第一节 指数与指数函数、幂函数(知识梳理)

第一节指数与指数函数、幂函数

复习目标

学法指导

1.指数函数

(1)指数与指数幂的运算

①根式的意义.

②分数指数幂的意义.

③无理数指数幂的意义.

④有理数指数幂的运算性质.

(2)指数函数及其性质

①指数函数的概念.

②指数函数的图象.

③指数函数的性质.

了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想. 2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=12x,y=x-1)

(1)幂函数的概念.

(2)幂函数的图象.

(3)幂函数的性质. 1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化.

2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件.

3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求.

4.运用指数函数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.

一、根式与指数幂 1.根式 n 次

方 根

如果x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,n ∈N *

当n 是奇数时,a 的n 次方根x=

n

a

当n 是偶数时,正数a 的n 次方根x=±

n

a

(a>0);负数的偶次方

根没有意义

0的任何次方根都是0,记作0n

=0

式子n

a

叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数

当n 为任意正整数时,(n

a

)n =a

当n 为奇数时,n

n a =a

当n 为偶数时,

n

n

a =|a|=(0)

(0)

a a a a ≥⎧⎨

-<⎩ 2.有理数指数幂

正分数指数幂:m n

a =n

m

a

a>0,m,n ∈N *,且

n>1

负分数指数幂:m

n

a -=

1m n

a

=

1n

m

a

0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义

a r ·a s =a r+s

a>0,b>0,

r,s ∈Q

(a r

)s

=a rs

(ab)r =a r b r

3.无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂

.

1.公式理解

(1)n a中a 的取值取决于n(n ∈N*)的奇偶,当n为奇数时,a∈R;当n 为偶数时,a≥0.

(2)n n a的值取决于n(n∈N*)的奇偶,必要时需分类讨论.

2.与指数幂的运算性质有关的结论

由负指数幂的定义可知:

(1)a r÷a s=a r-s;

(2)s r a=1

()r s

a=r s a.

二、指数函数的概念、图象与性质

函数y=a x(a>0,且a≠1)

图象

01

图象特征

在x轴上方,过定点(0,1)

当x逐渐增大时,图象逐

渐下降

当x逐渐增大时,图象逐

渐上升

性质定义域R

值域(0,+∞)

单调性递减递增

函数变化

规律

当x=0时,y=1

当x<0时,y>1;当x>0

时,0

当x<0时,00

时,y>1

1.概念理解

(1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为

①系数为1;

②底数a>0且a≠1;

③无常数项;

④指数为自变量x.

符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如

y=2x+1,y=-3x,y=(1

4

)x+1等均为指数型函数y=Aa x+B.

(2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数.

2.与指数函数图象相关的结论

①指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值.

②画指数型函数f(x)=Aa x+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=a x的图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象.

③底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称.

④画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1

a

).

三、幂函数

1.幂函数的概念

形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.

2.常见幂函数的图象与性质

函数

图象或性

质

y=x y=x2y=x3y=12x y=x-1图象

定义域R R R [0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞) 值域R [0,+∞) R [0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞) 奇偶性奇偶奇

非奇非

偶

奇

单调性增x∈[0,+

∞)

时,增;

x∈(-

∞,0]

增增

x∈(0,

+∞)时,

减;

x∈(-∞,

0)时,减