第一节 指数与指数函数、幂函数(知识梳理)
高一数学必修一指数对数幂函数知识点汇总
指数函数与对数函数之间是反函数之间的关系★指数及指数幂的运算1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N +当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：★指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .n√a n =an √a n=|a|=a,a ≥0-a,a<0n√a +n √an√a (n √a )n =a a n =n √a m m(a>0,m,n ∈N,n>1);(a>0,m,n ∈N,n>1);a n1ma n =m(a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2)(a r )s =a rs (3)(ab)r =a r ·b ry=ax(a>0,且a ≠1)y=a x且★对数与对数运算1.对数的定义(1)若=N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于ax=N （a>0,a ≠0，N>0）2.几个重要的对数恒等式a x a x a x a x a xa x a xy=a xy=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数log a 1=0，log a a=1，log a a b =log a (a b )=b3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即log 10N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中e=2.71828…).4.对数的运算性质如果a>0,a ≠1，M>0，N>0,那么①加法：log a M+log a N=log a (MN)②减法：log a M —log a N=log a ()③数乘：nlog a M=log a M n (n ∈R)④a=N⑤log M n =log aM (b ≠0，n ∈R)⑥换底公式：log a，b ≠1)★对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域.log a N M N a b n b且上是增函数上是减函数★幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.y=log a x>0(x>1)y=log a x=0(x=1)y=log a x<0(0<x<1)y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数y=log a x<0(x>1)y=log a x=0(x=1)y=log a x>0(0<x<1)y=xα(α∈R)2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果α<0，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当α=(其中p,q 互质，p 和q ∈Z )，若p 为奇数q 为奇数时，则y=x 是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则y=x 是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则y=x 是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数y=x,x ∈，当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 下方，若x>1，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 上方，若x>1，其图象在直线y=x 下方.q pααααqp qp αy=xy=x -1y=x 2(没有左)1y=x 2y=x 3y=x 2(左)y=x 3(左)y=x -1(左)y=x(左)。
指、对、幂函数知识点
（1指、对、幂函数知识点）指数函数轴对称 比较指数式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较（2）对数函数(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.（3）幂函数=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．一般地，函数y xα幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； 幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性： 当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数； 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数； 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，α>1时，图象是“抛物线”型的；α<<01时，图象是“眉毛”型的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结指数、对数、幂函数是高中数学中常见的函数类型，也是大学数学的基础。
本文将从定义、性质、图像、求导等方面对这三类函数进行总结。
一、指数函数1. 定义：指数函数（exponential function）是以自然常数e为底，自变量为幂的函数，形如y=ae^x。
其中，a为实数，x为自变量，e为自然常数，其值约为2.71828。
2. 性质：（1）指数函数的值域为(0, +∞)，因为e的幂值为正或零。
（2）指数函数在x轴上有一个水平渐近线，当x趋近负无穷时，y趋近于0。
（3）指数函数是增函数，当a>1时，增长速度比x慢；当0<a<1时，增长速度比x快。
（4）指数函数的导数等于其本身：(e^x)’=e^x。
3. 图像：指数函数的图像呈现出增长迅速的指数曲线，当a>1时，函数图像上升缓慢，当a<1时，函数图像上升更加迅速。
其中，a为底，x为真数，y为幂次。
（2）对数函数在a>1时为增函数，在0<a<1时为减函数，在a=1时为常函数。
（3）对数函数的导数公式为ln’x=1/x，其中ln表示以自然常数e为底的对数函数。
对数函数的图像与指数函数的图像y=e^x互为反函数，其自变量和值域互换，因此对数函数表现为一个增长缓慢的曲线。
当底数a趋近于1时，函数的图像趋近于一条水平的直线。
三、幂函数（1）当a>1时，幂函数是增函数；当0<a<1时，幂函数是减函数；当a=0时，函数恒为1；当a<0时，函数在定义域内不是函数，因为幂次为偶数时函数为非负数，而幂次为奇数时函数为正负数。
（2）幂函数的导数公式为(ax^a-1)’=a^2x^a-2，其中a为常数，x为自变量。
总之，指数、对数、幂函数在数学领域中有着重要的地位。
它们不仅是高中数学的重点，也是大学数学的基础。
对于从事数理科学的人员来说，了解这些函数的性质和应用是必不可少的。
专题0 基本初等函数(Ⅰ)(知识梳理)
专题02基本初等函数(知识梳理)第一节 指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂： am n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂： a －m n＝1am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 2．指数函数的图象与性质R1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·嘉兴能力测试)若函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则( )A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1解析：选D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，又函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向下平移b 个单位长度得到的，所以0<b <1.2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围．解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]． 考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型 求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[提醒]在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．第二节对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第1题易错．考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·杭州模拟)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．a＋b>0B．a＋b>1C．2a＋b>0 D．2a＋b>1解析：选A 作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.所以0＝ab ＋a ＋b <a ＋b 24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0，∴a ＋b ＋4>0.∴a ＋b >0.故选A.[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用]1．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 当x >1时，f (x )＝ln(x －1)，又f (x )的图象关于x ＝1对称，故选B.2．(2018·温州适应性训练)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72D ．4解析：选C 2x ＝5－2x,2log 2(x －1)＝5－2x ，即2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x ，作出y ＝2x －1，y ＝52－x ，y ＝log 2(x －1)的图象(如图)． 由图知y ＝2x－1与y ＝log 2(x －1)的图象关于y ＝x －1对称，它们与y ＝52－x 的交点A ，B 的中点为y ＝52－x 与y ＝x －1的交点C ，x C ＝x 1＋x 22＝74，∴x 1＋x 2＝72，故选C.[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．第三节幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞ 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a. 其中正确的是________(填序号)． 答案：②考点一 幂函数的图象与性质基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析：选A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.3．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点二 求二次函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12. ∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.。
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
指数函数、幂函数
－b
aa
a
(n∈N*)．
1 (a≠0)．
1 ab
n
(a≠0)．
(4)分数指数幂根式： a ＝ ∈N*，n>1)．
a
m
(a>0，m，n
3．有理指数幂的运算性质(注意逆用) (1)ar· as＝ (2)ar÷ as＝ (3)(ar)s＝ (4)(ab)r＝ (r，s∈Q，a>0)． (r，s∈Q，a>0)． (r，s∈Q，a>0)． (r∈Q，a>0，b>0)．
3 ．函数 f(x) ＝ ax － b 的图象如图，其中 a 、 b 为常数， 则下列结论正确的是( D ) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 【解析】由图象特征可知f(x)为减函数，则0＜a＜1， 又h(x)＝ax的图象向左平移可得已知图象， 故－b＞0，
2 1 x (2)函数f(x)= ( ) 4x 3 3 -7
27
(-∞,-2) 的单调递减区间为______,
值域为____. [3 ,+∞)
(3)已知函数f(x)=
①求f(x)的定义域和值域； 值域为{y|-1＜y＜1}. ②讨论f(x)的奇偶性； 奇函数
a 1 x a 1
x
(a＞0且a≠1)
指数与指数函数、幂函数
【知识要点】 1．根式 (1)概念：如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈ N*)，那么这个数就叫做 a 的 n 次方根， 即若 x ＝ a(n>1， n∈ N )，则 x＝ 式子 a叫做 a叫 ． n ，n 叫 ，
n *
.
【知识要点】 1．根式 (1)概念：如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈ N*)，那么这个数就叫做 a 的 n 次方根， 即若 x ＝ a(n>1， n∈ N )，则 x＝ 式子 n a叫做 根式 ，n 叫
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。
2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。
-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。
-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。
-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。
-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。
-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。
二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。
-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。
-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。
-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。
-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。
三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。
-对数函数关于直线y=x对称。
-对数函数的导数为1/x。
3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。
-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。
综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
幂函数,指数函数知识点总结归纳
幂函数、指数函数知识点整理（1）幂函数的定义： 一般地，函数y=x a叫做幂函数，其中x 为自变量，a 是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在（0，∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当pqa =（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．一、根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥． ③根式的性质：()n na a =；当n 为奇数时，n na a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mm nn naa m n N aa-+==>∈且1)n >． 0的负分数指数幂没有意义。
第一节 指数与指数函数、幂函数(知识梳理)
第一节指数与指数函数、幂函数复习目标学法指导1.指数函数(1)指数与指数幂的运算①根式的意义.②分数指数幂的意义.③无理数指数幂的意义.④有理数指数幂的运算性质.(2)指数函数及其性质①指数函数的概念.②指数函数的图象.③指数函数的性质.了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想. 2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=12x,y=x-1)(1)幂函数的概念.(2)幂函数的图象.(3)幂函数的性质. 1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化.2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件.3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求.4.运用指数函数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.一、根式与指数幂 1.根式 n 次方 根如果x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,n ∈N *当n 是奇数时,a 的n 次方根x=na当n 是偶数时,正数a 的n 次方根x=±na(a>0);负数的偶次方根没有意义0的任何次方根都是0,记作0n=0式子na叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数当n 为任意正整数时,(na)n =a当n 为奇数时,nn a =a当n 为偶数时,nna =|a|=(0)(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 2.有理数指数幂正分数指数幂:m na =nmaa>0,m,n ∈N *,且n>1负分数指数幂:mna -=1m na=1nma0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义a r ·a s =a r+sa>0,b>0,r,s ∈Q(a r)s=a rs(ab)r =a r b r3.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.1.公式理解(1)n a中a 的取值取决于n(n ∈N*)的奇偶,当n为奇数时,a∈R;当n 为偶数时,a≥0.(2)n n a的值取决于n(n∈N*)的奇偶,必要时需分类讨论.2.与指数幂的运算性质有关的结论由负指数幂的定义可知:(1)a r÷a s=a r-s;(2)s r a=1()r sa=r s a.二、指数函数的概念、图象与性质函数y=a x(a>0,且a≠1)图象0<a<1 a>1图象特征在x轴上方,过定点(0,1)当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域R值域(0,+∞)单调性递减递增函数变化规律当x=0时,y=1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>11.概念理解(1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为①系数为1;②底数a>0且a≠1;③无常数项;④指数为自变量x.符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如y=2x+1,y=-3x,y=(14)x+1等均为指数型函数y=Aa x+B.(2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数.2.与指数函数图象相关的结论①指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值.②画指数型函数f(x)=Aa x+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=a x的图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象.③底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称.④画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1a).三、幂函数1.幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.2.常见幂函数的图象与性质函数图象或性质y=x y=x2y=x3y=12x y=x-1图象定义域R R R [0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞) 值域R [0,+∞) R [0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0]增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减时,减特殊点(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(-1,1)(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(1,1)(-1,-1)1.概念理解(1)幂函数的定义是形式定义,其解析式特征为①系数为1;②底数只能是自变量x;③指数为常数;④无常数项.(2)由定义可知,幂函数解析式中只有一个参数,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定幂函数.2.与幂函数图象相关的结论(1)幂函数图象可分为三类①α>1,其图象在第一象限是“站立型”的;②0<α<1,其图象在第一象限是“趴型”的;③α<0,其图象在第一象限是“躺型”的,如图所示.(2)幂函数的图象都过定点(1,1),当α>0时,还过定点(0,0),α<0时,一定不过点(0,0),且以坐标轴为渐近线.(3)幂函数图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否出现在二、三象限,取决于函数的奇偶性.3.与幂函数性质相关的结论单调性:当α>0时,在(0,+∞)上为增函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函数.1.(2019·全国Ⅰ卷)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( B ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b (D)b<c<a 解析:取中间值.220.200.30log 0.2log 100,2211,00.20.2101,a ab bc c =<=⇒<⎧⎪=>=⇒>⎨⎪<=<=⇒<<⎩⇒a<c<b. 故选B.2.函数f(x)=e |x-1|的单调递减区间是( C ) (A)(-∞,+∞) (B)[1,+∞) (C)(-∞,1] (D)[0,+∞)3.已知函数f(x)= 1,1,1(),1,2x x x x -≤⎧⎪⎨>⎪⎩则f(f(2))= ,不等式f(x-3)<f(2)的解集为 .解析:f(2)=(12)2-1=12,f(12)=12,f(f(2))= 12, 当x-3>1,即x>4时,(12)x-3-1<12, 解得x>5,当x-3≤1,即x ≤4时,x-3<12,解得x<72, 所以f(x-3)<f(2)的解集为(-∞,72)∪(5,+∞). 答案:12 (-∞,72)∪(5,+∞)4.若幂函数y=(m 2-3m+3)22m m x --的图象不经过原点,则实数m 的值为 .解析:因为函数为幂函数, 所以m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2. 又因为图象不经过原点, 所以m 2-m-2<0, 所以m=1. 答案:15.(2018·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=log 4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 .解析:令t=4-|x|,由于4-|x|>0,所以原函数的定义域为(-4,4),y=log 4t 在定义域上单调递增,而t=4-|x|在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,根据复合函数的单调性知f(x)=log 4(4-|x|)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故原函数的单调递增区间为(-4,0). 答案:(-4,0)考点一 根式与指数幂的运算 [例1] 求值与化简:(1)133()2-×07()6-+148423236232()3-(2)352a b ·53343b a .解:(1)原式=132()3×1+342×142+(132×123)6-132()3=2+4×27 =110. (2)352a b·53343b a=33212a-·321510b-=54a =a4a.指数幂的运算顺序及注意事项(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.若f(x)符合:对定义域内的任意的x 1,x 2,都有f(x 1)f(x 2)=f(x 1+x 2),且当x>1时,f(x)<1,则称f(x)为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是( B )(A)f(x)=2x (B)f(x)=(12)x(C)f(x)=12log x (D)f(x)=log 2x解析:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)·f(x2)=f(x1+x2),说明函数是指数函数,排除选项C,D;又因为x>1 时,f(x)<1,所以排除选项A.故选B.考点二幂、指数函数的图象及应用[例2] (1)幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)是( )(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(2)图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象.已知α取±2,±12四个值.则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为.解析:(1)设幂函数f(x)=xα,代入点(4,2),4α=2,α=12,所以f(x)=12x x则f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选D.(2)由图象特征可知C1的α1>1,C2的α2满足0<α2<1,C3,C4的α3,α4<0,又x=2时,2-2=14<1222,所以α3=-12,α4=-2.答案:(1)D (2)2,12,-12,-2(1)幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征α取值α>1 0<α<1 α<0 图象特殊点过(0,0),(1,1) 过(0,0),(1,1) 过(1,1) 凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2y=12x y=x-1,y=12x(2)指数函数图象可解决的两类热点问题及思路①求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.②求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论.(2018·上海卷)已知α∈(-2,-1,-12,12,1,2,3).若函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .解析:由f(x)为奇函数,故只能取-1,1,3,又在(0,+∞)上递减,所以α=-1.答案:-1考点三幂、指数函数的性质及应用[例3] 设y1=40.7,y2=80.45,y3=(12)-1.5,则( )(A)y3>y1>y2(B)y2>y1>y3(C)y1>y2>y3(D)y1>y3>y2解析:因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35,y3=(12)-1.5=21.5,又函数y=2x在R上为增函数,且1.35<1.4<1.5,所以21.35<21.4<21.5,即y2<y1<y3.故选A.指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.(3)指数型函数中参数的取值范围问题,在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论.(4)对可化为a2x+b·a x+c=0或a2x+b·a x+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.(2019·全国Ⅲ卷)函数y=3222x xx -+在[-6,6]的图象大致为( B )解析:函数y=3222x xx -+是奇函数,且当x>0时,y>0,排除C,D,又f(6)=3662622-⨯+≈7,排除A.故选B.考点四 幂函数单调性的应用[例4] (1)已知y 1=a x ,y 2=b x 是指数函数,y 3=x c ,y 4=x d 是幂函数,它们的图象如图所示,则a,b,c,d 的大小关系为( )(A)a<b<c<d (B)b<a<c<d (C)c<b<a<d (D)c<a<b<d(2)若12(1)a +<12(32)a -,求实数a 的取值范围.(1)解析:因为底数大于1,指数函数是增函数,底数大于0小于1,指数函数是减函数,幂指数大于0,幂函数在(0,+∞)是增函数,幂指数小于0,幂函数在(0,+∞)是减函数,所以观察图象可知,d>1,c<0,0<b<a<1,即c<b<a<d,故选C.(2)解:易知函数y=12x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以10, 320,132. aaa a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩解得-1≤a<23.(1)根据幂函数的单调性比较大小①同底不同指、同指不同底的幂值大小比较:幂函数y=xα中指数α的取值直接影响图象和性质,当α的取值不同时,函数的单调性不同,依据图象规律确定单调性后再比较大小.②既不同底又不同指的幂值大小比较常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的大小来判断.(2)与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等.考点五易错辨析[例5] 方程(12)x-1+(14)x+a=0有正数解,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)(-∞,-2)(C)(-3,-2) (D)(-3,0)解析:令t=(12)x,因为方程有正根,所以t∈(0,1),t2+2t+a=0有解,所以a=1-(t+1)2.因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).故选D.令t=(1)x易忽视t的范围,误认为t∈(0,+∞),从而导致错2误.(2019·诸暨市期末)函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则( D )(A)若f(a)≤b2,则a≥b (B)若f(a)≤2b,则a≤b(C)若f(a)≥b2,则a≤b (D)若f(a)≥2b,则a≥b解析:若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D.类型一根式与指数幂的运算1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( B )(A)5 (B)7 (C)9 (D)11解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+2-2a+2=9,即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.故选B.2.(2019·新高考研究联盟)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解x= .解析:若x=2是方程的解,则log a(52-32)=log a42=2,所以a=4;当a=2时,log2(5x-3x)=x,即5x-3x=2x,通过对比可知,该方程的解为x=1.答案:4 1类型二幂、指数函数的图象及应用3.已知函数f1(x)=a x,f2(x)=x a,f3(x)=log a x(其中a>0,且a≠1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是( B )解析:由a>0且a≠1知f2(x)=x a的图象过原点,f1(x)=a x的图象过(0,1),f3(x)=log a x的图象过(1,0),可排除A.而f1(x)与f3(x)的单调性相同,排除C,从选项B,D图象知f2(x)=x a中的a>1.故选B.4.(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是( D )解析:由y=2|x|sin 2x知函数的定义域为R,令f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x. 因为f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数. 所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B. 令f(x)=2|x|sin 2x=0,解得x=π2k (k ∈Z),所以当k=1时,x=π2,故排除C.故选D.类型三 指数函数的性质及应用5.已知函数f(x)=(12)x ,则不等式f(a 2-4)>f(3a)的解集为( B ) (A)(-4,1) (B)(-1,4) (C)(1,4) (D)(0,4)解析:可知函数f(x)为减函数,由f(a 2-4)>f(3a),可得a 2-4<3a, 整理得a 2-3a-4<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4). 故选B.6.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义f K (x)=(),(),,(),f x f x K K f x K ≤⎧⎨>⎩给出函数f(x)=2x+1-4x ,若对于任意x ∈(-∞,1],恒有f K (x)=f(x),则( D )(A)K 的最大值为0 (B)K 的最小值为0 (C)K 的最大值为1 (D)K 的最小值为1解析:根据给出的定义,f K (x)是在函数y=f(x),y=K 中取较小者,对任意的x ∈(-∞,1]恒有f K (x)=f(x),等价于对任意的x ∈(-∞,1]恒有f(x)≤K,等价于f(x)max ≤K,x ∈(-∞,1]. 令t=2x ∈(0,2],则函数f(x)=2x+1-4x , 即为函数ϕ(t)=-t 2+2t=-(t-1)2+1≤1,故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1,即K≥1,故选D.7.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( D)(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0解析:函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.类型四幂函数单调性的应用8.设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( C )(A)x2f(x1)>1 (B)x2f(x1)=1(C)x2f(x1)<1 (D)x2f(x1)<x1f(x2)解析:f(x)=1,01, ,1,xxx x⎧<<⎪⎨⎪≥⎩当0<x1<1<x2时,选项A成立; 当0<x2<1<x1时,选项B,D成立, 故选C.类型五易错易误辨析9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( D )(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)解析:因为2x>0,所以由2x(x-a)<1,得a>x-(1)x,2)x,令f(x)=x-(12则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,)0=-1,所以f(x)>f(0)=0-(12所以a>-1.故选D.。
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结高中数学中的幂、指数、对数和三角函数是重要的数学概念和知识点。
这些知识点涉及到数学的基本运算、函数的性质和变化规律等内容。
下面是对这些知识点的详细总结：一、幂和指数1.幂函数：幂函数是以底数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为常数，x为实数。
幂函数的图像为指数增长或指数衰减的曲线。
2.指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为底数，x为实数。
指数函数的图像为单调递增或单调递减的曲线。
3.指数运算法则：-a^m*a^n=a^(m+n)-(a^m)^n=a^(m*n)-(a*b)^n=a^n*b^n-a^(-n)=1/a^n-a^0=1,其中a不等于0-a^1=a二、对数1. 对数函数：对数函数是指以对数为自变量的函数，形如f(x)=loga(x)，其中a为底数，x为正实数。
对数函数的图像为单调递增的曲线。
2.对数运算法则：- loga(m * n) = loga(m) + loga(n)- loga(m / n) = loga(m) - loga(n)- loga(m^n) = n * loga(m)三、三角函数1.三角比：- 正弦函数 sin(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 余弦函数 cos(x)：在单位圆上，纵坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 正切函数 tan(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以纵坐标对应的边长。
2.三角函数的基本性质：-三角函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
- 三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), tan(x + π) = tan(x)。
- 三角函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)。
- 三角函数的反函数：反正弦函数 arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数 arctan(x)。
指数函数,对数函数幂函数讲义
第三章、基本初等函数（Ⅰ）第一节、指数函数一、实数指数幂及其运算1、指数概念：n a 即n 个a 的乘积，叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
2、基本公式：mnm na a a+⋅=；()m nmna a =；(,0)mm n n a a m n a a-=≠＞；()m m m ab a b =；01(0)a a =≠；1(0,)n na a n N a -+=≠∈；10)na a =＞；0,,,)m m nma a n m N n+==∈＞且为既约分数； 1ma(0,,,)m nm na n m N na-+=∈＞且为既约分数. 例1、计算（1（2）123(0.2)(0.064)-⨯(3)13368()27a b -- (4)230322()()()23b b b a a a-÷⨯-23a (0＜a ＜1)3、方根的概念：如果存在实数x ,使得(,1,)nx a a R n n N +=∈∈＞，则x 叫做a 的n 次方根。
求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算。
正数a（a ＞0,n 为偶数）； 负数的偶次方根在实数范围内不存在；正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为（n 为奇数）； 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根；当n a 有意义的时候，n a 叫做根式，n 叫做根指数。
二、指数函数：一般地，函数(0,1,)x y a a a x R =≠∈＞叫做指数函数。
例2、求定义域和值域（1）12x y += (2)23xy =+（3）2x y =12x y =-三、指数函数应用1、图像变换：(1)平移：“左加右减，上加下减”（2）对称：()y f x =与()y f x =-的图像关于y 轴对称； ()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称； ()y f x =与()y f x =--的图像关于原点对称；()y f x =的图像是对于()y f x =的图像，保留y 轴右边的图像，y 轴右边的图像对称到y 轴左边；()y f x =的图像是对于()y f x =的图像，保留x 轴上方的图像，x 轴下方的图像对称到x 轴上方。
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：且图象过定点，即当.在在变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.。
(完整版)指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mn m naa a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a xa>10<a<1n 为奇数 n 为偶数图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一)指数与指数函数1根式(1) 根式的概念(2).两个重要公式”n 为奇数a① 勺a =〈a(a 王0) n 为偶数\a\=： 、—a(a<0)② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念m①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行 根式的运算。
(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);②正数的负分数指数幂1— ■ (a • 0, m 、n m 'n N ,且 n 1)③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q)；③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.3. 指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=ax, （2）y=bx, （3）,y=cx （4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。
即无论在轴 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1） 对数的定义如果a * = N （a - 0且a "），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作 x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2） 几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（a -0,且 a=1）：① log a^ 0，② log, =1，③ a 1* 二 N ， ④ log a^ = N 。
（2）对数的重要公式:12叫（a,b 均为大于零且不等于1,N 0）；log a（3）对数的运算法则：如果a 0,且a=1， M 0, N 0那么①换底公式: N log b② log a b1 iog b a①log a (MN ) = log a M log a N;②log a M-log a M-log a N；N③log a M n二n log a M (n・ R)；④log m b n = —log a b。
指数对数幂函数总结归纳
指数对数幂函数总结归纳一、指数函数：1.定义与性质：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数。
当底数为正数且不等于1时，指数函数是增函数；当底数为0和1之间的正数时，指数函数是减函数。
指数函数在x轴的值为1，右侧的值逐渐增加或递减。
它具有这样的性质：a^x * a^y = a^(x+y)，(a^x)^y = a^(xy)。
2.图像：指数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线，称为指数增长曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线，称为指数衰减曲线。
图像通过点(0,1)，且在x轴右侧逐渐上升或递减。
指数增长曲线在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；指数衰减曲线在x趋近无穷大时接近x轴。
3.应用：指数函数的应用十分广泛。
它可以用于描述一些增长或衰减的现象，如人口增长、物质衰变等。
在金融领域，指数函数可以用于计算复利。
在工程中，它可以用于描述电荷的衰减和放电等。
二、对数函数：对数函数是指数函数的反函数。
它的一般形式为y = loga(x)，其中a是底数，x是真数，y是函数值。
1.定义与性质：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
当底数a大于1时，对数函数是增函数；当底数在0和1之间时，对数函数是减函数。
对数函数具有这样的性质：loga(x) + loga(y) = loga(xy)，loga(x^y) = yloga(x)。
2.图像：对数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线。
图像通过点(1,0)，且右侧的值逐渐增大或减小。
对数函数在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；在x轴右侧，它的值逐渐增大。
3.应用：对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
它可以用于简化复杂的乘法和除法运算，将其转化为加法和减法。
在计算中，对数函数可以用于求解指数方程，解决一些复杂的问题。
在物理学中，对数函数可以用于描述一些指数增长的现象，如地震的震级等。
三、幂函数：幂函数是以x为底数的多项式函数。
(word版)指数及指数函数知识点,文档
指数函数〔一〕整数指数幂1．整数指数幂概念：a n aa a(n N )a 01an 个aa n1n a 0,n Na n2．整数指数幂的运算性质：〔1〕a m n a m n m,nZ 〔2〕a m a mnm,nZ ana nb n n Z〔3〕ab a n 1n n a n其中a m a n a m a n a mn ab a n b ．， b b n3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的 n 次方等于an 1,n N ，那么这个数叫做 a 的n 次方根，即：假设x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根， n 1,n N例如：27的3次方根 32的5次方根 35273， 27 的3次方根 322，32 的5次方根 3 527 3， 32 2．说明：①假设n 是奇数，那么a 的 n 次方根记作n a ；假设a 0 那么na 0，假设a o 那么n a 0；②假设n 是偶数，且a0 那么a 的正的n 次方根记作na ，a 的负的n 次方根，记作：na ；〔例如：8的平方根8 2 216的4次方根4162〕③假设n 是偶数，且a0那么na 没意义，即负数没有偶次方根；④0n0n1,nN∴n 00；⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴n n a ．a．4．a 的n 次方根的性质一般地，假设n 是奇数，那么na na ；假设n 是偶数，那么na naa a 0．a a 0〔二〕分数指数幂5a10a2103a12a4121．分数指数幂：a5a0a3a0即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质〔2〕a k na kn对分数指数幂也适用，2323545424例如：假设a0a5，∴3a24a5，那么a3a3a2，a4a4a3a5．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
mn a m规定：〔1〕正数的正分数指数幂的意义是a n a0,m,n N,n1；m11〔2〕正数的负分数指数幂的意义是a n0,m,n N,n1．m a．a n n a m分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用2即1a r a s a rs a0,r,sQ2a r sa0,r,sQa rs3ab ra0,b0,r Qa rb r说明：〔1〕有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；〔2〕0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
指数函数、对数函数、幂函数讲义
为奇数时，nna =a . ②当n a nm an m-=nm a 1指数与指数函数知识要点1.指数指数（1）n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质）方根的性质①当n 为偶数时，nna =|a |=îíì<-³).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义）分数指数幂的意义 ①=n ma （a ＞0，m 、n 都是正都是正整数整数，n ＞1）. ②=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2.指数函数指数函数（1）指数）指数函数的定义函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象）指数函数的图象OxyOxyy=a x 11a> 1y=ax ((0＜a ＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1. ④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 经典例题1.3a ·6a -等于等于 A.－a -B.－aC.a -D. a2.函数y OxyOxyOxyOxy1(1) (2) (3) (4)A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜ cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 6、若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是=23x的图象与直线y =x 的位置关系是的位置关系是OxyABC D3.若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四）的图象经过二、三、四象限象限，则一定有，则一定有A.0＜a ＜1且b ＞B.a ＞1且b ＞0 C.0＜a ＜1且b ＜0 D.a ＞1且b ＜0 4.函数y =－e x 的图象的图象A.与y =e x 的图象关于y 轴对称B.与y =e x 的图象关于坐标原点对称的图象关于坐标原点对称C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称轴对称D.与y =e －x的图象关于坐标原点对称的图象关于坐标原点对称 5、下图是、下图是指数函数指数函数（1）y =a x，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是___________________. 7、函数y =（21）222+-x x 的递增的递增区间区间是___________. 8、 已知2xx +2（31）1－x C.y =1)21(-xD.y A. 41 B. 21C.2 D.4 4、=a a a a 。
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第一节指数与指数函数、幂函数复习目标学法指导1.指数函数(1)指数与指数幂的运算①根式的意义.②分数指数幂的意义.③无理数指数幂的意义.④有理数指数幂的运算性质.(2)指数函数及其性质①指数函数的概念.②指数函数的图象.③指数函数的性质.了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想. 2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=12x,y=x-1)(1)幂函数的概念.(2)幂函数的图象.(3)幂函数的性质. 1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化.2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件.3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求.4.运用指数函数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.一、根式与指数幂 1.根式 n 次方 根如果x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,n ∈N *当n 是奇数时,a 的n 次方根x=na当n 是偶数时,正数a 的n 次方根x=±na(a>0);负数的偶次方根没有意义0的任何次方根都是0,记作0n=0式子na叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数当n 为任意正整数时,(na)n =a当n 为奇数时,nn a =a当n 为偶数时,nna =|a|=(0)(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 2.有理数指数幂正分数指数幂:m na =nmaa>0,m,n ∈N *,且n>1负分数指数幂:mna -=1m na=1nma0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义a r ·a s =a r+sa>0,b>0,r,s ∈Q(a r)s=a rs(ab)r =a r b r3.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.1.公式理解(1)n a中a 的取值取决于n(n ∈N*)的奇偶,当n为奇数时,a∈R;当n 为偶数时,a≥0.(2)n n a的值取决于n(n∈N*)的奇偶,必要时需分类讨论.2.与指数幂的运算性质有关的结论由负指数幂的定义可知:(1)a r÷a s=a r-s;(2)s r a=1()r sa=r s a.二、指数函数的概念、图象与性质函数y=a x(a>0,且a≠1)图象0<a<1 a>1图象特征在x轴上方,过定点(0,1)当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域R值域(0,+∞)单调性递减递增函数变化规律当x=0时,y=1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>11.概念理解(1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为①系数为1;②底数a>0且a≠1;③无常数项;④指数为自变量x.符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如y=2x+1,y=-3x,y=(14)x+1等均为指数型函数y=Aa x+B.(2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数.2.与指数函数图象相关的结论①指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值.②画指数型函数f(x)=Aa x+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=a x的图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象.③底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称.④画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1a).三、幂函数1.幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.2.常见幂函数的图象与性质函数图象或性质y=x y=x2y=x3y=12x y=x-1图象定义域R R R [0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞) 值域R [0,+∞) R [0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0]增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减时,减特殊点(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(-1,1)(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(1,1)(-1,-1)1.概念理解(1)幂函数的定义是形式定义,其解析式特征为①系数为1;②底数只能是自变量x;③指数为常数;④无常数项.(2)由定义可知,幂函数解析式中只有一个参数,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定幂函数.2.与幂函数图象相关的结论(1)幂函数图象可分为三类①α>1,其图象在第一象限是“站立型”的;②0<α<1,其图象在第一象限是“趴型”的;③α<0,其图象在第一象限是“躺型”的,如图所示.(2)幂函数的图象都过定点(1,1),当α>0时,还过定点(0,0),α<0时,一定不过点(0,0),且以坐标轴为渐近线.(3)幂函数图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否出现在二、三象限,取决于函数的奇偶性.3.与幂函数性质相关的结论单调性:当α>0时,在(0,+∞)上为增函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函数.1.(2019·全国Ⅰ卷)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( B ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b (D)b<c<a 解析:取中间值.220.200.30log 0.2log 100,2211,00.20.2101,a ab bc c =<=⇒<⎧⎪=>=⇒>⎨⎪<=<=⇒<<⎩⇒a<c<b. 故选B.2.函数f(x)=e |x-1|的单调递减区间是( C ) (A)(-∞,+∞) (B)[1,+∞) (C)(-∞,1] (D)[0,+∞)3.已知函数f(x)= 1,1,1(),1,2x x x x -≤⎧⎪⎨>⎪⎩则f(f(2))= ,不等式f(x-3)<f(2)的解集为 .解析:f(2)=(12)2-1=12,f(12)=12,f(f(2))= 12, 当x-3>1,即x>4时,(12)x-3-1<12, 解得x>5,当x-3≤1,即x ≤4时,x-3<12,解得x<72, 所以f(x-3)<f(2)的解集为(-∞,72)∪(5,+∞). 答案:12 (-∞,72)∪(5,+∞)4.若幂函数y=(m 2-3m+3)22m m x --的图象不经过原点,则实数m 的值为 .解析:因为函数为幂函数, 所以m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2. 又因为图象不经过原点, 所以m 2-m-2<0, 所以m=1. 答案:15.(2018·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=log 4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 .解析:令t=4-|x|,由于4-|x|>0,所以原函数的定义域为(-4,4),y=log 4t 在定义域上单调递增,而t=4-|x|在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,根据复合函数的单调性知f(x)=log 4(4-|x|)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故原函数的单调递增区间为(-4,0). 答案:(-4,0)考点一 根式与指数幂的运算 [例1] 求值与化简:(1)133()2-×07()6-+148423236232()3-(2)352a b ·53343b a .解:(1)原式=132()3×1+342×142+(132×123)6-132()3=2+4×27 =110. (2)352a b·53343b a=33212a-·321510b-=54a =a4a.指数幂的运算顺序及注意事项(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.若f(x)符合:对定义域内的任意的x 1,x 2,都有f(x 1)f(x 2)=f(x 1+x 2),且当x>1时,f(x)<1,则称f(x)为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是( B )(A)f(x)=2x (B)f(x)=(12)x(C)f(x)=12log x (D)f(x)=log 2x解析:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)·f(x2)=f(x1+x2),说明函数是指数函数,排除选项C,D;又因为x>1 时,f(x)<1,所以排除选项A.故选B.考点二幂、指数函数的图象及应用[例2] (1)幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)是( )(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(2)图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象.已知α取±2,±12四个值.则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为.解析:(1)设幂函数f(x)=xα,代入点(4,2),4α=2,α=12,所以f(x)=12x x则f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选D.(2)由图象特征可知C1的α1>1,C2的α2满足0<α2<1,C3,C4的α3,α4<0,又x=2时,2-2=14<1222,所以α3=-12,α4=-2.答案:(1)D (2)2,12,-12,-2(1)幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征α取值α>1 0<α<1 α<0 图象特殊点过(0,0),(1,1) 过(0,0),(1,1) 过(1,1) 凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2y=12x y=x-1,y=12x(2)指数函数图象可解决的两类热点问题及思路①求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.②求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论.(2018·上海卷)已知α∈(-2,-1,-12,12,1,2,3).若函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .解析:由f(x)为奇函数,故只能取-1,1,3,又在(0,+∞)上递减,所以α=-1.答案:-1考点三幂、指数函数的性质及应用[例3] 设y1=40.7,y2=80.45,y3=(12)-1.5,则( )(A)y3>y1>y2(B)y2>y1>y3(C)y1>y2>y3(D)y1>y3>y2解析:因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35,y3=(12)-1.5=21.5,又函数y=2x在R上为增函数,且1.35<1.4<1.5,所以21.35<21.4<21.5,即y2<y1<y3.故选A.指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.(3)指数型函数中参数的取值范围问题,在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论.(4)对可化为a2x+b·a x+c=0或a2x+b·a x+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.(2019·全国Ⅲ卷)函数y=3222x xx -+在[-6,6]的图象大致为( B )解析:函数y=3222x xx -+是奇函数,且当x>0时,y>0,排除C,D,又f(6)=3662622-⨯+≈7,排除A.故选B.考点四 幂函数单调性的应用[例4] (1)已知y 1=a x ,y 2=b x 是指数函数,y 3=x c ,y 4=x d 是幂函数,它们的图象如图所示,则a,b,c,d 的大小关系为( )(A)a<b<c<d (B)b<a<c<d (C)c<b<a<d (D)c<a<b<d(2)若12(1)a +<12(32)a -,求实数a 的取值范围.(1)解析:因为底数大于1,指数函数是增函数,底数大于0小于1,指数函数是减函数,幂指数大于0,幂函数在(0,+∞)是增函数,幂指数小于0,幂函数在(0,+∞)是减函数,所以观察图象可知,d>1,c<0,0<b<a<1,即c<b<a<d,故选C.(2)解:易知函数y=12x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以10, 320,132. aaa a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩解得-1≤a<23.(1)根据幂函数的单调性比较大小①同底不同指、同指不同底的幂值大小比较:幂函数y=xα中指数α的取值直接影响图象和性质,当α的取值不同时,函数的单调性不同,依据图象规律确定单调性后再比较大小.②既不同底又不同指的幂值大小比较常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的大小来判断.(2)与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等.考点五易错辨析[例5] 方程(12)x-1+(14)x+a=0有正数解,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)(-∞,-2)(C)(-3,-2) (D)(-3,0)解析:令t=(12)x,因为方程有正根,所以t∈(0,1),t2+2t+a=0有解,所以a=1-(t+1)2.因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).故选D.令t=(1)x易忽视t的范围,误认为t∈(0,+∞),从而导致错2误.(2019·诸暨市期末)函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则( D )(A)若f(a)≤b2,则a≥b (B)若f(a)≤2b,则a≤b(C)若f(a)≥b2,则a≤b (D)若f(a)≥2b,则a≥b解析:若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D.类型一根式与指数幂的运算1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( B )(A)5 (B)7 (C)9 (D)11解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+2-2a+2=9,即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.故选B.2.(2019·新高考研究联盟)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解x= .解析:若x=2是方程的解,则log a(52-32)=log a42=2,所以a=4;当a=2时,log2(5x-3x)=x,即5x-3x=2x,通过对比可知,该方程的解为x=1.答案:4 1类型二幂、指数函数的图象及应用3.已知函数f1(x)=a x,f2(x)=x a,f3(x)=log a x(其中a>0,且a≠1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是( B )解析:由a>0且a≠1知f2(x)=x a的图象过原点,f1(x)=a x的图象过(0,1),f3(x)=log a x的图象过(1,0),可排除A.而f1(x)与f3(x)的单调性相同,排除C,从选项B,D图象知f2(x)=x a中的a>1.故选B.4.(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是( D )解析:由y=2|x|sin 2x知函数的定义域为R,令f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x. 因为f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数. 所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B. 令f(x)=2|x|sin 2x=0,解得x=π2k (k ∈Z),所以当k=1时,x=π2,故排除C.故选D.类型三 指数函数的性质及应用5.已知函数f(x)=(12)x ,则不等式f(a 2-4)>f(3a)的解集为( B ) (A)(-4,1) (B)(-1,4) (C)(1,4) (D)(0,4)解析:可知函数f(x)为减函数,由f(a 2-4)>f(3a),可得a 2-4<3a, 整理得a 2-3a-4<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4). 故选B.6.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义f K (x)=(),(),,(),f x f x K K f x K ≤⎧⎨>⎩给出函数f(x)=2x+1-4x ,若对于任意x ∈(-∞,1],恒有f K (x)=f(x),则( D )(A)K 的最大值为0 (B)K 的最小值为0 (C)K 的最大值为1 (D)K 的最小值为1解析:根据给出的定义,f K (x)是在函数y=f(x),y=K 中取较小者,对任意的x ∈(-∞,1]恒有f K (x)=f(x),等价于对任意的x ∈(-∞,1]恒有f(x)≤K,等价于f(x)max ≤K,x ∈(-∞,1]. 令t=2x ∈(0,2],则函数f(x)=2x+1-4x , 即为函数ϕ(t)=-t 2+2t=-(t-1)2+1≤1,故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1,即K≥1,故选D.7.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( D)(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0解析:函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.类型四幂函数单调性的应用8.设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( C )(A)x2f(x1)>1 (B)x2f(x1)=1(C)x2f(x1)<1 (D)x2f(x1)<x1f(x2)解析:f(x)=1,01, ,1,xxx x⎧<<⎪⎨⎪≥⎩当0<x1<1<x2时,选项A成立; 当0<x2<1<x1时,选项B,D成立, 故选C.类型五易错易误辨析9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( D )(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)解析:因为2x>0,所以由2x(x-a)<1,得a>x-(1)x,2)x,令f(x)=x-(12则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,)0=-1,所以f(x)>f(0)=0-(12所以a>-1.故选D.。