各向异性弹性力学

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各向异性材料的力学行为研究

各向异性材料的力学行为研究

各向异性材料的力学行为研究引言:各向异性材料是指其物理性质在不同方向上具有不同特性的材料。

由于其特殊的结构和性质,各向异性材料在工程领域中具有广泛的应用。

本文将探讨各向异性材料的力学行为研究,包括材料的力学性质、力学行为的数学模型以及实验方法等。

一、各向异性材料的力学性质各向异性材料的力学性质与其结构密切相关。

在材料的微观结构中,晶体的晶格结构、分子的取向以及纤维的排列等因素都会对材料的力学性质产生影响。

例如,纤维增强复合材料的力学性能主要由纤维的方向性决定,而金属材料的晶格结构则决定了其塑性变形行为。

二、各向异性材料的力学行为数学模型为了描述各向异性材料的力学行为,研究者们提出了各种数学模型。

其中,最常用的是各向异性弹性模型和各向异性塑性模型。

各向异性弹性模型主要用于描述材料在受力时的弹性变形行为,而各向异性塑性模型则用于描述材料在超过其弹性极限时的塑性变形行为。

三、各向异性材料的力学行为实验方法为了验证各向异性材料的力学行为数学模型的准确性,研究者们进行了大量的实验研究。

常用的实验方法包括拉伸实验、压缩实验、剪切实验等。

通过这些实验,研究者们可以获得材料在不同方向上的应力-应变曲线,从而验证数学模型的准确性。

四、各向异性材料的应用领域各向异性材料由于其特殊的力学性质,在工程领域中具有广泛的应用。

例如,纤维增强复合材料广泛应用于航空航天、汽车制造等领域,其高强度和轻质化的特性使其成为替代传统材料的理想选择。

此外,各向异性材料还广泛应用于声学、电子学等领域,如声音吸收材料和电子元件等。

结论:各向异性材料的力学行为研究对于深入理解材料的性质和应用具有重要意义。

通过对各向异性材料的力学性质、力学行为数学模型以及实验方法的研究,可以为工程领域中各向异性材料的设计和应用提供理论依据。

未来,随着科学技术的不断进步,各向异性材料的研究将会取得更加丰硕的成果,为工程领域的发展做出更大的贡献。

Ch3各向异性弹性力学基础.

Ch3各向异性弹性力学基础.

可以求解了吗?
定解还需边界条件!
给定力的边界条件(3)
xl xy m xz n X ,已知 yx l y m yz n Y ,已知 l m n Z ,已知 zy z zx
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知 v v ,已知 w w,已知
之间的关系
各向异性弹性力学问题需满足的基 本方程
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力 学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w 6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx 6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
• 15个场方程 静力平衡方程(3)+几何关系(6)+本构方程(6)
复合材料宏观力学分析的基本假设
• 1)所研究的各向异性弹性体为均质连续固体.
• 2)线弹性范围内,服从广义虎克定律. • 3)小变形
各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别
• 差别在于:本构方程
• 其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件等 则完全相同. • 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这 一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.
柔度矩阵
刚度矩阵的性质一
1 C11 C 2 21 3 C31 4 C41 5 C51 C61 6 C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63 C14 C24 C34 C44 C54 C64 C15 C25 C35 C45 C55 C65 C16 1 C26 2 C36 3 C46 4 C56 5 C66 6

各向异性弹性力学(课堂PPT)

各向异性弹性力学(课堂PPT)

17
有的文献中定义应力“列矢量”为
1 11
2 22
3 33
4 23
5 31
6 12
应变“列矢量”为
1 11
4 223
2 22
5 231
3 33
6 212
注意: 4 , 5 , 6 就是剪切角 2 3 , 3 1 , 1 2 。 18
于是可以把弹性本构关系写成:
i Cij j
量,L理解为弹性刚度张量;也可以理解为矩阵等式, ,
理解为应力列矢量和应变列矢量,[L]理解为弹性刚度矩
阵。L与M具有Voigt对称性,因此矩阵L与M为9列9行的
对称矩阵。
15
由于应力张量与应变张量都是对称张量。(2-2)式
中的列矢量 与 的第4行与第5行相同,第6行与第7行 相同,第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵 L 与柔度矩阵 M
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
L1123 L2223 L3323 L2323 L3123 L1223
L1131 L2231 L3331 L2331 L3131 L1231
L1112
L2212
L3312 L2312
L3112
L1212
M1111
M2211
图2-1 25
斜面BCD的外法线为N,令N的方向余弦为:
则有
cos(N , x) 1
c
o
s
(
N
,
y)
m
c o s ( N , z ) n
(dF)x ldF (dF)y mdF (dF)z ndF
式中,( d F ) 、( d F ) x 、( d F ) y 、( d F ) z 依次为三角形BCD、ACD、 ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为dV,斜面 BCD上应力向量在坐标方向上的分量为P N x 、P N y 、P N z ,则

复合材料力学-各向异性弹性力学基础

复合材料力学-各向异性弹性力学基础
弹性模量
复合材料的弹性模量取决于增强相和基体相的弹性模量以及它们之 间的界面结合强度。
强度和韧性
复合材料的强度和韧性取决于增强相的分布、数量和尺寸,以及它 们与基体相之间的界面结合强度。
04
复合材料的各向异性弹性力学分析
复合材料的弹性常数
弹性常数是复合材料在受到外力作用时表现出的刚 度特性,描述了复合材料的应力与应变之间的关系 。
与单一材料的应力-应变关系不 同,复合材料的应力-应变关系 通常是非线性的,因为它们由 多种材料组成,且各组分材料 的性质和排列方式可能不同。
复合材料的应力-应变关系需要 通过实验测定,因为它们的数 值取决于复合材料的微观结构 和组成。
复合材料的本构方程
本构方程是描述复合材料在受到外力作用时如何响应的数学模型,即描述 了复合材料在不同外力作用下的应力和应变的变化关系。
各向异性材料的分类
按来源分类
天然各向异性材料(如木材、 骨骼等)、人造各向异性材料 (如复合材料、玻璃纤维增强 塑料等)。
按结构分类
晶体各向异性材料、纤维增强 各向异性材料、织物增强各向 异性材料等。
按对称性分类
单轴各向异性材料、正交各向 异性材料、各项同性材料等。
各向异性弹性力学的基本方程
01
汽车零部件
复合材料还用于制造汽车中的各种 零部件,如刹车片、气瓶和油箱等, 以提高其耐久性和安全性。
汽车轻量化
复合材料的轻质特性使其成为汽车 轻量化的理想选择,有助于提高车 辆的燃油效率和动力性能。
建筑领域的应用
建筑结构加固
复合材料可以用于加固建 筑结构,提高其承载能力 和耐久性,如桥梁、大坝 和高层建筑等。
未来研究方向
进一步深入研究复合材料的各向异性性质,探索 其在不同环境和载荷条件下的行为和性能。

第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990

第2章  各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
第二章 各向异性材料弹性力学基础
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的,它们 彼此之间存在一定的内在联系,这些 联系就是应变协调方程。
• (i, j 交换)共有六个方程,六个应变分量应该 满足的一个关系,即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=

第二章各向异性弹性力学基础

第二章各向异性弹性力学基础
六个分量,四个独立常数,广义的正交各向异性层板 剪应变和正应力,剪应力和正应变存在耦合
单层板在非材料主向上的应力-应变关系
我们也可以用应力来表示应变
特殊的正交各向异性单层板本构
cos 2 2 sin T sin cos sin 2 cos 2 sin cos 2sin cos 2sin cos cos 2 sin 2
不一致时 x
T
1 T
R T R
1
S ?
Q T Q T 转换折减刚度矩阵
1

1 T

单层板在非材料主向上的 应力-应变关系
广义的正交各向异性单层板本构
x Q11 x Q y Q12 y Q xy 16 xy
S12 S 22 S 26
S16 x S 26 y S66 xy
其中的柔度矩阵的元素,可定义为:
S11 1 Ex
S66
拉压 剪切
1 Gxy
S12 S 22
xy
Ex

yx
Ey
, xy
E x S12
2 2 2 1 1 2 2 12 (sin 4 cos 4 ) S 66 2 sin cos E1 G12 G1 2 E1 E 2 2 2 12 2 2 1 1 3 3 12 S 16 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1 2 2 12 2 1 2 1 3 3 12 S 26 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1

各向异性弹性力学课件

各向异性弹性力学课件
建议
开发更先进的实验设备和方法,提高测 试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性 能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能 特点,确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例 分析
案例一:高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一,主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强 度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀,与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关

各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中 叶,当时主要关注天然材料的各向异性性 质。
20世纪初,随着复合材料和金属材料的 广泛应用,各向异性弹性力学的理论得到 进一步发展和完善。
随着科技的进步,各向异性弹性力学在航 空航天、土木工程、机械制造等领域得到 广泛应用,为解决复杂问题提供了重要的 理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上 表现出不同的弹性性质,导致其 力学行为非常复杂,难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框 架来描述各向异性弹性材料的本 构关系、边界条件和应力分析。

各向异性随机泡沫模型的弹性性能分析

各向异性随机泡沫模型的弹性性能分析

2006年12月第32卷第12期北京航空航天大学学报Journa l o f Be iji ng U nivers it y of A eronauti cs and A stronauti cs D ecember 2006V o.l 32 N o 12收稿日期:2005-12-21基金项目:国家自然科学基金资助项目(10572013);北京市教育委员会共建项目建设计划资助项目(XK100060522) 作者简介:卢子兴(1960-),男,河北枣强人,教授,l uz i xi ng @263.n et .各向异性随机泡沫模型的弹性性能分析卢子兴 张家雷 王 嵩(北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100083)摘 要:为了利用随机模型来分析泡沫材料微结构的各向异性对其力学性能的影响,在各向同性的V orono i 随机泡沫模型基础上,通过引入胞体生长速度的差异,得到各向异性的开孔和闭孔随机泡沫模型.利用有限元方法对模型的弹性性能进行了数值分析,得到相对杨氏模量和泊松比同各向异性尺寸比的关系,并和理论预测结果进行了对比分析.结果表明,建立的开孔和闭孔随机泡沫模型能较好地反映泡沫材料的各向异性力学性质;且开孔和闭孔泡沫的各向异性力学性能均与泡沫材料的相对密度有关.关 键 词:力学性能;泡沫;有限元;微结构;Vorono i 分布中图分类号:V 214文献标识码:A 文章编号:1001-5965(2006)12-1468-04Investigati o n i n t o el a sti c properti e s of anisotrop i c rando m f oa m modelLu Z i x ingZhang Jialei W ang Song(S chool of Aeronau tic Science and T echnology ,Be iji ng Un i versity ofA eronau tics and A stronauti cs ,Beiji ng 100083,Ch i na)Abstr act :In order to investigate the i n fluence o f cellm icrostructure an isotropy on the m echan ica l proper -ties w ith rando m m ode,l on the basis o f isotr opic V orono i rando m foa m m ode,l an iso trop ic open-ce ll and closed -cell rando m foa m m odels w ere established through consi d eri n g ce ll g r ow th rate difference .The elastic properties of these m odels w ere ana lyzed by the fi n ite e le m ent m ethod .The relati o n bet w een the re lati v eY oung s modulus of the m odels and the an isotrop ic size ratio w as obtained and co m pared w ith theo r y pred icted resu lts ;the relation bet w een the Po isson s rati o and the an i s otrop ic size rati o w as also obta i n ed and co mpared .The resu lts indicate tha t the open -cell and c l o sed -ce ll rando m foa m m ode l can reflect the cell an isotrop ic m e -chanical properties w el,l and the anisotr opic m echanical properties of open-ce ll and c l o sed -cell foa m both have re lation w ith relative density .Key wor ds :m echan ica l properties ;foa m;fi n ite ele m ent m ethod;m icrostr ucture ;Voronoi tesse llati o n因为Voronoi 随机模型能够很好地反映真实泡沫胞体形状的不规则性,比传统的周期性模型更合理,所以用V orono i 方法建立随机模型来模拟泡沫材料的微结构和力学性能受到人们的广泛关注[1].Van der Burg 和Shul m eister 等[2-3]最先建立了以规则胞体结构为基础的Vorono i 随机模型,并用它模拟了开孔泡沫材料的微结构,研究了杨氏模量对相对密度的依赖性,并讨论了低密度开孔弹性泡沫的大变形特征;Roberts 和Gar boc -zi[4-5]用三维随机模型讨论了开、闭孔泡沫材料的弹性性能,针对4种随机的几何结构,给出了计算结果的拟合公式;Zhu 等人[6-7]则用Vorono i 开孔泡沫模型讨论了胞体不规则性对开孔泡沫弹性性能和大变形压缩性能的影响;H uang 和G ib -son [8]则讨论了Vorono i 泡沫材料的蠕变特性.在国内,袁应龙和卢子兴[9]利用Vorono i 随机模型对开孔泡沫材料的弹性模量进行了计算;最近,王嵩和卢子兴[10]又对闭孔V orono i 泡沫的弹性性能进行了分析.考虑到大多数泡沫材料都是各向异性的,比如聚合物泡沫的胞体通常在气泡上升方向被拉长,胞体微结构呈明显的各向异性.因此,研究泡沫微结构的各向异性对其力学性能的影响具有重要意义.目前,关于泡沫材料各向异性的讨论已有一些文章发表[11],但主要是针对规则泡沫材料模型进行的.例如,H uber和G ibson[12]将描述各向同性泡沫的立方体交错模型在某一方向伸长,用形状各向异性比来描述泡沫材料的各向异性性质.在国内,谢兰生等[13]则利用理想排列的14面体结构模型研究开孔泡沫铝的弹性各向异性问题,而采用随机模型来研究泡沫材料力学各向异性问题的工作还很少见.本文建立了能够反映胞体形状不规则性和微结构各向异性的随机模型,用来模拟真实泡沫材料的各向异性力学性能.1 各向异性随机泡沫模型的建立有关Vorono i分布的数学定义在文献[9]中已做了较为详细的说明,而在文献[10]中进一步介绍了在规则BCC点集基础上构造各向同性V or ono i泡沫的方法,其中通过定义随机系数 来反映胞体形状不规则的程度, 的取值介于0和1之间, =0对应规则的14面体泡沫结构, =1对应完全随机的泡沫结构.本文采用随机系数 =0.5的随机模型来进行计算分析.为了考察泡沫材料各向异性对其弹性性能的影响,可在建立随机模型的过程中通过引入胞体生长速度的差异来模拟真实发泡过程中气泡的拉长状况,以得到胞体形状各向异性的随机泡沫模型.即首先在规则BCC点集基础上生成各向同性的V or ono i随机模型;然后设模型的某一方向为发泡方向,胞体生长速度在这个方向比其他方向更快,通过程序对模型在此方向进行拉伸,让胞体在这个方向被拉长,并通过设置不同的拉伸比来反映各向异性程度的大小.这样得到的随机模型虽然已经不属于严格意义上的Vorono i分布模型,但该模型由于能反映胞体形状不规则性和发泡方向胞体被拉长的状态,故与真实泡沫的胞体结构更为相似.与文献[10]中类似,这里仍采用模型尺度为5的随机模型,即在模型的每条边上分布5个胞体.图1给出了随机系数 =0.5时,具有5倍模型尺度的闭孔随机泡沫模型,图1a为各向同性的,图1b为各向异性的.开孔随机模型则可以在闭孔随机模型基础上去掉壁面保留支柱得到,在边界处用程序对支柱进行修剪.本文和Zhu等[6-7]的开孔模型有所不同,保留了模型中较短的支柱,更接近真实开孔泡沫的胞体微结构.图2是随机系数 =0.5时具有5倍模型尺度的开孔随机泡沫模型,图2a 为各向同性的,图2b为各向异性的.在下面的数值分析中采用模型尺度为5倍的模型已包含足够多的胞体数目,具有了较为稳定的宏观力学性质.a 各向同性b 各向异性图1 闭孔随机泡沫模型a 各向同性b 各向异性图2 开孔随机泡沫模型2 有限元模型及边界条件通过上述方法得到的闭孔泡沫几何模型是由不规则的多面体排列而成的空间结构,将其用于模拟闭孔泡沫的微结构时,假定基体全部以胞壁的形式存在,这样就可以用板壳的组合来对其进行描述.为了简化分析过程,假定所有的胞壁具有相同并且均匀的厚度.而开孔泡沫几何模型是空间网状结构,可以用梁单元来描述,假定所有的梁截面为相同大小的圆截面.将几何模型导入AN-SYS商用有限元软件,闭孔模型采用SHELL63壳单元对其进行划分,相对密度通过定义壳单元的厚度来确定;而开孔模型则采用BEAM4弹性梁单元划分,相对密度通过定义梁单元的截面积来确定.以上假设针对低密度的开孔泡沫和闭孔泡沫是合理的.当相对密度较大时,闭孔泡沫基体会在支柱处堆积,支柱的厚度比壁面大得多,不能再将胞壁看作等厚度的;而开孔泡沫基体会在顶点处聚集,支柱厚度增加,不能再看作细长梁结构.因此,本文对开孔泡沫和闭孔泡沫弹性性能的数值模拟均在低密度范围内进行.在讨论各向异性泡沫模型的弹性性能时,采用的加载方式和边界条件与文献[10]中相同,即1469第12期 卢子兴等:各向异性随机泡沫模型的弹性性能分析模型表面节点的转动自由度均被约束,除了对垂直于载荷的两个面施加位移载荷外,对其余表面上的节点在法线上的位移进行了耦合,使其在该表面的法线方向上位移一致,这样保证模型在变形后仍保持为长方体形状.另外,除了对模型施加y方向的位移载荷外,还对x方向施加了位移载荷,从而获得x方向的杨氏模量和相应的泊松比.在本文分析中,基体材料的泊松比 s仍设置为0.35,对模型在y方向施加相当于 y=5 的拉伸位移载荷.弹性分析完成后,提取受载端面的节点反力之和F y,也就是模型在位移载荷下所受的外力.同时提取模型在x和z方向的变形,这样就得到模型在横向的应变 x和 z.若模型在3个方向上的边长为l x,l y和l z,那么模型在y方向的等效杨氏模量则可表示为:E y=F y/(l x l z y).泊松比则可表示为: yx=- x/ y; yz=- z/ y.类似地,若对x方向施加位移载荷,则可以获得x方向的杨氏模量和相关的泊松比,即E x= F x/(l y l z x); xy=- y/ x; xz=- z/ x.3 数值分析结果及讨论本文对各向同性模型的y方向进行拉伸,并且将得到的模型y方向和x(或z)方向的比值定义为各向异性尺寸比,用来描述随机模型胞体形状的各向异性程度.这里在5倍模型尺度下对开孔和闭孔模型采用固定随机系数 =0.5,建立了不同尺寸比的各向异性模型.在每种尺寸比情况下分别生成随机系数相同( =0.5)的5个随机模型,对每个模型在两种相对密度( / s=0.01和0.1)下的弹性性能进行计算,最终取5个随机模型的平均值作为最后的结果.对闭孔模型,图3给出了两种相对密度下尺寸比对x和y方向的相对杨氏模量的影响,可以看出由于闭合胞体形状的各向异性,闭孔泡沫的力学性能也显示出明显的各向异性力学性能.计算结果显示,模型在胞体被拉长的方向有着更高的杨氏模量:在尺寸比小于1时,E x大于E y;随着尺寸比增加E y逐渐增加,E x则逐渐减小;在尺寸比大于1时,E y超过了E x.此外,对泊松比的分析结果也表明模型存在着明显的各向异性效应(如图4所示).对开孔模型,图5给出了两种相对密度下尺寸比对x和y方向的相对杨氏模量的影响,计算结果显示,模型在胞体被拉长的方向有着更高的杨氏模量,与闭孔的情况类似.此外,对泊松比的分析结果也表明模型存在明显的各向异性,而且a 相对密度 /s=0.01b 相对密度 / s=0.1图3 闭孔泡沫的相对杨氏模量与尺寸比之间的关系(空心点: /s=0.01;实心点: /s=0.1)图4闭孔泡沫的泊松比与尺寸比之间的关系a 相对密度 /s=0.01b 相对密度 / s=0.1图5 开孔泡沫的相对杨氏模量与尺寸比之间的关系开孔泡沫泊松比的变化范围比闭孔泡沫更大(如图6所示).图7给出了E y与E x的比值,即杨氏模量各向异性比与尺寸比之间的关系.由图7可见,在相同的尺寸比下,闭孔和开孔模型的杨氏模量各向异性比都比H uber和G i b son的理论预测结果[12]高一些(图中记为H-G模型),但曲线总的趋势是1470北京航空航天大学学报 2006年(空心点: / s =0.01;实心点: / s =0.1)图6开孔泡沫的泊松比与尺寸比之间的关系图7 杨氏模量各向异性比与尺寸比之间的关系一致的.数值结果表明:对于闭孔和开孔模型,力学性能的各向异性和相对密度有关系,在相对密度较小时,杨氏模量的各向异性要略微明显一些,这种变化趋势是合理的,对于闭孔泡沫如果相对密度接近于1,则趋于各向同性的基体材料性质.但在H uber 和G i b son 的理论模型中没有考虑密度因素的影响,这在一定程度上反映了泡沫各向异性理论模型的不足,应考虑密度因素的修正.上述的闭孔模型是由厚度均匀的平板来模拟泡沫的胞壁,而开孔模型是由截面形状和尺寸固定的细长梁来模拟泡沫的支柱,模型反映的是胞体几何形状上的各向异性对其宏观力学性能的影响,而没有涉及基体材料在胞体局部位置的分布差异(如基体材料在顶点的集中)造成的力学性能各向异性差异.从数值模拟的结果看,胞体的几何形状对泡沫各向异性力学性能的影响较大,说明微结构的性质对泡沫材料宏观力学性能的影响不能忽视.4 结束语在各向同性V or ono i 随机模型基础上,建立了各向异性的随机模型,对开孔和闭孔泡沫的各向异性力学性能进行了数值模拟,并且与H uber 和G i b son 的理论预测进行了比较.结果表明,在胞体生长过程中引入胞体生长速度差异,建立的开孔和闭孔随机泡沫模型能较好地反映泡沫的各向异性力学性质,各向异性模量稍高于立方体交错模型的预测结果.另外,对各向异性泡沫的泊松比也进行了数值模拟和讨论.数值模拟还发现:开孔泡沫和闭孔泡沫的各向异性都和泡沫的相对密度有关系,较低密度的开孔泡沫和闭孔泡沫的各向异性更为明显,而随着相对密度的增大,泡沫的杨氏模量各向异性比会降低.参考文献(References )[1]卢子兴,石上路.低密度开孔泡沫材料力学模型的理论研究进展[J].力学与实践,2005,27(5):13-20Lu Zi x i ng ,Shi Shanglu .Th eoretical studies on m echan i ca lm od -els of l ow dens it y f oa m [J].M echan ics i n Eng i neeri ng ,2005,27(5):13-20(i n C h i nese)[2]V an der Bu rg M W D ,Shu l m ei ster V,Van der G ei ssen E,eta.l On the li near elas tic prop erties of regu l ar and rando m open-cell foa m s m od el s[J].J C ell Plast ,1997,33:31-54[3]Shu l m eister V,Van der Burg M W D,Van der G iessen E,eta.l A nu m eri cal study of l arge d efor m ati on s of l ow-den sity el ato -m eri c open-cell foa m s [J].M ech M ater ,1998,30(2):125-140[4]Rob erts A P ,Garbocz.i E l astic p roperti es of m odel rando mt h ree -di m en sional open -cell soli d [J ].J M ech Phys S oli ds ,2002,50(1):33-55[5]Roberts A P ,Garbocz.i E l asti c m odu li ofm od el rando m t h ree -d i m en si onal closed-cell cell u l ar s o li d[J].A ctaM ater ,2001,49(2):189-197[6]Zhu H X ,H obdell J R ,W i nd l e A H.E ffect of cell irregu larityon the el asti c properti es of open-cell f oa m s [J].Act a M at er ,2000,48(20):4893-4900[7]Zhu H X ,W i nd le A H.E ff ect s of cell irregu larity on t he h i ghstrai n comp ress i on of open-cell f oa m s[J ].A ctaM ater ,2002,50(5):1041-1052[8]H uang J S ,G i bson L J .C reep of op en -cell Voronoi f oa m [J ].M ater SciE ng A ,2003,339(1-2):220-226[9]袁应龙,卢子兴.利用随机模型计算低密度开孔泡沫材料的弹性模量[J].航空学报,2004,25(2):130-132Yuan Y i ng l ong ,Lu Zi x i ng.C al cu lati on of t he elasticm odu l us of l ow den sit y open-cell foam s w i th random m odel[J].Act a Aero -nau tica etA stronauti ca S i n ica ,2004,25(2):130-132(i n Ch-i nes e)[10]王嵩,卢子兴.闭孔Vorono i 泡沫的弹性性能分析[J].航空学报,2007,28(2)W ang S ong ,Lu Zi x i ng .Investi gati on i n t o t h e el asti c properties of cl osed -cellVoronoi f oa m [J].ActaA eronau tica etAs tronau -tica S i n ica ,2007,28(2)(in Ch i nese)[11]卢子兴,王仁,黄筑平,等.泡沫塑料力学性能研究综述[J].力学进展,1996,26(3):306-323Lu Zixi ng ,W ang Ren ,Hu ang Zhup i ng ,et al.A revie w of st ud ies on the m echan ical p roperties of foa m p l astics[J].Ad -vances i n M echan ics ,1996,26(3):306-323(i n Ch i nese)[12]Hub er A T ,G i b s on L J .An is otropy of foa m s [J].JM at er S c,i1988,23:3031-3040[13]谢兰生,陈明和,童国权,等.开孔泡沫铝弹性性能的各向异性研究[J].机械工程材料,2003,27(2):7-9Xie Lansheng ,Ch enM i ngh e ,TongGuoqu an ,et a.l An i sotrop -ic el asti c p roperties of f oa m m etal w i th open cells[J ].M ater M ech Eng ,2003,27(2):7-9(i n Ch i nes e)(责任编辑:彭 徽)1471第12期 卢子兴等:各向异性随机泡沫模型的弹性性能分析。

各向异性弹性力学

各向异性弹性力学

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泊松比等。
各向异性弹性力学广泛应用于工程领域,如建筑、机械、航空
03
航天等。
研究背景和意义
随着科技的发展,各向异性材料在工程中的应用越来越广泛,如复合材料、功能材 料等。
各向异性材料的复杂力学行为需要精确的数学模型来描述,因此研究各向异性弹性 力学具有重要的理论意义和应用价值。
各向异性弹性力学的研究有助于深入理解材料的力学行为,为工程设计和优化提供 理论支持。
建筑结构的各向异性分析
总结词
建筑结构的各向异性分析是利用各向异性弹性力学理论,对 建筑结构在不同方向上的受力特性进行详细分析和评估的过 程。
详细描述
在建筑结构设计中,由于材料、结构和构造等因素的影响, 结构在不同方向上可能会表现出不同的力学特性。各向异性 弹性力学提供了对这种复杂行为的数学描述,帮助工程师更 准确地预测和评估建筑结构的性能。
各向异性弹性力学与其他领域的交叉研究
各向异性材料与生物医学 工程
研究各向异性材料在生物医学工程中的应用 ,如组织工程和再生医学,为个性化医疗和 人体植入物的发展提供理论和技术支持。
各向异性材料与环境工程
探讨各向异性材料在环境工程中的应用,如 土壤和地下水污染修复、生态修复和防洪减 灾等,以提高环境工程的效率和可持续性。
05
各向异性弹性力学 的未来研究方向
高性能各向异性材料的开发
高强度各向异性复合材料
利用先进的制备技术,开发具有高强度 、高刚度和优异耐久性的各向异性复合 材料,以满足航空航天、汽车和体育器 材等领域对高性能材料的需求。
VS
多功能各向异性材料
探索新型的多功能各向异性材料,如具有 电磁、热学和光学等多功能的材料,为未 来智能设备和新能源领域的发展提供有力 支持。

复合材料力学_各向异性弹性力学基础

复合材料力学_各向异性弹性力学基础

为保证W值不变,将含有xz和yz(4与 5)一次项的Cij置为零,只剩下13个独立 变量。
C 11 C 12 C 13 C 0 0 C 16 C 12 C 13 C 22 C 23 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 16 C 26 C 36 0 0 C 66
横观各向同性材料
0 C 11 C 12 C 13 0 C C C 0 0 12 11 13 C 13 C 13 C 33 0 0 C 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0 0 0 0 0
完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 z 3 应力 yz 4 zx 5 xy 6
应变
yz zx xy
x 1 y 2 z 3 2 yz 4 2 zx 5 2 xy 6
C 44 C 45 C 45 C 55 0 0
C 26 C 36
有一个弹性对称面的材料
同理:
S11 S 12 S13 s 0 0 S16 S12 S 22 S 23 0 0 S 26 S13 S 23 S 33 0 0 S 36 0 0 0 S 44 S 45 0 0 0 0 S 45 S 55 0 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
2.2.4各向同性材料
C11 C12 C12 C12 C11 C12 C12 C12 C11 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0

第三章-各向异性弹性力学基础

第三章-各向异性弹性力学基础
的。
6个独立等式:
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数:
E1, E2 , 21(或 12), G12 , G(23 或 23)
即:
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为:
1轴沿纤维方向,并有 ij ji ,而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为:
四、横观同性(5个弹性常数)
纤维在横截面内随机排列的,宏观而言, 其在横向的所有方向的弹性性能相同,则称为 横向同性。由于横向同性,则在2-3平面内应为 各向同性,则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明:当沿弹性主轴拉伸时,除纵向伸 长、横向收缩外,还会引起与主轴垂直的面内 剪应变,且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性(9个弹性常数)
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。(有三个互相正交的弹性对称面) 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴,如图所示:

PPT-1.各向异性体弹性力学基础

PPT-1.各向异性体弹性力学基础

τyz B
C
O
σz
y
x
二.平衡微分方程
平衡微分方程
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z

m 2 m3 m3 m1 m1 m2
n 2 n3 n3 n1 n1 n2
x ' T x
x 2l 2 m2 y 2l3 m3 z l 2 m3 l3 m2 yz l3 m1 l1 m3 zx l1 m2 l 2 m1 xy 2l1 m1
2 m2 2 m3
n12
2 n2 2 n3
2m1 n1 2m 2 n 2 2 m3 n 3 m 2 n 3 m3 n 2 m3 n1 m1 n3 m1 n2 m2 n1
2n1l1 2n 2 l 2 2 n3 l 3 n 2 l 3 n3 l 2 n3 l1 n1l3 n1l 2 n2 l1
第1章
各向异性体弹性力学基础
I. 弹性力学的基本假设
假设 内容 数理应用 应力、应变和位 移是连续的,可 表示成坐标的连 续函数,可运用 连续和极限的概 念。 适用条件 与复材性质 矛盾的处理
连续性
组成物体的质点间 不存在任何空隙。
微粒尺寸及各 微粒间距远小于 物体的几何尺寸。
均匀性
所研究的物体由同 一类型的均匀材料 组成,故各部分的 物性相同,不随坐 标位置而变化。
IV. 应力和应变的关系
一.广义虎克定律
以应力表示应变
x S11 y S 21 z S 31 yz S 41 zx S 51 xy S 61 S12 S 22 S 32 S 42 S 52 S 62 S13 S 23 S 33 S 43 S 53 S 63 S14 S 24 S 34 S 44 S 54 S 64 S15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 65 S16 x S 26 y S 36 z S 46 yz S 56 zx S 66 xy

复合材料力学课件第02章-各向异性弹性力学基础

复合材料力学课件第02章-各向异性弹性力学基础

通过研究复合材料的损伤演化机制和 破坏准则,可以预测和防止在使用过 程中出现的损伤和破坏,提高复合材 料的安全性和可靠性。
优化设计
利用各向异性弹性力学理论,可以对 复合材料的铺层角度、厚度等进行优 化设计,以实现最佳的力学性能和功 能特性。
各向异性弹性力学在其他领域的应用
生物医学工程
在人工关节、牙科植入物等生物医学 工程领域,各向异性弹性力学理论被 用于模拟和预测材料的生物相容性和 力学性能。
边界条件和载荷的复杂性
由于各向异性材料的特性,其边界条件和所受的 载荷也相对复杂,需要细致考虑。
3
数值模拟的困难性
由于各向异性材料的复杂性,数值模拟方法需要 更高的精度和稳定性,以准确模拟其力学行为。
各向异性弹性力学的发展趋势与展望
发展更高效的数值分析方法
针对各向异性材料的特性,发展更高效、精确的数值分析方法, 如有限元法、边界元法等。
详细描述
边界条件和初始条件是确定弹性力学问题解的重要因素。边界条件描述了材料边 界上的应力分布,而初始条件描述了材料在初始时刻的应力状态。这些条件对于 确定材料的响应至关重要。
各向异性弹性常数及其物理意义
总结词
描述各向异性弹性材料的五个独立弹 性常数及其物理意义。
详细描述
各向异性弹性材料的五个独立弹性常数包括三 个主剪切模量G1、G2、G3,一个主压剪切模 量G12,以及一个主压模量K1。这些弹性常数 分别描述了材料在各个方向上的剪切和压缩行 为,对于理解材料的力学性能和预测其响应具 有重要意义。
平衡方程
总结词
描述各向异性弹性材料在受到外力作用时内部应力和应变之间的平衡关系。
详细描述
平衡方程是描述材料内部应力分布的微分方程,它基于连续介质力学原理,即 在一个封闭的体积中,应力矢量的散度为零。平衡方程是建立各向异性弹性力 学方程的基础。

弹性力学简明教程第四版课后习题解答徐芝纶第一章 绪论1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体什么是非

弹性力学简明教程第四版课后习题解答徐芝纶第一章 绪论1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体什么是非

弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体?【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。

非均匀的各向同性体如:混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体?【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用?【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。

引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定:假定位移和变形是微小的。

亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。

Ch3各向异性弹性力学基础

Ch3各向异性弹性力学基础

从宏观力学分析角度看,复合材料可被视作均质各向 异性材料。(没有绝对的均质材料,如离散原子在空 间的密度就不均匀,可以视作连续和均质是因为所研 究系统的尺度远大于材料不均匀变化波长。)
各向异性是复合材料宏观力学的最重要特征!
复合材料的各向异性可能来源于两个方面 • 增强相排布的方向性 • 增强相和基体相本身的各向异性
12
E2

13
E3
0 0 0 1 G23 0 0
0 0 0 0 1 G31 0
1 E2
23
E3
32
E2 0 0 0
1 E3 0 0 0
0 0 0 0 0 1 G12
当只在j方向作用正应力时 i i ij Sij E j j j / Ej
第三章
各向异性弹性力学基础
第一节
简介
以往所学的材料力学与弹性力学的研究对象主要 是均质、各向同性材料 什么是均质材料? • 均质材料是指材料内部各个不同物质点(或空间坐 标)的性质相同,如弹性模量 什么是各向同性材料?
•各向同性材料是指材料沿不同方向的性质相同(图)
从细观上看,复合材料是异质材料,因为材料中的增 强相和基体相的材料性质不同,所以复合材料细观力 学要反映出这种非均质性。
x2
正交各向异性(三个互相正交的弹性对称面) (9个 弹性常数)(13-4)
没有拉压 剪切耦合 现象
1 S11 S12 S13 S22 S23 2 3 S33 4 5 对称 6
对于各向异性材料的柔度矩阵或刚度矩阵, 其分量是和坐标方向选取有关!!! 可以从两方面理解:1 张量的分量、2 以单 拉为例

第三章各向异性弹性力学基础

第三章各向异性弹性力学基础

Sij 可展开为:
四、横观同性(5个弹性常数)
纤维在横截面内随机排列的,宏观而言, 其在横向的所有方向的弹性性能相同,则称为 横向同性。由于横向同性,则在2-3平面内应为 各向同性,则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数:
E1 , E2 , 21(或 12), 23) G12 , G (或 23
纤 维 在 横截 面 内 按矩形排列的单向纤 维复合材料,宏观而 言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数:
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向,并有
ij ji
,而是
ij
Ej

ji
Ei
即 ij 没有对称性。
共有81个方程,但只有6个是不同的,其余的 不是恒等式就是由于 ij 的对称性而都是重复 的。 6个独立等式: 2 2 2 xy x y
y
2
z 2 2 z y yz
2
y 2 yz
2

x
2

xy
2 2
z x zx 2 2 x z zx
S16 S 26 S 36 S 45 0
即: S11 S12 S13
S 22 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66
由此可得:1)当采用材料主轴来描述正交异性 体时,没有任何拉剪耦合现象;2)在非材料主 轴系里,正交异性材料仍有耦合现象。
如果 3 0 ,其余应力分量为零,则有:
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3

各向异性弹性力学

各向异性弹性力学
为了讨论过点A任意斜面 的应力,在点A附近取一 个四面体微元ABCD(图 2 -1 )。
图2-1
斜面BCD的外法线为N,令N的方向余弦为:
则有
cos(N , x) 1 cos(N , y) m cos(N , z) n
(dF )x ldF (dF )y mdF (dF )z ndF
得到方程如下:
PNx PNy
xl xyl
yx y
m m
zx zy
n n
PNx
xzl
yz
m
z
n
写成矩阵形式
PNx
PNy
xxy
yx y
zx zy
l m
PNz xz yz z n
(2-8)
也就是说,若应力张量为已知,则任一斜面上的应 力均可求出。因此,应力张量完全决定了一点的应力状态。
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
i Cij j
3 4
CC3411
C32 C42
C33 C34 C43 C44
C35 C45
C36 C46
3 4
5 6
C51 C61
C52 C62
C53 C63
C54 C64
C55 C65
C56 C66
5 6

变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
2 y 2 z 2 zy
z2 y2 zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z
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yz
yx 作用在y面内x方 向的剪应力
y
x
如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的 正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应 力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴 的正向时,该应力分量就为负.
X,Y,Z 作用于微元体的体积力
力要平衡!
静 力 平
x
x
xy
y
xz
z
X
0(
2u t2 )
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程(另一组定解方程)
与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性 力学有12个未知量
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,x,y ,z, yz, xz, yx 6个应力分量, x, y ,z, yz, xz, yx
12个场方程 静力平衡方程(3)+几何关系(6)+本构方程(6) +变形协调方程(3)
变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
2 y 2 z 2 zy
z2 y2 zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z
x2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zy zx xy ) 2 2 z
则(2-1) 的两式可以写成矩阵乘法的形式,第一式 可以写作
11
22
L1111
L2211
33
23
L3311 L2311
32
L3211
31 L3111
13
L1311
12
21
L1211
LБайду номын сангаас111
L1122 L2222 L3322 L2322 L3222 L3122 L1322 L1222 L2122
衡 方 程 (
xy
y
yz
Y
0(
2v )
x y z
t 2

xz
x
zy
y
x
z
Z
0(
2w t 2 )
3
几何关系(小变形)(6) 变形要协调!
三个独立的位移场即可以完全确定变形,而应变 亦可以描述变形,它们之间满足以下关系!
x
u x
y
v y
z
w z
zy
w y
v z
zx
w x
u z
yx
z x y z yx
只有三个是独立的,为什么?
以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方 面构成各向异性弹性力学的基本方程,与 各向同性弹性力学的区别在于物理方程. 其它均相同
➢ 弹性介质的本构关系 ➢ 均质弹性体的弹性性质 ➢ 坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式) ➢ 弹性对称性——本构关系的简化 ➢ 正交异性材料弹性常数的物理意义
L1133 L2233 L3333 L2333 L3233 L3133 L1333 L1233 L2133
L1123 L2223 L3323 L2323 L3223 L3123 L1323 L1223 L2123
L1132 L2232 L3332 L2332 L3232 L3132 L1332 L1232 L2132
2.1 弹性介质的本构关系
2.1.1 弹性介质的本构关系
L: M : ij Lijkl kl ij M ijkl kl i, j, k,l 1, 2, 3
规定下标i,j与一维指标对应如下次序:
(2-1)
111 22 2 33 3
23 4 32 5 31 6
13 7 12 8 21 9
15个场方程 静力平衡方程(3)+几何关系(6)+本构方程(6)
可以求解了吗?
定解还需边界条件!
给定力的边界条件(3)
yxxll
xym ym
xzn yzn
X Y
,已知 ,已知
zxl zym zn Z ,已知
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知
v
v
,已知
w w,已知
第二章 各向异性弹性力学
各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别
差别在于:本构方程 其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件
等则完全相同. 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,
这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.
单元体应力及正负号规定
z
y
yx
yz
作用在y面上
y 的正应力
u y
v x
反映出材料
本构方程(6) 的性质!
6个应变分量,x,y ,z, yz, xz, yx

6个应力分量, x, y ,z, yz, xz, yx
之间的关系
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程
与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性 力学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,x,y ,z, yz, xz, yx 6个应力分量, x, y ,z, yz, xz, yx
11
22
33 23
31 12
11
22
33 23
31 12
相应的,L与M可写成6行6列的对称矩阵
L1111
L2211
L
L3311 L2311
L3111
L1211
L1122 L2222 L3322 L2322 L3122 L1222
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
L1131 L2231 L3331 L2331 L3231 L3131 L1331 L1231 L2131
L1113 L2213 L3313 L2313 L3213 L3113 L1313 L1213 L2113
L1112 L2212 L3312 L2312 L3212 L3112 L1312 L1212 L2112
L1121 11
L2221
22
L3321 L2321
33 23
L3221
32
L3121 31
L1321
13
L1221 12
L2121
21
记作
L
(2-2)
可以理解为张量等式, , 理解为应力张量和应变张 量,L理解为弹性刚度张量;也可以理解为矩阵等式, , 理解为应力列矢量和应变列矢量,[L]理解为弹性刚度矩 阵。L与M具有Voigt对称性,因此矩阵L与M为9列9行的 对称矩阵。
由于应力张量与应变张量都是对称张量。(2-2)式
中的列矢量 与 的第4行与第5行相同,第6行与第7行
相同,第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵L与柔度矩阵 M
第4行、列与第5行、列相同,第6行、列与第7行、列相同, 第8行、列与第9行、列相同。利用这种对称性,可以把应 力张量 与应 变张量 写成 6个元素的“列矢量”
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