立体几何三大公理的应用

立体几何三大公理-的应用

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一、共线问题

例1.若^ AB C所在的平面和△ A i B i Ci所在平面相交，并且直线AA、BB、CC i相交于一点0,求证：

(1) AB和A i B i、BC和B 1 C、AC和A i C i分别在同一平面内；

(2 )如果AB和A i B i、BC和B i C 1、AC和A 1C分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

例2. 点P、QR分别在三棱锥A -BCD的三条侧棱上,且PCT BC = X,QRQ CD=Z, P RT BD =Y.求证:X、Y、Z三点共线.

例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。

a、b、C都相交,交点为A B、C、D、E、

F,

B

二、共面问题

例4.直线m、n分别和平行直线

例7 .在空间四边形 ABCD 中, M> N 、P Q 分别是四边上的点，且满足 刎 =

MB

C N=AQ = CP = k.

NB QD PD

(1)求证：M N 、P 、Q 共面.

当对角线A C = a, B D=b ,且MNP Q 是正方形时,求AC 、ED 所成的角及 k 的值(用 表示) 共点问题 例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行

例6. M 、N 、 已知A 、 R 、T 分别是A B 1、

1A 2C 和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线1 1和I 2上的任意三点， B A 2、B 1B 2、C C 2的中点.求证：M 、N 、RT 四点共面

.

⑵ a,

b

例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内

已知:如图，直线I 1, I 2 ,l 3, l 4两两相交，且不共点.

'/A Al AB B = O, 1确定平面BA O, B 1都在平面ABO 内 ,

ABO;A i B i 平面 A BO.

同理可证，B C 和BC 、AC 和 AC 分别在同一平面内.

(2 )分析:欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理 2,证明这两条直线分别在两 个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上 .

2证明：如图，设ABAA 1 B=P;

ACA Al G = R ;

•- 面 ABCA 面 AB i C 1 = PR.

■/ BC 面 ABC B 1C 面 ABG,

且 BC AB 1C= Q ••• Q€ PR,

即 P 、R 、

1,则P l.同理可证：Q l ，R 1

P,Q,R 三点共线. 4解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线 在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明 •/ a // b, •••过a 、b 可以确定一个平面a .

■/A€ a,a a，•- A€a ,同理 B€ a.

又'/AC m, B€ m •- m a .同理可证 n a.

•/ b / c, •••过b,c 可以确定平面B ,同理可证 m 3 .

/•平面a 、3都经过相交直线 b 、m,

•••平面a 和平面3重合，即直线 a 、b 、c 、m n 共面.

5、解析:证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理

1.先证某两线确定平面a,

然后证其它直线也在a 内.

证明：图①中，I 1 A1 2=P , • •• l 又I 1、(1)证明：

-- A A 、BB -A 、A 1、B 、 ••• AB 平面 Q 在同一直线上.

3解析：八、 B 、C 是不在同一直线上的三点

•••过 A 、B 、 C 有一个平面

又 AB

P,且 AB

点P 既在内又在内，设

1,1 2确定平面a .

1 A 1 3 = A ,1

2 A1 3= C, ― C,A €

(X .

3 1

4 a.

1 1,1 2,1 3,1 4 共面.

图②中，I 1,1 2,1 3 ,1 4的位置关系，同理可证 1 1,1 2,1 3, 1 4共

面.

故I 同理

6、证明 如图，连结MN 、NR ，贝U MN // l 1,NR / l 2 ,且M 、N R 不在同一直线上

（否则，根据三线平行公理，知 l 1 / I 2与条件矛盾）.••• MN 、NR 可确定平面B, 连结BQ,取其中点 S .连RSST ，则R S //I 2,又R N//1 2, • N 、R 、S 三点共线. 即有 SC3 ,又 ST// I 1,M N//1 1, AM Nil ST, 又S€B,••• ST 3 .

M 、N 、R 、T 四点共面.

7解析：⑴；AB =誥

• MQ //B D,且 一一

AM MB

MQ AM k

MQ=

⑵••• BM = 1

MA k

MN// AC ,又 NP// BD.

••• MN 与NP 所成的角等于 AC 与BD 所成的角.BD AB k 1

又CN NB CP =k

PD

P N// B D,且 CN

CN NB NP CN =

从而N P = BD CB k 1 L BD 1

••• MQ // NP,MQN P 共面，从而

P 、Q 四点共面. BM = BN 1

MA NC k BM BM MA