.2.1 线性空间及其基本性质 1.2.2 向量的线性相关性
1.2.3 线性空间的维数
线性空间是线性代数的中心内容，也是学习矩阵论的重要基础，它是几何空间的抽象和推广．在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数量乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为
了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推
算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，
线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义．
1.2.1 线性空间及其基本性质
定义1.2.1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。在V上定义了一种代数运算，称为加法，记为“+”；定义了P 与V 到V 的一种代数运算，称为数量乘法（简称数乘），记为“· ”。如果加法与数量乘法满足如下规则：
定理1.2.1 设V是数域 P上的线性空间，则 (1) V 中零元素是唯一的； (2) V 中任一元素α的负元素是唯一的；

第三章矩阵论

设n阶矩阵A的互异特征值 1 (n1重), 2 (n2 重)
，，s (ns 重)， ni n，A的特征多项式是
i 1 s
f ( ) I A ( 1 )n1 ( 2 )n2 ( s )ns
则A的最小多项式必有如下形式，
m( ) ( 1 )m1 ( 2 )m2 ( s )ms
定义次数最低且首项系数为1的矩阵A的化零多项式, 称为A的最小多项式, 记为 m( ) .
定理3.8 多项式 ( ) 是矩阵A的化零多项式当且仅当 m( ) ( ) . 特别地, 有 m( ) f ( ) , 其中 f ( )是A的特征多项式.
推论1 矩阵A的最小多项式是唯一的. 定理3.9 矩阵A的特征多项式、最小多项式有相同的根.（重数可能不同）
1
的特征向量；
X 21 , X 22 , X 2l2是属于的特征值 2 的特征向量；
X k 1 , X k 2 , X klk 是属于的特征值的特征向量； k
则
X11 , X12 , X1l1 , X 21 , X 22 , X 2 l2 ,, X k1 , X k 2 , X klk
定义若A 经有限次初等变换后变为 B , 则称 A B 相抵.记为 A B . 与相抵关系是方阵的一种等价关系，具有 1.自反性 2.对称性 3.传递性
定理： B 的充要条件是存在两个可 A 逆矩阵 P 与 Q ，使得
AX X
例已知三维线性空间V的基 1 , 2 , 3 ，线性变换T满足， T 1 1 2 2 2 3 T 2 2 1 2 2 3 T 3 2 1 2 2 3 求T的特征值与特征向量.

矩阵论第二章

用 T 表示，即
2
x cos sin x 这里， y sin cos y
T : R R ,
2
x x y y
易验证： , R , k R
2
T T T T k kT
注意：3的逆不成立，即 1 , 2 , , r
线性相关， 1 , 2 ,, r 未必线性相关. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
二、线性变换的矩阵
1．设 1 , 2 ,, n是线性空间V的一组基，为V
例.
设线性空间P 3 的线性变换为
( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x1 x2 )
求在标准基 1 , 2 , 3 下的矩阵. 解： ( 1 ) (1,0,0) (1,0,1)
( 2 ) (0,1,0) (0,1,1)
事实上， , V ,
m P ,
K k ( ) k k K K , K m km mk mK .
例. V R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转角，就是一个线性变换，
（2）求在 1 ,2 ,3 下的矩阵.
解：（1）由已知，有
1 0 3 (1 ,2 ,3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) X , 2 1 0 5 0 5 (1 ,2 ,3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1 , 3 6 9
例． V P[ x ]或P[ x ]n 上的求微商是一个线性变换，用D表示，即

矩阵论第6章

i 1 j 1
k
定义 6.1.3 设矩阵序列 { A } ，其中 A 存在 M 0 ，使得对一切 k ，都有
(k )
(k )
(k ) (aij ) C mn ．若
(k ) | aij | M ，（ i 1,2,, m; j 1,2,, n ），
则称矩阵序列 { A } 是有界的．
其中 f k (i ) i ， f k (i ) k (k 1)(k t 1)i

k! ik t (k t )!
(t 0,1,2,, ri 1) ，
事实上，并不是“不难证明” ！
下面给出证明！
因为
0 1 1 1 1 0 J r ( ) 1 1 0 1 r r r r r r
设 AC
nn
，若对某一方阵范数有 || A || 1 ，则
lim A k 0 ．
k
证明 || A |||| A
m
m1
|| || A |||| A ||m ，若 || A || 1 ，则
k
lim || A || k 0 ，从而 lim || A k 0 || 0 ，于是 lim A k 0 ．
1 1 k i k (k 1) (k i 1) ( k ) ( i ) (k i )! (k i )!
所以如果记 f k (i ) i ，则
k
，
J rki (i )
f k (i ) f k(i ) f k( ri 1) (i ) (ri 1)!
则称矩阵序列 { A } 收敛于矩阵 A ，记为

矩阵论第3章

为 P[ ]
mn
．
次－矩阵．
1 2 3 2 2 1 是一个 2×3 的 3 例如 A( ) 3 2 1 2
显然，数字矩阵是－矩阵的特例（即 0 次－矩阵）．数字
矩阵 A 的特征矩阵 E A 就是 1 次－矩阵.
秩的，但不可逆．
3.1.2 －矩阵的初等变换与等价
定义 3.1.4 下列三种变换称为－矩阵的初等变换：（1）－矩阵的两行（列）互换位置；（2）－矩阵的某一行（列）乘以非零常数 k ；（3）－矩阵的某一行（列）的 ( ) 倍加到另一行（列），其中 ( ) 是的多项式．
注 3.1.2 定理 3.1.4 的逆命题不成立．
1 1 例如设 A( ) ， B ( ) ． 1 0 2 因为 A( ) 0 ， B( ) 2 0 ，所以 rankA( ) rankB( ) 2 ．但由矩阵的初等变换可知，如果 A( ) 与 B( ) 等价，则 A( ) 与 B( ) 之间只能差一个非零常数因子，而 A( ) 与 B( ) 不满足这一条件，所以 A( ) 与 B( ) 不等价．
定义 3.1.6 设 A( ) 与 B( ) 是两个 m n 的－矩阵，若 A( ) 可以经过有限次初等变换变成 B( ) ，则称 B( ) 与 A( ) 等价，记为 B( ) ≌ A( ) ．
由此定义以及数字矩阵的相关结果立即可得：定理 3.1.3 设 A( ) 与 B( ) 是两个 m n 的－矩阵，则 B( ) ≌ A( ) 的充分必要条件为存在 m 阶－矩阵的初等矩阵
不可逆．
注 3.1.1 在 n 阶－矩阵中，可逆必满秩，反之不然．

矩阵论课件

P 是数域，若 n是正整数，则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可以由 1 , 2 ,
, s 线性表示，且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等价，且均线性无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间；复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合，按照函数的加法及数与函数的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别）的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,

矩阵论第2章

这些运算具有下列性质：（ m, n 为非负整数）． T mT n ， (T m ) n T mn ，当 T 可逆时， m, n 可为负整数．（ 2）设 f ( x), g ( x) P[ x] ，如果 h( x) f ( x) g ( x) ， t ( x) f ( x) g ( x) ，（ 1） T 则
（ 2） V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3即
T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ， (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ．（ 4）设 0 表示 V 中的零变换，则 T 0 0 ， T (T ) 0 ．（ 5） V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k (lT ) ， (k l )T kT lT ，
V 中一个基 1 , 2 ,, n ，则
R(T ) span {T (1 ),T ( 2 ),, T ( n )} span {T ( r 1 ),T ( r 2 ),, T ( n )}．现证明 T ( r 1 ),T ( r 2 ),, T ( n ) 是 R (T ) 的一个基，设
例 2.1.1 平面直角坐标系绕坐标原点旋转角的变换就是欧氏空间 R 的一个线性变换．对任意 x ( x1 , x2 )T R ，则这个线性
2 2
变换 T 是
cos T ( x) sin
sin x． cos
例 2.1.2 定义在区间 [ a, b] 上的所有连续实函数的集合 C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换 T ：
T ( f ( x)) f (t )dt ， f ( x) C[a, b] ，
a

矩阵论第7章

一个连通部分
一个连通部分
一个连通部分
定理 7.2.2 （圆盘定理 2）设矩阵 A 的 n 个盖尔圆中有 k 个互相连通且与其余 n k 个不相交，则这个连通区域中恰有 A 的 k 个特征值(当 A 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相同时也按重复次数计算)．
从定理 7.2.2 可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特征值，由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值，但可能这两个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．
定理 7.2.1（圆盘定理 1）设 A (aij ) C nn ，则 A 的一切特征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值满足
S S i {z | z a ii | Ri , z C} ．
i 1 i 1
n
n
证明设为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x ( x 0) ，即 Ax x ，对于 i 1,2,, n ，写成分量形式为
i, j
i j
| t ij | t ii t ii 2 T T | | 2 2 i 1 i , j 1 2
n
n
2
H
2
C
F
2 F
n 2 max | cij | 2 ，
i, j
i j
所以
| Re k |2 n 2 max | bij |2 ，
i, j
| Imk |2 n 2 max | cij |2 ，
i，则 A 的任一特征值 (k 1,2,, n) 的虚部 Im k 满足
定理 7.1.3
| Imk |
证明
n
n(n 1) max | cij | ． i, j 2