高中数学组合恒等式证明八法学法指导

组合恒等式证明八法

童广鹏

二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式常通过简捷的组合分析得到证明，本文举例说明。 一、公式法

例1. 求证：1n 1k n n k n n 1k n n 2n n 1n n n C C C ...C C C ++++-+++=+++++。

证明：由1n k n n k n 1n 1k n C C C ++++++++，1n 1k n n 1k n 1n k n C C C +-+-++++=，…，1

n 2n n 2n 1n 3n C C C ++++++=，1n 1n n 1n 1n 2n C C C ++++++=，1n 1k n n 1k n 1n k n n k n 1n 2n 1n 3n 1n k n 1n 1k n C C C C C C ...C C +-+-++++++++++++++++=++++ 1n 1n n 1n 1n 2n n 2n C C C C ...+++++++++++，整理即1n 1k n n k n n 1k n n 2n n 1n n n C C C ...C C C ++++-+++=+++++。

点评：运用基本组合数公式进行转换，如：1

k 1n k 1n 1k 1n k n n

k n C C C n

k C C -------===，m

k m n m n m k k n C C C C --=等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如（1）由21n 1n 1211C C ...C C +=+++，得1+2+…+()2

1n n n +=，（2）

由22n 21n 2322C C ...C C ++=+++得()()()3

2n 1n n 1n n ...321++=+⨯++

⨯⨯等，可见本题的结

论具有示范作用。

二、二项式定理法

例2. 求证：123C ...3C 3C 3n 21

n n

2n 2n 1n 1n n -=⋅++⋅+⋅+---。 证明：因为()n

n n 1n 1n n 0n n b

C ...b a C a C b a +++=+-，令3a =，1b =得

()1n n n C 3113+=-+()1C 3C ...3C 3n n 1

n n 2n 2n 1n -+⋅++⋅+⋅---，故

3C ...3C 3C 31

n n

2n 2n 1n 1n n ⋅++⋅+⋅+---12n 2-=。 点评：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式的特性，赋予x 以不同的值，常能使问题迎刃而解。

三、倒序求和法

例3. 求证：()()1n n n 2n 1n 2

2n 3C 1n 3...C 7C 41-+=+++++。

证明：令()()1C 4C 7...C 1n 3C 1n 3...C 7C 41S 1n 2n n n n n 2n 1n +++++=+++++=，故()()

n n n 2n 1n 2C ...C C 12n 3S 2=+++++=，

()()1n n n 2n 1n 2

2n 3C 1n 3...C 7C 41S -+=+++++=。

点评：恒等式n n n 2n 1n 2C ...C C 1=++++可逆用二项式定理获求。

四、组合分析法

例4. 求证：n n m n

n n n n 1n n 1m n n 0m C C C ...C C C C +--=+++。

证明：构造等式左边的等价数学模型：m 名男生n 名女生，从中取n 人参加数学竞赛可

分为n+1类，男生0人、1人、…、n 人，女生对应分别为n 、n-1人、…，0人，共有选法

为n

n n n m 1n n 1m n n 0m C C ...C C C C --+++种，又由组合数定义知所求选法为n n m C +种，命题成立。

点评：对等式两端所代表的组合含义进行分析，说明等式两端恰好是对同一组合模型进

行计数，或是对已经建立一一对应关系的两个组合模型进行计数即得。

五、比较系数法

例5. 求证：k r m n

k n n m 1k n 1m k n 0m C C C ...C C C C +--=+++。

证明：由于()()()()

n n m 1n 0n m m m 1m 0m n

m

x

C ...x C C x C ...x C C x 1x 1++++++=++，其中含有k x 项的系数为n

k n

n m 1k n 1m k n 0m C C ...C C C C --++⋅+。而 ()n m n m n m 1n m 0n m n m x C ...x C C x 1++++++⋅+++=+，其中含有k x 项的系数为k n m C +，同时()()()n m n m x 1x 1x 1++=++，故k n m n

k n

n m 1k n 1n k n 0m C C C ...C C C C +--=⋅+++。

点评：由多项式恒等对应项系数相等获求。在本题中，对m ，n ，k 取特殊关系有（1）

n m =时，k m 2m k m n m 1k m 1m k m 0m C C C ...C C C C =+++--；（2）k n m ==时，()()

...C C 2

1m

2

0m

++

()()2

m m

22

m m

C C =+等。

六、递推公式法

例6. 求证：()()n n

m n n n 2n 1n 0n C 1n m 1C 1n m 11...C 3m 1C 2m 1C 1m 1+++=++-+++++-+。 证明：设右边n a =，则由恒等式1k 1n k 1n 1k 1n k n C C C n k C ------==

得2

m 1C 1m 1a 0

n

n +-+= ()

()

()1

n 1n n 1

1

n 21n 01n 1

1n C 1n m 11...C C 3

m 1C C

------++-+++++

+，

故n 1n n a n

m 1a a +-=-，整理即()()()()()()()()12n 1n n a 3m 4m ...n m 1m n 12...1n n ...a n m 1m n 1n n a 1

n m n a +++++⋅-==+++-=++=

--，

而()()1m 2m 1

a 1++=

，故有()n n

m n C 1n m 1a +++=。