相似三角形例题与练习含答案

生本教育学科教师辅导讲义

二、典型例题分析

一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

题1 题2 题4 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD

例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD

求证：△DBE ∽△ABC

例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似

三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ， 求证：DF •AC=BC •FE

例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900

，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA

的延长线于点D 。求证：（1）MA 2

=MD •ME ；（2）MD ME

AD

AE =2

2

例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，

求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

A

B

C

D

E

M

12

A B C D E F

G 1

2

34A

B

C D A B

C D

E F K A B C D E F

平行向量：方向相同或相反的非零向量，是平行向量；→

0与任一向量共线或平行

共线向量：方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量：长度相等且方向相同的向量，是相等向量；两向量只有相等或不等，不能比大小 相反向量：长度相同且方向相反的向量，是相反向量；0的相反向量为0

向量a (a ≠0)与b 共线或平行的条件是存在唯一一个实数λ，使得 .

实数与向量相乘

=++a a a 3a ，那么=++→

→

→

a a a ？

已知向量a ，如何求（1）a a a ++

a

一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。又当m 为正整数时，

n a m 表示与a 同向且长度为n

a m

的向量. 已知非零向量a ，求作5

,3,3,2

a a a --并指出他们的长度和方向。

1、→

a k 表示实数k 与向量→

a 相乘的运算，下列表示运算是否正确： （1）→a k 表示为k ×→a 或者k ·→

a （ ） （2）→

a k 表示→

a k （ ） （3）→

a k 表示a k →

（ ）

2、已知非零向量a ，求作4→a ，-2→a ，-2

1→a ，并指出他们的长度和方向.

线性运算性质：

1、如果,m n 是非零实数，a 是非零向量，那么()m n a ma na +=+，这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律.

2、对于任意实数k 和非零向量a 、b ，总有()k a b ka kb +=+，这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律.

3、任意的非零实数,m n 和非零向量a ，总有()()m na mn a =，这是实数与向量相乘的结合律.

求值练习：

33

()22

a a

b -+-(3)2(3)a b

c a b c +--+-

1132

3(2)8()63443

a b c a b c -++-+⨯3()5()a b b x +=-求x

平面向量的分解

从物理学的角度上面的现象 是：将一个力分解为不同方 向的两个力。

O

C

4．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c，则下列各式：①

11

22

EF=-

c b；②

1

2

BE=+

a b；③

11

22

CF=-+

a b；④AD BE CF

++=0．其中正确的等式的个数为

5.若8,5,

AB AC

==则BC的取值范围是

6.如图，D、E、F是ABC

∆的边AB、BC、CA的中点，则DB

AF-=

7.在ABCD中，,,3

AB a AD b AN NC

===，M为BC的中点，则MN=_______。（用

a b、表示）

8.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已

知AB=a,AD=b,试用a，b表示BC和MN．

9.已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点．

求证：

)

(

2

1

BC

AB

EF+

=

课堂小结：相关定理及常见题型分析与解答方法

【课后作业】

复习本讲义，并熟练掌握相关性质及判定定理；重新总结本讲义中例题特点及掌握其分析与解答方法。

（答案）

例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。

例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°

F

E

D

A

B

C