指数模型

双因素模型的主要特征
1.跟单因素模型一样 1. 跟单因素模型一样， 跟单因素模型一样 ， 一旦利用双因素模型计算出预期 回报率、 回报率 、 方差和协方差后， 方差和协方差后 ， 投资者便可以使用最优化来 导出弯曲的马氏有效集。 导出弯曲的马氏有效集 。 继而， 继而 ， 对于一个给定的无风险 利率， 利率， 可以确定出切点组合， 可以确定出切点组合 ， 在此基础上， 在此基础上， 投资者可以 确定他的最佳组合。 确定他的最佳组合。参数估计将极大简化。 参数估计将极大简化。 2. 对于一个充分分散化的组合， 对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不显 著。 3。在两因素模型中， 在两因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对 所含证券的敏感性的加权平均， 所含证券的敏感性的加权平均 ， 权数为投资于各证券的 比例
假设投资组合中包含对无风险资产的投资，投资比例 如下： 证券 比例 因素敏感性 非因素风险 rf 0.1 0 A 0.36 0.2 49 B 0.54 3。5 100 如果因素的标准差为15%，组合的因素风险为多少？ 组合的非因素风险为多少？ 组合的标准差为多少？
第二节、多因素模型 多因素模型
经济状况影响着大部分企业， 经济状况影响着大部分企业 ， 因而对经济前景 的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率 产生深刻影响。 产生深刻影响 。 然而经济并不是一个简单、 然而经济并不是一个简单 、 统 一的实体， 一的实体 ， 因而我们需要确认一些具有广泛作 用的共同影响力， 用的共同影响力 ， 比如： 比如 ： 1.国内生产总值 1. 国内生产总值； 国内生产总值 ； 2. 利率水平； 利率水平；3.通货膨胀率 3.通货膨胀率； 4.石油价格水平。 通货膨胀率；4.石油价格水平 石油价格水平。
2。计算速度。 计算速度。如果证券人员要分析50 如果证券人员要分析50种股票 50种股票， 种股票，则 需要进行的计算是什么？ 需要进行的计算是什么？若n=100。 n=100。需要估计 多少数据？ 多少数据？若n=300？ n=300？
威廉. 威廉.夏普（ 夏普（Sharpe） Sharpe）继马科维兹之后于1963 继马科维兹之后于1963年提 1963年提 出了“ 出了“单指数模型” 单指数模型”，将“均值－ 均值－方差模型” 方差模型”予 以简化。 以简化。他认为马科维兹的投资组合分析中， 他认为马科维兹的投资组合分析中，方 差－协方差矩阵太过复杂不易计算， 协方差矩阵太过复杂不易计算，因此提出单 因素模型。 因素模型。此模型假设各证券的收益率仅与市场 因素有关。 因素有关。 市场因素可能是股票市场的指数、 市场因素可能是股票市场的指数、国民生产总值、 国民生产总值、 物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因素。 物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因素。 经由夏普的模型， 经由夏普的模型，任一股票收益率可由单一的外 在指数来决定， 在指数来决定，这大大简化了马科维兹资产组合 模型的分析工作。 模型的分析工作。
例
下列beta值描述了满足单指数模型的一个0 0.2 1.7 平均超额收 益 10 2 17 标准差
A B C
3000 1940 1360
40 30 50
这个单因素与市场指数完全相关 指数完全相关，市场指数的标准差为25%。 A 指数资产组合的平均超额收益为多少？ B 股票B和指数之间的协方差为多少？ C 把股票B的方差分成他的系统和公司特有成分。
1.单因素模型的定义
单因素模型的一般形式
~ ri = ai + bi F + ε i
从方程中我们可以看出， 从方程中我们可以看出 ， 任何一个证券的收益由三 部分构成： 部分构成： αi是宏观因素的增长值期望为零时该证券的预期收 益； biF系统性风险收益， 系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定 性（非预期的） 非预期的）的收益， 的收益，且变化的敏感度是b 且变化的敏感度是bi； εi是与国内生产总值无关因素的作用， 是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性 风险收益， 风险收益，即只与单个证券相关的收益。 即只与单个证券相关的收益。
注 重要的假设
E (ε i ) = 0, cov(ε i , F ) = 0 cov(ε i , ε j ) = 0
1。随机误差项的期望值为0 随机误差项的期望值为0。 2.随机误差与因素不相关 2.随机误差与因素不相关， 随机误差与因素不相关， 这意味着因素的波动 对随机误差的波动没有任何影响。 对随机误差的波动没有任何影响。 3.任意两种证券的随机误差之间不相关 3.任意两种证券的随机误差之间不相关。 任意两种证券的随机误差之间不相关。这意味 着一种证券的随机误差结果对任意其他证券的随 机误差结果不产生任何影响。 机误差结果不产生任何影响 。换句话说， 换句话说，两种证 券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相关联。 券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相关联。
~ ~ ~ ri = αi + βi rI + ε i
式中：ri代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 rI代表相同时期市场指数I的收益率 εi是随机误差项
三 资本资产定价模型与因素模 型的关 型的关系
1.资本资产定价模型与因素模型 1.资本资产定价模型与因素模型 资本资产定价模型实际上是一种特殊的单因素模 型，但资本资产定价模型是一个资产定价的均衡模 型，而因素模型却不是。 而因素模型却不是。
二、多因素模型（Multifactor models）
双因素模型在t时期的方程式为：
Rit = ai + bi1F1t + bi 2 F2t + ε it
F1和F2是两个对证券回报率具有普遍影响的因素， 是两个对证券回报率具有普遍影响的因素， bi1和bi2分别是证券i 分别是证券i对两个因素的敏感性。 对两个因素的敏感性。同单因素 模型一样， 模型一样，εit是随机误差项， 是随机误差项，ai是当两个因素都取 值为0 值为0是证券i 是证券i的预期回报率。 的预期回报率。 在双因素模型中， 在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4 我们需要为每种证券估计4个参 数：αi, bi1, bi2以及随机误差的标准差ε 以及随机误差的标准差εit。对 每个因素， 每个因素，需要估计两个参数： 需要估计两个参数：因素的预期值以及 因素的方差和。 因素的方差和。此外还要估计两个因素的协方差 cov(F1, F2)。
E ( Ri ) = α i + βi E ( F )
E ( R i ) = r f + ( E ( rM ) − r f ) β iM
虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中 的ß值和市场模型中的ß值是有区别的，但是 在实际操作中，由于我们不能确切知道市场 组 合的构成，所以一般用市场指数来代替， 因此我们可以用市场模型中测算的ß值来代 替资本资产定价模型中的ß值。
法马与弗雷希研究了债券的月回报率影响 率影响因素。
rit − rft = ai + bi1TERMt + bi 2DEF + ε it
期限结构因素：长期国债与一月期国库券的月回报率之差。 违约因素：长期公司债券与长期国债月回报率的差。 阅读资料： 阅读资料： Fama,E.F.and French K.R,1992,The cross-section of expected stock returns, Journal of Finance, June,pp. 427464 Fama,Eugene F., and Kenneth R. Frech, Common Risk Factors in the returns on Stock and Bonds, Journal of Financial Economics, 33,1993,pp. 3-56
例
假定股票A 假定股票A与B的指数模型由下列结果估计： 的指数模型由下列结果估计：
RA = 1.0% + 0.9RM + eA RB = −2.0% + 1.1RM + eB
σ M = 20% σ eA = 30% σ eB = 10%
求每个股票的标准差和他们之间的协方差， 求每个股票的标准差和他们之间的协方差，若将A 若将A，B 组成等权重的组合， 组成等权重的组合，那么组合的非系统风险的标准差 是多少？ 是多少？
一个例子
rit − rft = ai + bi1 (rMt − rft ) + bi 2 SMBt + bi 3 HMLt + ε it
市场因素： 市场因素：市场指数收益率超过国库券月收益率的部分 规模因素： 规模因素：大证券指数与小证券指数月收益率之差。 大证券指数与小证券指数月收益率之差。证券 的规模由每年6 的规模由每年6月底证券价格乘以在外流通的股份数计算。 月底证券价格乘以在外流通的股份数计算。 大证券指数是超过NYSE 大证券指数是超过NYSE中间水平的证券组成 小则反之。 NYSE中间水平的证券组成， 中间水平的证券组成，小则反之。 账面账面-市场权益因素： 市场权益因素：为高账面为高账面-市场权益比率与低账面市场权益比率与低账面市场权益比率的证券指数月收益率之差。 市场权益比率的证券指数月收益率之差。其中， 其中，账面权益 为公司资产负债表中证券持有者的权益， 为公司资产负债表中证券持有者的权益，市场权益为公司 股票价格与发行股数之乘积。 股票价格与发行股数之乘积。高比率有比率较高1/3 高比率有比率较高1/3的证 1/3的证 券构成， 券构成，低比率由比率较低的1/3 低比率由比率较低的1/3构成 1/3构成。 构成。 Fama and French利用时间序列法估计因素模型 French利用时间序列法估计因素模型。 利用时间序列法估计因素模型。采取的 因素包括： 因素包括：市场因素， 市场因素，规模因素和账面规模因素和账面-市场权益因素。 市场权益因素。
第六章 因素模型与套利定 价模型
本章主要问题
1、掌握因素模型是根据收益生成过程通过回归分析 建立的收益和风险关系的资产定价模型 2、认识因素模型与资本资产定价模型的关系 3 掌握金融市场均衡的特殊机制－－无风险套利均 衡机制 4 掌握无套利均衡下的证券收益与风险的关系
第一节 单因素模型与多因素模型
单因素模型的两个重要特征
1 。 指数模型能够克服马柯威茨模型的庞大计 算量的困难。 算量的困难 。 如果组合里有n 如果组合里有 n 项资产， 项资产 ， 计算组 合的方差— 合的方差 — 协方差矩阵需要进行1/2n(n+1) 协方差矩阵需要进行 1/2n(n+1)次 1/2n(n+1) 次 方差方差- 协方差的测算， 协方差的测算，但现在只需要测算n 但现在只需要测算n个bi 和1个σF就可以了。 就可以了。 2.分散化 2.分散化。 分散化。非因素风险会随着股票数目的增加 而逐渐被分散掉。 而逐渐被分散掉。
第二节多因素模型
第三节 套利定价理论的模型
第一节 单因素模型
为什么要引入因素模型？ 为什么要引入因素模型？ 资本资产定价模型存在的问题： 资本资产定价模型存在的问题： 1. 证券市场线只考虑了由风险市场组合的预期收 益率对证券或证券组合预期收益率的影响，即把 市场风险全部集中的体现在一个因素里，而影响 总体市场环境变化的宏观因素很多。同时无法实 无法实 际地计算市场组合. 际地计算市场组合.
二、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影响证 券价格的单因素，此时的单因素模型被称为市 场模型。市场模型实际上是单因素模型的一个 特例。
假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场指数 （如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行情上扬，则很 可能该股票价格会上升，市场行情下降，则该股票很可能下跌。 因此，可以用市场模型的方程表示这一关系：
估计因素模型:时间序列法
1。假设知道事先影响证券回报率的因素， 假设知道事先影响证券回报率的因素，这些 因素的识别通过对所包含的公司的经济分析来 完成。 完成。宏观方面的因素包括： 宏观方面的因素包括：宏观经济的某些 方面如GPD 方面如GPD增长率 GPD增长率， 增长率，通货膨胀率， 通货膨胀率，利率和石油价 格等。 格等。 2。确定出典型因素后， 确定出典型因素后，模型建立者搜集不同时 期有关因素的值以及证券的回报率。 期有关因素的值以及证券的回报率。计算因素 回报率， 回报率，分析出证券回报率对各因素的敏感 度，证券的零因素。 证券的零因素。 时间序列法利用已知的因素对敏感性进行估 计，相应的因素成为基本因素。 相应的因素成为基本因素。