线性代数复习提纲

线性代数复习提纲

1、逆序数的定义，会求简单排列的逆序数。理解奇排列、偶排列的定义。

2、会求简单的行列式，行列式按行按列展开，会求形如A 11+2A 12-3A 13+4A 14 的值。 例1 确定下列排列的逆序数，并确定是奇排列还是偶排列？ ①（1，8，2，7，3，6，4，5）②（2，4，5，3，1，8，7） ③（2，4，6，。。。，2n,2n-1,…3，1）

例2、设A ij 是n 阶行列式D 中元素a ij 的代数余子式且D =2， 求111111111111...A a A a A a +++值

例3 计算下列二、三阶行列式

()()621

7213424435431014327

4272462cos sin sin cos 1---ϕϕϕ

ϕ

例 3 已知ij ij A M A ,,0113352040300201⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=分别表示余子式和代数余子式，求：

()()24

23222141

31211163422621M M M M A A A A +-++--

3、 会求矩阵的逆矩阵，会求解简单的矩阵方程。

4、理解矩阵的秩的定义，会用初等变换求矩阵的秩。

例4 已知,350211,001111001

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

--=⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=B A 解矩阵方程2X =AX+B 。

例5 解下列矩阵方程

()().

2343

111110121122;

126

4315

21⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X X

例5 用定义和初等行变换求下列逆矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=111211120A

P81，填空题1，3，5。选择题1，3，7

5、理解向量组的线性相关、线性无关的定义，了解几种特殊情形向量组的线性相关性。

例6 已知向量组321,,ααα线性无关，证明向量组

3133223211,2,2ααβααβαααβ-=+=++=也线性无关。

例7 求向量组：54321,,,,ααa a a 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1012,2753,2531,2531,341254321ααa a a 6、掌握齐次线性方程组求解的方法。掌握齐次线性方程组有无非零解的条件。会求线性方程组的基础解系。

例 8、 若n 元齐次线性方程组Ax =0有非零解，则∣A ∣=__________. 例9、 讨论λ取何值时，下列方程组无解，有解。在有解得情况下求解。

⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+λ

4321432143212312022x x x x x x x x x x x x 7、掌握特征值、特征向量的定义。会求三阶矩阵的特征值和特征向量。理解特征值的相关性质，理解矩阵的迹的概念。

例10 求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=101121002A 的5次幂）

例11 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002x A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=y B 00020001相似。①求x,y 的

值。②求可逆矩阵,P 使得.1B AP P =-

例12 已知三阶对称矩阵A 的特征值为2,4,1321-===λλλ，对应于特征值21,λλ的特征向量分别为()()T

T 122,21221-=-=αα，求矩阵A

8、能写出二次型的矩阵，能用配方法化二次型为标准形。能用正交变换法化二次型为标准形。

例13 写出下列二次型的矩阵

①()32312123222132164232,,1

11x x x x x x x x x x x x f +++++= ②()323121232221432164232,,,1

11x x x x x x x x x x x x x f +++++= 例 14 用配方法将二次型()3231212322213212243,,111

x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出所用的可逆线性变换矩阵C 。

例15 将二次型()3231212322213218424141417,,1

11x x x x x x x x x x x x f ---++=通过正交变换，化为标准形，并写出所用的可逆线性变换矩阵C 。